立體幾何中的動態(tài)問題-2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

立體幾何中的動態(tài)問題

小題型一空間位置關系的判定

［典例1］（1）（多選）如圖，四邊形48co為矩形，AD=2AB,E是8c的中點，將

△R4E沿4E翻折至△B4E的位置（點P中平面NEC。），設線段尸。的中點為E

則在翻折過程中，下列選項正確的是（）

A.CF〃平面NEP

B.C尸的長度恒定不變

C.AELDP

D.異面直線CF與PE所成角的大小恒定不變

（2）（多選）已知正方體48czX415C1A的棱長為2,0為空間中一點.下列敘述正

確的是（）

A.若族=：可，則異面直線8尸與GO所成角的余弦值為日

Zo

B.若前=7阮+函。?［0,1］）,三棱錐尸/出。的體積為定值

C.若麗=7就+3函（*［0，1］）,有且僅有一個點P,使得平面4510

D.若族=7麗。?［0,1］），則異面直線AP和Ci。所成角的取值范圍是日，3

（l）ABD（2）ABD［（1）取Z尸中點G,連接EG,FG,如圖，

因為尸為線段PD的中點，則有GF//AD,GF='D,又E是矩形ABCD邊BC

的中點，則CE=%D,于是得GF〃CE,GF=CE,即有四邊形CEGP

是平行四邊形，則CF〃EG,而EGu平面ZEP,C/Z平面ZEP,

因此，CF〃平面AEP,A正確；

在oCEG/中，CF=EG,在△E4E中，PE=PA=AB,ZAPE=90°,即EG為已

知等腰直角三角形一腰上的中線，則EG長是定值，NPEG也是定值，

因此，C下的長度恒定不變，B正確；

由C尸〃EG知，異面直線CE與尸￡所成角的大小為NPEG,D正確；

彳段設由于AE=DE=4^AB,貝U

AE2+D^=4AB2=AD2,即NELDE,

而DPCDE=D,DP,DEu平面PDE,則ZE,平面尸￡(￡,有AE_LPE,在折疊

前有/PE4=/BE4=45。,與4ELPE矛盾,即假設錯誤，C不正確.故選ABD.

(2)如圖1,尸為ZQ1中點，取501的中點。，連接尸。，B0,則尸O〃CZ),所

以NAP?；蚱溲a角即為異面直線AP與C0所成的角，易得80=連，PO=42,

B0=遍,所以cos/APO=f,A正確.

6

由條件前=2或+兩。6[0,1]),可知點尸的軌跡為線段3C1,因為81C1//8C,

故尸到平面Z15C的距離為定值，且△N18C面積為定值，故三棱錐尸-Z山C體積

為定值rB正確.

由前=2就+[西。G[0,1])可知點尸在線段EE上(E,F分別為BBi,CG中

點)，如圖2,因為ZC平面48bo1,所以平面451尸即為平面48。],點尸即

為平面幺囪。1與直線EE交點，此交點在尸￡延長線上，C錯誤.

圖2

由了?=丸河?e[0,1])可知點尸的軌跡為線段401,以小為坐標原點建立空間

直角坐標系，如圖3,Ci(2,2,0),D(0,2,2),BQ,0,2),設尸(0,a,2-

a),aG[0,2],得殺=(—2,0,2),BP=(~2,a,—a),所以cos(BP,殺〉

=總1泰=標,令2-=x可°，4

當a=2,即x=0時，cos<BP,幣〉=0,此時直線AP和CM所成角是

當a#2,即xG(0,2]時，則cos<~BP,C\D>=1,令工=々||,十8),

2/_5__Z.1_i%L2/

cos(BP,殺〉=,1所以當工=?=：即a=0時，cos<BP,殺〉取

得最大值，為坐，直線AP和C0所成角的最小值為"D正確.故選ABD.]

24

名師點評空間位置關系的動點問題的解法

(1)應用線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質定理進行轉化；

(2)利用向量法或建立空間直角坐標系進行計算.

[跟進訓練]

1.(1)(多選X2024?湖南益陽模擬)如圖，矩形48CD中，E,尸分別為8C,AD

的中點，且5C=248=2,BF^AE=O,現(xiàn)將△4&￡沿ZE向上翻折，使8點移

到尸點，則在翻折過程中，下列結論正確的是()

A.CFLOP

B.存在點P,使得PE〃CF

C.存在點P,使得PE_LED

D.三棱錐尸-ZE。的體積的最大值為當

(2)(多選)(2024?廣東佛山禪城區(qū)一模)如圖，在棱長為1的正方體

中，點尸滿足於=7近+〃西，其中7?[0,1],〃G[0,1],則

()

A.當2=〃=1時，BPLAxD

B.當2=〃=決寸，點尸到平面2山。的距禺為F

C.當i+〃=1時，AP〃平面45。

D.當2+〃時，三棱錐出-尸5。的體積恒為七

(l)ACD(2)ACD[(1)依題意，AF//EC,AF=EC,

則四邊形ZECF為平行四邊形，有CF//AE,

而AF=AB=BE,ZBAF=/ABE=90°,

即有/48。=/氏4。=45°,因此AFLZE,

即OPLAE,因此CFLOP,A正確；

因為PEC4E=E,CF//AE,因此0E,CP不平行，

即不存在點P,彳更得PE〃CF,B錯誤；

連接尸E當尸尸=1時，因為PO=FO=4,

即PO2+FO2=1=麗，貝IPOLFO,

而EOL/E,PO^AE=O,PO,Z￡u平面E4E,因此平面E4E,XO,F

分別為ZE,的中點，

即ED〃FO,于是￡￡＞，平面刃E,而尸￡u平面E4E,貝|PELE。，C正確；

在翻折過程中，令尸。與平面所成角為。，則點尸到平面4EO的距離〃=

POsin0=—sin0,

%SAAED=5D?4B=1,

因此三棱錐P-AED的體積

r_1J_V2.也

VTp-AED--CS^AED-h0^—,

36——6sin

當且僅當。=90。，即尸。，平面ZE。時取等號，

所以三棱錐P-AED的體積的最大值為遐，D正確.

6

故選ACD.

(2)當2=〃=1時，此時點尸與點G重合，由正方體可得BCiL/bD,所以AP,

A\D,A正確；

當4=〃=:時，此時點尸為5c的中點，由81c〃平面48。，得點尸到平面

的距離等于點C到平面AiBD的距離，設為d,由

11

得X

-X-V3V3

^A-i-BCD=Vc-A-tBD，32TT

當丸+〃=1時，此時尸，C,歷三點共線，由平面81cA〃平面Z1RD,得DiP//

平面NiBD,C正確；

點尸在血囪。中與囪C平行的中位線JW(圖略)上，易得MN〃平面4BD,點、P

到平面4AD的距離為定值，為點C到平面4BD的距離的一半，即:?=?

,底面是邊長為魚的等邊三角形NiAD,所以SMIBD=；X(V^)2X?=?,則三

棱錐A1-PBD的體積匕4]_pBD=，P-4iBD=|x-Yx=D正確.

故選ACD.]

題型二軌跡問題

[典例2](1)(多選)如圖，已知正方體48ax4181cl。的棱長為4,/為。的

中點，N為48CO所在平面內一動點，則下列命題正確的是()

A.若上W與平面45CQ所成的角為，則點N的軌跡為圓

B.若MN=4,則跖V的中點尸的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

C.若點N到直線A81與到直線QC的距離相等，則點N的軌跡為拋物線

D.若AN與48所成的角為導則點N的軌跡為雙曲線

(2)如圖，已知正方體48a)-48iCi￡>i的棱長為2,M,N,G分別是棱44i,BC,

ZiA的中點，設0是該正方體表面上的一點，若麗=》配+丁麗(x,yGR),

則點。的軌跡圍成圖形的面積是.

(l)ACD(2)373[(1)如圖所示，根據(jù)正方體的性質可知，平面48c

所以/MND為MN與平面ABCD所氤的魚,所以所以DN=DM=

Q￡)Z51)=1X4=2,所以點N的軌跡為以。為圓心，2為半徑的圓，A正確；

在Rt^MEW中，DN=y/MN2-MD2=V42-22=2V3,取MD的中點E,MN的

中點P,連接PE,所以PE//DN,且PE=mN=W,因為DNLED,所以PELED,

即點尸在過點￡且與DA垂直的平面內，又尸￡=g,所以點尸的軌跡為以舊

為半徑的圓，其面積為兀?(巡>=3兀，B不正確；

連接NB,因為881，平面48CD,所以BB」NB,所以點N到直線881的距離

為NB,所以點N到點5的距離等于點N到定直線CD的距離，又8不在直線

CD上，所以點N的軌跡為以8為焦點，C。為準線的拋物線，C正確；

以。為坐標原點，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標

系，

則4(4,0,0),5(4,4,0),￡>i(0,0,4),設N(x,v,0),

>>

則2B=(0,4,0),D1N=(x,y,-4),

因為DiN與AB所成的角為最

所以|cos(AB,D±N)|=cos

所以/==《整理得當一弓=1所以點N的軌跡為雙曲線，D正確.故

4V%2+y2+1621616

選ACD.

(2)因為麗=工而+.6麗(x,yGR),所以點0在平面MGN上，

分別取Z8,CCi,Ci。的中點￡,F,O,則點。的軌跡是正六邊形。用VEMG,

因為正方體48CDZ向GA的棱長為2,

所以正六邊形OFNEMG的邊長為魚，

所以點Q的軌跡圍成圖形的面積

5=6X|xV2xV2Xsin60°=3V3.］

名師點評

解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質進行判定.

(2)定義法：轉化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計

算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行排除.

［跟進訓練］

2.⑴（多選）如圖,長方體ABCCMbBCiA中，AB=2,AD=1,44戶3,點河

是側面ZDDi/i上的一個動點（含邊界），尸是棱CG的中點，則下列結論正確的

是（）

0;

AB

A.當尸M長度最小時，三棱錐0的體積為]

B.當長度最大時，三棱錐M3。尸的體積為:

C.若保持尸拉=逐，則點/在側面內運動路徑的長度為兀

D.若M在平面內運動，且/MDiB=/BdhB,則點〃的軌跡為圓弧

（2）（2024?河北邢臺模擬）已知正方體48czMLBCQ的棱長為2,E為CD的中

點，且點尸在四邊形5CC181內部及其邊界上運動,若總是保持￡尸〃平面BDDM

則動點P的軌跡長度為;若總是保持AP與AB的夾角為30°,則動點P

的軌跡長度為.

（1）AC（2）2梟[⑴當尸N長度最小時，點/為線段￡）?的中點，必）=打。1

o2111

=~,求得點P到平面BDM的距離為h=-7=,VM-BDP=VP-BDM=~S^BDMXh=-X-X

ZV533Z

|xV5x^=lA正確;

當H長度最大時，點M與點Z或點出重合，若點M與點Z重合，

11171

VM-BDP=VP-ABD=-SAABDXPC=-XiX2X1Xj=-,當點M與點出重合時，由于

441與平面8DP不平行且Z,小在該平面同側，所以此時體積不為最所以B錯

、口

沃；

取DD1中點O,連接尸。，OM,如圖所示，易證尸。，平面4DQM1,OMu平面

ADDiAi,則尸若保持W=而，則<W=?5-4=1,

則點M的軌跡是以1為半徑的半圓弧，長度為兀XI=兀，C正確；

以點。為原點建立空間直角坐標系如圖所示，

則。1(0,0,3),51(1,2,3),8(1,2,0),

設M機，°，〃)(0W加Wl,0W〃W3),

則有踮=(1,2,-3),D[B；=(1,2,0),D^M=(m,0,〃一3),

若/MDiB=/BiDiB,則有cosZMDxB=cosZB1D1B,

口cm+9—3n1+4

即，------=----------

7m2+(n—3)2,V14V5,V14,

化簡得2〃2—2掰2—12〃+9加一3加〃+18=0,

即(加+2〃-6)(—2掰+〃-3)=0,

即加+2〃-6=0或一2加+“-3=0(此時〃=2加+3,m=0,77=3),

故點〃的軌跡為一段直線，D錯誤.故選AC.

(2)分別取8C,81cl的中點/，G,連接朋FG,EG,則BF=^BC,BiG=^BiCi,

因為BC〃BiCi,BC=BiCi,所以BF〃BiG,BF=BiG,

所以四邊形AFGBi為平行四邊形，所以BBJ/FG,

因為E為C。的中點，所以EF//BD,

因為EF,FGC平面BDDB,BD,BBc平面BDDM,

所以EF〃平面BDDiBi,尸G〃平面ADDS,

因為￡尸0尸6=尸，所以平面EEG〃平面ADDLBI,

因為平面EFGn平面BCCiB尸F(xiàn)G,點、P在四邊形BCCiBi內部及其邊界上運動,

￡尸〃平面BDDiBi,

所以點尸的軌跡是尸G,

因為FG=BBi=2,所以動點尸的軌跡長度為2.

因為48,平面8CC山1,APu平面8CC181,

所以4BLAP,

在RtZ\45尸中，AB=2,/BAP=30°,

貝ItanZBAP=—=—,

所以BP=0B=g

所以點尸的軌跡是以8為圓心，子為半徑的一段弧，且圓心角為直角，所以動

點P的軌跡長度為JX2TIX竺=與.]

【教師備選資源】

（2023?廣州一模）在棱長為1的正方體48czM閏GA中，點E,尸分別是棱8C,

CC1的中點，尸是側面小上的動點，且尸C1〃平面NER則點尸的軌跡長

為，點尸到直線ZE的距離的最小值為.

yy[在正方體ZBCZMiSCQ中，連接8C1,FD1,ADi,如圖，對角面

ABCxDi為矩形，

B

因為點E,尸分別是棱5C,CCi的中點，

貝UEF//BC1//ADi,而EF=,Di,

即平面ZEE截正方體所得截面為梯形4EFQ1,顯然過點Ci與平面ZEE。平行

的平面交平面8CC181,平面分別于8G,MN,因此〃M〃8ci〃4Di,

連接MCi,平面BMVCi,平面ZEE。與平面ZCCiZi分別交于XCi,AF,因此

MCi//AF,而AM〃FCi,即四邊形ZMCbF為平行四邊形，于是三，

即點河為441的中點，同理N為小。中點，跖V=子,因為動點尸始終滿足尸Ci〃

平面ZEE,

于是尸Qu平面EWCi,又尸在側面上，所以點尸的軌跡是線段跖V,

軌跡長為日.

以點。為坐標原點建立空間直角坐標系，則

M（l,0,J%,0,1）,4（1,0,0）,用0,1,號,貝麗=（-；,0,0,AM

=（0,0,I）,族=（-L,1,；）,

令加=麗=（一.，0,|t）,

則有Q=贏+加0,多），

—>—>l+3t

AP-AF=—,與岑=手=與+'于是點尸到直線4F的距離

4|AF|-26

=&2+"亡+1)2-(/+￡)2

=+當且僅當f=0時取等號，所以點尸到直線4F的距離的

Y4393

最小值為亨]

II題型三最值(范圍)問題

[典例3](1)如圖所示，在正方體48。。-出3。1。1中，點尸是線段81D上一動

點，且4P〃平面Q5C1,則異面直線4P與8。所成角的取值范圍為()

c-[ri]D-[rT]

(2)(2022?新高考I卷)已知正四棱錐的側棱長為I,其各頂點都在同一球面上.若

該球的體積為36兀，且3W/W3K,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A-[18,T]B,[T，引

C.丹，T]D.[18,27]

(1)C(2)C[(1)如圖，以。為坐標原點，DA,DC,￡)￡>i所在直線分別為x軸、

y軸、2軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1,則。(0,0,0),

8(1,1,0),2(1,0,0),

設尸(九A,1),Ae[O,1],

：.DB=(1,1,0),AP=(A-1,A,1),

：.DB?AP=2A-1,\DB\=V2,

\AP\=y/2A2-2A+2,

設異面直線ZP與BD所成的角為仇

則cos。」麗?珂=即一”

J\DB\\AP\2加K

1

當2=5時,cos。取得最小值為0,

,1

當7=0或1時，cos。取得最大值為5,

.,.owcosew：則與wew：

2'32

(2)因為球的體積為36兀，所以球的半徑R=3,

設正四棱錐的底面邊長為2a,高為〃，

則P=2a2+h2,32=2a2+(3—A)2,

所以6fl=F,2a2=”一丸2,

所以正四棱錐的體積F=|5,//=|x4tz2XA=|x(F—今)x^-=1^Z4—

所以yWY)寸(黨,

當3W/V2遍時，V>0,當2V6</<38時，V<0,

所以當/=2傷時，正四棱錐的體積廠取得最大值，最大值為又/=3時，V

=*,1=3g時，K=y,

所以正四棱錐的體積匕的最小值為二，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是［彳，y］.

故選C.］

名師點評在動態(tài)變化過程中產生的體積最大、距離最大（?。?、角的范圍等問題，

有如下常用的思路.

（1）直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在什么位置時，所求的量有相應最

大值、最小值，即可求解.

（2）函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉化為目標函數(shù)，從而利

用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值.

［跟進訓練］

3.（1）（2024?湖南長沙模擬）已知正方體48CD4SC1A的棱長為1,H為棱

幺小（包含端點）上的動點，下列命題正確的是（）

A.CH±BD

B.平面￡>1481與平面481c的夾角為g

C.點〃到平面5S距離的取值范圍是序乎］

D.若平面夕，則直線CD與平面夕所成角的正弦值的取值范圍為殍，y］

（2）（2024?江蘇鹽城模擬）已知正四面體ABCD的棱長為3,點￡滿足版=筋瓦0

<2<1）,過點E作平面a平行于NC和AD,設a分別與該正四面體的棱8C,CD,

可相交于點孔G,H,則四邊形斯G8的周長為,四棱錐Z-EFGH

的體積的最大值為.

(l)ACD(2)6手［(1)由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則￡>(0,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),A(l,0,0),Z>i(0,0,1),Ci(0,1,

1),Bi(l,I,1),

設8(1,0,h),其中OW/zWL

CH=(1,-1,h),DB=(1,1,0),故而?麗=0,CHLBD,A正確；

函=(0,1,1),珂=(-1,0,1),AC=(-l,1,0),

設平面。14B1的法向量為陽=(x,y,z),

,(m,AB-0,(y+z—0,,

則彳___r>即|取z=l,則x=l,y=—1,

(m?AD1-0,I-%+z—0,

故陽=(1,-1,1)為平面的一個法向量.

設平面4sle的法向量為〃=(a,b,c),

(n?AB-0,(b+c—0,

則■{_>1即(取b=l,則a=l,c=—1,

tn?AC-0,I—a+b—0,

故〃=(1,1,—1)為平面481c的一個法向量.

故cos<m,〃〉=忌=*，

而平面AZBi與平面Z5C的夾角為銳角，故其余弦值為最所以平面DZ51與平

面481c的夾角不是aB錯誤；

瓦瓦=(1,1,0),阻=(0,1,-I),

設平面CBLDI的法向量為〃=(p,q,r),

則產.眄=0,

Ifc?%C=0,

p+q—0,,

即取q=l,則2=—1,尸=1,

q—r=0,

故力=(-1,1,1)為平面C5i功的一個法向量.

而瓦方=(0,-1,〃一1),故點〃到平面C81A的距離為|瓦司*|港，岡j=詈

=等￡惇,竽］，c正確；

設