2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義-函數(shù)與方程解析版

專題13函數(shù)與方程

【題型歸納目錄】

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題

題型四：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

題型五：等高線問(wèn)題

題型六：二分法

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

一、函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)了=〃x),我們把使〃x)=0的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)>=的零點(diǎn).

二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系

方程〃x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=的圖像與x軸有公共點(diǎn)o函數(shù)y=有零點(diǎn).

三、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=在區(qū)間可上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(?)-/(*)<0

,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)內(nèi)有零點(diǎn),即存在ce(a,6),使得〃c)=O,c也就是方程/(無(wú))=0的

根.

四、二分法

對(duì)于區(qū)間［a,6］上連續(xù)不斷且/(a)"(6)<0的函數(shù)〃尤)，通過(guò)不斷地把函數(shù)/(%)的零點(diǎn)

所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求

方程〃x)=0的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.

五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

(1)確定區(qū)間6］,驗(yàn)證,給定精度e.

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)看.

(3)計(jì)算〃占).若〃占)=0,則%就是函數(shù)的零點(diǎn)；若〃力〃占)<0,則令6=不(此時(shí)零點(diǎn)

%).若〃占)<0,則令a=%(此時(shí)零點(diǎn)不€&/))

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡,即若|a-@<￡,則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為a(或6)；否則重復(fù)第(2)

—(4)步.

用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.

【方法技巧與總結(jié)】

函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧：

①若連續(xù)不斷的函數(shù)“X）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則“X）至多有一個(gè)零點(diǎn).

②連續(xù)不斷的函數(shù)/（無(wú)），其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).

③連續(xù)不斷的函數(shù)/（無(wú)）通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).

④連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）在閉區(qū)間m,6]上有零點(diǎn)，不一定能推出于④于⑻<0.

【典例例題】

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

【方法技巧與總結(jié)】

求函數(shù)/（X）零點(diǎn)的方法：

（1）代數(shù)法，即求方程/（X）=0的實(shí)根,適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)y=/（x）

的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

/\[J-x-lx<0

例1.（2023江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)〃x）=的零點(diǎn)是（）

[log3x-2x>0

A.（-1,0）,（9,0）B.-1,9C.（9,0）D.9

【答案】B

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=Q—1=0，解得x=—l

當(dāng)x>0時(shí)，/（^）=log3x-2=0,解得x=9

所以函數(shù),⑺的零點(diǎn)為：T，9

故選：B

例2（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)錯(cuò)函數(shù)f（x）=ax+b（a豐0）的零點(diǎn)為2，則函數(shù)g（x^bx2-ax的零點(diǎn)是；）

A.0,B.0,1C.0,2D.2,-1

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù).〃尤）=以+優(yōu)。30）的零點(diǎn)為2,所以/'（2）=2。+6=。,

a,2。+6=0,b^O,.

b2

^bx2-ax=0,得x=0或x=f=_1.

b2

故選：A.

3

例3.（2023.全國(guó)高三專題練習(xí)）若5是函數(shù)/（x）=2廠-6+3的一個(gè)零點(diǎn)，則〃元）的另一個(gè)零點(diǎn)為（）

A.1B.2C.(1,0)D.(2,0)

【答案】A

【解析】因?yàn)閨是函數(shù)/（x）=2f-依+3的一個(gè)零點(diǎn)，m/^=2x^|J-?x|+3=0,解得。=5.設(shè)

另一個(gè)零點(diǎn)為X。，則=5,解得%=1,所以〃尤）的另一個(gè)零點(diǎn)為1.

故選：A.

變式1.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）在下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=2*r-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C,（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】由題意，因?yàn)?（2）=22-2-3=-1<0,/（3）=23-3-3=2>0,

由零點(diǎn)存在定理，故函數(shù)/（》）=2'-彳-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2,3）

故選：C

2

變式2.（2023?全國(guó).高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=lnx--；的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

X—L

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】B

【解析】函數(shù)/（x）=lnx-一;在。,內(nèi)）上單調(diào)遞增，且在（L-）上連續(xù).

X—L

27

因?yàn)?2）=ln2-F=ln2-2<0,/（3）=ln3--=ln3-l>0,

所以/（2）〃3）<。,

所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（2,3）,

故選：B

變式3.（2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lgx+2x-7的零點(diǎn)在區(qū)間化女+l^eZ）上，則左=（）

A.1B.2C,3D,4

【答案】C

【解析】函數(shù)"X）的定義域?yàn)?+◎,且在（。，+◎上單調(diào)遞增，故其至多一個(gè)零點(diǎn)；

又/'（3）=lg3T<0,/（4）=lg4+l>0,故/⑺的零點(diǎn)在區(qū)間（3,4）,故％=3.

故選：c.

題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

【方法技巧與總結(jié)】

本類問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不

等式，解不等式，從而獲解.

例4.（2023.全國(guó).高三專題練習(xí)）函數(shù)/（尤）=2如+4.若在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，"的取值范圍是（）

A.1,2]B.[1,+co）C.[1,+ao）D.2,1]

【答案】C

【解析】當(dāng)〃2=。時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，沒(méi)有零點(diǎn)，不滿足題意，

所以Ax）=2g+4為一次函數(shù)，

因?yàn)椤盎?2爾+4在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

所以〃-2）〃l）W0,gp（-4m+4）（2m+4）<0,解得"?4一2或〃2".

故加的取值范圍是（-8，-2][1,+w）.

故選：C

例5.（2023金國(guó).高三專題練習(xí)）已知函數(shù)A》）=1.、「恰有2個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

9-（7—2x,x>l

A.（一叫4）B.（2,4）C.（4,7）D.（2,7）

【答案】B

【解析】由題意得：

作出函數(shù)g（無(wú)）=的圖象，如圖所示，由?。?。，得gQ）="，則直線尸。與g（x）的圖象恰有兩

9-2羽尤21

個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得”的取值范圍是（2,4）.

故選：B

巧,且滿足

0<西<1<無(wú)2<2,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.(2,5)B：2,||

C.2)u(5,+co)D.(—,+<w

【答案】B

【解析】令/(X)=YTX+1,且"0)=1,

所以只需滿足〃1)<0且〃2)>0即可，

即1一7+1<0且4—2/+1>0,解得2</<],

故選:B.

變式4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)了⑶=2*++Q的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.[-3,-1]B.[-2,-1]C.(-3,-1)D.(-2,-1)

【答案】C

1+。<0

【解析】易知函數(shù)"X)在(0,1)上單調(diào)遞增,且函數(shù)4X)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1)所以

〃1)>。3+(2>0

解得一3<a<—1.

故選：C

變式5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=3以+1-2a在區(qū)間（-1,1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a

的取值范圍是（）

A.g+JB.1-ifC.（-oo,-1）D.（-oo,-1）ug+j

【答案】D

【解析】當(dāng)4=0時(shí)，/（無(wú)）=1與X軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以。加；

函數(shù)/（X）=3"+1-2a在區(qū)間（-1,1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，

所以/（T）:/（1）<。，即（5。-1）（。+1）>0,

解得。-1或。.

故選：D.

變式6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃切=2，-1-。的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.（1,3）B.（1,2）C.（0,3）D.（0,2）

【答案】C

【解析】由題可知：函數(shù)=-。單調(diào)遞增，若一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則需：/（l）-f（2）<0,

即一■|一/<0,解得0<a<3,

故選：C.

題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題

【方法技巧與總結(jié)】

方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)

的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果

不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.

例7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若偶函數(shù)/Xx）滿足了（了-1）=/（彳+1）,在xe［0,l］時(shí)，/（x）=x2,則關(guān)于

尤的方程在［。，4］上根的個(gè)數(shù)是—.

【答案】4

【解析】“X）滿足〃xT）=/（x+l），故可得/（無(wú)）=/（尤+2），所以函數(shù)“X）是以2為周期的周期函數(shù),

且〃x）是偶函數(shù)

根據(jù)尤以0,1］,得該函數(shù)在［0,4］上的圖象為：

再在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)產(chǎn)由的圖象，當(dāng)x=l時(shí)，"1）=1,當(dāng)》=3時(shí)，"3）=1,而當(dāng)x>。時(shí)，

0<I<1

如圖，當(dāng)X￡［0,4］時(shí),兩函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn).

所以方程〃用=0,在［0,4］上有4個(gè)根.

故答案為：4.

/、fx+2,x<0

例8.（2023.全國(guó)偈三專題練習(xí)）函數(shù)=,2、°的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)________.

Ix-ie,x〉u

【答案】1

【解析】當(dāng)x<。時(shí)，〃尤）=x+2有一個(gè)零點(diǎn)一2；

當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=x+e2>0,無(wú)零點(diǎn)，

故函數(shù)〃x）=1+e2x>o的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)

故答案為：1

11

例9（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)股“力,。依次表示函數(shù)/（》）=》2-》+1，8（X）=1081x-x+\,h［x）^（-）x-x+\

22

的零點(diǎn)，則。也c的大小關(guān)系為.

【答案】b<c<a

±1

【解析】函數(shù)7'（x）=x2-x+l,g（無(wú)）=logix-尤+l,〃（x）=（7）x-x+l的零點(diǎn),

22

11

即為方程，=工-1,108產(chǎn)=尤-1,（5尸=*-1的解，

22

__11

在坐標(biāo)系中分別回出函數(shù)y=%2,y=log1x,y=（不）”與y=%T的圖象,

如圖所示，結(jié)合圖象，可得6<c<a.

故答案為:bvc<a.

變式7.（2023.重慶璧山.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=［引,則函數(shù)g（x）=/（x）-）的

|log2x|,x>0

零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】當(dāng)xWO時(shí)，由g（x）=0可得七］=；，解得戶1（舍去）；

當(dāng)x>0時(shí)，由g（x）=0可得隧2可=；，即1叫了=-；或地彳毛，解得x=*或日

綜上所述，函數(shù)g⑴的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

變式8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃力=凹1詞-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意,令/(力=閔111力1=0,即|ln尤|=0，

則函數(shù)〃x)=e11nx|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)〉=廠'與y=|ln乂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

>與y=|lnx|兩函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖知，兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)/(x)=e'|lnx|T的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

故選：B.

變式9.(2023?全國(guó).高三專題練習(xí))函數(shù)定義在R上的奇函數(shù)/⑴滿足在f(x+D-/(x)=0,則/(無(wú))在

彳日-3,3]上的零點(diǎn)至少有()個(gè)

A.6B.7

C.12D.13

【答案】D

【解析】"X)是奇函數(shù)，故/(0)=0,又由/(尤+1)-/(無(wú))=0得周期為I,故

/(-3)=/(-2)=/(-1)=/(I)=/(2)=/(3)=0,又/(f=/(_g),/(1)=-/(-1),因止匕/(；)=〃-；)=0,

k

再由周期為1，總之，有/(])=0,笈=0,北，2,m，4,#,6,共13個(gè)零點(diǎn)，

故選:D.

_X>0

變式10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃X）=X''則方程"X）-那=。的解的個(gè)數(shù)是（）

x+2,x,0,

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】令"X）-川=0，得〃尤）=加,則函數(shù)〃元）-州零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即函數(shù)〃x）與函數(shù)y=2國(guó)的交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

作出函數(shù)“X）與函數(shù)>=泄的圖像，可知兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,故方程/（力-州=0的解的個(gè)

數(shù)為2個(gè).

故選：C.

題型四：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

【方法技巧與總結(jié)】

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

13"1-1|r0

例10.（2023.河北?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/■（%）=I卜”若函數(shù)g（x）=/（x）”有3個(gè)零點(diǎn)，

Inx,x>0

則。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,2]C.(2,+oo)D,(1,+<?)

【答案】A

【解析】

要使函數(shù)g(x)=〃x)-a有三個(gè)零點(diǎn)，則有三個(gè)不相等的實(shí)根，即/(X)與y=。的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)xW—1時(shí)，f(x)=1-3"在(9,-!]上單調(diào)遞減,f(x)I[0,1);

當(dāng)-1<X40時(shí),〃x)=3，+J在(-1,0]上單調(diào)遞增,f(x)I(0,2];

當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=lnx在(0,+向上單調(diào)遞增，/(x)eR;

由〃x)與y=。的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得。<0』),

故選：A.

/、flnx-2x,x>0

例11.(2023.全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(X)=+2x+“工<0有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍

為()

A.0<a<lB.0<a<lC.0<a<lD.0<a<l

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，x>0時(shí)，/(x)=lnx-2x(x>0)，此時(shí)尸(x)=：-2

f(x)=』_2>0時(shí)，0<x<：；f(x)=!一2<0時(shí)，x>1,

所以“X)在(o,J上單調(diào)遞增，在1，+[上單調(diào)遞減

x>0時(shí)，〃xL=/1]=-ln2-l<0

所以/(x)在(0,+8)上無(wú)零點(diǎn)

從而xV0時(shí)，/(元)有2個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得

[?=4-4〃>0

[即。

故選：D.

例12（2023?全國(guó).高三專題練習(xí)塔函數(shù)〃尤）=；呼（1）；：>1存在2個(gè)零點(diǎn)則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為）

1一3-m,x<l

A.[-3,0）B.[-1,0）C.[0,1）D.[-3,+s）

【答案】A

【解析】因函數(shù)人無(wú)）在（1,+8）上單調(diào)遞增，且八2）=0,即危）在（1,+刈上有一個(gè)零點(diǎn)，

函數(shù)小"[個(gè)"一9：>1存在2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)於）在（-8,1]有一個(gè)零點(diǎn)，

-3-m,x<\

xWl時(shí)，/（x）=0u>%=-3"即函數(shù)y=-3"在（-8,1]上的圖象與直線尸根有一個(gè)公共點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線尸〃和函數(shù)、=-3?<1）的圖象，如圖：

%

0r~^

_____________\；y=m

4—'

而y=-3工在Goo,1]上單調(diào)遞減,且有-3<-3*<0則直線產(chǎn)機(jī)和函數(shù)y=-3'（x〈l）的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，

-3<m<0.

故選：A

題型五：等高線問(wèn)題

3％」

例13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)五功=',，若互不相等的實(shí)數(shù)制，無(wú)2,X3滿足/（X/）

--x+1,x>\

2

的取值范圍是（

\2）\2)

95

一（75）B.（l,4）C.(上,4)D.(4,6)

【答案】A

1+

1,%,1

【解析】畫出分段函數(shù)加）=受）

的圖像如圖：

令互不相等的實(shí)數(shù)x/,無(wú)2,X3滿足/'(X/)=7(X2)=/(尤3)=乙fG(0,g),

2

則尤/G(log2§,0),X2e(0,1),xje(1,2),

又一(0,1),

???TF+小堂)

故選：A.

例14.(2023?內(nèi)蒙古烏蘭察布?統(tǒng)考一模)函數(shù)式x)=|/-2x\,尤八尤2、尤3皿滿足：f(xi)=f(xi)=f(x3)=f(x4)=m,

)

C.1D-l

【答案】B

x,2;::或六，由題意〃力=現(xiàn)有4個(gè)實(shí)數(shù)根國(guó),%，當(dāng)，羽

【解析】

/W=-x+2x,0<x<2

由/(x)=-—2乂的圖像可知0<?2<1

所以％,W為-尤2+2*=加的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由求根公式可得\-到=J4-4機(jī)

則為，羽為/一2x=〃z的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由求根公式可得1-%|=j4+4〃z

由=x3-x2=.r4-x3,所以人一丹|=3匕一到

_________4

故Jl+4m=3也-m解得m=~

故選：B

fX2—2X+2,X>0

例15.（2023?四川內(nèi)江高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)/（x）=3x+4,x<0，若互不相等的實(shí)數(shù)尤/,以.滿足/（尤/）

=/（尤2）=/（X3）,則X1+X2+X3的取值范圍是（）

4

A.—,+ooB.C.D.(1,+co)

36

【答案】C

;二:;才°，函數(shù)的圖象如下圖所示:

【解析】函數(shù)"x）=

不妨設(shè)玉<々</，則巧，退關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故Z+X3=2,1<3%+4<2,

24

-1<%”-§,則玉+%+%3的取值范圍是：1<%+%2+冗3”J；

即%+超+尤3€(1,11

故選C.

題型六：二分法

例16.（2023?全國(guó).高三專題練習(xí)）函數(shù)了⑺的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如

下：

4廣2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

41.375)=-0.260f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052

那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（）

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【答案】C

【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù).”X）在區(qū)間（LL5）內(nèi)有一個(gè)根，

因?yàn)椤癓5）=0.625>。,f（1.25）=-0.984<0,

所以根在（L25』.5）內(nèi)，

因?yàn)閨1.5-1.25|=0.25>0.1,所以不滿足精確度，

繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)L375,

因?yàn)?（1.375）=-0.260<0,/（1.5）=0.625>0,

所以根在區(qū)間（L375,1.5）,

因?yàn)閨1.5-1.375|=。.125>。.1,所以不滿足精確度，

繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)1438,

因?yàn)椤?.438）=0.165>0,41.375）=-0.260<0,

所以根在區(qū)間（1.375,1438）內(nèi)，

因?yàn)?438-1.375|=0.063<0.1滿足精確度,

因?yàn)?（1.4065）=-0.052<0,所以根在（1.4065,1.438）內(nèi)，

所以方程的一個(gè)近似解為L(zhǎng)41,

故選：C

例17（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)用二分法研究函數(shù)/（力=%5+8%3-1的零點(diǎn)時(shí)第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得〃0）<0,

/（0.5）>0,則其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（）

A.（0,0.5）,/（0.125）B,（0,0.5）,f（0.375）

C.（0.5,1）,f（0.75）D.（0,0.5）,/（0.25）

【答案】D

【解析】因?yàn)?（0"。5）<0,

由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)與e（0,0.5）,

根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算（號(hào)口），即/（025）,

故選：D.

例18(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，

數(shù)據(jù)如下表：

/(1)=-2/(1.5)=0.625

“1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程丁+/_2-2=0的一個(gè)近似根(精確到0.1)為()

A.1.2B,1.3C,1.4D.1.5

【答案】C

【解析】根據(jù)二分法，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，

由于.438)=0.165>0,.4065)=-0.052<0

所以方程/+/一2元-2=0的一個(gè)近似根所在區(qū)間為(14065,1.438)

所以符合條件的解為14

故選:C.

變式11.(2023.全國(guó).高三專題練習(xí))利用二分法求方程log3x=3-x的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】設(shè)/(x)=log3%-3+x,

當(dāng)連續(xù)函數(shù)/⑺滿足/(a)?于(b)<0時(shí)，f(x)在區(qū)間(“力)上有零點(diǎn)，

即方程1。83工=3-苫在區(qū)間(。,》上有解，

又/(2)=log32-l<0,f(3)=log33-3+3=l>0,

故/(2)?/(3)<0,

故方程1。83苫=3-工在區(qū)間(2,3)上有解，

即利用二分法求方程唾3》=3T的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是(2,3).

故選：C.

變式12(2023.全國(guó)?高三專題練習(xí))用二分法求如圖所示的函數(shù)/(%)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是()

C.X,D.X4

【答案】C

【解析】由二分法的思想可知，零點(diǎn)內(nèi),X2,M左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即存在區(qū)間（a,b）,

使得由，X2,X4^（a,b），加）加）<0,故力，X2,尤4可以用二分法求解，

但尤3d（。,份時(shí)均有加）依）>0,故不可以用二分法求該零點(diǎn).

故選：C

變式13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知方程lgx=3-x的根在區(qū)間（2,3）上,第一次用二分法求其近似解

時(shí)，其根所在區(qū)間應(yīng)為.

【答案】（2.5,3）

【解析】令/（x）=lgx-3+x,其在定義域上單調(diào)遞增，

M/（2）=lg2-l<0,/（3）=lg3>0,

/（2.5）=lg2.5-0.5=lg^/625-lg^/i（）<0,

由/（2.5）/（3）<0知根所在區(qū)間為（2.5,3）.

故答案為：（2.5,3）.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?全國(guó).高三專題練習(xí)）函數(shù)Hx）="-x-1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-：B.0C.gD.0或-g

444

【答案】D

【解析】當(dāng)4=0時(shí)，函數(shù)/XX）=TT僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)。片0時(shí)，函數(shù)/'。）=加-xT僅有一個(gè)零點(diǎn)，可得△=1+4。=0,解得4=-；.

故選：D

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間■，力上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說(shuō)法中

正確的有（）

A.若/（。）/0）＞0,則不存在實(shí)數(shù)可，使得〃c）=0

B.若”4）/修）＜0,則存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c4小句，使得〃c）=0

C.若〃。）/伍）＞0,則可能存在實(shí)數(shù)。目區(qū)可，使得/（c）=。

D.若/⑷/僅）＜0,則可能不存在實(shí)數(shù)。目。,可，使得〃。）=0

【答案】C

【解析】對(duì)于A:令/（x）=f一1,區(qū)間取為［-2,2］,滿足〃-2）〃2）＞。，但是“X）在［-2,2］內(nèi)存在兩個(gè)

零點(diǎn)-1/1,故A錯(cuò)誤，C正確；

對(duì)于B:令〃x）=sinx,區(qū)間取為：，等，滿足L4等,gxf一；＜°，

但是/'（*）在內(nèi)存在三個(gè)零點(diǎn)"，2%，3萬(wàn)，故B錯(cuò)誤；

OO

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知a+c=O且“we，貝Uy="?+法+。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

【答案】C

2

【解析】a+c=O,:.a=-ct又。,.,.ac＜0,:.\=b-4ac＞0

，二次函數(shù)y=ax。+bx+c有2個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程f-5x+機(jī)=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】要使關(guān)于x的一元二次方程Y-5x+m=0有實(shí)數(shù)根，

R^A=52-4m>0,解得：m<—.

對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有A符合題意.

故選：A

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=2'+3》-3的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

【答案】B

【解析】因?yàn)槭荝上的增函數(shù)，且==,

所以的零點(diǎn)在區(qū)間g1內(nèi).

故選：B

6.(2023.全國(guó).高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)。是方程e'-r+s加=()的一個(gè)解，-。是方程/⑺-/+$加=0的

一個(gè)解，則〃x)可以是()

A./(x)=-e*B,f(x)^-e~xC./(x)=x3+siiuD./(x)=-x3+sinx

【答案】B

【解析】依題意e"-a3+sinq=O,f(-a)~(-a)3+sin(-t?)=0,

BPea=a3-sina,/(—<?)+<J3—sina=0，所以/(—a)=—a3+sina=—e",

即/(一。)=(-a)3-sin(-a)或〃-a)=-e*0,

所以“x)=—eT或〃尤)=V—sin尤;

故選：B

7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=ln(x+3)的圖像與函數(shù)g(x)=/-2|的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.0

【答案】C

【解析】在(-3,+00)上是增函數(shù)，gQ)在-衣和(0.0)上是減函數(shù)，在(-衣0)和(0,+8)上是增

函數(shù)，/(—2)=0,g(—0)=g(&)=。，g(0)=2>/(0)=ln3,

作出函數(shù)/⑴g(x)的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

I_+]xQ

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃尤)=；，若函數(shù)g(x)=/(x)-少有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的取

12—1,X<U

值范圍是()

A.0<Z?<lB.-1<Z?<OC,b<0D,-l<b<l

【答案】B

fY2I1yQ

【解析】作出函數(shù)〃x)=L「；的圖象，

\2x-l,x<0

畫出直線y=b,可得當(dāng)-1<人<0時(shí)，直線y=6和函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

則g。)有兩個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

9.(2023?全國(guó).高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=L心,若g(x)=〃x)-a有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

IXH,X-U

的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[1,+?))

【答案】A

【解析】令g(x)=〃x)-a=。，得=a,

在同一坐標(biāo)系中作出y=/(x),y=。的圖象，如圖所示：

由圖象知：若g(x)=/(x)-a有4個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是(0,1),

故選：A

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2*+x-4,g(x)=e'+x-4,/1(幻=出工+》一4的零點(diǎn)分另1

是a,6,c,則a,6,c的大小順序是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【解析】由已知條件得

/(X)的零點(diǎn)可以看成y=2'與y=4-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，g(x)的零點(diǎn)可以看成y=e'與.V=4-x的交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，以幻的零點(diǎn)可以看成>=lnx與y=4r?的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系分別畫出y=2,，y=ev,y=lnx,y=4-x的函數(shù)圖象，如下圖所示，

可知c>a>b,

故選：C.

11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由于函數(shù)由無(wú))在(0，+功上是增函數(shù)，且f(l)=T<0,〃3)=ln3>0,

故函數(shù)在(1,3)上有唯一零點(diǎn)，也即在(0,+句上有唯一零點(diǎn).

故選：B.

二、多選題

12.(2023.全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=e'-x-2在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)()

A.(—2,—1)B.(―1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】AD

221

【解析】f(-2)=e--(-2)-2=e->0,=-(-l)-2=e--l<0,

/(0)=e°-0-2=-l<0,/(l)=e1-l-2=e-3<0,

/(2)=e2-2-2=e2-4>0,

因?yàn)椤ㄒ?)/(—1)<。，〃1)/(2)<。

所以y⑺在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn).

故選：AD

/、fx2+10x+l,x<0,、，、

13.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃到=他乂彳>0，若關(guān)于x的方程=有四個(gè)實(shí)

數(shù)解占,々,工3，%，且&<匕，貝！|(%+々)(退一兒)的值可能是()

A.0B.1C.99D.100

【答案】BC

【解析】如圖所示：

因?yàn)殛P(guān)于X的方程/（x）=〃（〃￡R）有四個(gè)實(shí)數(shù)解不，工2，兀3，工4,且玉,

所以。

,=/+1。工+1的對(duì)稱軸為％=—5,所以玉+々=—10.

因?yàn)樾裉靯=怛匕|,所以坨鼻+坨匕=。,即%3%=1,X4=-J-

X3

因?yàn)殡S退|<1,所以

所以（石+九2）（%3-尤4）=-1。X3-----,

因?yàn)閥=To[x_1,±4尤<1為減函數(shù)-

所以(%+%)(三-無(wú)4)=-10N一：1(0,99].

故選：BC

14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知方程2爐—x—機(jī)=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2,一個(gè)小于2,則下列選項(xiàng)中滿

足要求的實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】CD

【解析】根據(jù)題意方程2r-x-機(jī)=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2,一個(gè)小于2,

則對(duì)/。)=2無(wú)2_%_祖,滿足〃2)＜0即可,即6-〃7＜0,解得機(jī)＞6.

選項(xiàng)中滿足m＞6的有機(jī)=7或加=8.

故選：CD.

2

15(2023.全國(guó)?高三專題練習(xí)圄數(shù)/。)=2工---"的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)則實(shí)數(shù)。的可能取值息)

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】BC

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=21y=-:在定義域｛#*0｝上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)“元)=2工G-a在｛小片0｝上單調(diào)遞增，

2

由函數(shù)"X)=的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，

得〃l)x〃2)=(2-2-a)(4-l—a)=(—a)x(3—a)＜。,

解得0＜。＜3,

故選：BC

16.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的有(