2024年上海市某中學高三數(shù)學高考三模試卷（附答案解析）

2024年上海市七寶中學高三數(shù)學高考三模試卷

本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.已知集合M=｛x［%+2N0｝,N=｛x\x-l<0｝,則McN=.

2.已知復數(shù)々=?2+3"（i為虛數(shù)單位），則z的實部為.

3.函數(shù)y=tan（-*+J）的最小正周期為____.

6

4.記樣本數(shù)據(jù)10,18,8,4,16,24,6,8,32的中位數(shù)為0,平均數(shù)為6,貝！|a-6=.

5.若口的二項展開式中第3項與第5項的系數(shù)相等，則該展開式中，的系數(shù)為.

yr>1

6.已知函數(shù)/（尤）=<3:二］，則/（logs2）的值為

7.數(shù)列｛。.｝滿足%+2-%=2,若。［=1,%=4,則數(shù)列｛%｝的前20項的和為.

22

8.已知數(shù)列｛%｝滿足?！?lt;%…點E,（2〃+l,%）在雙曲線土-乙=1上，則配出心|=.

9.兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖畫書不分給同

一個小朋友，則不同的分法共有種.

io.用/'（',「）表示點x與曲線r上任意一點距離的最小值.已知6。工+夕2=1及

0a：@-4/+/=4,設尸為。。上的動點，則〃尸,。，）的最大值為.

11.中國古代建筑的主要受力構件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加

工制成截面為矩形的梁，設與承載重力的方向垂直的寬度為X,與承載重力的方向平行的高度為外記矩

形截面抵抗矩少根據(jù)力學原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強，則寬x與高y的最佳

6

之比應為.

12.空間中48兩點間的距離為8,設鋁心片的面積為S,令％=印幣若月2即=3,則S的取值范

/=1

圍為?

二、選擇題（本大題滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.已知。<6<0,那么下列不等式成立的是（）

14.上海百聯(lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖,

則下述大小關系正確的為（）.

相關系數(shù)〃X°相關系數(shù)萬X°相關系數(shù)/'3X

A.^>^2>r3B.C.弓D.

15.已知函數(shù)/（x）=x2+21nx的圖像在4伍,［（占）），8值，/（%））兩個不同點處的切線相互平行，則下

面等式可能成立的是（）

A./+馬=2B.再+%=C.芭％2=2D./％

16.已知。4是圓柱。。下底面的一條半徑，OA=1,OOX=10,尸為該圓柱側(cè)面上一動點，垂直下

底面于點8,若PB=ZAOB,則對于下述結(jié)論：①動點P的軌跡為橢圓；②動點P的軌跡長度為20兀；

以下說法正確的為（）.

A.①②都正確B.①正確，②錯誤

C.①錯誤，②正確D.①②都錯誤

三、解答題（本大題滿分78分，第17-19題每題14分，第20-21題每題18分）

17.已知A48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且6a=2csitL4.

⑴求sinC的值；

（2）若c=3,求A/BC面積S的最大值.

18.如圖，在三棱柱/8C-N4G中，平面平面48C,AB1BC,四邊形NCQ4是邊長為2

的正方形.

⑴證明：BC/平面

（2）若直線4c與平面所成的角為30。，求二面角8-4C-N的余弦值.

19.如圖，已知正方體N8CD-4片GA頂點處有一質(zhì)點。，點。每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂

點移動，且向每個頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次，若質(zhì)點。的

初始位置位于點/處，記點。移動”次后仍在底面4BCD上的概率為月.

2

D、

⑴求A；

(2)證明：數(shù)列[勺-；]是等比數(shù)列；若《>黑，求”的最大值.

I乙Izuz1

20.將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”.已知橢圓石:土+/=1的左、右頂點分別為48,上

2

頂點為。.

⑴若橢圓產(chǎn):三+二=1與橢圓E在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)$的值；

s2

(2)設橢圓G:]+="0<力<1),過A作斜率為匕的直線7,與橢圓G有且只有一個公共點，過D作斜率

為質(zhì)的直線4與橢圓G有且只有一個公共點，求當力為何值時，同+冏取得最小值，并求其最小值；

22

(3)若橢圓a：二+匕=1?>2)與橢圓E在“一簇橢圓系”中，橢圓H上的任意一點記為試判斷

2t

的垂心M是否都在橢圓E上，并說明理由.

21.設t>0,函數(shù)了=f(x)的定義域為R.若對滿足的任意再、x2,均有/(工2)--(a)>，，則稱

函數(shù)了=/(x)具有“尸⑺性質(zhì)”.

(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)了=〃x)是否具有22)性質(zhì)，并說明理由；

…3-

①/(x)=]X；②/(x)=10sin2x；

⑵已知〃x)=aY,且函數(shù)y=/(x)具有尸⑴性質(zhì)，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)證明："函數(shù)y=/(x)-x為增函數(shù)”是“對任意t>Q,函數(shù)y=/(無)均具有尸⑺性質(zhì)”的充要條件.

1.{%|-2<x<1}

【分析】求出集合“、N,再根據(jù)交集的定義可得.

【詳解】由題意，M={x\x>-2},N={x|無<1},

二.McN={x|-2Wx<1}.

故答案為：{x|-2<x<1}

2.-3

【分析】利用復數(shù)的運算法則，化簡為“+6im,beR)的形式，即。為實部.

【詳角星】r=i(2+3i)=2i+3f=-3+2i.

所以復數(shù)的實部為-3.

故答案為：-3

3

3.幾

【分析】利用函數(shù)V=tan（ox+夕）的最小正周期計算公式即可求解.

【詳解】因為N=tanx的最小正周期為兀，

7t

所以函數(shù)〉=tan（0x+°）的最小正周期為^--,

jr.7T

所以函數(shù)7=1211（-元+2）的最小正周期為1^=兀，

故答案為：兀.

4.-4

【分析】先將樣本數(shù)據(jù)按從小到大進行排列，再根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)概念和公式進行計算即

可.

【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得4,6,8,8,10,16,18,24,32,

所以中位數(shù)。=10,

由平均數(shù)的計算公式得6=）（4+6+8+8+10+16+18+24+32）=14,

所以。-6=10-14=一4.

故答案為：-4.

5.6

【分析】求得二項式的展開式的通項公式，由題意可得C：=C：,可求得〃=6,可求A項的系數(shù).

X

【詳解】+的展開式為=g夕"一'4?！?C；|n2r

^c~fr=0,1,L,n,

因為二項展開式中第3項與第5項的系數(shù)相等，

所以C：=C：,所以〃=6,

令6-2廠=-4,解得廠=5,

所以該展開式中的A系數(shù)為C；=6.

X

故答案為：6.

6.-##0.5

2

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)幕與對數(shù)的運算法則，準確計算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)（）；：：1因為

/x[],，所以/（1嗝2）=3一02=3陶2一'=（

故答案為：y.

7.210

【分析】數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.

【詳解】數(shù)列｛4｝滿足=2,若%=1,Q4n4,則4=%-2=4-2=2,

4

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構成以1,2為首項，公差均為2的等差數(shù)列

所以數(shù)列｛%｝的前20項的和為4+4+…+。20=（4+。3+…+。19）+（。2+。4+…+%o）

［八110x9r1八c10x9.

=10x1+------x2+10x2+-------x2=210.

22

故答案為：210.

8.4

【分析】根據(jù)向量法，當“f+s時，福;與漸近線平行，且福;在X軸的投影為2,漸近線傾斜角為

2

a=60°,則lim|只只/=——，即可求出.

"->+8cosa

【詳解】作出示意圖如圖所示：

當"-+S時，可與漸近線平行，福;在x軸的投影為2,

不妨取漸近線了=爸》=6尤

令其傾斜角為a,貝Utana=6,

2

所以a=60。,所以lim\PnPj=

“一＞+力cosacos60°

故答案為：4.

9.15

【分析】按照分組的結(jié)果分類討論，利用分類加法原理求解即可.

【詳解】不妨記兩本相同的圖書為元素1/，兩本不同的音樂書為元素3,4,根據(jù)題意，分類討論:

若分組情況為13,1,4時，此時分配給三個小朋友的方法有A；=6種情況;

若分組情況為14,1,3時，此時分配給三個小朋友的方法有A；=6種情況;

若分組情況為34,1,1時，此時分配給三個小朋友的方法有C；=3種情況;

綜上，不同的分法共有6+6+3=15種.

故答案為：15

10.3

【分析】由圓心距與半徑的關系可得到兩圓相離，再由題意與圓的知識即可求解.

【詳解】如圖所示，

5

由于|OOJ=4>/+為，所以兩圓相離，因為尸為。。上的動點，/（尸,。，）=|尸。卜2,

所以要使/（尸,。Q）取得最大值，只需IP。"最大即可,

因為I尸。1k=1。。"+1=5,則/（尸,。a）的最大值為3.

故答案為：3.

11.—##-V2

22

【分析】根據(jù)題意可知少=gx（屋-/）=g（-/+屋，,（）<工<心利用導數(shù)判斷單調(diào)性和最值，進而可

得結(jié)果.

【詳解】設圓的直徑為d,則/+/=儲，即丁=十一無2,

由題意可得：FF=1x（4/2-x2）=1（-x3+</2x）,0<x<4/,貝1］沙，=g（-3/+/）=0,

向A

令少'>0時，解得0<》<火］；令印，<0時，md>x>—d-,

33

可知少在，,gd1單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則》=日4時，少取最大值.

V3,

所以之為=,

此時y=娓d.

y76d2

丁

故答案為：與

12.(0,12碼

【分析】根據(jù)公式，石=：［m+刈2-（，-Bp］對向量進行處理，再結(jié)合不等式得出

P、M-\6+\P2M-16+p?-16=0,即可推出點邛,￡,鳥在以M為球心4為半徑的球面上，從可求得

答案.

【詳解】由題意可知4=康?而|=|；［（以+祁）2-（以-磔）2］,

6

設48中點為貝1J耳1+而=2而，P^A-PJB=BA,

所以4=；（2府）2-瓦=由2_］6,

3___________

由￡2&=3,得2A+24+2&=3，則3=24+2&+2々33的入+廿4，

1=1

當且僅當2%=2冬二2&時等號成立，則2個&+%￡1,

-16+隔2-16

即4+4+44O,即<0,

貝"-?四2一16----+----歸-*-2"-16---+-----K-?2A?-16=0,即甲,20=1I6,耳，I河=4,

即點耳匕鳥在以M為球心4為半徑的球面上,

先說明圓的內(nèi)接三角形為正三角形時，面積最大;

設AZ8C為半徑為r的圓的內(nèi)接三角形，

則國”c=~absinC=—?2rsin4-2rsinS-sinC=2r2siii4sinBsinC

22

W2r21M+si,+smC),當且僅當sig=sin5=sinC時等號成立，

即“BC為正三角形時，其面積取到最大值空〃，

4

由于點斗鳥出在以M為球心4為半徑的球面上，故△耳￡4的面積S可以無限小,

Smax={X16=12V3，

即S的取值范圍為(0/26］,

故答案為：(012百］.

【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵要利用無3=：［(。+3)2-m-BA］以及均值不等式推出

--------?2I?2I?2

、

PM-\6+\P2M-16+pM-16=0,從而推出點斗鳥,A在以M為球心4為半徑的球面，即可求解.

13.D

【分析】利用特值或不等式的性質(zhì)可得答案.

【詳解】對于A,-2<-1<0,而-，>T,A不成立；

2

對于B,-2<-1<0,而(-2)x(-B不成立；

對于C,2_q=其上，因為。<6<0,所以06>0,/>62,---<0,即c不成立；

abababab

對于D,巴也一1=@,因為。<6<0,所以q>0,即巴吆>1,D成立.

bbbb

7

故選：D

14.C

【分析】根據(jù)散點圖判斷兩變量的線性相關性，再根據(jù)線性相關性與相關系數(shù)的關系判斷即可.

【詳解】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關，且線性相關性較強，故。＞0,

圖二、圖三兩個變量都成負相關，且圖二的線性相關性更強，

故々＜0,6＜0,故。＞弓＞々，所以外＞弓＞々.

故選：C.

15.B

【分析】函數(shù)在兩點處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點處的導數(shù)相等，得到三,z的關系，在結(jié)合不等式

求再+%的取值范圍即可.

【詳解】因為/'（x）=x2+21nx,x＞0.

2

所以/，（%）=2x+—,x＞0.

由因為/（X）在/（』,/（』）），8（尤2，/伍））兩個不同點處的切線相互平行，

22

所以/'（尤1）=/'（工2）=2西+￡=2工2+『，又再片工2，所以再％=1,故CD錯誤;

因為X］＞0,々＞0且國片％,所以尤［+、＞2,X］旦=2，故A不成立；

當王=』,％=3時，%+迎=W.故B成立.

故選：B

16.C

【分析】把側(cè)面展開，建立坐標系，可得尸的軌跡.

【詳解】以/為原點將圓柱側(cè)面和底面展開如下圖,

設尸（X/）,所以|48|=兇,|尸8|=了,

由題意，PB=ZAOB==\x\＞

所以當》＞0時》=九同理x＜0時一x=y,

所以點尸的軌跡在展開圖中為兩條互相垂直的線段，在圓柱面上不是橢圓,

兩條線段的長度均為血兀，故軌跡長為2收兀.

故選:C.

8

【點睛】關鍵點點睛：關鍵是通過展開把幾何體內(nèi)的動點轉(zhuǎn)化成平面中的動點問題，然后找動點橫縱坐

標的關系.

n

17.(1)—

2

⑵苧

【分析】(1)由正弦定理即可得sinC=";

2

(2)由余弦定理結(jié)合重要不等式可得ab取值范圍’再由三角形的面積公式5“叱=：“尺.0可求出面積

的最大值.

【詳解】(1)由題意可知，=2csinA,

由正弦定理得sin4=2sinCsinA，

因為4CG(0,7i),所以sin/wO,

Ji

即sinC=".

2

(2)由(1)可知sinC=Y_,

2

所以c=?或c=

33

在中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACXBCCOSC,

當。='時，。=3,

3

9=b2+a2-2ab--=b2+a2—ab>2ab—ab=ab,

2

當且僅當“=6=3時取等號，即仍<9,

=

故AABC的面積S^ABC=；absinC~~'ab.

當。=2?兀時，。=3,

3

9=b2+a2+2ab--=b2+a2+ab>2ab+ab=3ab,

2

當且僅當a=b=G時取等號，即仍43,

故^ABC的面積SABC=—absinC=^-ab<^^--

綜上所述，“BC的面積最大值為迪.

4

18.(1)證明見解析

9

【分析】（1）先證明平面NBC,從而得到進而即可證明BC1平面

（2）結(jié)合（1）及題意可得NBA?為直線4c與平面片4所成的角，即44c=30。,從而得到A,C=272,

BC=4i，AB=4i.（方法一）過點A作/。，/出，垂足為。，過點。作?！阓L&C,垂足為E,連

結(jié)/E,先證明BC_L4D,/。_1平面48。，再4c，平面/DE,從而證明NE，/。，從而可得//ED

是二面角8-4C-/的平面角，進而即可求出二面角2-4C-/的余弦值；（方法二）取NC的中點O,

連結(jié)30,先證明質(zhì)"平面NCG4,再取4G的中點。「以｛函阮M｝為基底，建立空間直角坐標

系。-xyz,再根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【詳解】（1）因為四邊形NCG4是正方形，所以N4LNC,

又平面ACC/1_L平面48C,44]U平面/CC]4，平面NCC14n平面48c=/C,所以J-平面48C,

因為3Cu平面4BC,所以N4J_8C,

又因為AB_LBC,AB,AAtu平面ABBlAl,ABcAAt=A,

所以BC/平面

（2）由（1）知，N84c為直線4c與平面所成的角，即N34c=30。，

又正方形/CC4的邊長為2,所以4c=2形，BC=血，所以/8=也，

（方法一）過點A作/。，/出，垂足為D,過點。作。E，4C,垂足為E,連結(jié)/E,

因為BC/平面,4Du平面48片4，所以3C_L4D,

又BC,4Bu平面48C,BCcA[B=B,所以4DL平面/田。，

又4Cu平面42C,則NO,4C，

10

又4D,OEu平面4DE,ADcDE=D,所以4c，平面4DE,

又/Eu平面4DE,所以N￡_L/C，

所以//ED是二面角8-4C-/的平面角，

在直角V4DE中，AE=垃,AD=^~,

所以sinZAED=,所以cosZ.AED=—，

AE33

即二面角B-A.C-A的余弦值為1.

3

(方法二)取/C的中點O,連結(jié)50,

因為=所以

又因為平面/CG4，平面平面4CG4n平面/5C=ZC,50U平面45。，所以80J.平面

ACCXAX,

取4G的中點a,則oa，/c,

以｛赤，灰，的｝為基底，建立空間直角坐標系。-到Z,

所以80,0,0),C(0,l,0),4(0-1,2),

所以苑=(-1,1,0),蘋=(0,2,-2),

設平面4BC的法向量為n=(x,y,z),

nIBC[ii-BC=-x+y=0.、

則一，即一"，取x=l,則元=1,1,1,

n1A,C(nlA,C=2y-2z=0

取平面//C的法向量彷=(1,0,0),

設二面角8-4C-4的大小為。，

11

"詞1

則|cosM=_Vj

問X畫一T'

因為二面角八4CT為銳角'所以cos八g

即二面角八善一的余弦值為，.

以⑴。

(2)證明見解析；6

【分析】(1)每個頂點相鄰的頂點有3個，其中2個在同一底面，據(jù)此計算概率即可；

(2)根據(jù)題意先得出遞推關系匕尸：月+；(1-0，再化簡變形即可得數(shù)列｛1-：｝是等比數(shù)列；求等比

數(shù)列的通項，進而得到月="*+<，再解不等式即可.

I乙J，X3/

【詳解】(1)依題意，每一個頂點有3個相鄰的頂點，其中兩個在同一底面，

所以當點。在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為:，

當點0在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為:，

所以2^=-2x-2+-1xi1=-5.

13233339

2111

(2)P^=-P?+-^-P?)=-Pn+-^

21211

又因為所以4-丁丁3=h0，

523Zo

所以數(shù)列是以g為首項，;為公比的等比數(shù)列；

-1

n11(\Y'10_11

"26⑴2x3〃2x3〃2

什「1013e111013

右尺,福,則雙十了詞‘所以3"<1012,

又3，=729,37=2187,〃eN”,所以〃W6,〃的最大值為6.

20.(l)s=4或s=l；

⑵彳=；，V2

(3)垂心M在橢圓E上，理由見解析

【分析】(1)求得橢圓￡的離心率，分類討論可求得$；

12

（2）可得直線/"的方程分別為了=以尤+亞），y=k2x+\,分別與橢圓聯(lián)立方程，利用判別式為0,可得

同=七寸臺’網(wǎng)=*《一’進而可求圈+回取得最小值；

（3）不妨設C（x。％）為橢圓石上的任意一點，此時￥+?=i,AA8C的垂心〃■的坐標為（時,加），連

接可求得」5rqs^=T，可得C（x.,23）,利用顯+/=1可得結(jié)論.

xM+V2x0-V22

【詳解】（1）因為橢圓E的離心率6=立，當s>2時，立二=也，解得s=4；

2V72

當0<s<2時，“2廠S=色,解得s=l.則s=4或s=l；

412

（2）易得,0）,。（0,1）,所以直線/1，4的方程分別為了=勺1+血），y=k2x+\,

y=kl(x+42)

2

聯(lián)立■■X22?消去歹并整理得(1+2k；)x++2-22=0,

—+V=1

12/

因為直線4與橢圓G相切，所以4=0，因為0<a<1,即%|=

y=k2x+1

聯(lián)立/,消去y并整理得（1+2代）x2++2-24=0,

一+J72~

因為直線，2與橢圓G相切，所以42二0,

因為0<4<1,即上|二

所以同+網(wǎng)225為=五,當且僅當網(wǎng)=網(wǎng)時，等號成立，此時％=

故當％時，同+同取得最小值，最小值為收.

13

22

(3)易知橢圓土+匕=1

24

不妨設C(x。,%)為橢圓a上的任意一點，此時尹*1,(1)

不妨設“3C的垂心W的坐標為(XM/M)，連接,

因為/(-夜,0),2(也,0),又CM工AB,所以

因為X.=/片土形所以一"/T,一生片=-1,