2023年中考數(shù)學解直角三角形知識點復習

中考解直角三角形

考點一、直角三角形的性質(zhì)

1、直角三角形的兩個銳角互余：可表達如下：ZC=90°=>NA+NB=90°

2、在直角三角形中，30°角所對的I直角邊等于斜邊的二分之一。

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一

4、勾股定理：假如直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么°2+/=/.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平

方

勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊

勾股定理的逆定理：假如三角形的三邊長a,b,c有下面關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。

考點二、直角三角形的鑒定

1、有一種角是直角的三角形是直角三角形、有兩個角互余的三角形是直角三角形

2、假如三角形一邊上的中線等于這邊的二分之一，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三邊長a、b、c滿足a'+b'cz,那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦

五）

用它判斷三角形與否為直角三角形的一般環(huán)節(jié)是：

（1）確定最大邊（不妨設為c）；

（2）若/=/+〃，則AABC是以NC為直角的三角形；

若+浮<,2,則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）;

若a2+B2>c2,則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）

4.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。

(2)已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。

(3)用于證明線段平方關(guān)系的問題。

(4)運用勾股定理，作出長為〃'的線段

考點三、銳角三角函數(shù)的概念

1、如圖，在△ABC中，ZC=90°

NA的對邊a

①銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記為sinA,即sinA=

斜邊c

NA的鄰邊b

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記為cosA,即COSA=

斜邊C

NA的對邊a

③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA時正切，記為tanA,即tanA=

NA的鄰邊b

NA的鄰邊b

④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記為cotA,即COt4=

NA的對邊a

2、銳角三角函數(shù)的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù)

3、某些特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2V3

sina

222

V3V2j_

cosa

~2~~2

V3

tana1

3

V3

cotaV31

4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

(1)互余關(guān)系：sinA=cos(90°一A),cosA=sin(90°一A)；

(2)平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1

(3)倒數(shù)關(guān)系：tanA?tan(90°—A)=1

sinA

(4)商(弦切)關(guān)系：tanA=------

cosA

5、銳角三角函數(shù)的增減性

當角度在0。?90。之間變化時，

（1）正弦值伴隨角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。唬?）余弦值伴隨角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；（3）正切值伴隨角

度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；（4）余切值伴隨角度歐I增大（或減?。┒鴾p小（或增大）

考點四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做

解直角三角形。

2、解直角三角形的理論根據(jù)

在RtAABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC所對時邊分別為a,b,c

（1）三邊之間的關(guān)系：a-+b2=c2（勾股定理）

（2）銳角之間的關(guān)系：NA+NB=90°

（3）邊角之間的關(guān)系：正弦sin,余弦cos,正切tan

工c--1od1--1chc

（4）面積公式：22（he為c邊上的高）

考點五、解直角三角形應用

1、將實際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，用銳角三角函數(shù)、代數(shù)和幾何知識綜合求解

2、仰角、俯角、坡面知識點及應用舉例：

（1）仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。

h

（2）坡面的鉛直高度/z和水平寬度/時比叫做坡度（坡比）。用字母，表達，即1=7。坡度一般寫成1：加的形式，如，=1:5等。把

h

坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么=tana。

1

3、從某點時指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目的方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC、OD時方向角分別是：45°、135°、

225°o

解直角三角形的基本類型及其解法公式（總結(jié)）

1、解直角三角形的類型與解法

知、解法

已知條件解法步驟

類型、

兩直角邊（如a,b）

由tanA=*求NA；4=90。—A,c="b?+b2

RtAABC

兩斜邊，一直角邊（如c,a）

由SinA=*求NA；NB=90°—A,b=\C2-a2

B

邊

銳角，鄰邊b

NB=90°—A,a=b?SinA,c=---TCOSA

邊一角邊（如NA,b）cosA

和銳角，對邊aa

ZB=90—A,b=~~~T,c=^~r

角一銳角（如NA,a）tanAsmA

斜邊，銳角（如c,ZA）NB=90°—A,a=c?SinA,b=c,cosA

2、測量物體的高度的常見模型

1）運用水平距離測量物體高度

數(shù)學模型所用應測數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)

工具原理

11

tana=--,tanB=---

X1X2

瓜tana?tanB直角

Iatana+tanB

a側(cè)傾a、B、三角

器水平距離aII形的

tana—tanB-

皮尺a+XX邊角

關(guān)系

z

tana?tanB

I—a?n

tanp-tana

a/Y

2）測量底部可以抵達的物體的I高度

數(shù)學模型所用應測數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)

工具原理

haa。

一x，h—

皮尺目高a1反射

h

鏡子水平距離a2定律

水平距離

a2%a3

同一時刻物高與影長成

\、h。3

-,h=-------正比

h

皮尺標桿IWJai

ax

標桿標桿影長a2

。3%

物體影長a3

矩形的性質(zhì)和直角三角

h-ay

tana—,形的邊角關(guān)系

/ah〃2

..i?.....側(cè)傾器高&

水平距離a2h=ai+a2tana

axa2

皮尺傾斜角a

側(cè)傾

%器

矩形的性質(zhì)和直角三角

加h2

tana=—,tanB=----形的邊角關(guān)系

一一）aha/

仰角ax

俯角Bh=hi+h2=ai(tana+tanB)

水平距離a.

3）測量底部不可抵達的物體的高度（1）

數(shù)學模型所用工應測數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)

具理論

ha

「%tana=—x,tanB=一

XX

ah仰角a

0俯角Btanatana

h—a+hi—a+xQa—a(l+xQ)

XIWJ度atanptanp矩形的性質(zhì)和直角三

皮尺a-h門a角形的邊角關(guān)系

[3Btana=------,tanB=—

側(cè)傾器XX

俯角a.ct-ha.__ataria

a??x——0??Il—a0

俯角BtanatanptanP

h高度

x

測量底部不可抵達的物體的高度（2）

數(shù)字模型所用應測距離數(shù)量關(guān)系根據(jù)

工具原理

Ahh,

tana=tanB=

ax+xX

'4atanatanB

仰角a，??hi—x

tan，一tana

h仰角B

、a/SB

水平距曷Hi

a2atanatan/3

Xx

a.側(cè)傾器高a2h—a2+hi—a2+

tan，一tana

h_h-a

tana=-，tanP=----

皮尺X

側(cè)傾tana矩形的性質(zhì)和

h—o

/5%器仰角。tana—tanp直角三角形的

..

仰角Bh_h-atana邊角關(guān)系

htana—,tanP—、1h—

_xxtana—tanPn

IWJ度a

a

/、ax

a

仰角aha~\~h

tana=-，tanP=----

仰角BXX

hIWJ度atana

h—,

tabpo-tana

第三部分真題分類匯編詳解2023-2023

（2023）19.（本小題滿分6分）一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.3°方向有一座小島C,繼續(xù)向東航行60海里抵達B處,

9

測得小島C此時在輪船的東偏北63.5°方向上.之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C近來？（參照數(shù)據(jù)：sin21.3°弋一，

25

29

tan21.3°y一，sin63.5°弋—，tan63.5°七2)

510

AB

（2023）19.（本小題滿分6分）在一次課題學習課上，同學們?yōu)榻淌掖皯粼O計一種遮陽蓬，小明同學繪制的設計圖如圖所示，其中，AB

表達窗戶，且A5=2米，BCD表達直角遮陽蓬，已知當?shù)匾荒曛性谖鐣r時太陽光與水平線的最小夾角。為18.6,最大夾角夕

為64.5.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，協(xié)助小明同學計算出遮陽蓬中。。時長是多少米？（成果保留兩個有效數(shù)字）

(參照數(shù)據(jù)：sinl8.6=0.32,tan18.6=0.34,sin64.5=0.90,tan64.5=2.1)

（2023）19.（本小題滿分6分）在一次數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)同學們?nèi)y量一座古塔C0的高度.他們首先從A處安頓測傾器，測得

塔頂。的仰角NCFE=21°,然后往塔的方向前進50米抵達8處，此時測得仰角NCG5=37°,已知測傾器高1.5米，請你根據(jù)以

上數(shù)據(jù)計算出古塔CD的高度.

3393

（參照數(shù)據(jù)：sin37°"一，tan37°^―,sin21°—,tan21°^—）

54258

（2023）19.（本小題滿分6分）小明家所在居民樓時對面有一座大廈28,48=80米.為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己

家的窗戶。處測得大廈頂部/的仰角為37°,大廈底部8時俯角為48°.求小明家所在居民樓與大廈時距離徵的長度.（成果保留整數(shù)）

3c3711

（參照數(shù)據(jù)：sin37°。一tan37,sin480工——，tan48°?——

541010

解:

mm

mm

mm

m□□

第19題圖

（2023）19.（6分）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由

的樓梯所占地

cos40°??0.77,sin35°~0.57,tan35°-0.70)

(2023)20.(8分)

如圖.某校教學接AB的后面仃一建筑物CD.當光線與地面的夾角是22。時,教學樓在建

筑物的堵上田下高2米的影子CE;而當光線與地面夾角處450時,教學樓頂八在地面上的影

TF與墻角C有13米的距崗（B.F.C在一條直線上）.

（I）求教學樓的高度；

（2）學校要在人￡之間掛一些彩旗.請你求出4￡之間的距離（結(jié)果保①整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin22°.cos220

8

?￥：(!)

B

第20題

附歷年真題原則答案:

(2023)19.(本小題滿分6分)

解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D,得到RtZ\ACD與RtZSBCD.

設BD=x海里，

CD

在RtABCD中，tanZCBD=-----，/.CD=x-tan63.5°.

BD

CD

在RtZXACD中，AD=AB+BD=(60+x)海里，tanNA=——，

AD

2/、

.*.CD=(60+x)tan21.3°.x-tan63.5°=(60+x)-tan21.3°,即2元=—(60+元).解得，x=15.

答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C近來....................6,

(2023)19.(本小題滿分6分)

解：設5為x,在Rt△犯9中，ZBDC=a=18.6°,

?：tanZBDC=—,：.BC=CDtmZBDC=Q34x.2

CD

在中，ZADC=￡=64.5°,VtanZADC=——,：,AC=CDtanZADC=2.1x.

CD

,**AZ?=AC—BC,2=2.1x—0.34x.x^l.14.

答：。長約為1.14米.

(2023)19.(本小題滿分6分)

解：由題意知CD_LAD,EF//AD,

ZCEF=90°,設C￡=x,

CECEx8

在RtACEF中，tanZCFE=,則EF=---------------——x

EFtanZCFEtan21°3

CECEx4

在RtZXCEG中，tanZCGE=——，則GE=-----=-x

GEtanNCGEtan37°3

84

:EF=FG+EG,:.-x=50+-x.x=37.5,：.CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）.

33

答：古塔的高度約是39米.