2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2-等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1

1.已知｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,若(21=1,=5,Sn-64，則71=

()

A.6B.7C.8D.9

2.設(shè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為%,若。6+a7+?8+?9+?io=20，貝[]Si5=()

A.150B.120C.75D.60

3.已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足S30=120,I^^6+CL(^I1■1I^^3060,則斯=()

A.2TI-25B,2?1—27C.3幾—15D,3幾—18

4.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,0.2—2,dn+2—2dn_I-l+=5I則。100=()

S049

A.—B.2525C.—D.2526

22

5.(多選)已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,前n項(xiàng)和為,且S9=S10<Su,則

()

A.d<0B.a10=0C.S18<0D.S8>S9

6.將數(shù)列｛2n-1｝與｛3n-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛冊(cè)｝,則｛冊(cè)｝的前n

項(xiàng)和為.

7.若一個(gè)等差數(shù)列｛七｝滿足：①每項(xiàng)均為正整數(shù)；②首項(xiàng)與公差的積大于該數(shù)列的第

二項(xiàng)且小于第三項(xiàng).寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式冊(cè)=.

n

8.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=2,a2=4,an+2~an=l)+3，則數(shù)列｛斯｝的前10

項(xiàng)和為.

9.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,且又=2幾—1.數(shù)列｛0｝滿足比=2,bn+1-

2bn=8G九.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明數(shù)列｛晟｝為等差數(shù)列，并求｛0｝的通項(xiàng)公式.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

10.圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AAr,BB',CC,DD'是桁，相鄰桁的水平距

離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，勒

DDt,CCr,BB1,AAt是舉,ODt,DCr,CBr,BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之

比分別為箸=0.5，震=心，等=矽，普=備.已知心$2$3成公差為0.1的

等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則依=（）

11.（多選）已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為治,下列說法正確的是（）

A.若又—n2—lln+1,貝!Jan-2n—12

B.^an=-2n+ll，貝擻列｛%|｝的前10項(xiàng)和為49

C.若冊(cè)=一271+11，貝US.的最大值為25

D.若數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列,且<0,<21011+（21012>°I則當(dāng)S"<0時(shí)，律的

最大值為2021

12.（多選）兩個(gè)等差數(shù)列｛七｝和｛0｝,其公差分別為由和四,其前72項(xiàng)和分別為

Sn和〃，則下列說法正確的是（）

A.若｛戶｝為等差數(shù)列，則心=2al

B.若｛Sn+TJ為等差數(shù)列，則由+d2=0

C.若｛a"/為等差數(shù)列，則叢=d2=0

D.若0eN*,貝（]｛與』也為等差數(shù)列，且公差為刈+d2

13.韓信是我國漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將.歷史上流傳著一個(gè)關(guān)于他點(diǎn)兵的

奇特方法.有一天，韓信問有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之,

剩三；七七數(shù)之，剩四.韓信很快就知道了士兵的人數(shù).設(shè)有m個(gè)士兵，若me

[2021,3021],則符合條件的血共有______個(gè).

14.記又為數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和.已知華+n=2an+l.

（1）證明：｛冊(cè)｝是等差數(shù)列；

（2）若a,，成等比數(shù)列，求%的最小值.

[C級(jí)素養(yǎng)提升]

15.（多選）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢麗的奇葩.《張丘

建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元5世紀(jì).書

中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益

幾何？”其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，

每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問從第二

天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個(gè)月有

30天,記該女子在這一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為斯，0=2斯,對(duì)于數(shù)

列｛演｝,｛0｝，下列選項(xiàng)中正確的為（）

A.b10-8b5B.｛0｝是等比數(shù)列

C.=1050。3+。5+。7209

。2+。4+。6193

2

16.設(shè)數(shù)列｛七｝的前n項(xiàng)和為S九,且滿足2Sn=an+n+Xn+l（人為常數(shù)）.

（1）若入=1/求Sioo；

(2)是否存在實(shí)數(shù)入，使得數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-6.2-等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1

1.已知｛冊(cè)｝為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為%,若的=1,a3=S,Sn=64，則律=

（C）

A.6B.7C.8D.9

nnn

［解析］選C,因?yàn)閐=也產(chǎn)-2,Sn-71al+"；Dd-+C-1）=64,解得n-8

（負(fù)值舍去）.故選C.

2.設(shè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,若+a7+a8+a9+a10=20,貝小巧=（D）

A.150B.120C.75D.60

［解析］選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知。6++即0=5a8=20,所以。8=4,

S］5=15（。丁15）=駕竺=15a8=60.故選D.

3.已知等差數(shù)列｛aj滿足S30=120,0^3I^^6+d-（^I1■1I^^3060,貝!九（-B）

A.2TL-25B.271—27C.3TL-15D.372—18

［解析］選B.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

貝US30=（。1+。4+,,,+”28）+（。2+。5++。29）+（@3+。6++。30）

二（。3++^30）—20d+（Q3+06+"a+。30）—10d+（CI3++…+。30）=

180-30d=120,

解得d=2.

又S30=30%+^1^x2=120,

=

解得—25.所以G幾=—25+（ri—1）x2=2?1—27,

故選B.

4.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,=2,。九+2—2。幾+i+。九=5/則Gioo=（C）

A.又S0竺49B.2525C.S型0S1D.2526

22

［解析］選C.由已知（G九+2—冊(cè)+1）-（冊(cè)+1-冊(cè)）=|；所以數(shù)列｛@九+1-冊(cè)｝為等差數(shù)

列，

冊(cè)+1~an=（。2—。1）+萬（九-1）=,所以冊(cè)—。九-1=",■■■,。3一。2=萬，J2一

2

%=5，

所以

（tl-d-i）+???+（%—。2）+（。2-。1）=一（九+…+3+2）,CL=-----（TI22）,

nn2n4

ci-ioo—-故選C.

5.（多選）已知等差數(shù)列｛aj的公差為d,前般項(xiàng)和為S",且S9=S10<Su,則

（BCD）

A.d<0B.=0C.S18<0D.SQ>Sg

［解析］選BCD.由于S9=Si。=S9+a10,所以aio=0,B正確.由于S［。<Su-Si。+

ail,所以an>0,所以d>0,A錯(cuò)誤.

由于d>0,即0=0,所以當(dāng),ncN*時(shí)，冊(cè)<0，所以S&>S9=S8+

a9,D正確.

S18=也產(chǎn)x18=9（a9+a10）=9a9<0,C正確.故選BCD.

6.將數(shù)列｛2九-1｝與｛3n-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛冊(cè)｝,則｛冊(cè)｝的前n

項(xiàng)和為3"-2n.

［解析］因?yàn)閿?shù)列｛2n-1｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列｛3n-2｝是以1

為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛冊(cè)｝是以1

為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列，所以｛陶的前n項(xiàng)和為n-l+券-6=3n2-2n.

7.若一個(gè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：①每項(xiàng)均為正整數(shù)；②首項(xiàng)與公差的積大于該數(shù)列的第

二項(xiàng)且小于第三項(xiàng).寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式冊(cè)=2n十1(答案不唯一).

［解析］設(shè)｛◎九｝的公差為d,由題意得，做Vaid<的，

所以4+d<axd<的+2d,又內(nèi),d為正整數(shù)，所以可取的=3,d=2,故a幾=

3+2(n-1)=2n+1.

n

8.已知數(shù)列｛%J滿足的=2,a2=4,an+2-an=(-l)+3,則數(shù)列｛aj的前10

項(xiàng)和為90.

［解析］由題后、可導(dǎo)=2,%=4,附=6,5~8,的=1。，…，和。2=4,眼,=

8,a6=12,ag=16,Qi。=20,....

奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以

S1O=5X2+-X2+5X4+-X4=9O.

9.設(shè)數(shù)列｛演｝的前n項(xiàng)和為Sn,且又=2幾—1.數(shù)列｛0｝滿足比=2,bn+1-

2bn=8G九.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

［答案］解：當(dāng)n=1時(shí)，的=Si=一1=1;

n1

當(dāng)n22時(shí)，須=Sn-Sn_±=(2-1)-(2"--1)=2-1.

因?yàn)榉?1符合上式，所以斯=2-1.

(2)證明數(shù)列｛卷｝為等差數(shù)列,并求｛扇｝的通項(xiàng)公式.

［答案］因?yàn)樨?1-2bn=8an,

所以匕n+i-2"=2葭+2,即黑|一黑二2.

又3=1,

所以數(shù)列｛段｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

所以卷=1+2(n-1)=2n-1.

所以久=(2n-1)x2n.

[B級(jí)綜合運(yùn)用1

10.圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AAr,BB',CC,DD'是桁，相鄰桁的水平距

離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，勒

,CQ,BBi,A4i是舉,ODX,DCX,CBt,BAr是相等的步，相鄰桁的舉步之

比分別為點(diǎn)=。.5髭=七,翳=即，繪=上.已知七，的，的成公差為0.1的

等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則心=(D)

［解析］選D.如圖，連接。2,延長(zhǎng)44］與x軸交于點(diǎn)兒，則。4=4。小.因?yàn)?/p>

的，心，上3成公差為0.1的等差數(shù)列，所以心=口一02，左2=心一0.1,所以

CC1=DC^k3-0.2),BBi=CB^k3-0.1),AA1=k3BA1,即CCr=OD^-

1

0.2),BB1=。。式上3-0.1),AA1=k3OD1.又絲=0.5,所以DD1=0.5。%,

OZ)1

所以AA2=0.50D1+0%也3-0.2)+0%也3-0.1)+&0。1=。。式3&+0.2),所

以tanNZOa2=慧=吧嚷薩)=0.725，解得備=0.9,故選D.

11.（多選）已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為Sn,下列說法正確的是（CD）

A.若%—n2—lln+1,則冊(cè)—2n—12

B.若斯=-2n+ll,則數(shù)列｛|即|｝的前10項(xiàng)和為49

C.若斯=-2九+11，則%的最大值為25

D.右數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，且aioii<0，aion+aioi2〉0i則當(dāng)Sn<0時(shí)，n的

最大值為2021

[解析]選CD.對(duì)于A，當(dāng)ri=1時(shí)，%=Si="-11x1+1=-9，當(dāng)ri22時(shí),

CLn—Sn—Sn—1——1In+1)—[(九—1)2—11(71—1)+1]—2.TL—12,

當(dāng)n=1時(shí)，不符合上式,

所以斯=如9rB：’“，故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)閮?cè)=-2九+11,所以即|=F4<?，所以數(shù)列｛m｝的前10項(xiàng)

2n—11,n>6,

和為9+7+5+3+1+1+3+5+7+9=50,故B不正確

對(duì)于c,由斯=-2n+11可知數(shù)列｛七｝是等差數(shù)列，且=-2x1+11=9，所以

22

Sn=(9-2'D"=-n+10n=—(n—5)+25,

所以當(dāng)71=5時(shí)，S"取得最大值25,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閿?shù)列｛斯｝為等差數(shù)列,所以

S_(ai+a2021)x2021_2021。<QS—(ai+a2022)x2022_(aioii+aioi2)x2O22)0

所以當(dāng)%<0時(shí)，n的最大值為2021,故D正確.

綜上所述，選CD.

12.(多選)兩個(gè)等差數(shù)列｛怎｝和｛0｝,其公差分別為翁和四,其前幾項(xiàng)和分別為

Sn和〃，則下列說法正確的是(AB)

A.若｛圖為等差數(shù)列，則必=2al

B.若｛S“+TJ為等差數(shù)列，則刈+d2=0

C.若也也｝為等差數(shù)列，則石=d2=0

D.若“GN*,貝!］｛與“｝也為等差數(shù)列,且公差為四+d2

22

［解析］選AB.由題意得Sn=yn+(%-9)般,Tn=yn+.

若數(shù)列為等差數(shù)列，則其通項(xiàng)公式形如kn+b,所以若數(shù)列｛同j為等差數(shù)列，則有

-y=0,即詢=2%,所以A正確；

Sn+〃=空/+(%+瓦-今--)n,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，可得

電尹=0，即&+詼=0，所以B正確；

當(dāng)心=0或四=0時(shí)，數(shù)列｛a",J為等差數(shù)列,所以C錯(cuò)誤；

因?yàn)閮?cè)=ai+(n-l)di,bn=b1+(n-l)d2也GN*,所以a%=abl+(n-i)d2=

—

di+［b1+(n-1)d21］四=(cii+比④—%)+(n—l)d1d2,可知數(shù)列｛。勾｝是等

差數(shù)列，且公差為d/2，所以D錯(cuò)誤.故選AB.

13.韓信是我國漢代能征善戰(zhàn)、智勇雙全的一員大將.歷史上流傳著一個(gè)關(guān)于他點(diǎn)兵的

奇特方法.有一天，韓信問有多少士兵在操練，部將回答：三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之,

剩三；七七數(shù)之,剩四.韓信很快就知道了士兵的人數(shù).設(shè)有m個(gè)士兵，若mC

［2021,3021］，則符合條件的血共有過個(gè).

［解析］由“三三數(shù)之，剩二”知最小數(shù)是5,m是等差數(shù)列5,8,11,14，…

中的項(xiàng)，其中滿足“五五數(shù)之，剩三”的最小數(shù)是8,故m是等差數(shù)列8,23,

38,53,...中的項(xiàng)，其中滿足“七七數(shù)之，剩四”的最小數(shù)是53,故m是等差數(shù)

列53,158,263,368,...中的項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式冊(cè)=53+105(n-1),令

2021<53+105(n-1)<3021，解得20WnW29，且nGN*，故符合條件的

m共有10個(gè).

14.記Sn為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和.已知g+n-2an+1.

(1)證明：｛冊(cè)｝是等差數(shù)列；

2

［答案］解：證明：由卓+n=2an+1，得2Sn+n=2ann+n，①

所以2Sn+1+(n+1/=2an+1(n+1)+(n+1)，②

②一①，得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,

化簡(jiǎn)得飆+1-斯=1，

所以數(shù)列｛冊(cè)｝是公差為1的等差數(shù)列.

(2)若a’，成等比數(shù)列,求心的最小值.

［答案］由(1)知數(shù)列｛七｝的公差為1.

由a：=a4a9，得(即+6)2=(的+3)(%+8),

解得方=一12.

所以又=-12律+型衿=/

所以當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最小值，最小值為-78.

［C級(jí)素養(yǎng)提升］

15.(多選)在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢麗的奇葩.《張丘

建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元5世紀(jì).書

中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益

幾何？”其大意為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，

每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個(gè)月共織了九匹三丈，問從第二

天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個(gè)月有

30天，記該女子在這一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為斯，0=2即,對(duì)于數(shù)

列｛aj，｛0｝，下列選項(xiàng)中正確的為（BD）

A.b10=Sb5B.｛bn｝是等比數(shù)列

C.=105D(13+05+07209

。2+。4+。6193

［解析］選BD.由題意可知，數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的公差為d,由題意可

得的=5,30%+—=390，解得d=||，所以冊(cè)=5+(n—1)x||=竺野

因?yàn)?=2斯，所以手二2/+1__2azi+ia_2d（非零常數(shù)），則數(shù)列｛0｝是等比

D

n乙

數(shù)列，B正確；

因?yàn)?d=5x||=|^3，胃=（2。）5=25、2M

所以瓦0。8b5,A錯(cuò)誤；

21

a30=^+29d=5+16=21,所以由外。=5x2>105,C錯(cuò)誤；