2024屆高考一輪復(fù)習(xí)收官檢測卷 文科數(shù)學(xué)（全國卷）(含答案)

2024屆高考一輪復(fù)習(xí)收官檢測卷文科數(shù)學(xué)（全國卷）

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.設(shè)集合A={—1,0,1},5={1,3,5},C={0,2,4},B)C=()

A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=4-i,則)

4+2i

3+4i

A.4-2iB.4+2iC.-------

5

4.已知向量a,萬滿足|a|=l,|a+20|=J7,|a—切=半，則〈a,力=（）

5.工廠為了了解某車間的生產(chǎn)效率，對該車間200名工人上月生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量（單

,則下列估計正確的為（）

①該車間工人上月產(chǎn)量的極差恰好為50件；

②該車間約有120名工人上月產(chǎn)量低于65件；

③該車間工人上月產(chǎn)量的平均數(shù)低于64件；

④該車間工人上月產(chǎn)量的中位數(shù)低于63件.

A.①③B.①④C.②③D.②④

Q1

6.已知正實數(shù)a,6滿足a+-=1,若不等式一+沙2-/+4x+18-相對任意正實數(shù)a,

ba

6以及任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[3,+oo）B.[3,6]C.[6,+oo）D.（-oo,6]

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）

A.4B.5C.6D.7

8.已知｛叫為等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，an+｝=2Sn+2,則％的值為（）

A.3B.18C.54D.152

9.如圖，在直三棱柱43。-4與￡中，。是A片與A#的交點，。是&C的中點，

AA=AB=2AC=4,ABLAC,給出下列結(jié)論.

cc,

①AB與瓦G是相交直線;

②OD〃平面4片G；

③平面49。〃平面BBgC；

④49,平面A3G,

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.③④C.②③D.②④

10.已知拋物線。：/=20武.>0）的焦點為/，準線/與x軸的交點為K,點尸在C

上且位于第一象限，PQ，/于點。，過點P作QR的平行線交x軸于點凡若

PF±QR,且四邊形PQKR的面積為606，則直線QR的方程為（）

A.A/3X+J-3A/6=0B.\/3x+y-5y/6=0

C.x+y/3y-3y[6=0D.x+y/3y-5>j6=0

11.已知函數(shù)/（x）=gsinox-#cos。式?！?）的零點是以^■為公差的等差數(shù)列.若

/（x）在區(qū)間[0,0上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（）

.C57rl0（c7兀1-C5兀1_7兀

A.0,—B.0,—C.0,—D.0,—

I12」（12」（24J124J

12.在體積為32的棱錐尸—ABC中，24,底面ABC,NACB=90。，AC^BC,

AB=8,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.64兀B.76兀C.88兀D.100兀

二、填空題

13.已知｛叫是等差數(shù)列，S“是其前〃項和，S[=7,$=75,則邑i的值為

14.某中學(xué)為了慶?！疤靻栆惶枴背晒χ懟鹦牵嘏e辦中國航天史知識競賽，高一

某班現(xiàn)有2名男生和2名女生報名，從報名學(xué)生中任選2名學(xué)生參賽，則恰好選中2

名女生的概率為

15.已知圓C:(x-l)2+(y-02=/。〉0),若圓C與y軸交于M,N兩點，且

"則"

16.若對任意的xe(0,+oo),不等式e-l/nx+2。恒成立,則實數(shù)。的取值范圍為

X

三、解答題

17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c2^a2+ab.

(1)證明：C=2A；

(2)若a=3,sinA=-,求△ABC的面積.

3

18.如圖，四棱錐P—ABCD中，上4,底面ABCD,AB±AD,AB//DC,E,R分別

為PC,DC的中點，PA=DC=2AB=2AD=2.

AB

(1)證明：平面PAD//平面EBF；

(2)求三棱錐P-班D的體積.

19.為了改善小學(xué)生在校午休的質(zhì)量，讓小學(xué)生的午休從“趴睡”變“躺睡”，應(yīng)市

場需求，某公司推出了一款午休課桌椅，為小學(xué)生提供舒適角度定位.這款午休課桌椅

的靠背調(diào)節(jié)器和腳托的操作小學(xué)生都可以獨立完成，使用起來非常方便.這款午休課桌

椅上市后好評不斷，該公司銷售部給出了2022年9月至2023年3月該款午休課桌椅

的銷售數(shù)據(jù)，記2022年9月至2023年3月的代碼分別為1,2,…，7,其銷售數(shù)據(jù)如

下表所示：

月份代

1234567

碼X

銷量y

(萬21252834363941

套)

777

并計算得之方(%-元)2=28,大%-刃2=336,'可(XT)=96.

i=li=li=\

(l)用相關(guān)系數(shù)廠說明y與x之間線性相關(guān)性的強弱；(若|川20.75,則認為相關(guān)性

較強)

(2)建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并預(yù)測2023年6月該款午休課

桌椅的銷量.

^(x,.-x)(x-y)

附：相關(guān)系數(shù)3=?,73^1.732,

他(一)底(―)2

V1=1i=i

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：3----------------，

￡(玉「可2

1=1

a=y-bx.

20.已知函數(shù)/(x)=%-1一。心.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個零點X1,X,且占<%2，證明：%1+2%,<1+—.

"--e

21.生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后

反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)橢圓C的焦點在y軸上，中心在原點，從下焦點耳

射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點工，這束光線的總長度為4,且反射點與焦點

構(gòu)成的三角形面積的最大值為百，已知橢圓的離心率e<?2.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若從橢圓C的中心。出發(fā)的兩束光線OM,ON,分別穿過橢圓上的A,B兩點

后射到直線y=4上的M,N兩點，若A3連線過橢圓的上焦點B，試問，直線與

直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點；若不能，請說明理由.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

Y=2-t

在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為?—(/為參數(shù))，以坐標原點為極

y=2f

點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的半徑為3,圓心C(3,兀).

(1)寫出/的普通方程和C的直角坐標方程；

(2)若A,3分別為C和/上的動點，且直線A3和/的夾角為：，求的取值范圍.

23.［選修4-5：不等式選講］

已知正數(shù)。，b,c滿足a+/?+c=3.

(1)求abc的最大值；

(2)證明：c^b+b3c+c3a>3abc.

參考答案

1.答案：C

解析：A5={1},又。={0,2,4},所以(AB)。={0,1,2,4},故選C.

2.答案：D

z4-2i(4-2i)212-16i3-4i「

解析：依題意z=4—2i,----=-----=---------——==.故選D

4+2i4+2i(4+2i)(4-2i)20------5

3.答案：A

(一%)

解析：由題意得了⑴的定義域為R,仆加/乙31-八3一"所以

/(%)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除選項B,D,又〃5)=金\>2,排除選

項C,故選A.

4.答案：D

解析：由題可得|。+2辦『=a?+4a,〃+4b之=1+4。?〃+4|〃/=7①，

ioQ3

\-b^=2-2ab+b2=l-2ab+\b^=—@,①②兩式聯(lián)立得“?〃=——,\b\=~,

aa442

d.I)]2Jl、

cos(o,b)=—(-；~~p=—,而〈。,辦〉G[0,Ji],「.〈a,萬)=—.故選D.

同月23

5.答案：D

解析：由頻率分布直方圖可知，該車間工人上月產(chǎn)量的極差大約為50件，故①不正

確；

上月產(chǎn)量低于65件的頻率為(0.02+0.04)x10=0.6,所以0.6x200=120,即該車間約

有120名工人上月產(chǎn)量低于65件，故②正確；

0.02x10x50+0.04x10x60+0.025x10x70+0.01x10x80+0.005x10x90=64

(件)，所以該車間工人上月產(chǎn)量的平均數(shù)為64件，故③不正確；

設(shè)該車間工人上月產(chǎn)量的中位數(shù)為x件，則0.02x10+0-55)x0.04=0.5,解得

x=62.5,所以④正確.故選D.

6.答案：C

解析：由題意得T〃WH+/+(X2-4X-18).由基本不等式，得

—+/?=|—+/>j|?+—j=?/?+—+10>2.L/J--+10=16,當(dāng)且僅當(dāng)ab=3,BPa=—,

a\ab)ab\ab4

A=12時等號成立.又——4x—18=(x—2)2—222—22,所以一根工16—22=-6,則

m>6,因此實數(shù)機的取值范圍是[6,+oo).故選C.

7.答案：B

解析：按以下步驟運行循環(huán)：第一次：7=1x2'=2,S=2,不滿足S>200,左=2；

第二次：7=2x22=8,5=2+8=10,不滿足S>200,%=3；第三次：

7=3x23=24,5=10+24=34,不滿足S>200,左=4；第四次：T=4x24=64,

5=34+64=98,不滿足S>200,k=5；第五次：7=5x25=160,

5=98+160=258,滿足S>200,退出循環(huán)，輸出左=5,故選B.

8.答案：C

解析：因為*=25,+2,所以當(dāng)心2時,4=2S“_]+2,兩式相減得

an+i-an=2an,即4M=3%,所以數(shù)列｛%｝是公比q=也=3的等比數(shù)列.當(dāng)〃=1時，

an

a2—2sl+2—2ax+2,又4=3%,所以3%=2al+2,解得q=2,所以

33

a4=a1q=2x3=54,故選C.

9.答案：D

解析：對于①，在直三棱柱ABC-4用G中，根據(jù)異面直線的定義知A3與用G是異面

直線，所以①錯誤；

對于②，AC的中點為。，且。是AB1與的交點，所以。是A班的中點，連接

OD,則0￡>〃與￡,因為gQu平面4瓦￡，8仁平面4片￡，所以平面

A4G，所以②正確；

對于③，因為A。,平面35℃=與，所以平面A。。與平面相交，所以③錯

誤；

對于④，因為在直三棱柱ABC-A31c中，AA.^AB,所以四邊形AB與A是正方形，

4。1，平面45月4，因為AOu平面,所以AO^ACi，又

4G「43=4，所以49,平面ABC],所以④正確，故選D.

10.答案：D

解析：如圖，因為PRHQF,PQ1QK,所以四邊形PQFR為平行四邊形.又因為

PF±QR,所以四邊形尸。性為菱形，所以|PQ|=|QE|.由拋物線的定義知

\PQ\=\PF\,則|PQ|=|PF|=|QF|=|ER|=|PR|,即△PQF與均為正三角形，設(shè)

\QF\^t,則在Rt^KQP中，|"|=號!即p=},即f=2p.因為四邊形PQKR的

/、&—

(%+P+%),1VA_

面積為60TL所以---------二='=60百,解得0=2八，則氏(5痣,0),

22

又直線QR的斜率左=tan150。=-當(dāng)所以直線QR的方程為y=-4工-5向，即

%+石＞-5#=0,故選D.

解析：由題知/(%)=；sincox-告coscox-sin71

COX——,因為函數(shù)/(%)的零點是以為

3

公差的等差數(shù)列，所以丁安即T=兀，所以>兀，得。=2,所以

/(x)=sin[2x-j,易知當(dāng)—]+2EW2x—mW]+2E/eZ)時,/(x)單調(diào)遞增，即

/⑺在-2+E,如+E(左eZ)上單調(diào)遞增，又/(%)在區(qū)間[0,0上單調(diào)遞增，所以

[0,a]c[--,—1,所以0<aW型，即c的取值范圍為(0,2].故選A.

L1212J12112」

12.答案：D

解析：由已知條件，得△ABC是等腰直角三角形.又AB=8,所以

SAABC=」X8X4=16,所以三棱錐尸一ABC的體積Vn’SAMc.PAnJxlGxPAnBZ，

/\rlDV,,3/'八，>r,3

解得PA=6.因為NACB=90。，所以BCLAC.又上4,底面ABC,BCu底面ABC,所

以PAL5c.又B4AC=A,所以平面以C.因為PCu平面必C,所以

BCLPC,所以NPCB=90。，故三棱錐外接球的球心。為P3的中點.連接。4,由

上4_L底面ABC,ABu底面ABC,得申，AB.由AB=8,易得外接球的半徑

R=OA=-PB=-SIP^+AB2=-X762+82=5,所以該三棱錐外接球的表面積

222

S=471x5z=100兀.故選D.

13.答案：168

解析：數(shù)列1鳥4是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d由已知可得邑=1,鼠=5,則

InJ715

d=-^-=-=-,所以反=鼠+6><工=5+3=8,即J1=8x21=168.

15-78221152

14.答案：工

6

解析：將2名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別記為a,b,A,B,從中任選2人，有(。力)，

(a,A),(b,A),3,3),(A,B),共6種情況，其中恰好選中2名女生的情況

有1種，故選中的2人都是女生的概率為L

6

15.答案：2

解析：因為圓C:(x—iy+(y—切2=1(『>0)的圓心eq]),半徑為r,所以圓心到y(tǒng)軸

的距離為1.因為圓C與y軸交于M,N兩點，且^^=石，|MC|=?r>0),所以

|.|=百「.由垂徑定理，得產(chǎn)=仔+[吟1],即r=12+；/，解得r=2.

16.答案：

解析：e*—12山-"+2"可化為2aWe”■x-x-lnx,令

X

/(x)=ex-x-x-Inx=ex-elnx-x-lnx=ex+lnx-(x+In%),設(shè)，=x+lnx,/￡R,貝！J

g⑴=1-,設(shè)，0)=占-1,令/⑺>0,可得g⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+oo),由

g(/)=e'T在［0,+oo)上單調(diào)遞增可知，g⑺2g(0)=e°—0=1,則2aWl,解得awg.

17.答案：(1)證明見解析

⑵處

9

解析：(1)在△ABC中，由余弦定理/二片+/―ZabcosC及/二片+4人，

得+。人=〃2+人2-2abcosC9得Z?=Q+2QCOSC.

由正弦定理得sin5=sinA+2sinAcosC,

因為8=兀一(A+C),

所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以cosAsinC-sinAcosC=sinA,即sin(C-A)=sinA.

因為A,B,。是三角形的內(nèi)角,

(2)由(1)WAefo,-\因為sinA=』，所以cosA=Jl—sii?A=辿,

I3J33

4^27

所以sinC=sin2A=2sinAcosA-----,cosC=cos2A=cosi2A-sin2A=—,

99

.172y/247223

sm8n=-x—H------x------=——,

393927

由正弦定理得，，^=」一，所以c=竺貶=4后，

sinAsinCsinA

iil2346、歷

所以△ABC的面積S=—acsin5=—x3x4&x上=-^.

22279

18.答案：（1）證明見解析

⑵VP-BEDJ

解析：（1）由已知R為CD的中點，且CD=2AB,所以。尸=AB,

因為A6〃CD,所以AB//DF,

所以四邊形ABED為平行四邊形，所以跳7/AD,

又因為8尸仁平面BLD,ADu平面必D,

所以8尸〃平面PAD,

在△PDC中，因為E,R分別為PC,CD的中點，所以EF//PD,

因為￡廠仁平面B4T>,PDu平面B4D,所以EF〃平面外⑦,

因為E/IBF=F,

所以平面PAD//平面EBF.

(2)由已知E為PC中點，VP_BDC=2VE_BDC,

又因為Vp_BDE=Vp_BDC—VE-BDC'

所以Vp_BDE=5匕>-BDC，

,112

因為S^BDC=5X1X2=1,Vp_BDC=-SABDCAP=--

所以三棱錐P-BED的體積Vp_BE°=g.

19.答案：(1)y與x的線性相關(guān)性較強

(2)52.58萬套

7

一(七一元)(%-方

解析：(1)由題意知廠=I和-

JIi7(xi-^)2X7(y,-y)2

Vi=li=l

=1%==?0.99>0.75.

728x3367V3

所以y與x的線性相關(guān)性較強.

(2)由表格數(shù)據(jù)，得元='x(l+2+3+4+5+6+7)=4,

7

'=；x(21+25+28+34+36+39+41)=32,

7

八￡(七一元)(％一歹)96

則b=上J----------=—?3.43,

G_、228

i=\

所以6=y一加=32—3.43x4=18.28,

所以y關(guān)于x的回歸方程為夕=18.28+3.43%.

由題意知，將2023年6月所對應(yīng)的代碼x=10代入回歸方程,

得f=18.28+3.43x10=52.58,

所以預(yù)測2023年6月該款午休課桌椅的銷量為52.58萬套.

20.答案：(1)/(x)在(-8,ln(-a))上單調(diào)遞減；/⑴在河-0+⑹上單調(diào)遞增

(2)證明見解析

解析：⑴易知函數(shù)/(x)的定義域是R,f\x)=\+acx,

①若a?O,則((x)>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

②若a<0,令f'(x)=0,解得x=ln(-?),

當(dāng)尤e(-co,ln(-?))時，f'(x)<0,故f(x)在(-oo』n(-a))上單調(diào)遞減；

當(dāng)尤6(111(-4),+8)時，f'(x)>0,故/(幻在(ln(-a),+oo)上單調(diào)遞增.

(2)因為/，々是函數(shù)/CO的兩個零點，所以a<0.

令/(x)=0，則(x-l)e*=a.

設(shè)g(x)=(x-l)e”,則g'(x)=xe',

所以g(x)在(-*0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(X)=g(%2)=a，g(0)=T,g⑴=?！?/p>

且x--co時，g(x)fO,g(x)<0,

所以一l<a<0,x,<0<%2<1.

首先證明x1+x2<0,即證石<-x2,

只需證g(%2)=g(%)>g(f2)(藥<0，-%2且g(X)在(-°°，。)上單調(diào)遞減).

設(shè)7z(x)=g(x)_g(-%)=(x-l)ex-(-x-l)e-x,

則/z'(x)=Me*—09，當(dāng)x>0時，〃(x)>0,

所以h(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以人(%2)>丸(。)=。，

故g(/)=g(%)>g(F)，得證為+工2<。.

其次證明％<1+0.

e

由于0=8(%2)=(%2-1)戶，故只需證々<1+—~~上一，

e

%2

即證(馬—De%-e(x2-l)=(x2-l)^e-e)>0.

由得入2-1<°，e巧-evO,

所以（々-。（產(chǎn)―e）>0,々<1+旦得證.

e

玉+2X=（尤］+X2）+冗2<0+1~）---1H--.

2ee

即石+2X<1+—.

2e

22

21.答案：（1）匕+土=1

43

（2）直線與直線A7V能交于一定點，且該定點為［。,|］

22

解析：（1）由題意設(shè)橢圓方程為=+==1（?！?〉0）,

ab

貝!J2a=4,：x2cx/?=y/3,a2=b2+c2.

又所以〃=2,b=A/3,c=l.

2

22

故橢圓C的標準方程為匕+土=1.

43

（2）設(shè)直線AB的方程為y=Ax+L

（22

乙:三-1

聯(lián)立得4§一，

y=Ax+1

消去y并整理，得（3左之+4）%2+6辰—9=0,

則A=（6k）2+36（3k2+4）=144左？+144>0.

設(shè)B（x,y）,則%+%=）,玉％=與工.

223K十43K十4

由對稱性知，若定點存在，則直線3航與直線AN必相交于y軸上的定點.

%

令％=0,則丁=4+例(4一%)=4]4%_玉(生+1)

犬2必一4%x2(kX[+1)-4x1

=411I3x「打々、4(%-%)

、x2-4%!+kx^x2?x2-4%+kxxx2

3

又