2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型突破訓(xùn)練：等比數(shù)列（解析版）

第02講等比數(shù)列

目錄

題型一：等比數(shù)列的定義..............................................1

題型二：等比中項(xiàng)....................................................3

題型三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式..........................................5

題型四：等比數(shù)列的性質(zhì)..............................................7

題型五：等比數(shù)列的函數(shù)特征.........................................10

角度1：等比數(shù)列的單調(diào)性........................................10

角度2：求等比數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)..............................12

題型六：等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì).....................................15

角度1：等比數(shù)列片段和性質(zhì)......................................15

角度2：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和........................................17

題型一：等比數(shù)列的定義

典型例題

例題1.（2023江西贛州統(tǒng)考二模）已知數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為，滿足q=《，。用=5，則%=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【詳解】因?yàn)?。?'，則整理得Sz=2S",

且所以數(shù)列電｝是以首項(xiàng)岳=《，公比q=2的等比數(shù)列，

則S,=g<2"-=2"-6,

所以旬=$8=22=4.

故選：C.

例題2.（2023唆國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛叫的前,項(xiàng)和為S"，若S,,=5x3力+g則/=（）

A.—5B.5C.—D."

33

【答案】C

【詳解】由題意得：S]=%=5+/,S?=4+4=15+，，S3=4+/+%=45+1,

艮。％=5+，，a2=10,。3=30,

因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列，所以皆吟，

1030.5

即Rn7—=77，斛nZ得B：％=一；，

5+￡103

故選：C.

例題3.（2023春?河北石家莊?高二校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列（??｝的前〃項(xiàng)和為，，4=1,a,i+l=Sn+c,

貝!Jc=.

【答案】1

【詳解】因?yàn)椋?S/+c,%=S"_i+c,

a

故n+i~a“=an,

所以見也=2%（〃之2）,

故公比q=2,42=2%=%+C,

則。=%=1.

故答案為：1

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?新疆喀什?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和為，，且S,=2-3"-l,則。5=（）

A.54B.93C.153D.162

【答案】D

【詳解】當(dāng)〃=1時，貝!JE=%=32-1.

1

當(dāng)"22時，an=S?-%=2（3"-3"-）=22-3"-.

又因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以。|=2"

所以%=24=34—1,解得：2=1,

所以%=231,所以%=162.

故選：D.

2.（2023秋?吉林長春?高三校考階段練習(xí)）若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S“=2"+。，〃為正整數(shù),

則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】-1

【詳解】數(shù)列｛%｝的前附項(xiàng)和S“=2"+a,則當(dāng)〃22時，a“=S“-S“T=2"+a-(2"T+a)=2"T,

顯然當(dāng)〃22時，數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，而q=E=2+a,

因?yàn)椤檎麛?shù)，數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，貝U%=2+a必滿足。"=2"一，即4=1,因此2+4=1,解得。=-1,

所以實(shí)數(shù)a的值為-1.

故答案為：-1

3.(2023春?安徽馬鞍山?高二馬鞍山二中?？计谥?已知等比數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)積為(，若=32,

則5'.

【答案】8

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比為g,?.Z=4=32,.?.全=%。洶=。；=1,可得%=1,即％/=1

A

11(1)〃T

又4==。"=32,.,.1§=正，解得夕=5,4=8,故(n=1,2,3---),

211

/.a6=a4q=—,T6=T5a6=32x—=8.

故答案為：8.

題型二：等比中項(xiàng)

典型例題

例題1.(2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在正項(xiàng)等比數(shù)列｛。“｝中，%%=%+&=25,則公比4=()

A.2B.V2C.4D.272

【答案】B

【詳解】｛%｝為等比數(shù)列，則有％%=蠟=25,且%>0,所以%=5.

因?yàn)槌?。6=25,所以0=20,所以八詈=4,故g=0.

故選：B

例題2.(2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知。>0,b>0,若也是2"與外的等比中項(xiàng)，則1+J的

ab

最小值是()

A.8B.4C.3D.2

【答案】B

【詳解】因?yàn)閼?yīng)是2〃與2〃的等比中項(xiàng)，

所以(/)2=2"-2"，即2=2。+",所以a+b=l,

又。>0,b>0,

所以工+L=1j_+口卜+6)=1+2+色+1>2+2.1-4,

ab\ab)'7abb

當(dāng)且僅當(dāng)2=1且。+6=1,即。=6=L時取等號.

ab2

所以工+1的最小值為4.

ab

故選：B.

例題3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，若％=0,品=10,且可一",

a4-m,a5-m成等比數(shù)列,則S20m=

【答案】220

4=+4d=0

【詳解】依題意，有品=1。%+45公。,解得*毋=2,

故a.=4+("—l)d=—8+2仇—1)=2/7—10,S“—

2

因?yàn)?-機(jī)，a4-m,%-加成等比數(shù)列，所以（%-加>=（%-?。?（4-%）,

即(-2-m)2=(-8-m).(-??),解得機(jī)=1,

故$2。為=$2。=220?

故答案為：220

精練核心考點(diǎn)

1.（2023秋?陜西寶雞?高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列｛%｝中，％=-2,。4“6=64,則%=（）

A.8B.±8C.-8D.40

【答案】C

【詳解】因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為4何/0）,

所以。4a6=。5?=64,

又％==-2q&<0,

所以％=-8,

故選：C

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)且遞增的等比數(shù)列｛%｝中，《出=576,%+&+%=84,則%=

（）

A.96B.192C.384D.768

【答案】D

【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為9,

??,數(shù)列｛%｝為正數(shù)且遞增的等比數(shù)列，則%>0應(yīng),

由〃1%=。：=576,則。4=24,可得/+%=60,

34=192

axq-24%=3

則，解得或,1（舍去），

%q2+Qq4=60q=2

故"9=768.

故選：D.

3.（多選）（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？茧A段練習(xí)）設(shè)公比為1的等比數(shù)列｛與｝,若％七為=64

則（）

A.%=4B.當(dāng)q=l時，q=±V2

C.%和。9的等比中項(xiàng)為4D.a[+32

【答案】ABD

【詳解】由題意，axa5a9=af=64,即%=4,故A正確；

當(dāng)q=l時，%=。/爐=4,所以q=±&,故B正確；

因?yàn)椋パ?。；=16,所以％和。9的等比中項(xiàng)為4或-4,故C錯誤；

由如+%22%%=32,當(dāng)且僅當(dāng)。?=%=4時，等號成立，故D正確.

故選：ABD.

題型三：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

典型例題

例題1.（2023?陜西咸陽??？既＃┮阎缺葦?shù)列｛0“｝滿足%+%=8外十%=32,貝（|%=（）

A.256B.---C.---D.512

55

【答案】C

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,

若“3+。5=8,貝I」生+。7=/（。3+。5）=32,所以/=4,

又由。3+“5=8,即。3（1+92）=8,則4=|，

,,68j512

故。9=。39=丁64=-^—.

故選：C

例題2.（2023春?高二課時練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，已知％+4=8,%+%=；，求通項(xiàng)公式

【答案】%=

232

ax+a1q=8%=W,

5.1

【詳解】設(shè)公比為g,由題意得解得，.??d——X

aq4+,aq6=1"5

xx2Q=-

2

3%

例題3.（2023春?甘肅張掖?高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)

（1）證明：數(shù)列1為等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴證明見解析

3〃

（2）%

3〃+2

12a+121一1111

—9—二一十一

【詳解】（1）因?yàn)?，所?----1

ani3a“33a,a3凡3

+?+i

a,

gp—--1=-

'〃+13

所以數(shù)列1是首項(xiàng)為:，公比為;的等比數(shù)列.

n-\

1?,所以‘￡?2+33〃

（2）由（1）可求得-5--l=±x+1=-----，即區(qū)

an3a?3y〃3〃+2

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?廣東珠海?珠海市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比且

。2。5=（，則〃6二（）

1111

A.——B.—C.—D.-

6432168

【答案】B

【詳解】由。，可得

2%=*—，解得a；=1,

32

1

又由?！?gt;0,所以。1=1,所以。6=。1夕5=1X

32

故選：B.

,、12

2.（2023?重慶萬州?重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）若數(shù)列｛4｝滿足q=l,—=一+1,則。g=（)

an+ian

A.于匕B,“C.2I0-lD.29T

【答案】B

i21r1、i

【詳解】因?yàn)?=1,—=—+1,所以——+1=2—+1,又一+1=2,

aaa

0"+lnn+l\nJ%

所以數(shù)列”是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以;+1=2"，即。“==，所以

故選：B

1199

3.（2023?北京?高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和為S“，a1=|,%=：，則=—;使

成立的n的最小值為.

【答案】占7

2

9919911

故S”2一得：1---2——n——2一=7>100=〃Nlog)100,

100r2"1001002〃2

由于〃為整數(shù)，故〃的最小值為7,

故答案為：］，7

題型四：等比數(shù)列的性質(zhì)

典型例題

例題1.（2023?安徽安慶?安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列｛氏｝中，a2a3a4=4,a5a6a7=16,貝!]aga9a10=

()

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【詳解】由出〃3〃4=4,〃5。6。7=16可得=4,葭=16,又4=%%

2

故破=,則16=4若,解得W=64,即a8a9alQ=64.

故選：D

例題2.（2023春?安徽宿州?高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，。2023="2022+2a2021，

14

若冊4=16M，則：的最小值等于（）

mn

3513

A.1B.—C.-D.—

236

【答案】B

【詳解】由等比數(shù)列｛氏｝中，設(shè)公比為夕，且4〉0,由。2023=出022+2。2021得42=9+2,故夕=2,

由aman~16。；得。1。］9"+〃一2==^+n~2=16=冽+〃=6,

-+-=|f-++］x（m+”）=45+43、卜9=J,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m,即〃=4,m=2時等號成立，故，+&

mn6nJmnJ62mn

最小值為3:，

2

故選：B

例題3.（2023春?高二課時練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列.

（1）若%>0,且+2。3a5+。4a6=36,求。3+6的值;

⑵若數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)和為168,%-%=42,求%,%的等比中項(xiàng).

【答案］⑴6

（2）+3

2

【詳解】（1）因?yàn)椤?a4+2%。5+。4。6=36,所以3a5=36,即（%+牝）=36,

又。,,>0,所以。3+%=以

（2）設(shè)等比數(shù)歹U｛a｝的公比為g,因?yàn)椤?-％=42,所以qwl.

a=96

由已知得即卜M+ql)=168x

解得，1

a『qQ—q)=42q=-

a2-a5=ax-q-ax-(f=42

若G是。5,%的等比中項(xiàng)，則有G?=%%=%?q?/=靖=96?、弓尸=9,

所以G=±3,所以%，%的等比中項(xiàng)為±3.

例題4.（2023春?湖北荊州?高二?？茧A段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，出&+。5%=16,

則?4?8的最大值是

【答案】8

【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，

由a2a6+a5an=16,貝=16,

所以知g三W等=8，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?%=2亞時等號成立，

故為。8的最大值為8.

故答案為：8.

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?陜西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）等比數(shù)列｛a?｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且“洶=8,則log4%+log4出+…+log4as=

（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【詳解】解:因?yàn)椤?a5=8,

4

所以log4a1+log4a2+---+log4%=log48=bg446=6.

故選：B

2.（2023,全國?高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛6｝滿足：=16%,%+。5=20,若存在兩項(xiàng)勾,?！笆?/p>

得ARZ=32,則的最小值為（）

mn

3939

A.-B.—C.—D.一

41025

【答案】A

【詳解】設(shè)數(shù)列｛0｝的公比為式4>0）,

由42a8=16a§可得：=16%,又%>0,..嗎二⑹

由牝+%二？?？傻茫?=20—%=20—16=4,Q2—―^~=4,解得：q—2,

二%=烏=1,.?.向乙=而不=F7r=32=25，

q

m+n-2=10,解得：m+n=12,

141f14\\1(〃4mA

——\--=——x——F—+=——x5H------1------,

mn12n)12mnJ

—>2.(--=4(當(dāng)且僅當(dāng)4=網(wǎng)，即〃=2加時取等號)，

mn\mnmn

1413

X(5+4)=-(當(dāng)且僅當(dāng)〃=2/時取等號)，

mn12v74

即上1+24的最小值為3.

mn4

故選：A

3.（2023秋?河南駐馬店?高三統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，若%，%是關(guān)于%的方程--冽％+4=0的

aloalolo

兩實(shí)根，貝！Jlog2\+§22+§24+…+g2%=（）

A.8B.9C.16D.18

【答案】B

【詳解】由韋達(dá)定理可得〃3%=4,由等比數(shù)列性質(zhì)可得姆=4,則%=2,

由等比數(shù)列性質(zhì)可知=〃2。8=〃3〃7=廳=4,則…。9=2。，

故log?ax+log2a2+log2a3+?-?+log2a9=log2（a｝agy-a）=log22=9.

故選：B.

4.（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第四中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，

目q?45?=8,貝|Jlog24+log2（73+log2^5+log2tz7+log2?9=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】由題意等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，目4?%?。9=8，

則="；，故%'a5，a9=a5=8,，〃5=2，

所以log24+log2tz3+log2tz5+log2tz7+log/9=log2。?夕‘夕9

=log2%=log22=5,

故選：C

題型五：等比數(shù)列的函數(shù)特征

角度1:等比數(shù)列的單調(diào)性

典型例題

例題1.（多選）（2023秋?山東濟(jì)寧?高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，且"+2a用=18,

數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積為則下列結(jié)論中正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列B.q=9

C.北的最大值為4D.（的最大值為4

【答案】BC

【詳解】等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S〃+2%M=18,

當(dāng)〃=1時，S]+2a2=%+2a2=18；當(dāng)〃=2時，S2+2a3=/+出+2%=18,

q=9

4+2%q=18

設(shè)等比數(shù)列｛與｝公比為q,則有，解得1,

ax+%q+2%r=18q=—

2

所以%=9x1]>0,a?+1=|??<an,數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，故A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確；

數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)積為Z,,貝IJ午=。向，當(dāng)"W3,??+1>1；當(dāng)〃24,0<a?+1<l,

1n

即"V3,Tn+l>Tn.,M>4,MT*,所以1的最大值為心，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤.

故選：BC.

例題2.（2023春?高二課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為%,公比為4,則｛4｝為遞增數(shù)列的充要條

件是（）

A.?1>0,q>1B.?]<0,0<^<1

C.4lgg>0D.aJgq<0

【答案】C

【詳解】因?yàn)槿魆<0,則數(shù)列｛g｝為擺動數(shù)列，與題意不符，所以，q>0.

①若可<0,則對任意的“eN*,。，<0,由。“<?！?1可得4<1，即0<q<L

②若q>0,則對任意的〃eN*,an>0,由?！?lt;a"+i=可得g>1,此時g>l.

所以，｛4｝為遞增數(shù)列的充要條件是q>0,0>1或q<0,0<“<1,

當(dāng)%>0,0>1時,lgq>0,則％lgq>0；

當(dāng)％<0,0<4<1時，1g<0,貝[）Qjgq>0.

因此，數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列的充要條件是為lg?>0.

故選：C.

27

例題3.（2023春?高二課時練習(xí)）已知｛4｝為等比數(shù)列，。q3。5=27,aM=--9以[表示｛4｝的前〃

O

項(xiàng)積，則使得1達(dá)到最大值的〃是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

27

【詳解】:｛%｝為等比數(shù)列，=27=%3，。2。4。6=丁=。；，

8

3a13

%=3,%=一，:7=—4=3，4=12,a=a^q=—<1.

2%254

故｛%｝是一個減數(shù)列，前4項(xiàng)都大于1,從第五項(xiàng)開始小于1,

以北表示｛??｝的前〃項(xiàng)積，則使得北達(dá)到最大值的〃是4,

故選：A.

角度2：求等比數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)

典型例題

例題1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,其前〃項(xiàng)和為前〃項(xiàng)積為Z,,且

滿足條件%>1,^2020^2021〉1，（“2020—1乂“2021-1）<0,則下列選項(xiàng)錯誤的是（）

A.0<^<1B.邑020+1>邑021

C.@2。是數(shù)列｛1｝中的最大項(xiàng)D.?；041>1

【答案】D

【詳解】等比數(shù)列｛%｝的公比為夕,若出02必必>1，則3泮9）3/回）=泮9）>1,

由%>1,可得q>0,則數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正值，

若當(dāng)q21時，由%>1則%>1恒成立,顯然不適合,故0<?<1,且%）20>1，0<?202i<1>

故A正確；

因?yàn)?<。2021V1,所以邑020+]>5020+。2021=1^2021，故B正確；

根據(jù)《>。2>”>%）20>1>02021>…>。，可知&20是數(shù)列區(qū)｝中的最大項(xiàng)，故C正確;

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得多。404]=。2。4040=…=a2020a2022=a2021，°<“2021<

所以r404I=-?4041=。第<1,故D錯誤.

故選：D.

例題2.（2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列｛%｝中，若為+4=62,a2+a4=31,則當(dāng)年2…%

取得最大值時，”=.

【答案】6

【詳解】在等比數(shù)列｛%｝中，4+%=62,a2+a4=31,

%+%_1

所以公比1=

%+%2

n-1

二匚I、11(c々刀/曰248..248

所以4+%=%+—62f角牛彳寸力—~~一,故dn-—-—X

n-1

易得q廣竿XII單調(diào)遞減，且

Ed31,311

因?yàn)?6=癡>1'a?=40<lf

所以當(dāng)IV”V6時，%>1,當(dāng)“27時，0<a?<1,

所以當(dāng)生。2…。,取得最大值時，?=6.

故答案為：6

例題3.（2022?全國?高二假期作業(yè)）公比為q的等比數(shù)列｛/｝,其前〃項(xiàng)和為S“，前“項(xiàng)積為北，滿

足4>1,喂2y2。23>1，血吟<0,則｛SJ的單調(diào)性為___________（填“單調(diào)遞增”“單調(diào)遞減”“不單調(diào)?

。2023一]

當(dāng)"=時，】取得最大值.

【答案】單調(diào)遞增2022

【詳解】若4<0,貝U。2022。2023=<4>22夕<0，不合題意，所以4>。，

又因?yàn)?>1，所以。,,>0,所以｛5｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

Q—1

aa

因?yàn)?gt;1，2022,2023>L7<°,所以。2022>L。<。2023<1，所以。<?<1,

%023-I

故％,2022均大于L并且從第2023項(xiàng)起。<%<1,

所以金22是數(shù)列憶｝中的最大項(xiàng).

故答案為：單調(diào)遞增；2022.

題型五精練核心考點(diǎn)

1.（2023春?北京海淀?高二北理工附中?？计谥校┰O(shè)｛an｝是等比數(shù)列，則3>。2>弱'是"數(shù)列｛如｝是遞減數(shù)

列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

f67.>0[a,<0

【詳解】設(shè)數(shù)列｛a。｝的公比為q，因?yàn)槌?gt;。2>。3,所以s>sq>a]q2,解得\，或■｛,故數(shù)列｛an｝

[0<q<l[?>1

是遞減數(shù)列；反之，若數(shù)列｛。"｝是遞減數(shù)列，則s>。2>。3,所以是數(shù)列｛。。｝是遞減數(shù)列的充分

必要條件，

故選：C.

2.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝滿足％%+4%=；，則…凡取最大值時〃的

值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為式夕>0）,有%丁?

由函數(shù)/（月=/+4/（工>0）單調(diào)遞增，且可得

有佝=2嗎。=；,由數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

所以…%取得最大值時〃的值為9,

故選：B.

3.（2023春?河南洛陽?高二洛陽市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)積為（，并且滿足

現(xiàn)給出下列結(jié)論:①「。22>1；②％。。必?！?<0；③1on,是看中的最大值;

④使7；>1成立的最大自然數(shù)〃是2019,期中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】因?yàn)椤秓oMoioT>0，故可得。海刈7>1,因?yàn)?>1,故可得0>0,

因?yàn)橥夤?lt;0,若《>1,貝和%。I。均大于1，與已知矛盾，故qe（O」），

因此?1010<1.數(shù)列｛七｝是個遞減數(shù)列.

對①，因?yàn)閿?shù)列是個減數(shù)列，且％。1。<1，故出。22<1，故①錯誤；

對②，^1009a1011=fl1010,因?yàn)?010<1，故％009%011<1，故②）正確；

對③，^010^^009Xfl1010>因?yàn)椋?gt;1,數(shù)列是減數(shù)列，且％009>1，?1010<1

故北中最大值為九。9,故③錯誤；

對④，弓8=（4。。9-?！浮?>】，心］9=（?。）如9<1，故1>1成立的最大自然數(shù)〃是2018,故④錯誤?

綜上所述，只有1個正確.

故選：A.

4.（多選）（2023春?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校聯(lián)考期中）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,其前〃項(xiàng)和為

a—1

前”項(xiàng)積為1,并滿足條件為>1,。2。19?。2。20>1，下列結(jié)論正確的是（）

“2020—1

A.S2019V82020

B.。2019.。2021-1<°

c.7M20是數(shù)列｛1｝中的最大值

D.若T">1,則W最大為4038.

【答案】ABD

a—1

【詳解】對A,?2019?2020>1,，七<0,且數(shù)列｛與｝為等比數(shù)列，

“2020—1

??。2019>1，。2020<1，??0<4<1,

因?yàn)?2020〉0,??S2019V5,2020，故A正確；

對B,?。2019a2021=出020<1，??。2019。2021—1<。，故B正確；

對C,因?yàn)榈缺葦?shù)列｛凡｝的公比0<4<1,%>1,所以數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，

因?yàn)槌觥?9>1，%020<1，所以4019是數(shù)列｛Z,｝中的最大項(xiàng)，故C錯誤；

（?-1

x2nAn222Q｝9

對D,Tn=ax-axq'axq..axq=ax-q=axq>1,因?yàn)?019>1，。2020<1，故。聞之"8〉],aiq<1,

\7

n—1

故---<2019,即〃<4039,故〃最大為4038,故D正確.

2

故選：ABD.

5.（多選）（2022秋?江蘇鹽城?高二校考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為北并滿足為>1,%=%,

則下列結(jié)論正確的有（）

A.〃2022<。2023B.〃20a30-C.當(dāng)〃=25時,北取最大值D.當(dāng)〃251時,Tn<1

【答案】BCD

T

【詳解】丁20=”0，所以=421*%2*............*。30=（。25。26）=1，即。25“26=1?

120

以。25。26=a1q~■-a[q—1.

因?yàn)?>1,所以0<q<l,即等比數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列.

對選項(xiàng)A,因?yàn)椋?｝為遞減數(shù)列，所以。2022>。2023，故A錯誤.

對選項(xiàng)B,因?yàn)椤?0%0=終.426/=義如■=',

qqq

因?yàn)?<q<l,所以a20a30=工>1，即。20。30-1〉°，故B正確.

q一

對選項(xiàng)C,因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，45。26=1，

所以％5>1，0<。26<1，即當(dāng)〃=25時，（取最大值，故C正確.

25

對選項(xiàng)D,（0=a1xa2x............xa50=（tz25di26）=1,

又因?yàn)?<。26<1，0<夕<1,

所以當(dāng)及251時，0<?！?lt;1,當(dāng)〃251時，（<1,故D正確.

故選：BCD

題型六：等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)

角度1:等比數(shù)列片段和性質(zhì)

典型例題

S1s

例題1.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列｛%｝的前"n項(xiàng)和為，，若U=K則寸=（）

d6°d3

A.12B.36C.31D.33

【答案】C

S1

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為s”，且U=所以不妨設(shè)S3=W（加WO）則$6=6加.

?6°

由分段后性質(zhì)可知：s3,s6-s3,s9-s6構(gòu)成等比數(shù)列.

由（E,-S3）2=￡'（59-久），即（5加『=MX（$9-5，〃），解得：5,=3b?.

所以去=31

故選：C

例題2.（2023秋?河北石家莊?高二統(tǒng)考期末）等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，已知%=10,$20=30,

貝！15。=（）

A.270B.150C.80D.70

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列｛%｝的公比4工-1.

由等比數(shù)列的性質(zhì)有*=10,S20-Sl0,S30-S20,……成等比數(shù)列

所以有品=10,邑。一耳。=20,貝1]$30一邑。=40,540-530=80

所以/。=40+$2。=70,邑。=80+53。=150

故選：B

例題3（2023?高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",若邑=1,5=4,則％3+%+為5+%=

【答案】27

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，所以$4，&-54,幾-工，兒-幾成等比數(shù)歹山

故9（凡一名）二（58-邑）2,即1x（$-4）=（4一1）2,解得％=13,

同理可得Sl6=40,所以。13+44+。15+。16=$16—百2=40—13=27.

故答案為：27.

例題4.（2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“