青島市七年級數(shù)學下冊相期末壓軸題易錯題試卷及答案

一、解答題

1.在平面直角坐標系中，已知點43,5),8(7,5),連接A8,將向下平移6個單位得

線段C￡),其中點A的對應點為點C.

(1)填空：點。的坐標為，線段平移到掃過的面積為.

(2)若點p是>軸上的動點，連接尸。.

①如圖，當點尸在y軸正半軸時，線段尸。與線段AC相交于點E,用等式表示三角形

PEC的面積與三角形ECD的面積之間的關系，并說明理由.

②當尸。將四邊形ACDB的面積分成1:3兩部分時，求點P的坐標.

解析：(1)(7,-1)；24；(2)①S,；見解析；②/或尸(0,20)

“PEC4ECD卜4)

【分析】

(1)由平移的性質得出點c坐標，AC=6,再求出AB,即可得出結論；

(2)①過p點作PF_L4c交于尸，分別用CE表示出兩個三角形的面積，即可得到答

案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況進行討論分析：⑴當尸。交線段AC于E,且尸。將

四邊形ACD3分成面積為1:3兩部分時；當PD交AB于點G,即將四邊形ACD8分成面

積為1:3兩部分時；分別求出點P的坐標即可.

【詳解】

解：(1)1?點A(3,5),將AB向下平移6個單位得線段CD,

.C(3,56),

即：C(3,1),

由平移得，AC=6,四邊形ABOC是矩形，

(3,5),B(7,5),

AB=73=4,

/.CD=4,

二點。的坐標為：(7,-1)；

-,-5.=9?4>4、6=24,

即：線段AB平移到CD掃過的面積為24:

故答案為：(7,-1)；24；

(2)①過尸點作PF,AC交AC于尸，則PF=3,如圖：

△PEC222

又S=-CExCD=-CEx4=2CE,

邸CD22

S=-S.

APEC4'CD

②(/)當尸。交線段AC于E,且尸。將四邊形ACDB分成面積為1:3兩部分時,

連接PC,延長DC交了軸于點尸，則/

3

又「S=-5

APEC4^ECD

△PEC42

921

S=S+S=—+6=——，

APCDAPECA￡CD22

121

BP-xCZ)xPF=—,

22

CD=4,

?“4

2117

PO=PF-OF=—\=—,

44

17

m—).

4

(//)當PD交AB于點G,PO將四邊形ACDB分成面積為1:3兩部分時,

過P點作2M_L交DB的延長線于點M,

則PM=HB,

■■S=xBDxPM=x6x7=21,

△PDB22

S=1x24=6,

AGBD4

^-xBDxBG=6,

2

BD=6,

BG=2,

又S=S-S=21-6=15,

^PGB"DBAGBD

IPIxBGxPH=15,

2

PH=15,

PO=PH+OH=15+5=20,

■■■F(0,20).

17

綜上所述，P(0,3)或尸(0,20).

4

【點睛】

此題是幾何變換綜合題，主要考查了平移的性質，矩形的判定，三角形的面積公式，用分

類討論的思想是解本題的關鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，點A(2,6),8(4,3),將線段AB進行平移，使點A剛好落

在x軸的負半軸上，點B剛好落在y軸的負半軸上，A,B的對應點分別為A,B',連接

A4'交V軸于點C,33'交x軸于點D.

(1)線段可以由線段AB經過怎樣的平移得到？并寫出A，，8'的坐標；

(2)求四邊形的面積；

(3)P為y軸上的一動點(不與點C重合)，請?zhí)骄縉PCV與的數(shù)量關系，給出結

論并說明理由.

yA

備用圖

解析：(1)向左平移4個單位，再向下平移6個單位，A(-2,0),9(0,-3)；(2)24；

(3)見解析

【分析】

(1)利用平移變換的性質解決問題即可.

(2)利用分割法確定四邊形的面積即可.

(3)分兩種情形：點p在點C的上方，點P在點C的下方，分別求解即可.

【詳解】

解：(1)?.?點42,6),5(4,3),

又???將線段42進行平移，使點A剛好落在x軸的負半軸上，點8剛好落在，軸的負半軸

上，

，線段A9是由線段向左平移4個單位，再向下平移6個單位得到，

,Aze2,0),.

(2)S=6x9-2x-x2x3-2x1x6x4=24.

四邊形ABB'A'22

(3)連接

「5(4,3),9(0,—3),

/.BBr的中點坐標為(2,0)在1軸上，

.?.0(2,0).

v42,6),

二.A￡)//y軸，

同法可證。。3),

:.OC=OBr,

'：A!OVCB',

A!C=ArB',

同法可證，B"=B，D,

..ZADB=NZM'8,ZACB'=NAFC,

當點尸在點。的下方時，

??,ZPCA'+NACB'=180。，AA'B'C+/DAB，=90°，

NPC4'+90。-N44'=180。，

:.ZPCA'-ZA'DB'=90°,

當點夕在點。的上方時，/PC4'+/4OV=90。.

本題考查坐標與圖形變化一平移，解題的關鍵是理解題意，學會有分割法求四邊形的面

積，學會用分類討論的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.問題情境：

在平面直角坐標系xOy中有不重合的兩點A(x]，/)和點B(x2，y2)，小明在學習中發(fā)

現(xiàn)，若Xi，則ABIIy軸，且線段AB的長度為|V]-4；若％=力，貝1MBIIx軸，且線

段AB的長度為|x「X2l；

(應用)：

(1)若點A(-1,1)、B(2,1),則ABIIx軸，AB的長度為.

(2)若點C(1,0),且CDIIy軸，且CD=2,則點。的坐標為.

(拓展)：

我們規(guī)定：平面直角坐標系中任意不重合的兩點M(X],%),N(x2,y2)之間的折線距

離為d(M,N)=|x1-x2|+|y1-y2|；例如：圖1中，點/M(-1,1)與點N(1,-2)

之間的折線距離為d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.

解決下列問題：

(1)如圖1,已知E(2,0),若F(-1,-2),則d(E,F)；

(2)如圖2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,則t=.

(3)如圖3,已知P(3,3),點Q在x軸上，且三角形。PQ的面積為3,則d(P,Q)

解析：【應用】：⑴3；(2)(1,2)或(1,-2)；【拓展】：(1)=5；(2)2

或-2；(3)4或8.

【分析】

(應用)(1)根據(jù)若、=丫2,則ABIIx軸，且線段AB的長度為區(qū)飛|,代入數(shù)據(jù)即可得

出結論；

(2)由CDIIy軸，可設點。的坐標為(1,m),根據(jù)CO=2,可得|0-m|=2,故可求

出m,即可求解；

(拓展)(1)根據(jù)兩點之間的折線距離公式，代入數(shù)據(jù)即可得出結論；

(2)根據(jù)兩點之間的折線距離公式結合d(E,H)=3,即可得出關于t的含絕對值符號

的一元一次方程，解之即可得出結論；

(3)由點Q在x軸上，可設點Q的坐標為(x,0),根據(jù)三角形的面積公式結合三角形

OPQ的面積為3即可求出x的值，再利用兩點之間的折線距離公式即可得出結論；

【詳解】

(應用)：

(1)AB的長度為|-1-2|=3.

故答案為：3.

(2)由811y軸，可設點。的坐標為(1,m),

???CD=2,

|0-m|=2,解得：m=±2,

二點。的坐標為(1,2)或(1,-2).

故答案為：(1,2)或(1,-2).

(拓展)：

(1)d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=5,

故答案為：=5.

(2)-：E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,

|2-l|+|0-t\=3,解得：t=±2.

故答案為：2或-2.

(3)由點Q在x軸上，可設點Q的坐標為(x,0),

三角形OPQ的面積為3,

1|x|x3=3,解得：x=+2.

2

當點Q的坐標為(2,0)時，d(P,Q)=|3-2|+|3-0|=4；

當點Q的坐標為(-2,0)時，d(P,Q)=|3-(-2)|+|3-0|=8.

故答案為：4或8.

【點睛】

本題是三角形綜合題目，考查了新定義、兩點間的距離公式、三角形面積等知識，讀懂題

意并熟練運用兩點間的距離及兩點之間的折線距離公式是解題的關鍵.

4.在平面直角坐標系中，已知線段A8,點A的坐標為(1，-2),點8的坐標為(3,0),如圖

1所示.

⑴平移線段A8到線段C。，使點A的對應點為，點3的對應點為C，若點C的坐標為

（-2,4）,求點。的坐標；

⑵平移線段A8到線段C。，使點C在y軸的正半軸上，點。在第二象限內（A與。對

應，8與c對應），連接如圖2所示.若S=7（S表示ABCD的面積），求

ABCDABCD

點C、。的坐標；

S2（

⑶在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點P,使不"二w（s”「八表示4PCD的面積）？若存

\BCD

在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：⑴。（-4,2）；（2）C（0,4）、D（-2,2）；⑶存在點尸，其坐標為'，-1］或（0,等

【分析】

（1）利用平移得性質確定出平移得單位和方向；

（2）根據(jù)平移得性質，設出平移單位，根據(jù)％BCD=7（S建立方程求解，即可）；

S2

（3）設出點P的坐標，表示出PC用丁=可，建立方程求解即可.

‘BCD

【詳解】

（I）,.'B（3,0）平移后的對應點。（一2,4）,

?,?設3+i=-2,0+Z?=4,

a=-5fb=4

即線段A5向左平移5個單位，再向上平移4個單位得到線段C。,

A點平移后的對應點。（-4,2）；

⑵1,點c在y軸上，點。在第二象限，

二線段AB向左平移3個單位，再向上平移y個單位，,C（0,y）,D（-2,-2+y）

連接

s=s+s—s=

‘BCD'BOCCODBOD

1<9Bx（?C+|oCx2-|oBx（-2+y）=7,y=4

C（0,4）、￡）（-2,2）；

⑶存在

設點P（0,m）,/.PC^\4-m\

9,PCD2

s3

△BCD

?'-—14-mIx2=—x7

23

14一加I」,

3

2T26

m=—或加=—

33

???存在點P，其坐標為或

【點睛】

本題考查了線段平移的性質，解題的關鍵在利用平移的性質，得到點坐標的關系、圖形面

積的關系，根據(jù)面積的關系，從而求出點的坐標.

5.如圖1,在平面直角坐標系中，點A為x軸負半軸上一點，點B為x軸正半軸上一點，

C（O,a）,D（b,a）,其中a、b滿足關系式：|。+4|+3-.一1）2=0.

（Da=，b=,ABCD的面積為；

（2）如圖2,石AC_L3C于點C,點P是線段。C上一點，連接BP,延長BP交AC于點Q.

當NCPQ=NCQP時，求證：BP平分ZA8C；（提示：三角形三個內角和等于180）

（3）如圖3,若ACL8C,點E是點A與點B之間上一點連接CE,且CB平分NEC。問

NBEC與NBCO有什么數(shù)量關系？請寫出它們之間的數(shù)量關系并請說明理由.

解析：（1）-4；-3；6；（2）證明見解析；（3）NBEC=2NBCO,理由見解析.

【詳解】

分析：（1）求出CD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；

（2）根據(jù)等角的余角相等解答即可；

（3）首先證明NACD=ZACE,推出NDCE=2ZACD,再證明NACD=ZBCO,

ZBEC=ZDCE=2ZACD即可解決問題；

--1|a+4|+(b-a-1)2=0,

a=-4,b=-3,

:點、C(0,-4),D(-3,-4),

CD=3,且CDIIx軸,

二△BCD的面積=LX4X3=6-

2

故答案為-4,-3,6.

(2)如圖2中，

/.ZCBQ+ZCQP=90°,

又:ZABQ+ZCPQ=90°,

/.ZABQ=ZCBQ,

BQ平分NCBA.

理由：-/AC±BC,

/.ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCF=90°,

/CB平分NECF,

/.ZECB=ZBCF,

/.ZACD+ZECB=90°,

,/ZACE+ZECB=90°,

ZACD=ZACE,

/.ZDCE=2ZACD,

,/ZACD+ZACO=90°,ZBCO+ZACO=90°,

/.ZACD=ZBCO,

C(0,-4),D(-3,-4),

/.CDIIAB,

ZBEC=ZDCE=2ZACD,

ZBEC=2ZBCO,

點睛：本題考查了坐標與圖形性質，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內角和

定理，三角形的外角性質等知識，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵.

6.如圖，在平面直角坐標系中，點A、3的坐標分別為(1,0)、卜2,0),現(xiàn)同時將點43分

別向上平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A、5的對應點C、D,連接AC、

BD、CD.

(1)若在了軸上存在點連接M4、MB,使，演了$必犯，求出點M的坐標；

(2)若點p在線段8。上運動，連接尸C、PO,求S=SAPCD+SAP。B的取值范圍；

(3)若p在直線8。上運動，請直接寫出/CPO、NDCP、NBOP的數(shù)量關系.

-2O\Ix

解析：(1)(0,4)或(0,-4)；(2)2<S<3；(3)答案見解析

【解析】

(1)先根據(jù)，刖“=5口配℃，得出AAB/W的高為4,再根據(jù)三角形面積公式得到M點的坐

(2)先計算出S梯形OBDC=5,再討論：當點P運動到點B時，SAP℃的最小值=2,當點P

運動到點D時，SAP℃的最大值=3，即可判斷$=$?陽5+$"。8的取值范圍的取值范圍；

(3)分類討論：當點P在BD上，如圖1,作PEIICD,根據(jù)平行線的性質得

CDIIPEIIAB,則NDCP=ZEPC,ZBOP=ZEPO,易得NDCP+ZBOP=ZEPC+ZEPO=ZCPO：

當點P在線段BD的延長線上時，如圖2,同樣有NDCP=ZEPC,ZBOP=ZEPO,由于

ZEPO-ZEPC=ZBOP-ZDCP,于是NBOP-ZDCP=ZCPO；同理可得當點P在線段DB的延長

線上時，ZDCP-ZBOP=ZCPO.

解：(1)由題意，得c(0,2)

DABDC的高為2

若S△颯二S必皿，則△ABM的高為4

又二點M是y軸上一點

???點M的坐標為(0,4)或(0,-4)

(2),/B(-2,0),0(0,0)

08=2

由題意，得c(0,2),D(-3,2)

0C=2,CD=3

OB+CD

xOC=——x2=5

梯形OBDC2

點p在線段BD上運動,

當點尸運動到端點B時，"CO的面積最小，為葭BOxCO：2x2=2

22

當點尸運動到端點。時，△PC。的面積最大，為:xCDxCO=：x3x2=3

22

S=S"%D+SAPOB=$梯杉0SDC-SAPC0=5-SAPCO

-S的最大值為5—2=3,最小值為5—3=2

故S的取值范圍是：2<S<3

（3）如圖：

當點尸在射線8。上運動時，NCPO=NBOP-NDCP

當點尸在射線上運動時，

NCPO=NDCP-NBOP

點睛：本題主要考查坐標與圖形的性質及三角形的面積.利用分類討論思想，并構造輔助線

利用平行線的性質推理是解題的關鍵.

7.如圖，在長方形中，。為平面直角坐標系的原點，點A的坐標為Q,。），點C的

坐標為（0,6）且。、6滿足4n+0-12|=0,點B在第一象限內，點P從原點出發(fā)，以每

秒2個單位長度的速度沿著O-C-8-4-。的線路移動.

備用圖

（1）點B的坐標為;當點P移動5秒時，點p的坐標為

(2)在移動過程中，當點尸到了軸的距離為4個單位長度時，求點尸移動的時間；

(3)在。-C-B的線路移動過程中，是否存在點p使AOBP的面積是20,若存在直接寫

出點尸移動的時間；若不存在，請說明理由.

25

解析：(1)(8,12),(0,10)；(2)2秒或14秒；(3)存在，t=2.5s或

【分析】

(1)由非負數(shù)的性質可得。、b的值，據(jù)此可得點B的坐標；由點P運動速度和時間可得

其運動5秒的路程，得到。P=10,從而得出其坐標；

(2)先根據(jù)點P運動"秒判斷出點P的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解可得；

(3)分為點P在。C、BC上分類計算即可.

【詳解】

解：(1)a,b滿足Ja-8+-12]=0,

0=8,b=12,

二點B(8,12)；

當點P移動5秒時，其運動路程為5x2=10,

OP=10,

則點P坐標為(0,10),

故答案為：(8,12)、(0,10)；

(2)由題意可得，第一種情況，當點P在。C上時，

點P移動的時間是：4+2=2秒，

第二種情況，當點P在弘上時.

點P移動的時間是：(12+8+8)+2=14秒，

所以在移動過程中，當點P到x軸的距離為4個單位長度時，點P移動的時間是2秒或14

秒.

(3)如圖1所示：

LOP?BC=20,即LX8XOP=20.

22

解得：OP=5.

此時t=2.5s

如圖2所示；

J-PB?OC=20,gpJ-xl2xPB=20.

22

解得：BP=y.

CP=-

3,

J.此時t=Ws,

3

綜上所述，滿足條件的時間t=2.5s或告25s

【點睛】

本題考查矩形的性質，三角形的面積，坐標與圖形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題.

8.如圖，直線ABII直線8,線段EFIICD,連接BF、CF.

（1）求證：ZABF+NDCF=ZBFC；

（2）連接BE、CE、BC,若BE平分NABC,BE1CE,求證：CE平分NBC。；

（3）在（2）的條件下，G為EF上一點，連接BG,若4BFC=NBCF,ZFBG=2ZECF,

ZCBG=70°,求NFBE的度數(shù).

圖1圖2圖3

解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,進而解答即可;

（2）由（1）的結論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結論和三角形的角的關系解答即可.

【詳解】

證明：（1）ABWCD,EFIICD,

：.ABWEF,

ZABF=NBFE,

,/EFWCD,

/.ZOCF=NEFC,

/.ZBFC=NBFE+NEFC=Z.ABF+NDCF；

(2)8EJ_EC,

/.ZBEC=90°,

/.ZEBC+NBCE=90°,

由(1)可得：NBFC=NABE+NECD=90°,

/.ZABE+NECD=NEBC+NBCE,

,/BE平分NABC,

NABE=NEBC,

/.ZECD=NBCE,

/.CE平分NBCD；

(3)設NBCE=B，ZECF=R,

,/CE平分NBCD,

/.ZDCE=NBCE=B，

/.NDCF=NDCE-ZECF=B-y,

/.ZEFC=B-v，

,/ZBFC=NBCF,

/.ZBFC=NBCE+NECF=y+B，

/.ZABF=NBFE=2\,

,/ZFBG=2NECF,

ZFBG=2y,

/.NABE+NDCE=N8EC=90°,

/.ZABE=90°-P，

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=900-p-2y-2y,

BE平分NABC,

ZCBE=NABE=90°-P，

ZCBG=NCBE+NGBE,

70°=90°-p+90°-P-2y-2v，

整理得:2Y+P=55",

ZFBE=NFBG+NGBE=2v+900-P-2y-2y=90°-(2v+P)=35°.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質，解決本題的關鍵是根據(jù)平行線的性質解答.

9.如圖，直線PQ//MN,點C是P。、腦V之間(不在直線PQ,MN上)的一個動點.

（1）如圖1,若4與N2都是銳角，請寫出NC與/I,N2之間的數(shù)量關系并說明理由；

（2）把直角三角形A8C如圖2擺放，直角頂點C在兩條平行線之間，CB與PQ交于點

D,C4與交于點E,胡與交于點尸，點G在線段CE上，連接。G,有

/AFN

ZBDF=ZGDF,求------的值；

/CDG

（3）如圖3,若點D是MN下方一點,BC平分2PBD,40平分NG4D,已知

NPBC=25°,求+的度數(shù).

解析：（1）見解析；（2）,；（3）75°

2

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質、余角和補角的性質即可求解.

（2）根據(jù)平行線的性質、對頂角的性質和平角的定義解答即可.

（3）根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義以及三角形內角和解答即可.

【詳解】

解：（1）NC=N1+N2,

證明：過C作川MN,如下圖所示，

/IIMN,

Z4=Z2（兩直線平行，內錯角相等），

/IIMN,PQIIMN,

?/IIPQ,

Z3=Z1（兩直線平行，內錯角相等），

Z3+Z4=N1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）ZBDF=NGDF,

'：ZBDF=NPDC,

ZGDF=NPDC,

■：ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2NPDC=180°,

ZPDC=9O°-1ZCDG,

2

由(1)可得，NPDC+NCEM=ZC=90°,

ZAEN=NCEM,

?，?ZAENZCEM_90°-/PDC_90°-(90°-5/CZ?G),

NCDG一4CDG~ZCDGNCDG2

(3)設BD交MN于J.

:BC平分NPBD,AM平分NOW,ZPBC=25°,

:.NPBD=2NPBC=50°,ZCAM=ZMAD,

■：PQIIMN,

：.ZBJA=NPBD=50°,

：.ZADB=NAJB-N」AD=50°-NJ/1D=50°-ZCAM,

由（1）可得，NACB=NPBC+NCAM,

：.ZACB+ZADB=NPBC+NC4/W+50°-ZCAM=25°+50°=75°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質、余角和補角的性質，解題的關鍵是根據(jù)平行找出角度之間的關

系.

10.已知：如圖，直線AB〃CD,直線EF交AB,8于P,Q兩點，點M,點N分別是直線

（1）點、M,N分別在射線QC,QF上（不與點Q重合），當NAP/M+NQMN=90。時，

①試判斷PM與M/V的位置關系，并說明理由；

②若力平分NEPM,ZMA/Q=20°,求NEPB的度數(shù).（提示：過N點作AB的平行線）

（2）點M,N分別在直線CD,EF上時，請你在備用圖中畫出滿足PM_LMN條件的圖形,

并直接寫出此時NAPM與NQMN的關系.（注：此題說理時不能使用沒有學過的定理）

解析：（1）①PM_LMM理由見解析；②NEPB的度數(shù)為125。；（2）NAPM

+ZQ/W/V=90°或NAPMWQ/W/V=90°.

【分析】

（1）①利用平行線的性質得到NAPM=NPMQ,再根據(jù)已知條件可得到PMLMN；

②過點N作NHIICD,利用角平分線的定義以及平行線的性質求得NMNH=35。，即可求

解；

（2）分三種情況討論，利用平行線的性質即可解決.

【詳解】

解：（1）①PMLMN,理由見解析：

AB//CD,

：.ZAPM=NPMQ,

■：ZAPM+AQMN=90°,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PMLMN；

②過點N作NHUCD,

■：AB//CD,

：.AB//NHWCD,

ZQMN=NMNH,ZEPA=NENH,

■：PA平分NEPM,

ZEPA=Z.MPA,

,/ZAPM+NQM/V=90°,

/.ZEPA+ZMA/H=90°,即NENH+NMNH=90°,

/.ZMNQ+ZMNH+ZMNH=90°,

,/ZMA/Q=20°,

/.ZMNH=35°,

/.ZEPA=NENH=NMNQ+ZMNH=55°,

/.ZEPB=180o-55°=125°,

.zEPB的度數(shù)為125°；

（2）當點M,N分別在射線QC,QF上時，如圖:

E

1----------X--------------B

PMLMN,AB//CD,

/.ZPMQ+NQM/V=90°,ZAPM=4PMQ,

/.ZAPM+ZQMA/=90°；

當點M,/V分別在射線QC,線段PQ上時，如圖:

PMLMN,AB//CD,

/.ZPM/V=90°,ZAPM=NPMQ,

/.ZPMQ-ZQM/V=90°,

/.ZAPM-ZQM/V=90°；

當點M,/V分別在射線QD,QF上時，如圖:

PMLMN,AB//CD,

/.NPMQ+NQM/V=90°,ZAPM+APMQ=180°,

/.Z4PM+90°-NQM/V=180°,

/.ZAPM-ZQM/V=90°；

綜上，ZAPM+ZQ/WN=90°或NAPM-ZQMN=90°.

【點睛】

本題主要考查了平行線的判定與性質，熟練掌握兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，

同旁內角互補；兩直線平行，同位角相等等知識是解題的關鍵.

11.綜合與實踐

背景閱讀：在同一平面內，兩條不重合的直線的位置關系有相交、平行，若兩條不重合的

直線只有一個公共點，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直

線互相平行兩條直線的位置關系的性質和判定是幾何的重要知識，是初中階段幾何合情推

理的基礎.

已知：AMWCN,點B為平面內一點，于B.

問題解決：（1）如圖1,直接寫出NA和NC之間的數(shù)量關系；

（2）如圖2,過點B作于點。，求證：NABD=NC；

（3）如圖3,在（2）間的條件下，點E、F在。M上，連接BE、BF、CF,BF平分NDBC,

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）見解析；（3）105°

【分析】

（1）通過平行線性質和直角三角形內角關系即可求解.

（2）過點B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.

（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質即可求解.

【詳解】

解：（1）如圖1,設A/W與BC交于點?！?WIIC7V,

.t.NC=NAOB9

AB±BC,

/.ZABC=90°f

/.ZA+ZAOB=90°,

NZ+NC=90°,

故答案為：NA+NC=90。；

圖2

,/BDJ.AM,

DB_LBG,

Z086=90°,

/.N4BD+NZBG=90°,

,/AB±BC,

/.ZCBG+N48G=90°,

ZABD=NCBG,

,/AMWC/V,

ZC=NCBG,

：.NABD=NC；

(3)如圖3,過點B作BGIIDM,

圖3

■rBF平分NOBC,BE平分NAB。，

ZDBF=ZCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NABD=NCBG,

ZABF=NGBF,

設NDBE=a,NABF=6,

則N48E=a,NABD=2a=NCBG,

ZGBF=NAFB=6,

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6J

,/ZAFC+ANCF=180°fNFCB+N/VCF=180°,

ZFCB=NAFC=3a+6,

△BCF中，由NCBF+ABFC+NBCF=180°得：2a+6+3a+3a+6=180°,

,/AB±BCf

6+6+2a=90°,

/.a=15°,

ZABE=15°,

ZEBC=NABE+AABC=150+90°=105°.

故答案為：105。.

【點睛】

本題考查平行線性質，畫輔助線，找到角的和差倍分關系是求解本題的關鍵.

12.已知，如圖：射線PE分別與直線AB、CD相交于E、/兩點，ZPED的角平分線與

直線A8相交于點M,射線交CD于點N,設/PE0=a°,=且

(a-35)2+|P-a|=0.

（1）a=,p=；直線AB與CD的位置關系是；

（2）如圖，若點G是射線上任意一點，旦NMGH=NPNF,試找出/fW與NG5

之間存在一個什么確定的數(shù)量關系？并證明你的結論.

（3）若將圖中的射線加繞著端點P逆時針方向旋轉（如圖）分別與AB、CO相交于點

M和點N時，作/?B的角平分線MQ與射線而相交于點Q,問在旋轉的過程中

1111

解析：（1）35,35,平行；（2）ZFMN+Z.GHF=180°,證明見解析；（3）不變，2

【分析】

（1）根據(jù)（a-35）2+\6-a\=0,即可計算a和6的值，再根據(jù)內錯角相等可證ABUCD；

（2）先根據(jù)內錯角相等證GHIIPN,再根據(jù)同旁內角互補和等量代換得出

ZFMN+NGHF=180°；

（3）作NPE/W］的平分線交MQ的延長線于R,先根據(jù)同位角相等證ERIIFQ,得

NFQM『NR,設立PER=NREB=X,ZPM1R=ZRM1B=y,得出NEPM『2NR,即可得

【詳解】

解：(1)???(a-35)2+|&a|=0,

a=6=35,

ZPFM=NMF/V=35°,ZEMF=35°,

/.ZEMF:NMFN,

.'.ABWCD；

(2)ZFMN+NGHF=180°；

理由：由(1)得八BIICD,

/.ZMNF=NPME,

,/ZMGH=NMNF,

/.ZPME=NMGH,

/.GHWPN,

/.ZGHM=NFMN,

/ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+NGHF=180°；

ZFPN、r

(3)乙魚?的值不變,為2,

理由：如圖3中，作NPEMi的平分線交的延長線于R,

,/4BIICD,

NPEMyPFN,

,/ZPER=LZPEM,/PFQ=LNPFN,

212

/.ZPER=NPFQ,

/.ERWFQ,

圖3

ZFQM『NR,

設NPER=4REB=x,ZPM/二NRM^y,

Ei-\y=x+AR

人」有：[2y=2x+ZEPM'

I1

可得NEPM『2NR,

zEPM『2NFQM],

.ZEPMZFPN

..----------i------------i-.7

NFQMJZQ

【點睛】

本題主要考查平行線的判定與性質，熟練掌握內錯角相等證平行，平行線同旁內角互補等

知識是解題的關鍵.

13.已知，ABWCD,點E在CD上，點G,F在AB上，點”在AB,CD之間，連接FE,

EH,HG,ZAGH=Z.FED,FE1HE,垂足為E.

(1)如圖1,求證：HGLHE；

(2)如圖2,GM平分NHGB,EM平分ZHED,GM,EM交于點M,求證：ZGHE=

2ZGME；

圖3

(3)如圖3,在(2)的條件下，F(xiàn)K平分NAFE交CD于點、K,若NKFE：ZMGH=13：5,

解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）40°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質和判定解答即可；

（2）過點H作HPIIZB,根據(jù)平行線的性質解答即可;

（3）過點H作HPIIZB,根據(jù)平行線的性質解答即可.

【詳解】

證明：（1）C。，

/.ZAFE=NFED,

,/ZAGH=iFED,

/.NAFE=NAGH,

/.EFWGH,

/.ZFEH+NH=180°,

,/FELHE,

/.ZFEH=90°,

ZH=180°-ZFEH=90°,

HG±HE；

（2）過點M作MQIIAB,

'：ABWCD,

「?MQIICD,

過點H作HPIMB,

,/ABWCD,

/.HPWCD,

'：GM平分NHGB,

/.ZBGM=4HGM=1ZBGH,

2

,/EM平分NHED,

/.ZHEM=NDEM=LNHED,

2

,/MQIIAB,

/.NBGM=NGMQ,

,/MQIICD,

/.ZQME=NMED,

/.ZGME=4GMQ+NQME=NBGM+NMED,

,/HPWAB,

/.ZBGH=NGHP=2/BGM,

,/HPWCD,

/.ZPHE=AHED=2NMED,

/.ZGHE=NGHP+NPHE=2NBGM+2NMED=2(ZBGM+NMED),

/.ZGHE=N2GME；

(3)過點M作MQIIZB,過點H作HPII4B,

￡3

由NKFE：ZMGH=13：5,設NKFE=13x,NMGH=5x,

由(2)可知：NBGH=2NMGH=10x,

ZAFE+NBFE=180°,

/.NAFE=180°-lOx,

FK平分NAFE,

ZAFK=NKFE=LzAFE,

2

即g(18O。-10x)=13x,

解得：x=5°,

/.ZBGH=lOx=5O°,

HPIIAB,HPIICD,

ZBGH=ZGHP=5O°,ZPHE=ZHED,

■：ZGHE=90",

：.ZPH￡=ZGHE-ZGHP=90°-50°=40°,

ZHED=40°.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質定理以及靈活構造平行線

是解題的關鍵.

14.綜合與實踐課上，同學們以“一個直角三角形和兩條平行線”為背景開展數(shù)學活動，如

圖，已知兩直線。力，且。bqABC是直角三角形，ZBCA=90°,操作發(fā)現(xiàn)：

B

圖1圖2圖3

（1）如圖L若/1=48。，求N2的度數(shù)；

（2）如圖2,若ZA=30。,/1的度數(shù)不確定，同學們把直線“向上平移，并把N2的位置改

變，發(fā)現(xiàn)N2-Nl=120。，請說明理由.

（3）如圖3,若NA=30。，AC平分此時發(fā)現(xiàn)/I與N2又存在新的數(shù)量關系，請

寫出/I與N2的數(shù)量關系并說明理由.