2024-2025學(xué)年河南省南陽市方城第一高級中學(xué)高一（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省南陽市方城第一高級中學(xué)高一（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知正數(shù)a，b，滿足a+b=2，則ab有(

)A.最小值1 B.最小值2 C.最大值2 D.2.下列命題是全稱量詞命題的是(

)A.存在一個實數(shù)的平方是負數(shù) B.每個四邊形的內(nèi)角和都是360°

C.至少有一個整數(shù)x，使得x2+3x是質(zhì)數(shù) D.?x∈R3.下列對象能構(gòu)成集合的是(

)A.我國近代著名的數(shù)學(xué)家 B.2的所有近似值

C.所有的歐盟成員國 D.20234.設(shè)全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x?6=0}，則圖中陰影表示的集合為(

)A.{2} B.{3} C.{?3,2} D.{?2,3}5.由實數(shù)x，?x，|x|，?x2，3xA.2 B.3 C.4 D.56.下列說法正確的是(

)A.ac=bc是a=b的充分條件

B.x≥1是x2≥1的必要條件

C.四邊形對角線互相垂直是四邊形為菱形的充要條件

D.“1<x<3“是“7.已知集合A={x|2x>4}，集合B={x|x<a}，若A∪B=R，則實數(shù)a的取值范圍為A.(?∞,4) B.(1,+∞) C.(?∞,2) D.(2,+∞)8.對于集合A，B，“A?B”不成立的含義是(

)A.B是A的子集 B.A中的元素都不是B的元素

C.A中至少有一個元素不屬于B D.B中至少有一個元素不屬于A二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中，正確的有(

)A.空集是任何集合的真子集

B.若A?B，B?C，則A?C

C.任何一個集合必有兩個或兩個以上的真子集

D.如果不屬于B的元素一定不屬于A，則A?B10.下列不等式中成立的是(

)A.若a>b>0，則ac2>bc2 B.若a>b>0，則a2>b2

C.若11.若“?x∈M，x<0”為真命題，“?x∈M，x≥4”為假命題，則集合M可以是(

)A.{x|x<1} B.{x|?1≤x≤4} C.{x|0≤x<3} D.{x|?4<x<4}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2≥4}，則A∩B=

，A∪(?13.含有3個實數(shù)的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}14.“一元二次方程(x?a)(x?a?1)=0有一個正實數(shù)根和一個負實數(shù)根”的一個充分條件但不是必要條件的是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a>0，b>0，求證：a+b+1≥ab+16.(本小題15分)

已知全集為R，集合A={x|0<2x+a≤3}，B={x|?12<x<2}．

(1)當a=1時，求A∪B?；

(2)若17.(本小題15分)

已知集合A={x∈R|ax2?3x?4=0}．

(1)若1∈A，求集合A(用列舉法表示)；

(2)若A中至多有一個元素，求實數(shù)18.(本小題17分)

已知集合A=[2a+1,3a?5]，B=[3,22]．

(1)當a=10時，求A∩B，A∪B；

(2)求能使A∩B=A成立的實數(shù)a的取值范圍．19.(本小題17分)

甲、乙兩人同時從A地出發(fā)沿同一路線走到B地，所用時間分別為t1s，t2s.甲有一半的時間以mm/s的速度行走，另一半的時間以nm/s的速度行走；乙有一半的路程以mm/s的速度行走，另一半的路程以nm/s的速度行走，且m≠n．

(1)請用含m，n的代數(shù)式表示甲、乙兩人所用的時間t1和t2；

(2)比較t1與答案解析1.D

【解析】解：∵正數(shù)a，b滿足a+b=2，

∴2=a+b≥2ab，化為ab≤1，當且僅當a=b=1時取等號．

∴ab的最大值是1．2.B

【解析】解：選項A，C，D中，分別有“存在”，“至少”，“?”這樣的特稱量詞，

所以選項A，C，D都為特稱命題，

選項B：因為有“每個”這樣的全稱量詞，所以命題為全稱命題，

故選：B．

根據(jù)全稱命題與特稱命題中的量詞即可判斷求解．

本題考查了全稱命題與特稱命題的定義，屬于基礎(chǔ)題．3.C

【解析】解：A、B、D：由于描述中標準不明確，無法確定集合；

C：所有歐盟成員國是確定的，可以構(gòu)成集合．

故選：C．

根據(jù)集合的性質(zhì)的判斷即可．

本題主要考查了集合元素的確定性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.A

【解析】解：題圖中陰影部分表示為A∩B，

因為A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合B={?3,2}，

所以A∩B={2}．

故選A

先根據(jù)Venn圖表達集合的關(guān)系，然后分別求出集合A和集合B，最后根據(jù)集合交集的定義求出A∩B即可．

本題主要考查了Venn圖表達集合的關(guān)系，以及集合交集的運算，屬于基礎(chǔ)題．5.A

【解析】解：由題意可知?x2=?|x|，3x3=x且|x|=±x，

所以以實數(shù)x，?x，|x|，?x2，6.D

【解析】解：對于A，若ac=bc，當c=0時，a與b不一定相等，故A錯誤，

對于B，若x2≥1，則x≤?1或x≥1，故B錯誤，

對于C，四邊形對角線互相垂直不一定是菱形，但菱形的對角線一定互相垂直，故C錯，

對于D，“1<x<3“所表示的集合是“x≥0”所表示的集合的真子集，故“1<x<3“是“x≥0”的充分不必要條件，故D正確．

故選：D．

根據(jù)充分條件、必要條件的定義可解．7.D

【解析】解：∵A={x|x>2}，B={x|x<a}，且A∪B=R，

∴a>2，

∴a的取值范圍為：(2,+∞)．

故選：D．

可求出集合A，然后根據(jù)集合B及A∪B=R即可求出a的取值范圍．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，集合的描述法和區(qū)間的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.C

【解析】解：∵“A?B”成立的含義是集合A中的任何一個元素都是B的元素，

∴不成立的含義是A中至少有一個元素不屬于B，

故選：C．

“A?B”不成立，是對命題的否定，任何的反面是至少，即可得到結(jié)論．

本題考查集合的包含關(guān)系，考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．9.BD

【解析】解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故選項A錯；

子集具有傳遞性，故選項B正確；

若一個集合是空集，則沒有真子集，故選項C錯；

由韋恩圖易知選項D正確．

故選：BD．

根據(jù)空集的定義和性質(zhì)可判斷A，C正確與否，根據(jù)真子集的性質(zhì)可判斷B正確與否，根據(jù)韋恩圖可判斷D正確與否．

本題考查了空集的定義，真子集的性質(zhì)以及韋恩圖，屬于基礎(chǔ)題．10.BD

【解析】解：對于A，當c=0時，ac2=bc2，故A錯誤；

對于B，因為a>b>0，則a+b>0，a?b>0，

所以a2?b2=(a+b)(a?b)>0，即a2>b2，故B正確；

對于C，取a=?2，b=?1，滿足a<b<0，但a2=4>2=ab，故C錯誤；

對于D，因為a<b<0，所以b?a>0，ab>0，11.AD

【解析】解：依題意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，

則集合{x|x<1}和{x|?4<x<4}均符合題意．

故選：AD．

依題意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，即可判斷．

本題考查命題真假的判定，注意存在量詞命題真假的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．12.{x|2≤x≤3}

；；{x|?2<x≤3}

【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤?2}，

∴?UB={x|?2<x<2}，

∴A∩B={x|2≤x≤3}，A∪(?UB)={x|?2<x≤3}．

故答案為：{x|2≤x≤3}，{x|?2<x≤3}13.?1

【解析】解：∵{a,ba,1}={a2,a+b,0}，

顯然a≠0，∴ba=0，

∴b=0，

此時{a,0,1}={a2,a,0}，

∴a2=1，且a≠114.{a|?12<a<0}(【解析】解：一元二次方程(x?a)(x?a?1)=0的兩個根為a，a+1，

∵有一個正實數(shù)根和一個負實數(shù)根，

∴a<0a+1>0，∴?1<a<0，

∵(?12,0)?(?1,0)，

∴一元二次方程有一個正實數(shù)根和一個負實數(shù)根的一個充分條件但不是必要條件的是{a|?12<a<0}(不唯一)．

故答案為：15.證明：知a>0，b>0，由柯西不等式可得(a+b+1)(b+1+a)≥(ab+a+b)2，

當且僅當ab【解析】直接根據(jù)柯西不等式即可證明．

本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．16.解：(1)a=1時，A={x|?12<x≤1}，且B?={x|x≤?12或x≥2}，

∴A∪B?={x|x≤1或x≥2}；

(2)A={x|?a2<x≤3?a2}【解析】(1)a=1時，可得出集合A，然后進行并集的運算即可；

(2)可得出A={x|?a2<x≤3?a2}，根據(jù)A∩B=A可得出A?B，從而得出17.解：(1)∵1∈A，

∴a?3?4=0，解得a=7，

∴7x2?3x?4=0?x=1或x=?47，

∴A={1,?47}，

(2)當a=0時，方程為?3x?4=0，

∴集合A={?43}；

當a≠0時，若關(guān)于x的方程ax2?3x?4=0有兩個相等的實數(shù)根，

則A也只有一個元素，此時a=?916；

若關(guān)于x【解析】(1)通過1∈A，求出a，進而求解結(jié)論；

(2)通過討論當a=0時，當a≠0時的情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出實數(shù)a的取值范圍．

本題考查實數(shù)a的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意分類討論思想的合理運用．18.解：(1)當a=10時，集合A=[21,25]，

所以A∩B=[21,22]，A∪B=[3,25]；

(2)由A∩B=A，可知A?B，

則2a+1≥33a?5≤222a+1≤3a?5，解得6≤a≤9，

故實數(shù)a的取值范圍為[6,9]【解析】(1)當a=10時，求出集合A，進而可以求解；

(2)由題可知A?B，然后根據(jù)子集的定義建立不等式關(guān)系，即可求解．

本題考查了集合的包含關(guān)系，涉及到不等式的求解以及交集和并集的應(yīng)用，考查了學(xué)