安徽省縣中聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

2024~2025學年安徽省縣中聯(lián)盟高三9月聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.滿分150分，芳試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.3.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.若，則（）A.B.C.D.3.已知向量，若，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.4.若，則（）A.B.C.D.5.已知圓柱和圓錐的底面半徑均為2，且它們的表面積相等，圓柱和圓錐的體積之比為，則圓錐的高為（）A.2B.C.4D.6.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，當時，把的圖象與直線的所有交點的橫坐標依次記為，記它們的和為，則（）A.B.C.20D.8.已知的定義域為，且，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解某品牌純凈水實際生產(chǎn)容量（單位：）情況，某中學研究小組抽取樣本，得到該品牌純凈水的實際容量的樣本均值為，樣本方差，假設該品牌純凈水的實際容量服從正態(tài)分布，則（）（若隨機變量服從正態(tài)分布，則）A.B.C.D.10.“”可以看作數(shù)學上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學上特殊的曲線.如圖所示的曲線過坐標原點上的點到兩定點的距離之積為定值.則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.若，則的方程為B.若上的點到兩定點的距離之積為16，則點在上C.若，點在上，則D.當時，上第一象限內(nèi)的點滿足的面積為，則11.設函數(shù)，則（）A.若有三個不同的零點，則B.存在，使得為曲線的對稱軸C.存在，使得點為函數(shù)的對稱中心D.若曲線上有且僅有四點能構成一個正方形，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某中學舉行數(shù)學解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：，則這7人成績的上四分位數(shù)與極差之和是__________.13.若曲線在點處的切線與曲線在處相切，則__________.14.設雙曲線的左?右焦點分別是.過右焦點作軸的垂線，過雙曲線左支上一點作的垂線，垂足為，若存在點使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（本小題滿分13分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若，求的值；（2）在（1）的條件下，求的面積.16.（本小題滿分15分）已知橢圓上有兩點和.（1）求橢圓的焦距；（2）試探究是否存在過點，且與橢圓交于不同的兩點，并滿足的直線？若不存在，說明理由；若存在，求出直線的方程.17.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐中，底面，底面為菱形，分別為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若且有2個不同的極值點，求證：.19.（本小題滿分17分）拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這些士兵不能站在自己原來的位置上.（1）如果只有3個士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個呢？（2）假設原來有個士兵，解散以后不能站在自己原來位置上的站法為種，寫出和之間的遞推關系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）假設讓站好的一排個士兵解散后立即隨機站成一排，記這些士兵都沒有站到原位的概率為，證明：當無窮大時，趨近于.（參考公式：….）.2024~2025學年安徽省縣中聯(lián)盟高三9月聯(lián)考·數(shù)學參考答案?提示及評分細則一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案CDAADCAB二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.題號91011答案ADACDACD1.C，所以，故選C.2.D設復數(shù)，則.因為，所以，整理得，所以，故選D.3.A因為，所以.又因為，所以，故在上的投影向量為-，故選A.4.A由得，所以，所以，所以，故選A.5.D設圓柱高為，圓錐高為，母線長為，底面半徑均為2，則，.因為，所以①；又因為，所以②.由①②得，故選D.6.C當時，單調(diào)遞減，因為在上單調(diào)遞減，分情況討論：當時，，此時，符合題意；當時，需滿足，解得.綜上，，故選C.7.A，則或，解得或，所以，故選A.8.B令，得，所以.令，得，所以，所以是偶函數(shù).令，得①，故②，由①②知，所以，所以，所以的一個周期是6.由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函數(shù)可得：所以，所以.故選B.9.AD因為，所以，因為，故，故A正確，B錯誤；，又因為，所以，所以，故C錯誤；，所以，故D正確.故選AD.10.ACD已知原點在上，則，設為上任意一點，則有，整理得.若，則的方程為，故A正確；若，則，將代入方程得，顯然點（不在此曲線上，故B錯誤；若，點在上，有，整理得，所以，故C正確；因為的面積，則，所以點是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點，聯(lián)立方程組解得，所以，故D正確.故選ACD.11.ACD因為有三個不同的零點，所以，所以，所以，所以A正確；對于B，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)不相等，原等式不可能成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，B錯誤；對于C，，由得，即是的對稱中心，故時，是的對稱中心，故C正確；對于D，由，得，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以曲線上不存在4個點能構成正方形，所以，因為的圖象關于點對稱，所以此正方形的中心為，不妨設正方形的4個頂點分別為，其中一條對角線的方程為，則，解得，所以，同理可得，由，得，化簡得根據(jù)題意可知方程只有一個正解，因為時上式不成立，所以，所以，因為，所以，得，設，則，令，由題意可知，只需要直線與函數(shù)的圖象只有唯一的公共點即可，結合對勾函數(shù)圖象可知-，得，所以D正確.故選ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.125將7個數(shù)據(jù)從小到大排列為，因為，所以這7人成績的上四分位數(shù)是97.極差為，故上四分位數(shù)與極差之和是.13.由題得，所以，所以切線，即.因為，所以，所以.14.設，則，設，由題意得，，則，兩邊平方得，整理得，又，所以，變形得到，即上式在上有解，其中，令，則，要想使得在上有解，只需要的圖象開口向上，即，即，所以，解得，故離心率的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.解：（1）由正弦定理可得，又，則.又因為，所以，由余弦定理得，解得.（2）由及，得.因為，所以，所以.16.解：（1）由題意得，解得，所以，所以橢圓的焦距為6.（2）假設存在該直線，分情況討論：當直線的斜率不存在時，顯然不成立；當直線的斜率存在時，設直線聯(lián)立得令，得.所以，取的中點，則，若，則，即，所以，解得的值不存在.綜上，不存在滿足題意的直線.17.（1）證明：連接交于點，因為平面，而平面，所以.因為底面為菱形，所以.因為平面，所以平面.因為分別為的中點，所以，所以平面.（2）解：取的中點，連接，由題得，所以平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.因為底面為菱形，，所以，則.所以.設平面的法向量，則，令，得，則.設平面的法向量，則，令，得，則.設二面角的大小為，所以.所以，即二面角的正弦值為.18.解：（1）的定義域為，由題可得，設，則在上單調(diào)遞增，且，若，則時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；若，則時，單調(diào)遞減，或時，單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞增；若，則時，單調(diào)遞減，或時，單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知時，恒有2個極值點，令，則，所以，設，則設，則在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在，使得，即，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.19.（1）解：當有3個士兵時，重新站成一排有2種站法；當有4個士兵時，假設先安排甲，有3種站法，比如甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3種站法，剩下的兩個人都只有1種站法，由乘法原理可得有種站法.（2）解：易知.如果有個人，解散后都不站