人教版八年級數(shù)學下冊《平行四邊形（第6課時）》示范教學設計

平行四邊形（第6課時）教學目標1．理解三角形的中位線的定義，掌握三角形的中位線定理的內容，能靈活應用三角形的中位線定理解決問題．2．經歷探索、猜想、證明三角形的中位線定理的過程，進一步發(fā)展推理論證的能力．教學重點探索并證明三角形的中位線定理．教學難點應用三角形的中位線定理解決問題．教學準備準備帶刻度的直尺、量角器和剪刀．教學過程新課導入鐵匠師傅要把一塊周長為30cm的等邊三角形鐵皮，裁成四塊形狀大小完全相同的小三角形鐵皮，你能幫助他想出辦法嗎？說說你的想法．你能求出每塊小三角形鐵皮的周長是多少嗎？【師生活動】學生小組討論，動手操作：先裁剪一個等邊三角形，再將其裁成四塊形狀大小完全相同的小三角形．學生通過思考、操作，得出答案，教師總結．【答案】取AB，AC，BC的中點D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，DF．則AD＝DB＝BF＝FC＝CE＝AE＝5cm．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．∴△ADE≌△DBF≌△EFC，且都是等邊三角形．∴DE＝DF＝EF＝5cm．∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF．每塊小三角形鐵皮的周長是15cm．【思考】如果是任意一塊三角形鐵皮，如何把它裁成四塊形狀大小完全相同的小三角形鐵皮呢？每塊小三角形鐵皮和原三角形鐵皮的周長有什么關系？【師生活動】教師引導學生類比裁剪等邊三角形的辦法，學生思考后回答：取AB，AC，BC的中點D，E，F(xiàn)，連接DE，EF，DF．學生發(fā)現(xiàn)無法證明裁剪出的四個三角形全等．教師引出本節(jié)課學習的內容：前面我們研究平行四邊形時，常常把它分成幾個三角形，利用三角形全等的性質研究平行四邊形的有關問題．本節(jié)課我們利用平行四邊形研究三角形的有關問題．【設計意圖】通過具體的問題，引出本節(jié)課學習的“三角形的中位線”，激發(fā)學生的學習興趣．新知探究一、探究學習【新知】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE．像DE這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線滿足的條件：①是一條線段；②連接三角形兩邊中點．【思考】一個三角形有幾條中位線？【師生活動】學生獨立思考，得出答案．【答案】一個三角形有三條中位線．如圖，在△ABC中，若點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，則DE，DF，EF是△ABC的中位線．【思考】三角形的中位線和中線一樣嗎？【師生活動】教師引導學生回憶三角形的中線的定義，學生小組討論，得出答案．【答案】中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段，中位線是連接三角形兩邊中點的線段．如圖，在△ABC中，若點D，E分別是AB，AC的中點，則CD，BE是△ABC的中線，DE是△ABC的中位線．【設計意圖】給出三角形的中位線的定義，通過兩個問題，加深學生對三角形的中位線的理解，讓學生能準確區(qū)分三角形的中位線和中線．【問題】觀察下圖，你能發(fā)現(xiàn)△ABC的中位線DE與邊BC的位置關系嗎？度量一下，DE與BC之間有什么數(shù)量關系？【師生活動】教師提示：研究線段，一般是先研究它們的位置關系，相交還是平行，如果相交，那么它們垂直嗎；再研究它們之間的數(shù)量關系，相等還是不相等，如果不相等，是倍數(shù)關系還是其他關系．學生根據(jù)提示，用直尺和量角器進行測量，得出答案：DE∥BC，DE＝BC．教師引導學生用文字總結，給出猜想．【猜想】三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．【設計意圖】通過觀察、度量的方式獲得猜想，發(fā)展學生的合情推理能力．【問題】你能證明這個猜想嗎？【師生活動】教師引導學生畫出圖形，寫出已知、求證．已知：如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點．求證：DE∥BC，且DE＝BC．教師提示：本題既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長等于另一條線段長的一半．將DE延長一倍后，可以將證明DE＝BC轉化為證明延長后的線段與BC相等．又由于E是AC的中點，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形構造一個平行四邊形，利用平行四邊形的性質進行證明．學生根據(jù)提示，完成證明．【答案】證明：如圖，延長DE到點F，使EF＝DE，連接FC，DC，AF．∵AE＝CE，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，ADCF．∴BDCF．∴四邊形DBCF是平行四邊形，DFBC．又∵DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC．【新知】三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．符號語言：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE＝BC．【提醒】三角形的中位線定理反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關系：一是位置關系，可以證兩直線平行；二是數(shù)量關系，可以證線段的倍分關系．【設計意圖】通過添加輔助線構造平行四邊形證明猜想，得到三角形的中位線定理，發(fā)展學生的演繹推理能力．【練習】（1）已知△ABC的面積是S，順次連接各邊中點D，E，F(xiàn)所得的四個三角形的面積各是多少？（2）如果△ABC三邊的長分別為a，b，c，那么順次連接各邊中點D，E，F(xiàn)所得的四個三角形的周長分別是多少？【師生活動】學生小組討論，完成作答，教師指導總結．【答案】解：（1）∵由三角形的中位線定理，得EF＝AB＝AD，DF＝AC＝AE，又∵DE＝ED，∴△ADE≌△FED（SSS），同理△FED≌△DBF，△FED≌△EFC．∴S△ADE＝S△FED＝S△DBF＝S△EFC＝S．（2）∵根據(jù)三角形的中位線定理，得DE＝a，EF＝c，DF＝b，∴△DEF的周長＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)．由（1）知△FED≌△ADE≌△DBF≌△EFC，∴△ADE，△DBF，△EFC的周長也是(a＋b＋c)．【歸納】一個三角形有三條中位線，這三條中位線將原三角形分割成四個全等的小三角形．每個小三角形的周長都是原三角形周長的，每個小三角形的面積都是原三角形面積的．【設計意圖】通過兩個問題，回顧導入的問題，鞏固學生對三角形的中位線定理的理解和掌握．二、典例精講【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分別是邊AB，AC的中點，DE＝4，AC＝10，求AB的長．【師生活動】學生獨立思考作答，請一名學生代表板演，教師講評．【答案】解：∵D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線．又∵DE＝4，∴BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝＝6．【歸納】三角形的中位線定理的兩個結論及四個應用．（1）兩個結論：①中位線與第三邊的位置關系——互相平行；②中位線與第三邊的數(shù)量關系——中位線等于第三邊的一半．（2）四個應用：①求線段的長度；②證明線段相等或平行；③求角的度數(shù)；④證明線段的倍分關系．【設計意圖】通過具體的問題，考查學生是否會運用三角形的中位線定理進行計算．【例2】如圖，為估計池塘兩岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN＝32m，求A，B兩點間的距離．【師生活動】學生獨立思考作答，請一名學生代表板演，教師講評．【答案】解：∵M，N分別是邊OA，OB的中點，∴MN是△AOB的中位線．∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．【歸納】“距離、高不可測，中位線來幫忙”．三角形中位線的有關知識，常用來解決以測量距離為背景的題目．解題時先把實際問題轉化為數(shù)學問題，再分兩步走：一定：依照三角形中位線的定義，確定哪條線段是三角形的中位線；二算：根