第四節(jié)有理函數(shù)的積分

第四節(jié)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4

求積分例4

求積分解例5

求積分例5

求積分解三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分令（萬能置換公式）例6

求積分解由萬能置換公式例7

求積分解（一）解（二）特別注意對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分,萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例8

求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分例9

求積分例9

求積分解令說明無理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例10

求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)第五節(jié)積分表的使用（1）常用積分公式匯集成的表稱為積分表.（2）積分表是按照被積函數(shù)的類型來排列的.（4）積分表見《高等數(shù)學(xué)》（五版）上冊（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編）第347頁．（3）求積分時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接或經(jīng)過簡單變形后，查得所需結(jié)果.一、關(guān)于積分表的說明例1

求被積函數(shù)中含有在積分表（一）中查得公式（7）現(xiàn)在于是二、例題例2

求被積函數(shù)中含有三角函數(shù)在積分表（十一）中查得此類公式有兩個(gè)選公式（105）將代入得例3

求表中不能直接查出,需先進(jìn)行變量代換.令被積函數(shù)中含有在積分表（六）中查得公式（37）將代入得例4

求在積分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的冪次減少兩次,重復(fù)使用可使正弦的冪次繼續(xù)減少,直到求出結(jié)果.這個(gè)公式叫遞推公式.現(xiàn)在于是對(duì)積分使用公式（93）說明初等函數(shù)在其定義域內(nèi)原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù).例將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？思考題思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.