《數(shù)字圖像處理》課件1第5章

第5章圖像復(fù)原與重建5.1退化模型

5.2代數(shù)恢復(fù)方法

5.3頻率域恢復(fù)方法

5.4幾何校正

5.5圖像重建

5.6上機(jī)實(shí)驗(yàn)習(xí)題圖像恢復(fù)是圖像處理中一個(gè)重要的課題。圖像復(fù)原的目的是從退化圖像中重建原始圖像，改善退化圖像的視覺質(zhì)量，在這一點(diǎn)上和圖像增強(qiáng)是類似的，所不同的是圖像復(fù)原過程需要根據(jù)圖像退化的過程或現(xiàn)象建立一定的圖像退化模型來完成。可能的退化現(xiàn)象有光學(xué)系統(tǒng)中的衍射、傳感器的非線性失真、光學(xué)系統(tǒng)的像差、圖像運(yùn)動造成的模糊以及鏡頭畸變等。根據(jù)這個(gè)退化模型來選取相應(yīng)的恢復(fù)算法對退化圖像進(jìn)行恢復(fù)，可以得到滿意的圖像。因此，圖像復(fù)原和圖像增強(qiáng)一樣，都是為了改善圖像視覺效果，以及便于后續(xù)處理。圖像增強(qiáng)不考慮圖像是如何退化的，只通過試探各種技術(shù)來增強(qiáng)圖像的視覺效果。因此，圖像增強(qiáng)可以不顧增強(qiáng)后的圖像是否失真，而圖像復(fù)原就完全不同，需知道圖像退化的機(jī)制和過程的先驗(yàn)知識，據(jù)此找出一種相應(yīng)的逆過程方法，從而得到復(fù)原的圖像。如果圖像已退化，應(yīng)先作復(fù)原處理，再作增強(qiáng)處理。

圖像復(fù)原主要取決于對圖像退化過程的先驗(yàn)知識所掌握的精確程度。對圖像復(fù)原結(jié)果的評價(jià)已確定了一些準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則包括最小均方準(zhǔn)則、加權(quán)均方準(zhǔn)則和最大熵準(zhǔn)則等，這些準(zhǔn)則是用來規(guī)定復(fù)原后的圖像與原圖像相比較的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。目前，圖像復(fù)原技術(shù)有多種類型。在給定模型條件下，圖像復(fù)原技術(shù)可分為無約束和有約束兩大類。按照處理的領(lǐng)域可分為頻域和空域兩大類許多圖像復(fù)原技術(shù)在頻域里進(jìn)行，但越來越多的空域處理得到了應(yīng)用。

本章著重介紹圖像復(fù)原的主要方法，包括代數(shù)方法復(fù)原、運(yùn)動模糊復(fù)原、逆濾波復(fù)原、維納(Wiener)濾波復(fù)原、幾何失真復(fù)原等。另外，在生物醫(yī)學(xué)成像、地質(zhì)探險(xiǎn)等領(lǐng)域可以發(fā)現(xiàn)許多層析成像重建的應(yīng)用，本章還將介紹計(jì)算機(jī)斷層掃描的一維重建和三維形狀復(fù)原的基本原理和方法。

5.1.1退化

景物成像過程中可能出現(xiàn)畸變、模糊、失真或混入噪聲，使得所成圖像降質(zhì)，稱之為圖像“退化”。造成圖像退化的原因很多，典型原因表現(xiàn)為：

(1)成像系統(tǒng)的像差、畸變、帶寬有限等造成圖像失真；

(2)由于成像器件拍攝姿態(tài)和掃描非線性引起的圖像幾何失真；

(3)運(yùn)動模糊：成像傳感器與被拍攝景物之間的相對運(yùn)動，引起所成圖像的運(yùn)動模糊；5.1退化模型

(4)灰度失真：光學(xué)系統(tǒng)或成像傳感器本身特性不均勻，造成同樣亮度的景物成像灰度不同；

(5)輻射失真：由于場景能量傳輸通道中的介質(zhì)特性如大氣湍流效應(yīng)、大氣成分變化引起的圖像失真；

(6)圖像在成像、數(shù)字化、采集和處理過程中引入的噪聲等。

圖5.1.1所示為受正弦噪聲干擾的圖像退化示意圖。

圖5.1.1圖像退化5.1.2退化的數(shù)學(xué)模型

圖像恢復(fù)處理的關(guān)鍵是建立圖像的退化模型，如圖5.1.2所示，不同的環(huán)境造成圖像退化的過程也不同。場景輻射能量在物平面上的分布用f(x，y)描述，通過成像系統(tǒng)H時(shí)，在像平面所得圖像為H［f(x，y)］，如果再有加性噪聲n(x，y)，則實(shí)際所得退化圖像g(x，y)模型的數(shù)學(xué)形式為

g(x，y)＝H［f(x，y)］＋n(x，y)(5.1.1)

圖5.1.2圖像退化模型圖像恢復(fù)可以看成是一個(gè)估計(jì)過程，因?yàn)榧有栽肼昻(x，y)是一種具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的信息，其中H［·］是綜合所有退化因素的函數(shù)。

如果估計(jì)出系統(tǒng)H，那么由給定的退化圖像g(x，y)可以近似地恢復(fù)f(x，y)?？梢姡瑘D像恢復(fù)的關(guān)鍵是確定系統(tǒng)H。一般而言，H是由某些元件或部件以一定方式構(gòu)造而成的整體，是輸入信號和輸出信號之間的聯(lián)系。

我們可以把物平面分布函數(shù)分解成d函數(shù)加權(quán)積分的形式，即

(5.1.2)

當(dāng)H［f(x，y)］是線性算子時(shí)，有

(5.1.3)

其中，

h(x，y；a，b)＝H［d(x－a，y－b)］

為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(PSF)，如果H［·］滿足

H［f(x－a，y－b)］＝g(x－a，y－b) (5.1.4)

即具備空間位移不變性，則

h(x，y；a，b)＝h(x－a，y－b) (5.1.5)

因此，對于空間位移不變系統(tǒng)，退化模型可描述為

(5.1.6)

圖像復(fù)原是在已知g(x，y)、h(x，y)和n(x，y)的一些先驗(yàn)知識的條件下，求得f(x，y)。

圖像復(fù)原根據(jù)退化原因，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從被污染或畸變的圖像信號中提取所需要的信息，沿著使圖像降質(zhì)的逆過程恢復(fù)圖像本來面貌。實(shí)際的復(fù)原過程是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，使其能從降質(zhì)圖像g(x，y)中計(jì)算得到真實(shí)圖像的估值

(x，y)，并根據(jù)預(yù)先規(guī)定的誤差準(zhǔn)則，最大程度地接近真實(shí)圖像f(x，y)。圖像的退化/復(fù)原過程模型如圖5.1.3所示。

廣義上講，圖像復(fù)原是一個(gè)求逆問題，逆問題經(jīng)常存在非唯一解，甚至無解。為了得到逆問題的有用解，需要有先驗(yàn)知識以及對解的附加約束條件。

圖5.1.3圖像的退化/復(fù)原過程模型

圖像復(fù)原的目的是在假設(shè)具備有關(guān)g、H和n的某些知識的情況下，尋求估計(jì)原圖像的方法。這種估計(jì)應(yīng)在某種預(yù)先選定的最佳準(zhǔn)則下，具有最優(yōu)的性質(zhì)。

本節(jié)集中討論在均方誤差最小意義下，原圖像的最佳估計(jì)，因?yàn)樗歉鞣N可能準(zhǔn)則中最簡單易行的。事實(shí)上，由它可以導(dǎo)出許多實(shí)用的恢復(fù)方法。5.2代數(shù)恢復(fù)方法5.2.1無約束復(fù)原

由式(5.1.1)可得退化模型中的噪聲項(xiàng)為

n＝g－Hf (5.2.1)

當(dāng)對n一無所知時(shí)，有意義的準(zhǔn)則函數(shù)是尋找一個(gè)

，使得

在最小二乘意義上近似于g，即要使噪聲項(xiàng)的范數(shù)盡可能小，也就是使

(5.2.2)

為最小，這一問題可有效地看成求標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)

(5.2.3)

關(guān)于

最小的問題。

令

(5.2.4)

可推出

(5.2.5)

令M＝N，則H為一方陣。設(shè)H－1存在，則式(5.2.5)化為

(5.2.6)

式(5.2.6)就是逆濾波恢復(fù)法的表達(dá)式。對于位移不變產(chǎn)生的模糊，可以通過在頻率域進(jìn)行去卷積加以說明，即

(5.2.7)

若H(u，v)有零值，則H為奇異的，無論H－1或(H'H)－1都不存在。這會導(dǎo)致恢復(fù)問題的病態(tài)性或奇異性。

5.2.2約束最小二乘復(fù)原

為了克服恢復(fù)問題的病態(tài)性質(zhì)，常需要在恢復(fù)過程中施加某種約束，即約束復(fù)原。令Q為f的線性算子，約束最小二乘法復(fù)原問題是使形式為

的函數(shù)在約束條件

時(shí)為最小。這可歸結(jié)為尋找一個(gè)

，使下面的準(zhǔn)則函數(shù)最小：

(5.2.8)其中，l為一個(gè)常數(shù)，稱為拉格朗日系數(shù)。一般要求極小值的解法，令

對

的導(dǎo)數(shù)為零，有

(5.2.9)

解得

(5.2.10)

其中，γ＝1/l。這是求約束最小二乘復(fù)原圖像的通用方程式。

通過指定不同的Q，可以得到不同的復(fù)原圖像。下面根據(jù)通用方程式給出幾種具體恢復(fù)方法。

1.能量約束恢復(fù)

若取線性運(yùn)算

Q＝I

(5.2.11)

則得

(5.2.12)

此解的物理意義是在約束條件為式(5.2.2)時(shí)，恢復(fù)圖像能量‖f‖2為最小。也可以說，當(dāng)用g表示復(fù)原f時(shí)，能量應(yīng)保持不變。事實(shí)上，上式完全可以在

的條件下使

最小推導(dǎo)出來。

2.平滑約束恢復(fù)

把

看成x，y的二維函數(shù)，平滑約束是指原圖像f(x，y)為最光滑的，那么它在各點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)都應(yīng)最小。顧及二階導(dǎo)數(shù)有正有負(fù)，約束條件是應(yīng)用各點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)的平方和最小。Laplacian算子為

(5.2.13)

則約束條件為

(5.2.14)

式(5.2.13)還可用卷積形式表示如下：

(5.2.15)

式中

(5.2.16)

于是，復(fù)原就是在約束條件式(5.2.2)下使

為最小。令Q＝C，最佳復(fù)原解為

(5.2.17)

3.均方誤差最小濾波(維納濾波)

將f和n視為隨機(jī)變量，并選擇

Q＝R－1/2fR1/2n(5.2.18)

使

最小，其中

Rf＝e{ff'}

Rn＝e{nn'}

分別為信號和噪聲的協(xié)方差矩陣?？赏茖?dǎo)出

(5.2.19)

一般把γ≠1時(shí)稱為含參維納濾波，γ＝1時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)維納濾波。在用統(tǒng)計(jì)線性運(yùn)算代替確定性線性運(yùn)算時(shí)，最小二乘濾波將轉(zhuǎn)化成均方誤差最小濾波。盡管兩者在表達(dá)式上有著類似的形式，但意義卻有著本質(zhì)的不同。在隨機(jī)性運(yùn)算情況下最小二乘濾波是對一族圖像在統(tǒng)計(jì)平均意義上給出最佳恢復(fù)的；而在確定性運(yùn)算的情況下，最佳恢復(fù)是針對一幅退化圖像給出的。5.2.3加權(quán)中值濾波

如果在中值濾波窗口內(nèi)適當(dāng)選擇各點(diǎn)的權(quán)重，加權(quán)中值濾波比簡單的中值濾波能更好地從受噪聲污染的圖像中恢復(fù)出階躍邊緣以及其他細(xì)節(jié)。

加權(quán)中值濾波的基本原理是改變窗口中變量的個(gè)數(shù)，可以使一個(gè)以上的變量等于同一點(diǎn)的值，然后對擴(kuò)張后的數(shù)字集中求值。如在窗口內(nèi)，中間點(diǎn)取奇數(shù)，兩邊點(diǎn)取對稱數(shù)，也就是位于窗口中間的像素重復(fù)兩次，位于窗口邊緣的兩個(gè)像素重復(fù)一次，形成新的序列，然后對新的序列再作常規(guī)中值濾波處理。其數(shù)學(xué)形式很簡單，也很容易實(shí)現(xiàn)，但濾波窗口和權(quán)重的選擇比較關(guān)鍵。

5.3.1逆濾波恢復(fù)法

逆濾波恢復(fù)法也稱反向?yàn)V波法，是一種無約束恢復(fù)的圖像恢復(fù)技術(shù)，也是頻域恢復(fù)處理中的一種。

對于線性位移不變系統(tǒng)，

(5.3.1)5.3頻率域恢復(fù)方法

上式兩邊進(jìn)行傅立葉變換，得

G(u，v)＝F(u，v)H(u，v)＋N(u，v) (5.3.2)

式中，G(u，v)，F(xiàn)(u，v)，H(u，v)和N(u，v)分別是g(x，y)，f(x，y)，h(x，y)和n(x，y)的二維傅立葉變換。H(u，v)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。從頻率域角度看，它使圖像退化，因而反映了成像系統(tǒng)的性能。

通常在無噪聲的理想情況下，上式可簡化成

G(u，v)＝F(u，v)H(u，v) (5.3.3)

則

(5.3.4)

1/H(u，v)稱為逆濾波器。對上式再進(jìn)行傅立葉反變換可得到f(x，y)。但實(shí)際上碰到的問題都是有噪聲的，因而只能求F(u，v)的估計(jì)值：

(5.3.5)

然后再作傅立葉逆變換，得

(5.3.6)

這就是逆濾波復(fù)原的基本原理。其復(fù)原過程可歸納如下：

(1)對退化圖像g(x，y)作二維離散傅立葉變換，得到G(u，v)。

(2)計(jì)算系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y)的二維傅立葉變換，得到H(u，v)。

這一步值得注意的是，通常h(x，y)的尺寸小于g(x，y)的尺寸。為了消除混疊效應(yīng)引起的誤差，需要把h(x，y)的尺寸延拓。

(3)計(jì)算

。

(4)計(jì)算

的逆傅立葉變換，求得復(fù)原圖像

。

若噪聲為零，則采用逆濾波恢復(fù)法能完全再現(xiàn)原圖像。若噪聲存在，而且H(u，v)很小或?yàn)榱銜r(shí)，則噪聲被放大。這意味著退化圖像中小噪聲的干擾在H(u，v)較小時(shí)，會對逆濾波恢復(fù)的圖像產(chǎn)生很大的影響，有可能使恢復(fù)的圖像和f(x，y)相差很大，甚至面目全非。

因此通常情況下的濾波器往往不是1/H(u，v)，而是關(guān)于u和v的某個(gè)非線性的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u，v)。經(jīng)過以上的分析，圖像的退化和恢復(fù)過程(模型)大致可用圖5.3.1來表示。

圖5.3.1實(shí)際的逆濾波處理在進(jìn)行恢復(fù)處理的過程中，u，v平面不可避免地會出現(xiàn)一些點(diǎn)或區(qū)域使得H(u，v)＝0，或者H(u，v)非常小，在這種情況下，即使沒有噪聲也不能準(zhǔn)確地恢復(fù)退化圖像。一般情況下，H(u，v)在u，v平面隨著離原點(diǎn)的距離的增加而迅速下降，而噪聲N(u，v)變換比較平緩。根據(jù)這些特點(diǎn)我們采取了一種簡便的方法，在選取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u，v)時(shí)，如果u2＋v2≤w2，則取值1/H(u，v)，否則為K(常數(shù))。

解決該病態(tài)問題的唯一方法就是避開H(u，v)的零點(diǎn)即小數(shù)值的H(u，v)。常采用兩種途徑解決：

一是在H(u，v)＝0及其附近，人為地仔細(xì)設(shè)置H－1(u，v)的值，使N(u，v)*H－1(u，v)不會產(chǎn)生太大影響。

二是使H(u，v)具有低通濾波性質(zhì)：

(5.3.7)

其中D0為逆濾波的截止頻率。

由于逆濾波恢復(fù)過程需要在頻域中進(jìn)行，因此要通過二維傅立葉變換將圖像由空域變換到頻域。一般采取連續(xù)兩次調(diào)用一維離散快速傅立葉變換(FFT)的方法來實(shí)現(xiàn)，即先沿f(x，y)的每一個(gè)x對y求變換再乘以N得到F(x，v)，完成第一步變換；然后再將得到的F(x，v)沿f(x，v)的每一個(gè)v對x求變換即可得到f(x，y)的最終變換F(u，v)。

實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)退化圖像的噪聲較小，即輕度降質(zhì)時(shí)，采用逆濾波復(fù)原的方法可以獲得較好的結(jié)果。通常，H(u，v)在離頻率平面原點(diǎn)較遠(yuǎn)的地方數(shù)值較小或?yàn)榱?，因此圖像復(fù)原在原點(diǎn)周圍的有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，即將退化圖像的傅立葉譜限制在H(u，v)沒出現(xiàn)零點(diǎn)而且數(shù)值又不是太小的有限范圍內(nèi)。5.3.2維納濾波復(fù)原法

逆濾波復(fù)原方法數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，物理意義明確，但存在上面講到的缺點(diǎn)，且難以克服。因此，在逆濾波理論基礎(chǔ)上，不少人從統(tǒng)計(jì)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)了一類濾波器用于圖像復(fù)原，以改善復(fù)原圖像的質(zhì)量。

維納(Wiener)濾波也叫最小二乘方濾波，是一種有約束的恢復(fù)處理方法，也是頻域恢復(fù)處理中的一種，它是使原始圖像與恢復(fù)圖像之間的均方差最小的恢復(fù)方法。Wiener濾波恢復(fù)的思想是在假設(shè)圖像信號可近似看做平穩(wěn)隨機(jī)過程的前提下，按照使恢復(fù)的圖像與原圖像f(x，y)的均方差最小的原則來恢復(fù)圖像。

圖像恢復(fù)準(zhǔn)則為f(x，y)和

之間的均方誤差e2達(dá)到最小，即

(5.3.8)

當(dāng)采用線性濾波來恢復(fù)圖像時(shí)，問題變?yōu)閷ふ尹c(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hw(x，y)，使

或

滿足式(5.3.8)的圖像恢復(fù)準(zhǔn)則。

由Andrews和Hunt推導(dǎo)的滿足這一要求的傳遞函數(shù)為

(5.3.9)

則有

(5.3.10)

這里，H*(u，v)是成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的復(fù)共軛，H(u，v)就是維納濾波器的傳遞函數(shù)，Pn(u，v)是噪聲功率譜，Pf(u，v)是輸入圖像的功率譜。

采用維納濾波器的復(fù)原過程步驟如下：

(1)計(jì)算圖像g(x，y)的二維離散傅立葉變換得到G(u，v)；

(2)計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hw(x，y)的二維離散傅立葉變換。同逆濾波一樣，為了避免混疊效應(yīng)引起的誤差，應(yīng)將尺寸延拓；

(3)估算圖像的功率譜密度Pf(u，v)和噪聲的譜密度Pn(u，v)；

(4)計(jì)算圖像的估計(jì)值

；

(5)計(jì)算

的逆傅立葉變換，得到恢復(fù)后的圖像

。

這一方法有如下特點(diǎn)：

(1)當(dāng)H(u，v)→0或幅值很小時(shí)，分母不為零，不會造成嚴(yán)重的運(yùn)算誤差；

(2)在信噪比高的頻域，即Pn(u，v)<<Pf(u，v)時(shí)，

(5.3.11)

(3)在信噪比很小的頻域，即|H(u，v)|<<Pn(u，v)/Pf(u，v)時(shí)，

(5.3.12)

對于噪聲功率譜Pn(u，v)，可在圖像上找一塊恒定灰度的區(qū)域，然后測定區(qū)域灰度圖像的功率譜作為Pn(u，v)。

圖5.3.2為維納濾波器應(yīng)用實(shí)例，圖(a)是航拍得到的受大氣湍流嚴(yán)重影響的城市圖像，圖(b)是用維納濾波器恢復(fù)出來的圖像，城市景物變得清晰可辨。前面兩種濾波方法是在頻域中進(jìn)行的，也是線性濾波方法，可以看到在去除噪聲的同時(shí)也使圖像的邊緣變得模糊了。中值濾波是一種去除噪聲的非線性處理方法，它是由圖基(Turky)在1971年提出的。在某些條件下可以做到既去除噪聲又保護(hù)圖像邊緣。中值濾波對圖像邊緣有較好的保護(hù)作用，但是它也有其固有的缺陷，如果使用不當(dāng)，會損失許多圖像細(xì)節(jié)。實(shí)驗(yàn)表明，中值濾波對椒鹽噪聲的濾除非常有效，但對點(diǎn)、線等細(xì)節(jié)較多的圖像卻不太實(shí)用。

圖5.3.2維納濾波器的應(yīng)用

圖5.3.3退化圖像

選用退化的標(biāo)準(zhǔn)檢測圖像Lina為處理對象，如圖5.3.3所示。分別用逆濾波、維納濾波和加權(quán)中值濾波對退化圖像進(jìn)行處理，圖5.3.4所示為恢復(fù)的圖像。其中加權(quán)中值濾波選用的濾波窗口為5×5，權(quán)重為7。

從圖5.3.4可以看到逆濾波、維納濾波恢復(fù)的效果基本上滿意，而中值濾波恢復(fù)的效果不太好。而且由于維納濾波在進(jìn)行恢復(fù)時(shí)對噪聲進(jìn)行了處理，因此其恢復(fù)效果要比逆濾波要好，尤其是退化圖像的噪聲干擾較強(qiáng)時(shí)效果更為明顯。同時(shí)可以看出中值濾波方法并不適合此種退化圖像。

圖5.3.4圖像復(fù)原

圖5.3.5中值濾波

選用含有椒鹽噪聲的退化圖像Lina，如圖5.3.5所示。用加權(quán)中值濾波進(jìn)行恢復(fù)，濾波窗口為3×3，權(quán)重為5。

從圖5.3.5可以看出來加權(quán)中值濾波對椒鹽噪聲非常有效。5.3.3去除由勻速運(yùn)動引起的模糊

當(dāng)成像傳感器與被攝景物之間存在足夠快的相對運(yùn)動時(shí)，所攝取的圖像就會出現(xiàn)“運(yùn)動模糊”，運(yùn)動模糊是場景能量在傳感器拍攝瞬間(T)內(nèi)在象平面上的非正常積累。假定f(x，y)表示無運(yùn)動模糊的清晰圖像，相對運(yùn)動用x0(t)和y0(t)表示，則運(yùn)動模糊圖像g(x，y)是曝光時(shí)間內(nèi)象平面上能量的積累：

(5.3.13)

對上式進(jìn)行傅立葉變換，得到

(5.3.14)

定義

(5.3.15)

則有

G(u，v)＝H(u，v)·F(u，v) (5.3.16)

可見H(u，v)為運(yùn)動模糊的傳遞函數(shù)。

如果考慮噪聲，則有

G(u，v)＝H(u，v)F(u，v)＋N(u，v) (5.3.17)

變化到空間域?yàn)?/p>

g(x，y)＝h(x，y)*f(x，y)＋n(x，y) (5.3.18)

其中，h(x，y)為運(yùn)動模糊的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)。在x0(t)、y0(t)已知時(shí)，便可求得H(u，v)和h(x，y)，因此，f(x，y)可以恢復(fù)出來。

(1)由水平方向均勻直線運(yùn)動造成的圖像模糊的模型及其恢復(fù)用以下兩式表示：

(5.3.19)

(5.3.20)

式中，a為總位移量，T為總運(yùn)動時(shí)間，m是x/a的整數(shù)部分，L＝Ka(K為整數(shù))是x的取值范圍，

(2)類似地，由垂直方向均勻直線運(yùn)動造成的圖像模糊的模型及其恢復(fù)用以下兩式表示：

(5.3.21)

(5.3.22)

圖5.3.6為沿水平方向勻速運(yùn)動造成的模糊圖像的恢復(fù)處理例子。

圖5.3.6去除由勻速運(yùn)動引起的模糊

圖像在生成過程中，由于系統(tǒng)本身具有非線性或拍攝角度不同，會使生成的圖像產(chǎn)生幾何失真。幾何失真一般分為系統(tǒng)失真和非系統(tǒng)失真。系統(tǒng)失真是有規(guī)律的、能預(yù)測的；非系統(tǒng)失真則是隨機(jī)的。5.4幾何校正

當(dāng)對圖像做定量分析時(shí)，就要對失真的圖像先進(jìn)行精確的幾何校正(即將存在幾何失真的圖像校正成無幾何失真的圖像)，以免影響分析精度。基本的方法是先建立幾何校正的數(shù)學(xué)模型；再利用已知條件確定模型參數(shù)；最后根據(jù)模型對圖像進(jìn)行幾何校正。通常分兩步：

(1)圖像空間坐標(biāo)的變換；

(2)確定校正空間各像素的灰度值(灰度內(nèi)插)。5.4.1空間坐標(biāo)變換

實(shí)際工作中常以一幅圖像為基準(zhǔn)(見圖5.4.1(a))，去校正幾何失真圖像。通?；鶞?zhǔn)圖像f(x，y)是利用無畸變或畸變較小的攝像系統(tǒng)獲得的，而把有較大的幾何畸變系統(tǒng)所攝入圖像用g(x'，y')表示。圖像畸變形式是多樣的，圖5.4.1(b)所示是一種畸變情形。根據(jù)兩幅圖像中的一些已知對應(yīng)點(diǎn)對(控制點(diǎn)對)建立函數(shù)關(guān)系，通過坐標(biāo)變換實(shí)現(xiàn)失真圖像的幾何校正。

圖5.4.1幾何畸變設(shè)兩幅圖像坐標(biāo)系統(tǒng)之間幾何畸變關(guān)系能用解析式來描述：

x'＝h1(x，y) (5.4.1)

y'＝h2(x，y) (5.4.2)

若函數(shù)h1(x，y)和h2(x，y)已知，則可以從一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)的像素坐標(biāo)算出在另一坐標(biāo)系統(tǒng)的對應(yīng)像素的坐標(biāo)。而在未知情況下，通常h1(x，y)和h2(x，y)可用多項(xiàng)式來近似

(5.4.3)

(5.4.4)

式中，N為多項(xiàng)式的次數(shù)，aij和bij為各項(xiàng)系數(shù)。

當(dāng)N＝1時(shí)，通常用線性變換表示：

x'＝a00＋a10x＋a01y

(5.4.5)

y'＝b00＋b10x＋b01y

(5.4.6)

更精確一些，可用二次多項(xiàng)式近似為

x'＝a00＋a10x＋a01y＋a11xy (5.4.7)

y'＝b00＋b10x＋b01y＋b11xy (5.4.8)

1．已知h1(x，y)和h2(x，y)條件下的幾何校正

若具備先驗(yàn)知識h1(x，y)、h2(x，y)，則希望將幾何畸變圖像g(x‘，y’)恢復(fù)為基準(zhǔn)幾何坐標(biāo)的圖像f(x，y)。幾何校正方法可分為直接法和間接法兩種。

1)直接法

先由

然后依次計(jì)算每個(gè)像素的校正坐標(biāo)值，保持各像素灰度值不變，這樣生成一幅校正圖像，但其像素分布是不規(guī)則的，會出現(xiàn)像素?cái)D壓、疏密不均等現(xiàn)象，不能滿足要求。因此最后還需對不規(guī)則圖像通過灰度內(nèi)插生成規(guī)則的柵格圖像。

2)間接法

設(shè)恢復(fù)的圖像像素在基準(zhǔn)坐標(biāo)系統(tǒng)為等距網(wǎng)格的交叉點(diǎn)，從網(wǎng)格交叉點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)出發(fā)算出在已知畸變圖像上的坐標(biāo)(x'，y')，即

(x'，y')＝［h1(x，y)，h2(x，y)］ (5.4.9)

雖然點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)為整數(shù)，但(x'，y')一般不為整數(shù)，不會位于畸變圖像的像素中心，因而不能直接確定該點(diǎn)的灰度值，而只能由其在畸變圖像的周圍像素灰度內(nèi)插求出，作為對應(yīng)像素(x，y)的灰度值，據(jù)此獲得校正圖像。由于間接法內(nèi)插灰度容易，所以一般采用間接法進(jìn)行幾何糾正。

2．h1(x，y)和h2(x，y)未知條件下的幾何校正

在這種情況下，通常用基準(zhǔn)圖像和幾何畸變圖像上多對同名像素的坐標(biāo)來確定h1(x，y)和h2(x，y)。

假定基準(zhǔn)圖像像素的空間坐標(biāo)(x，y)和被校正圖像對應(yīng)像素的空間坐標(biāo)(x'，y')之間的關(guān)系用二元多項(xiàng)式來表示為

(5.4.10)

(5.4.11)

式中，N為多項(xiàng)式的次數(shù)，aij和bij為各項(xiàng)待定系數(shù)。

1)線性畸變

可從基準(zhǔn)圖像上找出三個(gè)點(diǎn)(r1，s1)，(r2，s2)，(r3，s3)，它們在畸變圖像上對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)。把坐標(biāo)分別代入上式，并寫成矩陣形式，得

x1＝a00＋a10r1＋a01s1 (5.4.12)

x2＝a00＋a10r2＋a01s2 (5.4.13)

x3＝a00＋a10r3＋a01s3 (5.4.14)

(5.4.15)

y1＝b00＋b10r1＋b01r1

(5.4.16)

y2＝b00＋b10r2＋b01r2

(5.4.17)

y3＝b00＋b10r3＋b01r3

(5.4.18)

(5.4.19)

可解聯(lián)立方程或矩陣求逆，得到系數(shù)aij和bij，這樣h1(x，y)和h2(x，y)就確定了，則可用已知h1(x，y)和h2(x，y)的間接法校正幾何失真的圖像。

2)非線性畸變

常采用二次型函數(shù)近似的方法處理非線性畸變。此時(shí)，基準(zhǔn)圖像像素的空間坐標(biāo)(x，y)和被校正圖像對應(yīng)像素的空間坐標(biāo)(x'，y')之間的關(guān)系用二元多項(xiàng)式來表示為

x'＝a00＋a10x＋a01y＋a20x2＋a11xy＋a02y2(5.4.20)

y'＝b00＋b10x＋b01y＋b20x2＋b11xy＋b02y2(5.4.21)

由式(5.4.20)和(5.4.21)可知，式中包含12個(gè)未知數(shù)。在多于6對同名點(diǎn)坐標(biāo)已知時(shí)，根據(jù)最小二乘法求解aij和bij，這樣h1(x，y)和h2(x，y)就確定了，則可用已知h1(x，y)和h2(x，y)的間接法校正幾何失真的圖像。

5.4.2灰度校正

假設(shè)理想圖像為f(x，y)，由于灰度失真因子D(x，y)的影響，實(shí)際得到的圖像為g(x，y)，

g(x，y)＝D(x，y)f(x，y) (5.4.22)

灰度校正是要從畸變的圖像g(x，y)中復(fù)原原始圖像f(x，y)。一種最直接的方法是用光密度計(jì)測量出被拍攝景物中的某一部分區(qū)域S內(nèi)真實(shí)的灰(亮)度數(shù)值C，而對應(yīng)的圖像灰度為gC(x，y)，則

D(x，y)＝gC(x，y)C|(x，y)∈S

代入圖像復(fù)原方程，有

(5.4.23)

5.4.3像素灰度內(nèi)插方法

常用的像素灰度內(nèi)插法有最近鄰元法、雙線性內(nèi)插法和三次內(nèi)插法三種。

1.最近鄰元法

在待求像素的四鄰點(diǎn)中，將距離待求點(diǎn)最近的鄰點(diǎn)灰度賦給待求像素。該方法最簡單，但校正后的圖像有明顯鋸齒狀，即存在灰度不連續(xù)性。

2．雙線性內(nèi)插法

雙線性內(nèi)插法是利用待求像素四個(gè)鄰點(diǎn)的灰度在二方向上作線性內(nèi)插，計(jì)算比最近鄰元法復(fù)雜些，計(jì)算量大，但沒有灰度不連續(xù)性的缺點(diǎn)，結(jié)果令人滿意。

設(shè)在圖像獲取或顯示過程中可能產(chǎn)生圖像的幾何失真，如圖5.4.2所示。

從圖5.4.2可以看出，幾何畸變是將無失真坐標(biāo)系中的函數(shù)f(x，y)變換到另外一個(gè)坐標(biāo)上，例如，原先在(x，y)點(diǎn)上的像素(灰度)變化到(u，v)，在圖像上反映為有些位置被擠壓，而另一些位置被擴(kuò)張。我們希望找到這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系，即

圖5.4.2圖像的幾何失真

(x，y)＝T［u，v］

無失真圖像坐標(biāo)為(u，v)，它的灰度等于變換求得的(x，y)，但在(x，y)不是整數(shù)時(shí)，就要用周圍點(diǎn)內(nèi)插求出其值。雙線性內(nèi)插是在變換后的坐標(biāo)(x，y)不在網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)，可用與之相鄰的四個(gè)整數(shù)位置上的像素灰度進(jìn)行插值(或代替)，比如用最接近像素代替。

待求像素灰度計(jì)算如下：

f(x，y)＝(1－a)(1－b)f(［x］，［y］)

＋(1－a)bf(［x］，［y］＋1)

＋a(1－b)f(［x］＋1，［y］)

＋abf(［x］＋1，［y］＋1)

(5.4.24)

該方法具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受損，圖像輪廓有一定模糊。

3.三次內(nèi)插法

如果在變換后的坐標(biāo)附近能找到16個(gè)鄰點(diǎn)，則可采用此法。

設(shè)這16個(gè)鄰點(diǎn)排成矩陣為

B＝f(［x］－1，［y］－1)f(［x］－1，［y］)f(［x］－1，［y］＋1)f(［x］－1，［y］＋2)

f(［x］，［y］－1)f(［x］，［y］)f(［x］，［y］＋1)f(［x］，［y］＋2)

f(［x］＋1，［y］－1)f(［x］＋1，［y］)f(［x］＋1，［y］＋1)f(［x］＋1，［y］＋2)

f(［x］＋2，［y］－1)f(［x］＋2，［y］)f(［x］＋2，［y］＋1)f(［x］＋2，［y］＋2)

則坐標(biāo)點(diǎn)處灰度值近似為

f(x，y)＝ABC

A＝［S(1＋b)，S(b)，S(1－b)，S(2－b)］T

C＝［S(1＋a)，S(a)，S(1－a)，S(2－a)］

(5.4.25)

其中，

a＝x－［x］

b＝y(tǒng)－［y］

(5.4.26)

該算法計(jì)算量最大，但內(nèi)插效果最好，精度最高。5.4.4傳感器特性非均勻校正

由于傳感器敏感元件材料和生產(chǎn)工藝等原因，線列或面陣紅外成像器件各敏感單元響應(yīng)率曲線的斜率和截距互不相同，同樣場景(溫度)會得到不同的灰度數(shù)值，表現(xiàn)在圖像上有許多固定的噪聲圖案，影響圖像的視覺效果和系統(tǒng)對紅外目標(biāo)的檢測能力。

假定場景對傳感器第i個(gè)敏感單元的光照度為x，Si為該敏感單元的輸出強(qiáng)度信號。假設(shè)敏感單元的響應(yīng)是線性的，Ki為斜率，Qi為直線的截距，即

Si(x)＝Ki(x)＋Qi

由于傳感器特性非均勻，各敏感單元的參數(shù)Ki和Qi各不相同。校正的關(guān)鍵就是精確地測出每個(gè)敏感單元的Ki和Qi。一種直接的方法就是測量在x1和x2兩個(gè)不同輻照度下傳感器的每個(gè)敏感元的響應(yīng)數(shù)值Si(x1)和Si(x2)，其中i表示敏感元序號，則有

Si(x1)＝Ki(x1)＋Qi

(5.4.27)

Si(x2)＝Ki(x2)＋Qi

(5.4.28)

將上兩式聯(lián)立，得

再代入可求出Qi。

這種方法測量起來比較困難，穩(wěn)定、精確地測量輻照度要求有精密的輻射源和高精度的測量設(shè)備。

假定傳感器敏感元輸出信號強(qiáng)度與輻照度呈線性關(guān)系。選取兩個(gè)定標(biāo)點(diǎn)x1和x2，對所有敏感元輸出信號Si(xj)求平均值：

(5.4.29)

其中，j為定標(biāo)點(diǎn)序號1，2，…，N；N為敏感元個(gè)數(shù)。經(jīng)計(jì)算可得校正后輸出信號數(shù)值為

(5.4.30)

圖像重建一般指由一個(gè)物體的多個(gè)(軸向)投影圖重建目標(biāo)圖像的技術(shù)。由投影重建圖像是圖像復(fù)原中的一類特殊問題，它用若干個(gè)一維投影對二維(或更高維)物體進(jìn)行重建。把投影看成是一種劣化過程，而重建則是一種復(fù)原過程——通過投影重建可以直接看到原來被投影物體某種特性的空間分布，比直接觀察投影圖直觀，因此在許多科學(xué)領(lǐng)域都得到了應(yīng)用。例如醫(yī)療放射學(xué)、核醫(yī)學(xué)、電子顯微、無線電和雷達(dá)天文學(xué)、光顯微和全息成像學(xué)及理論視覺等。5.5圖像重建

每一投影都是通過投射平行的X射線束(或其他穿透性的放射線束)穿過目標(biāo)而獲得的(如圖5.5.1所示)。從許多不同的角度觀察物體就可以得到平面投影。重建算法推算出物體中一個(gè)軸向的薄切片的圖像，從而使人們可以得到以往只能經(jīng)過大范圍外科手術(shù)才能實(shí)現(xiàn)的對人體內(nèi)部的觀察。這些技術(shù)在醫(yī)學(xué)成像(CT掃描儀)、天文學(xué)、雷達(dá)成像、地質(zhì)探測及組裝部件的無損測試等方面十分重要。

圖5.5.1用X射線CT掃描儀進(jìn)行圖像重建圖像重建的三種模型主要為透射模型、發(fā)射模型和反射模型。透射模型建立于能量通過物體后有一部分能量會被吸收的基礎(chǔ)之上，透射模型經(jīng)常用于X射線、電子射線及光線和熱輻射的情況下，它們都遵從一定的吸收規(guī)則。發(fā)射模型用來確定物體的位置，并且這種方法已經(jīng)廣泛用于正電子檢測，它是通過在相反的方向分解散射的兩束伽馬射線來實(shí)現(xiàn)的。這兩束射線的渡越時(shí)間可用來確定物體的位置。反射模型可以用來測定物體的表面特征，例如光線、電子束、激光或趨聲波等都可以用來進(jìn)行這種測定。這三種模型是無損檢測常用的數(shù)據(jù)獲取方法。5.5.1計(jì)算機(jī)斷層掃描的一維重建

計(jì)算機(jī)斷層掃描的基本原理為從線性并排著的X線源發(fā)射一定強(qiáng)度的X線，把通過身體的X線用與X線源平行排列的X線檢測器接收。然后把X線源和檢測器組以體軸為中心一點(diǎn)一點(diǎn)地旋轉(zhuǎn)，反復(fù)進(jìn)行同樣的操作。

利用這樣求得的在各個(gè)角度上的投影數(shù)據(jù)，可以重建垂直于體軸的斷面圖像。從多個(gè)投影數(shù)據(jù)重建圖像有多種方法，這里介紹最基本的傅立葉變換法。

圖像f(x，y)的傅立葉變換為

(5.5.1)

其對x軸的投影可表示為

(5.5.2)

對其進(jìn)行傅立葉變換，得

(5.5.3)

可見f(x，y)向x軸投影的傅立葉變換是和f(x，y)的傅立葉變換沿v＝0的斷面一致的。因?yàn)楦盗⑷~變換是正交變換，所以這一點(diǎn)對任意的方向都是成立的。若對多個(gè)方向上的投影數(shù)據(jù)分別進(jìn)行傅立葉變換，就可求出沿著與這個(gè)方向相同的直線上的F(u，v)。如果把由它們計(jì)算出的F(u，v)進(jìn)行傅立葉逆變換，就得到重建的圖像f(x，y)。

因?yàn)橥队皵?shù)據(jù)的傅立葉變換得到的是極坐標(biāo)形式的F(u，v)，因此為了求得在直角坐標(biāo)系中的F(u，v)，就必須在(u，v)空間進(jìn)行內(nèi)插，或者按照極坐標(biāo)進(jìn)行傅立葉逆變換，在圖像空間進(jìn)行內(nèi)插，得到重建的圖像。5.5.2三維形狀的復(fù)原

圖像三維重建，是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和數(shù)字圖像處理技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)工程中的重要應(yīng)用。它涉及到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、數(shù)字圖像處理、生物醫(yī)學(xué)工程等多種技術(shù)，是一項(xiàng)多學(xué)科交叉的研究領(lǐng)域。三維圖像可視化技術(shù)是從二維斷層圖像(如CT、MRI等)組成的三維規(guī)則數(shù)據(jù)場中獲得三維結(jié)構(gòu)信息，并利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)方法進(jìn)行圖形繪制的技術(shù)。它為醫(yī)生提供了逼真的顯示手段和定量的分析工具，廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)輔助診斷、手術(shù)前計(jì)劃、術(shù)中引導(dǎo)等各方面。

圖像三維重建算法主要分為兩大類：一類是通過幾何單元拼接擬合物體表面來描述物體三維結(jié)構(gòu)，稱為基于表面的三維繪制方法(SurfaceFitting)，又稱為間接繪制方法；另一類是直接將體素投影到顯示平面的方法，稱為基于體數(shù)據(jù)的體繪制方法，又稱為直接體繪制方法(DirectVolumeRendering)。其中，表面繪制方法是基于二維圖像邊緣或輪廓線提取，并借助傳統(tǒng)圖形學(xué)技術(shù)及硬件來實(shí)現(xiàn)的；而體繪制方法則是直接應(yīng)用視覺原理，通過對體數(shù)據(jù)的重新采樣來合成三維圖像的。

典型的直接體繪制方法是光線投射方法。為了測出三維物體的形狀，可以一面將檢測器沿物體中心線一點(diǎn)點(diǎn)地栘動，一面求出多個(gè)垂直于通過物體中心線的斷面，然后把它們依次連接起來，如圖5.5.2所示，即根據(jù)一系列二維圖像的位置變化構(gòu)成三維圖像。

圖5.5.2光線投射方法示意圖一旦這樣的物體三維信息被恢復(fù)，就可求出關(guān)于具有任意傾斜度平面的斷面，或者可以由三維的任意方向來看物體，從而使對物體形狀的判讀變得非常容易。采用這種重建技術(shù)獲得人體器官的三維圖像，由各種各樣的視點(diǎn)來觀看人體器官的構(gòu)像，對疾病的診斷特別重要。

從多個(gè)斷面恢復(fù)三維形狀的方法有：

1．Voxel法(體