平面向量的數(shù)量積（6題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題24平面向量的數(shù)量積6題型分類(lèi)

彩題如工總

題型6:平面向量的實(shí)際應(yīng)用題型1:平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

\_________

題型5:向量的投影題型2:向量的模

專(zhuān)題24平面向量的數(shù)量積6題

型分類(lèi)

題型4:向量的夾角題型3:向量的垂直

彩和泅寶庫(kù)

1.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a,b,。是平面上的任意一點(diǎn)，作宓=a,OB=b,則/4。8=。(0(6?(無(wú))叫做向量。與

b的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a與"它們的夾角為仇我們把數(shù)量|a|依cos。叫做向量。與力的數(shù)量積，記作

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義

B

A,

b\

C4B,D

設(shè)a,6是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是仇e是與匕方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過(guò)油的起點(diǎn)A

和終點(diǎn)B,分別作詼所在直線的垂線，垂足分別為Ai，Bi，得到前1，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量B

投影，工商叫做向量a在向量b上的投影向量.記為⑷cosOe.

4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)ab=ba.

(2)(腦)?力=2(。?5)=a-(Ab).

(3)(a+b)c=ac+bc.

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量。=(沏，")，b=g,")，。與萬(wàn)的夾角為夕

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-b=\a\\b\cos0a-b=x\X2+yiyi

模\a\=N|a|=q屑+y?

八abxix+yiy2

夾角COSu-||?|2

x⑷步1

alb的充要條件ab=0的入2+%丁2=0

|a創(chuàng)與⑷向的關(guān)系|a創(chuàng)W|a||臼kiX2+yiy2|<^/(xi+y1)(%2+^2)

6.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+，＞(a—5)=/一/；

(2\a±b')2=(r+2a-b+b2.

7.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

(1)若a與〃的夾角為銳角，則a2＞0；若。力＞0,則a與入的夾角為銳角或0.

(2)若。與〃的夾角為鈍角，則“協(xié)＜0；若〃協(xié)＜0,則a與。的夾角為鈍角或兀.

彩偏題祕(mì)籍

平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法

(1)利用定義：。?'=|。||例cos〈a,b).

(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若。=(陽(yáng)，yi),)=(冗2,yi),則。6=陽(yáng)工2+〉1丁2.

(3)利用基底法求數(shù)量積.

(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義.

題型1：平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算

1-1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知向量b滿(mǎn)足同向共線，且慟=2,1-4=1,則(a+6)/=()

A.3B.15C.-3或15D.3或15

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意確定向量a,6的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜,B滿(mǎn)足同向共線，所以設(shè)2=4次彳＞0),

又因?yàn)椴穇0=1,忖=2,所以,/?_區(qū)=|(2-1)Z?|=(2-1)21^|=4(2-1)2=1,

1、31、3

所以4=—或丸=一，即〃=一。或Q二—

2222

①當(dāng)of時(shí)，+=/=3；

②當(dāng)a=?時(shí)，（Z+爐=（|@{|q=%=15；

所以（a+到a的值為3或15.

故選：D.

1-2.（2024?北京）已知向量a,。,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則

（a+6）-c=；a-b=.

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出a+b,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳解】以a力交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則4=(2,1),6=(2,-1)*=(0,1),

:.a+b=(4,0),/.(a+/?)?<?=4x0+0xl=0,

.'.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案為：0；3.

1-3.(2024?全國(guó))正方形A3CD的邊長(zhǎng)是2,E是的中點(diǎn)，則EC-EO=()

A.75B.3C.2亞D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛(AB,A。\｝為基底向量表示EULC1U,EUUUD,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

,、IUUUIiuuai|uimuum

【詳解】方法一：以｛AB)。｝為基底向量，可知,耳=,口=2,4叢/1。=0

uimuuruunimmuumuimuiruuniuuuuun

貝1JEC=E2+2C=—AB+AZ),ED=EA+AD=——AB+AD,

22

uunuuu(iuunuuinA(\uunuum>iuun。num。

所以=++=+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

UUUULIU

則E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),EO=(-1,2),

UU1UUUIU

所以石。?匹=—1+4=3；

方法三：由題意可得：ED-EC-y/5,CD-2,

DE2+CE2-DC25+5—4_3

在4cDE1中,由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2x^/5x^/55

uunuun|UUD|iUum|3

故選：B.

1-4.(2024?湖南長(zhǎng)沙?二模)已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,ABAD=-,G是菱形A8C￡＞內(nèi)一點(diǎn)，若

GA+GB+GC=0,貝UAG.A8=()

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】A

【分析】由題意可得出/54D=120。，點(diǎn)G為/RC的重心，所以|AG|=g|AM|=Y，ZBAM=30°,再由

向量的數(shù)量及定義求解即可.

【詳解】在菱形ABCD菱形ABC。的邊長(zhǎng)為1,ABAD=--,

2

所以A3?AO=?|AD|COSABAD=cosABAD=,

所以/BW=120。，貝IJ,ABC為等邊三角形，因?yàn)镚A+G3+GC=0，

所以GA=-（GB+GC）,設(shè)點(diǎn)M為2C的中點(diǎn)，則GA=-2G￡>,所以GA〃GD，

所以G,A,M三點(diǎn)共線，所以AM為2C的中線，

同理可得點(diǎn)AB,AC的中線過(guò)點(diǎn)G,

所以點(diǎn)G為11ABe的重心，故|AG|=jAM|=*,

在等邊二ABC中，M為的中點(diǎn)，則ZBAM=30°,

所以AG.AB=|AG|-|AB|COSZBAM=冬lx乎二.

故選：A

3

1-5.（2024?天津）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,3c=6,5.AD=ABC,AD-AB=,

2

則實(shí)數(shù)幾的值為，若是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1,則。Z）N的最小值為.

【分析】可得N54D=120,利用平面向量數(shù)量積的定義求得彳的值，然后以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直

線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（%0）,則點(diǎn)N（尤+1,0）（其中0VxW5）,得出功0勿葡關(guān)于x的函

數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得。M.DN的最小值.

【詳解】AD=ABC，AD!IBC,，Zft4D=180-N3=120,

ABAD=2BC-AB=/1|JBC|-|AB|COS120

=

=2x6x3x(-g]=~~J

解得2=

6

以點(diǎn)2為坐標(biāo)原點(diǎn)，8C所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy,

回又回AD=」BC,則。，設(shè)M（x,0）,貝!JN（x+l,0）（其中04x45）,

6

(5AO(3

DM=\X2--2--,DN=x——

IJ122

ZWQN大一|卜|]+律]*一4X+/（X-2）2+,

___.13

所以，當(dāng)％=2時(shí)，0M.OV取得最小值了.

113

故答案為：-：—.

62

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于

中等題.

1-6.（2024?全國(guó)?一模）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在2022

年虎年新春來(lái)臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)

計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）.己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)

為4,中心為0,四個(gè)半圓的圓心均在正方形A5CD各邊的中點(diǎn)（如右圖）.若點(diǎn)尸在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)

動(dòng)，則AC?0尸的取值范圍是.

pIX

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)系表示向量，寫(xiě)出而以乙的解析式，再求OPAC的取

值范圍即可.

【詳解】以。原點(diǎn)，0C為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為4,所以AC=8￡）=4e'，

貝根卜20,0）、C（20,O）,則AC=（4夜,0）,

設(shè)AD的中點(diǎn)為E,則網(wǎng)一點(diǎn),虛），A￡=（V2,V2）,所以，卜J-=2,

因?yàn)槭前雸AE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Pb0+2cosd,a+2sin，b

貝UOP=b0+2cos。,應(yīng)+2sin。)，其中:貝iJ-lwcosdW孝，

所以，OP-AC=—8+8&cosde[—8—80,o]

由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)點(diǎn)尸在第三象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)A、8）,

OP-ACe[-8-8>/2,0]

當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)C、D）,8的中點(diǎn)為（a,3）,半圓的半徑為2,

可設(shè)點(diǎn)尸（應(yīng)+2cosd,?+2sind）,其中一冷，貝I］一孝《cosOWl

OP=(0+2cosa0+2sine),貝!]OPAC=8+80cos6e[o,8+8立],

同理可知，當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限內(nèi)的半圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包含點(diǎn)8、C）,

OF-ACe［0,8+8A/2］.

綜上可知，OPAC的取值范圍是18-8夜,8+8及］.

故答案為：［-8-8直,8+8夜］.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：

（1）利用定義：

（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

（3）利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.

彩健題海籍

（二）

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

（1）求平面向量的模的方法

①公式法：利用⑷=及（〃±方）2=|。|2±2。?方+|例2；

②幾何法：利用向量的幾何意義.

（2）求平面向量的夾角的方法

、U'b

①定義法：cos而；

②坐標(biāo)法.

（3）兩個(gè)向量垂直的充要條件

〃_1_萬(wàn)=〃仍=00|〃一例=|〃+）|（其中a#0,萬(wàn)W0）.

題型2:向量的模

2-1.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知°,b是非零向量，忖=1,（a+26）_La,向量［在向量6方向上的投

影為一字，則，一力|=.

【答案】2

【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合投影定義求解可得.

71|-|21

【詳解】團(tuán)(”+2〃)，團(tuán)(〃+2/?)〃=卜|+2b-a=0團(tuán)0?〃=_/網(wǎng)=——,

歷a-bV2

團(tuán)向量〃在向量人方向上的投影為-2，回工7二一丁，

4忖4

--^=a-b=\[2

團(tuán)_2a/+”――,加沙

回卜=2.

故答案為：2

2-2.(2024高三上,海南?期末)已知向量a,b滿(mǎn)足。=(1,1),忖=4,a-(a-b^=-2,貝川3°-可=

【答案】710

【分析】由。?(“叫=-2可得無(wú)匕=4,再由13a-小也力+/_6am,代入化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椤?(1,1)，忖=4,a\a-b)=-2,貝ij|4=0,

所以a-(a—6)=q-—a-6=—2,所以a-(a—b)=2—a=-2,解得：a-b=4<

愀一小卜J(3o-6)=\)9a2+b2-6a-b

=79x2+16-24=A/10.

故答案為：7w.

2-3.(2024?四川南充?二模)已知2出為單位向量，且滿(mǎn)足卜-其卜而，則|2a+b|=.

【答案】75

【分析】將|"屈|=幾兩邊平方可得分6=0,進(jìn)而可得%+〃

【詳解】為單位向量，且滿(mǎn)足,一后卜布，所以1一2氐.6+562=6,

即1一2后山+5=6,解得夕6=0，

所以12。+N=yl4a2+4a-b+b2=垂■

故答案為：下.

2-4.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知平面向量斯?jié)M足忖=麗帆=2,且(2々+今僅叫=14,則忖+可

【答案】3A/2

【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律求出。2=2,再由向量的模長(zhǎng)公式即可得出答案.

【詳解】由(2a+b^-^a-b^=2a-a-b-b=20-a-b-4=14,^a-b=2,

所以卜+?=J(a+力=+2a-b+b=J10+4+4=30.

故答案為：30

題型3:向量的垂直

3-1.(2024?全國(guó))設(shè)向量。=(1,-1)/=(租+1,2a-4),若“_16則根=.

【答案】5

【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由a_Lb可得。.6=0,

又因?yàn)閍=(1,-1),6=Qw+1,2m-4),

所以a/=L(〃z+l)+(-l>(27w-4)=0,

即加=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量運(yùn)算問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

3-2.(2024?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè))已知向量2=(—2,3),/=(4,—5),若卜。-6)，6,則八.

【答案】一M41

【分析】首先求出彳〃-6的坐標(biāo)，依題意“a-b)/=。，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)椤?(—2,3),b—(4,-5),所以Xa—/?=X(—2,3)—(4,—5)=(—24—4,32+5),

又(小山6,所以("6)6=4(-22_4)_5(3X+5)=0,解得2=_||.

故答案為：—I41I

3-3.(2024?江西贛州?一模)已知向量)=(1,2),8=(4,左).若(2a-b)_L(2a+6),則實(shí)數(shù)％的值為.

【答案】±2

【分析】根據(jù)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?=（1,2）,。=（4,左）,所以2°-6=（—2,4—左）,2（7+6=（6,4+左），

又因?yàn)椋?a-6）J_（2a+6）,所以（2a-b）（2a+6）=-2x6+（4-左）（4+左）=4-笈2=0,

所以左=±2.

故答案為：±2.

TT

3-4.（2024iWi三下,江西南昌,開(kāi)學(xué)考試）已知兩單位向量q,02的夾角為若a=q+2e2，Z?=e]+me2，且a_L6,

則實(shí)數(shù)機(jī)=1.

【答案】-1/-0.8

【分析】利用向量的數(shù)量積公式和向量垂直的性質(zhì)解決本題.

【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄縬,e；的夾角為T(mén)，所以e/e2=lxlxcosm=g；

因?yàn)閍_Lb，所以￡.=（4+2^）-（4+?26）=不，+（2晟）―（宿）+（加+2）（￡江）

154

=l+2m+（m+2）x—=—m+2=0,所以m=一1.

4

故答案為：-彳.

3-5.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）非零向量1=（cos（a-/）,sin。），b=（l,sina），若〃_LZ?,則tanatan^=.

【答案】-g/-0.5

【分析】由〃_L匕得cosacos￡+2sinasin￡=。，從而求得tanatan/的值.

【詳解】因?yàn)镼_LZ?,所以a2=（cos（a—/?）,sin0?（l,sina）=c0sg—￡）+sinasin/?

=cosacos￡+2sinasin/?=0,

由題易知cwg,吟,

一一,八sinasinBsinasmB1

所以tanatan13=-----------=----------=一一.

cosacosP-2sinasin/32

故答案為：-§

題型4:向量的夾角

4-1.（2024?河南駐馬店?二模）若單位向量0,6滿(mǎn)足|2。-6|=#，則向量°,石夾角的余弦值為

【答案】一/-0.25

4

【分析】利用性質(zhì)同2=力，將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.

【詳解】設(shè)向量a，b的夾角為凡因?yàn)閨2〃，=痣，所以4L_4Q?b+L=6-

又忖=W=1,所以4一4cos9+1=6,所以cos。=一;.

故答案為：

4

42（2024高三?廣東?階段練習(xí)）若q,是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則a=2q+e；與人=-3《+2』的夾

角大小為.

2

【答案】120°/§萬(wàn)

【分析】先利用數(shù)量積公式求出=：,再求出最后代入向量的夾角公式得解.

【詳解】e”e；是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則=卜小同cos6（T=：,

0°V〈a,6〉W180°,二.〈0,6〉=120。.

故答案為：120°

43（2024高三下?重慶?階段練習(xí)）已知向量。和b滿(mǎn)足：同=1,忖=2,NT-2a為=0,則。與b的

夾角為.

【答案】1JT/60°

【分析】記向量a和b的夾角為。，將|2a-b|=2a?6平方化簡(jiǎn)即可求出答案.

【詳解】記向量a和。的夾角為，，將|2"-可=2期平方得到：

4\a^-4\a\\b\cos0=4\af\b^cos20n2cos20+cos6-1=0=>cos?！够?1,

2

又因?yàn)閨2立一目二2源方NOncos"-!,gpCos<9=-=>6>=-.

1123

故答案為：y.

4-4.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知向量。=1+1,百)，b=(l,0),a,b=—2,則向量Q+〃與b的夾角為

2兀

【答案】y

【分析】

由小6=-2可得x,a+b,后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.

/\\a+b\-b]

【詳解】4力=-2=尤+1=-2=尤=一3，貝6=貝！|cos(“+"耳=-^-----ppp=又

''''\a+b\\b\2

(a+b,e[0,可，則卜+"匕)=g

2兀

故答案為：y.

4-5.（2024?浙江）設(shè)q,e2為單位向量，滿(mǎn)足|20-《2區(qū)正，a=el+e2,b=3q+e；,設(shè)。，b的夾角為0,

則cos20的最小值為.

【答案】笥OQ

IIurq

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡(jiǎn)條件得e/6>|,再根據(jù)向量夾角公式求cos?。函數(shù)關(guān)系式,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.

UU—

【詳解】Q24-02區(qū)0,

uu

4—4q,4+1K2,

ITir3

UuuII

.?.cos^=4C(4+4,,%y4(1+6?2)

-------ir-1---urir=-----0ir

a-b(2+2ex-e2)(10+6e1?e2)5+-e2

424228

=-(l-------->-(l------------------)=—

3￥29

5+3,35+3xl-

4

OQ

故答案為：II

【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合

分析求解能力，屬中檔題.

4-6.(2024?天津)在4ABe中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用表示DE為

若AB_LDE，則/ACB的最大值為

【分析】法一:根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以｛。，葉為基底，表示出/尻龐，由

可得37+J=4b-a，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(L0),C(3,0),A(x,y),由AB，DE可得點(diǎn)A的軌跡為

以M(TO)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+iy+V=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4與M

相切時(shí)，NC最大，即求出.

【詳解】方法一：

31.

DE^CE-CD=-b--a,AB=CB-CA=b-a,AB±DE^>(3b-a)-(b-a)=Q,

3/,2_i_z/22\/3alb\,

3b2+a=4a-b^cosZACB=r-[\^^JILIJL當(dāng)且僅當(dāng)同=百忖時(shí)取等號(hào)，而

\a\\b\4網(wǎng)84La\b2

7T

0<ZACB<TI,所以/AC3E(0,—].

6

31n

故答案為：-b-—a?—.

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

￡(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),DE=(—),AB=(1—九,—y),

D￡IAB=>(^1^)(x-l)+^-=0=>(x+l)2+y2=4,所以點(diǎn)A的軌跡是以"(TO)為圓心，以r=2為半徑的

r217C

圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與:“相切時(shí)，NC最大，止匕時(shí)411。===：=；,/。=：.

CM426

3171

故答案為：—b~—a■—.

226

題型5：向量的投影

5-1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知向量。=（1,0）,6=（0,1）,4?o=萬(wàn)0=1,則向量“在向量"上的投影向量

【分析】設(shè)c=（a,）），利用數(shù)量級(jí)的坐標(biāo)運(yùn)算得c的坐標(biāo)，再利用投影向量的公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)2=(。,。),因?yàn)閍=(l,O),b=(O,l),a-c=6-c=l

lxa+Ox/?=l_a=1

所以

Oxa+lxZ?=lb=l

所以c=(l,l)

空.￡」.他/_LL}

則向量2在向量工上的投影向量為:|c||c|V2V2〔2'21

故答案為:

52（2024高三下?上海寶山?期中）已知向量。=（3,6）,6=（3,-4）,則a在。方向上的數(shù)量投影為.

【答案】-3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的投影公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?(3,6),6=(3,-4),

所以a在6方向上的數(shù)量投影為

,,7a-b3x3+6x(-4)-15

回cos<a,b>=-FT]-=---------——---------=—3

bJ9+165

故答案為：-3.

5-3.(2024高一下?山東泰安?期中)已知向量H=6,e為單位向量,當(dāng)向量a、e的夾角等于45。時(shí)，則向

量a在向量e方向上.的投影向量是.

【答案】3忘e

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合條件即得.

【詳解】因?yàn)橄蛄縜、e的夾角等于45,同=6,e為單位向量,

所以向量a在向量e上的投影向量是忖鬃o(hù)s45e=3日，

故答案為：30e.

5-4.(2024高三上■云南昆明■開(kāi)學(xué)考試)已知向量。=(-1,2),向量6=(1,1),則向量d在向量b方向上的投

影為.

【答案】正

2

【分析】利用向量的投影的定義直接求解即可.

->—>

>->->_1_A/2

a-cos(a,b

【詳解】=?T=T.

故答案為：三

5-5.(2024?上海虹口?三模)已知。=(-2,-1)/=(-4,7”),若向量/,在向量.方向上的數(shù)量投影為逐，則實(shí)數(shù)

m=.

【答案】3

【分析】根據(jù)數(shù)量投影公式，代入求值.

【詳解】由條件可知，向量b在向量a方向上的數(shù)量投影為蕊=￡=石,

解得：m=3.

故答案為：3

彩僻題秘籍

平面向量的實(shí)際應(yīng)用

用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

題型6：平面向量的實(shí)際應(yīng)用

6-1.（2024高三上?安徽合肥?開(kāi)學(xué)考試）一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力可，B，F(xiàn)3（單位：牛頓）的作

用而處于平衡狀態(tài)，已知耳，尸2成120。角，且耳，尸2的大小都為6牛頓，則鳥(niǎo)的大小為牛頓.

【答案】6

【分析】根據(jù)向量的合成法則以及向量的模長(zhǎng)公式，進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】設(shè)三個(gè)力的，F(xiàn)2,工分別對(duì)于的向量為：a,b,c

則由題知a+6+c=0

所以c=-（a+b）

所以卜卜|—（a+Z?）|=4a+2a-b+b

又W=6，W=6,a?6=WWcosl20=6x6x（-；）=-18

所以卜|=736+2x（-18）+36=6

所以用的大小為：6

故答案為：6

6-2.（2024高三上?福建泉州?期中）如圖所示，一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩

再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于A點(diǎn)，所以|2A|=11,

由已知可得01(—26,0),^(-13,-11),05(13,-11),

所以aq=(T3,ll),項(xiàng)=(26,0),04a=(13,11),

所以O(shè).?(。4。5+甌)=(-13,11).(39,11)=-507+121=-386.

故選：B.

■>

X

媒習(xí)與梭升

一、單選題

1.(2024高三上?吉林四平?期末)已知向量a,6滿(mǎn)足|a|=2,但|=豆，且不與b的夾角為則

(a+6).(2a-6)=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi)所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.

【詳解】'

由|￡|=2,回=6，且4與6的夾角為

rr、/rr、rrrr

22

a+by\2a-b\=2a+a-b-b

故選：B.

2.（2024高一下?天津西青?階段練習(xí)）已知同=6,忖=3,向量。在匕方向上投影向量是4e，貝以1）為（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【分析】由投影向量和數(shù)量積的定義即可得出結(jié)論.

【詳解】d在方方向上投影向量為問(wèn)cosd-e=4e,

.".|o|cos0=4,a-b=|fl||z?|cos6*=4x3=12.

故選：A

3.（2024高三下?云南昆明?階段練習(xí)）已知單位向量H，且〈。,6〉=1,若日+1）,1島=2,則＞；=（）

A.1B.12C.—2或2D.-1或1

【答案】D

【分析】由題意結(jié)合向量加法的幾何意義可得S，c〉=]或g，再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算，即得答案.

【詳解】由題意單位向量:工，且〈：工〉=],可知上了與：的夾角為巳，

因?yàn)?a+b)J_e,所以§或不，

二

C

兀rrrr.j*j*]

故當(dāng)(O,c)=_時(shí)，a-c=同?ccos=1x2x二,=1:

32

當(dāng)=g時(shí)，=向.同cos(。韋=1x2x(-f=T

故選：D.

4.(2024廣東?模擬預(yù)測(cè))將向量OP=(血，血)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。得到OP-則OPO4=（）

A/6—^2

A.D.娓-及

2

指+應(yīng)

C.V6+V2D.

2

【答案】B

【分析】利用向量的坐標(biāo)求出模長(zhǎng)，再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】因?yàn)?尸=（在匈，所以旭=J（可+（可=2,

因?yàn)橄蛄?。?hù)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。得到。尸1,

lUimI

所以向量OP與向量0p的夾角為75。，且|。叫=2,

uimuiunlUtmiiuuai|

所以O(shè)P?O耳=OP.陷?cos75。=2X2Xcos（30°+45°）

=4亭等f(wàn)字

故選：B

TT

5.（2024?山東濟(jì)寧?二模）如圖，在.ASC中，ZBAC=-,AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)、,且滿(mǎn)足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=3,AB=4,則APCD的值為（）.

【答案】C

【分析】由P、C,。三點(diǎn)共線及AD=2/）8，可求機(jī)的值，再用AB、AC作基底表示C。，進(jìn)而求APC￡>

即可.

【詳解】ElAP=〃zAC+gAB(7〃eR),AD=2DB>

971

即AO=—AB且CO=—C2+—CA,

333

3

BAP=mAC+—AD^mGR),

31

又,、「共線’有它7-即〃，，

即AP=!AC+:AB,而C5=CA+AB,

42

21?2

^CD=-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC

3333

———-1-21--------1—.216913

BAPCD=(-AC+-AB\-AB-AC)=-ABABAC——AC=——2--=—.

4233343412

故選：c

6.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）在矩形A3CD中，=1,AD=2,AC與8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作AELfiD

于E,則AE-AO=（）

1224124

A.—B.—C.—D.一

252555

【答案】D

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)￡（羽》）,由AELBD和可列方程求出點(diǎn)E，再根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即

可求解.

【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系:

則4(0,1),8(0,0),。(2,0),。(2,1),

設(shè)E(x,y),貝UAE=(x,y-1),BE=(x,y),BD=(2,l)

AE工BDAELBD且BE”BD，

2

X=

2x+y—1=05

?0，解得

y

y=

5

在矩形ABCD中，。為8。的中點(diǎn),

7.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量a,b,C滿(mǎn)足。=（2,1）,8=（1,2）,且ale.若b<=3也,貝U?=

A.VioB.2V5c.50D.3^5

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的垂直和數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出e,再用坐標(biāo)公式求模即可.

a-c=2x+y=0x-—A/2

【詳解】設(shè)G=（x,y）,貝卜可得＜

b-c=x+2y=3直y=2y/2

故選:A

1

8.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）已知|。|=|川=|。|=1,。必=一5，c=+6R）,則V的最小值為（）

A.-2B.C.-y/3D.-1

3

【答案】B

【分析】利用數(shù)量積定義可得6的夾角為，=?,不妨設(shè)。=（1，。）,公c=(cosa,sina),ae[0,2兀),

3.

x=cosa-\-----sina廠

「3,再利用輔助角公式可得

即可得x-y=2ecos(a+4即可求得其最小值.

2A/3.36

y-------sina

3

【詳解】設(shè)a,6的夾角為夕，v|a|=|^|=1,ab=~

cos6,=—1,0e[0,7t],又口=1，

不妨設(shè)〃=（1,0）力=c=(cosa,sina),ae[0,2兀),

y

COS6Z=X----x-cosad-----sina

廠即＜3

c=xa+yb=，所以，2,

.A/32出.

sma-——yy=-----sina

23

、2

cos(a+,竽cos(a+凱

..x—y=cosoc------

33J

兀

由0￡[0,2兀)/.6Z+—G

，當(dāng)嗚舍時(shí),即a吟時(shí)，一有最小值一半

故選：B

9.（2024?安徽?三模）以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一

JT

段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且=則8P.e尸的值為（）

6

B.4+0

C.4-2A/3D.4+2A/3

【答案】C

【分析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為x軸，過(guò)點(diǎn)2且垂直于BC的直線為y軸,

建立平面直角坐標(biāo)系，則3（0,0）,C（2,0）,

由ZPBC=F，得P(6,1),

所以3尸=(百,1),CP=(73-2,1),

所以BPC戶(hù)=6(若-2)+lxl=4-2石.

故選：C.

10.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCQ中，1840=120。,AB=AD=1,AC=2.若E為

8的中點(diǎn)，則的值為（）

c

3

C.一D.3

2

【答案】c

【分析】根據(jù)余弦定理得到8。=若，確定AC為圓的直徑，△38為等邊三角形，建立坐標(biāo)系，確定點(diǎn)

坐標(biāo)，計(jì)算向量的數(shù)量積得到答案.

【詳解】連接由余弦定理知出乎=F+F-2xlxlx[-g)=3,所以=君.

由正弦定理得一條=2=AC,所以AC為圓的直徑，

sml20°

所以CDLAD,所以C￡?=VL從而。0=班),

又NBCD=180°-120。=60。，所以ABCD為等邊三角形，

以。為原點(diǎn)，以D4所在直線為x軸，DC所在直線為〉軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

EA=IF,EB=?°

所以以物［-3］別（

故選：c.

11.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知一ABC是面積為36的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2

的正方形，其各頂點(diǎn)均位于ABC的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在JlfiC內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)BQCP=0時(shí),

\BQ+CP\2=()

A.2+4/B.4+2&C.3+2#D.2+3底

【答案】A

【分析】先分別求出等邊三角形和正