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文檔簡介
平方根、立方根第6章實數(shù)1.平方根
根據(jù)上述問題的共同點:已知一個數(shù)的平方,求這個數(shù).由此我們抽象出下述概念:
一般地,如果有一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫作a的平方根,也叫作二次方根.例如:由于22=4,(-2)2=4,所以4的平方根是2和-2
(可以合寫為±2).換句話說,如果,那么x叫作a的平方根.x2=a1、平方根的概念問題1
如果一個數(shù)的平方等于16,這個數(shù)是多少?
想一想:4和-4有什么特征?
4和-4互為相反數(shù),會不會是巧合呢?由于,所以這個數(shù)是4或-4.(±4)2=162、平方根的性質(zhì)49...
...
一個正數(shù)的平方根有兩個,并且這兩個數(shù)是互為相反數(shù)。合作與交流觀察所填的數(shù)據(jù),填一填:1的平方根是
;16的平方根是
,...
;的平方根是
.
你發(fā)現(xiàn)了什么?a2±aa2±2±3±a1.144的平方根是什么?2.0的平方根是什么?3.的平方根是什么?4.-4有沒有平方根?為什么?0沒有,因為一個數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù)試一試平方根的性質(zhì):
1.正數(shù)有兩個平方根,兩個平方根互為相反數(shù).的平方根還是0.
3.負(fù)數(shù)沒有平方根.要點歸納典例精析例1
已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a-2和a-4,則a的值是______.解析:∵一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a-2和a-4,
∴2a-2+a-4=0,解得a=2.故答案為2.
一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù).歸納這樣,正數(shù)a的平方根可以用“”來表示.例如,4的平方根是2與-2,即為書寫方便,對正數(shù)a的平方根,我們有以下規(guī)定:a的負(fù)平方根記作讀作“負(fù)根號a”a的正平方根讀作“根號a”記作二、平方根的數(shù)學(xué)符號表示+1-1+2-2+3-3149平方運算我們知道已知一個數(shù),求它的平方的運算叫作平方運算.練一練:三、開平方的概念xx2+1-1+2-2+3-3149?運算那么已知一個數(shù)的平方,求這個數(shù)的運算叫作什么呢?xx2開平方與平方互為逆運算,根據(jù)這種關(guān)系,可以求一個數(shù)的平方根.
求一個非負(fù)數(shù)的平方根的運算,叫作開平方.特別規(guī)定:典例精析例2求下列各數(shù)的平方根:(1)64;(2)(4)
(5)
11.(3)0.0004;解:(1)∵,∴64的平方根為±8;(2)∵,∴的平方根為;
(3)∵,∴0.0004的平方根為±0.02;(4)∵,∴的平方根為±25;
(5)11的平方根是.
算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)二
我們把非負(fù)數(shù)a的正平方根叫作a的算術(shù)平方根.換句話說,如果非負(fù)數(shù)x滿足:x2=a
,那么x叫作a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記作
判斷下列說法是否正確.①25的算術(shù)平方根是5
();②25的平方根是5
();③5是25的平方根().√√注意區(qū)分“平方根”與“算術(shù)平方根”意義.練一練:例如:16的平方根是4和-4,其中4是16的算術(shù)平方根.
思考:正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的算術(shù)平方根各有幾個?正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù),0的算術(shù)平方根還是0,負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.類似平方根的討論,算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性a的算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的性質(zhì)例3
分別求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:(1)100;(2);(3)0.49.
解
(1)由于102=100,因此
.典例精析
(3)
由于0.72=0.49,因此.(2)由于42=,因此=4.
a()的算術(shù)平方根就是正平方根,且僅有一個歸納例4若|a-1|++=0,求a+b-c的值.解:a=1,b=2,c=3a+b-c=0
幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則每個數(shù)均為0,現(xiàn)階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)有絕對值、一個數(shù)的平方及算術(shù)平方根.歸納3.若,則a=
;2.若,則m=
;4.若|a-3|+,則代數(shù)式=___.1.若|a+3|=0,
則a=
;-375-1練一練到目前為止,表示非負(fù)數(shù)的式子有:|a|≥0,a2
≥0,
≥0,平方根、立方根第6章實數(shù)2.立方根立方根的概念
一般地,一個數(shù)的立方等于a,這個數(shù)就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根.記作.立方根的表示
一個數(shù)a的立方根可以表示為:根指數(shù)被開方數(shù)其中a是被開方數(shù),3是根指數(shù),3不能省略.讀作:三次根號a,填一填:
根據(jù)立方根的意義填空:
因為=8,所以8的立方根是();
因為(
)3=0.125,所以的立方是();因為(
)3
=0,所以0的立方根是();因為(
)3
=-8,所以-8的立方根是();因為(
)3
=,所以的立方().
02-20-2立方根的性質(zhì)
一個正數(shù)有一個正的立方根;一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根,零的立方根是零.立方根是它本身的數(shù)有1,-1,0;平方根是它本身的數(shù)只有0.知識要點解:一個數(shù)的立方根等于它本身的數(shù)有0,1,-1.當(dāng)1-a2=0時,a2=1,則a=±1;當(dāng)1-a2=1時,a2=0,則a=0;當(dāng)1-a2=-1時,a2=2,則a=.
例1.
已知,求a的值.平方根與立方根的異同
被開方數(shù)平方根立方根有兩個互為相反數(shù)有一個,是正數(shù)無平方根零有一個,是負(fù)數(shù)零正數(shù)負(fù)數(shù)零開立方及相關(guān)運算二a叫做被開方數(shù)3叫做根指數(shù)
每個數(shù)a都有一個立方根,記作,讀作“三次根號a”.如:x3=7時,x是7的立方根.求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方,a叫做被開方數(shù)注意:這個根指數(shù)3絕對不可省略.求一個數(shù)的立方根的運算叫作“開立方”.“開立方”與“立方”互為逆運算逆向思維
與學(xué)習(xí)開平方運算的過程一樣,體現(xiàn)著一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,你有體會了么?典例精析例2求下列各數(shù)的立方根:(1)(2)(3)(4)(5)-5解:(1)(2)(3)(4)(5)-3求下列各數(shù)的值:(1)0.5,(2)-4,(3)-4,(4)5,(5)16.練一練例3
求下列各式的值:例4
已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算術(shù)平方根.方法總結(jié):本題先根據(jù)平方根和立方根的定義,運用方程思想求出x,y值,再根據(jù)算術(shù)平
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