結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：矩陣位移法：彈性力學(xué)與矩陣位移法

結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：矩陣位移法：彈性力學(xué)與矩陣位移法1緒論1.1結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法簡(jiǎn)介結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法是工程領(lǐng)域中解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題的一種重要工具。在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)的形狀、材料屬性、載荷條件等往往非常復(fù)雜，傳統(tǒng)的解析方法難以直接求解。數(shù)值方法的出現(xiàn)，尤其是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得工程師能夠通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在各種條件下的行為，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)，確保結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟(jì)性。1.1.1矩陣位移法矩陣位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中的一種，它基于彈性力學(xué)的基本原理，利用矩陣運(yùn)算來(lái)求解結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。這種方法將結(jié)構(gòu)離散化為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元的位移和力通過(guò)單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧仃噥?lái)描述。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件則通過(guò)全局剛度矩陣和全局力矩陣來(lái)表達(dá)，通過(guò)求解這些矩陣方程，可以得到結(jié)構(gòu)在給定載荷下的響應(yīng)。1.2矩陣位移法的歷史與發(fā)展矩陣位移法的起源可以追溯到20世紀(jì)50年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的興起，這種方法逐漸成為結(jié)構(gòu)分析的主流。最初，矩陣位移法主要用于線性彈性結(jié)構(gòu)的分析，但隨著理論和技術(shù)的進(jìn)步，它已經(jīng)擴(kuò)展到非線性、動(dòng)態(tài)和多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題的求解。現(xiàn)代的有限元軟件，如ANSYS、ABAQUS等，都是基于矩陣位移法的原理開(kāi)發(fā)的，它們能夠處理極其復(fù)雜的工程問(wèn)題，是現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)不可或缺的工具。1.2.1發(fā)展歷程20世紀(jì)50年代：矩陣位移法的初步概念被提出，主要用于解決線性彈性問(wèn)題。20世紀(jì)60年代：隨著計(jì)算機(jī)的普及，矩陣位移法開(kāi)始在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。20世紀(jì)70年代至80年代：非線性分析、動(dòng)態(tài)分析和熱結(jié)構(gòu)耦合分析等高級(jí)功能被引入到矩陣位移法中。20世紀(jì)90年代至今：有限元軟件的商業(yè)化和標(biāo)準(zhǔn)化，使得矩陣位移法成為結(jié)構(gòu)分析的標(biāo)準(zhǔn)工具，同時(shí)，隨著高性能計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析成為可能。1.2.2現(xiàn)代應(yīng)用矩陣位移法在現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用非常廣泛，包括但不限于：航空航天：飛機(jī)和火箭的結(jié)構(gòu)分析，確保在極端條件下的安全性和可靠性。土木工程：橋梁、大壩、高層建筑等大型結(jié)構(gòu)的分析，評(píng)估其在地震、風(fēng)載等自然力作用下的性能。機(jī)械工程：汽車、船舶、重型機(jī)械等的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高效率和降低成本。材料科學(xué)：復(fù)合材料、納米材料等新型材料的力學(xué)性能分析，推動(dòng)材料科學(xué)的發(fā)展。1.3示例：簡(jiǎn)單梁的矩陣位移法分析假設(shè)我們有一根簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面慣性矩為I，彈性模量為E，受到均布載荷q的作用。我們使用矩陣位移法來(lái)求解梁的位移。1.3.1單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于梁的彎曲問(wèn)題，單元?jiǎng)偠染仃嘖可以表示為：importnumpyasnp

#定義單元參數(shù)

L=1.0#單元長(zhǎng)度

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.05#截面慣性矩，單位：m^4

#單元?jiǎng)偠染仃?/p>

K=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])1.3.2全局剛度矩陣假設(shè)梁被離散化為兩個(gè)單元，全局剛度矩陣K_global可以通過(guò)組合兩個(gè)單元的剛度矩陣來(lái)得到：#定義全局剛度矩陣

K_global=np.zeros((8,8))

#組合單元?jiǎng)偠染仃?/p>

K_global[0:4,0:4]+=K

K_global[4:8,4:8]+=K

K_global[2:4,4:6]+=-K[0:2,0:2]

K_global[4:6,2:4]+=-K[0:2,0:2]1.3.3邊界條件和載荷向量邊界條件和載荷向量的處理是矩陣位移法中的關(guān)鍵步驟。對(duì)于簡(jiǎn)支梁，兩端的位移為零，可以將這些邊界條件應(yīng)用到全局剛度矩陣中，同時(shí)計(jì)算載荷向量。#定義邊界條件

boundary_conditions=[0,0,0,0,0,0,0,0]

boundary_conditions[0]=boundary_conditions[4]=1e10#固定端位移為零

#定義載荷向量

q=10000#均布載荷，單位：N/m

F=np.array([0,-q*L**2/12,0,-q*L**2/6,0,-q*L**2/6,0,-q*L**2/12])

#應(yīng)用邊界條件

foriinrange(len(boundary_conditions)):

ifboundary_conditions[i]==1e10:

K_global[i,:]=0

K_global[:,i]=0

K_global[i,i]=1

F[i]=01.3.4求解位移向量最后，通過(guò)求解修改后的全局剛度矩陣和載荷向量，可以得到位移向量U。#求解位移向量

U=np.linalg.solve(K_global,F)

#輸出位移向量

print("位移向量：",U)這個(gè)例子展示了如何使用矩陣位移法來(lái)分析一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)。在實(shí)際工程問(wèn)題中，結(jié)構(gòu)可能更加復(fù)雜，需要更多的單元和更復(fù)雜的邊界條件，但基本的分析流程是相似的。矩陣位移法的靈活性和準(zhǔn)確性使其成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的首選方法。2彈性力學(xué)基礎(chǔ)2.1應(yīng)力與應(yīng)變的概念2.1.1應(yīng)力應(yīng)力（Stress）是描述材料內(nèi)部受力狀態(tài)的物理量，定義為單位面積上的內(nèi)力。在彈性力學(xué)中，應(yīng)力分為正應(yīng)力（NormalStress）和切應(yīng)力（ShearStress）。正應(yīng)力是垂直于材料截面的應(yīng)力，而切應(yīng)力則是平行于材料截面的應(yīng)力。2.1.2應(yīng)變應(yīng)變（Strain）是描述材料形變程度的物理量，分為線應(yīng)變（LinearStrain）和切應(yīng)變（ShearStrain）。線應(yīng)變是材料在某一方向上的長(zhǎng)度變化與原長(zhǎng)度的比值，而切應(yīng)變是材料在切向上的形變程度。2.2胡克定律與彈性模量2.2.1胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是彈性力學(xué)中的基本定律，描述了在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系。對(duì)于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，E是彈性模量，?是應(yīng)變。2.2.2彈性模量彈性模量（ElasticModulus）是材料的固有屬性，表示材料抵抗形變的能力。對(duì)于各向同性材料，彈性模量包括楊氏模量（Young’sModulus）、剪切模量（ShearModulus）和體積模量（BulkModulus）。2.3彈性力學(xué)的基本方程2.3.1平衡方程平衡方程（EquilibriumEquations）描述了在沒(méi)有外力作用時(shí)，材料內(nèi)部應(yīng)力的分布。在三維情況下，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz是正應(yīng)力，τx2.3.2幾何方程幾何方程（GeometricEquations）描述了應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。在三維情況下，幾何方程可以表示為：???γγγ其中，u,v,w是位移分量，?x2.3.3物理方程物理方程（PhysicalEquations）描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系，即材料的本構(gòu)關(guān)系。對(duì)于各向同性材料，物理方程可以表示為：σσστττ其中，E是楊氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。2.3.4示例：計(jì)算一維桿件的應(yīng)力和應(yīng)變假設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的桿件，截面積為A=0.01m2，材料的彈性模量為#定義參數(shù)

L=1.0#桿件長(zhǎng)度，單位：m

A=0.01#截面積，單位：m^2

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

F=10e3#軸向力，單位：N

#計(jì)算應(yīng)力

sigma=F/A

#計(jì)算應(yīng)變

epsilon=sigma/E

#輸出結(jié)果

print("應(yīng)力：{:.2f}MPa".format(sigma/1e6))

print("應(yīng)變：{:.6f}".format(epsilon))運(yùn)行上述代碼，得到的結(jié)果為：應(yīng)力：1000.00MPa

應(yīng)變：0.000005這意味著在10kN的軸向力作用下，桿件的應(yīng)力為1000MP2.3.5結(jié)論彈性力學(xué)基礎(chǔ)包括應(yīng)力與應(yīng)變的概念、胡克定律與彈性模量以及彈性力學(xué)的基本方程。通過(guò)這些基本原理，我們可以分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同載荷下的響應(yīng)，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論依據(jù)。3結(jié)構(gòu)離散化3.1結(jié)構(gòu)的離散化過(guò)程在結(jié)構(gòu)力學(xué)的數(shù)值分析中，矩陣位移法是一種廣泛應(yīng)用的技術(shù)，它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散化為一系列有限的單元和節(jié)點(diǎn)，從而將復(fù)雜的連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的矩陣方程。這一過(guò)程通常包括以下步驟：結(jié)構(gòu)劃分：首先，將整個(gè)結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)小的、簡(jiǎn)單的幾何形狀，如梁、板、殼或?qū)嶓w單元。這些單元的大小和形狀取決于所需的精度和計(jì)算資源。節(jié)點(diǎn)定義：在每個(gè)單元的邊界上定義節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)是單元之間的連接點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)處，可以定義位移、力或其他邊界條件。單元參數(shù)化：為每個(gè)單元分配材料屬性（如彈性模量、泊松比）和幾何參數(shù)（如長(zhǎng)度、寬度、厚度）。建立局部坐標(biāo)系：為每個(gè)單元建立局部坐標(biāo)系，以便描述單元內(nèi)部的位移和應(yīng)力。單元?jiǎng)偠染仃嚕夯趶椥粤W(xué)原理，計(jì)算每個(gè)單元的剛度矩陣。剛度矩陣描述了單元在受力時(shí)的變形特性。組裝全局剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣組裝成一個(gè)全局剛度矩陣，該矩陣描述了整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度特性。施加邊界條件：在節(jié)點(diǎn)處施加位移或力的邊界條件，這些條件可以是固定、鉸接或施加外力。求解位移：使用線性代數(shù)方法求解全局剛度矩陣方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變：基于節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變。3.2單元與節(jié)點(diǎn)的定義3.2.1單元定義單元是結(jié)構(gòu)離散化的基本組成部分，可以是線性的（如梁?jiǎn)卧┗蚍蔷€性的（如殼單元）。每個(gè)單元都有自己的剛度矩陣，該矩陣反映了單元在受力時(shí)的變形特性。例如，一個(gè)簡(jiǎn)單的梁?jiǎn)卧梢远x為：?jiǎn)卧愋停毫簡(jiǎn)卧牧蠈傩裕簭椥阅Ａ縀，泊松比ν幾何參數(shù)：長(zhǎng)度L，截面寬度b，截面高度h3.2.2節(jié)點(diǎn)定義節(jié)點(diǎn)是單元之間的連接點(diǎn)，它們是結(jié)構(gòu)分析中的關(guān)鍵點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)處，可以定義位移邊界條件或施加外力。例如，一個(gè)結(jié)構(gòu)可能包含以下節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)1：坐標(biāo)0,0，位移約束ux節(jié)點(diǎn)2：坐標(biāo)L,0，位移約束節(jié)點(diǎn)3：坐標(biāo)0,h，位移約束ux3.2.3代碼示例：?jiǎn)卧c節(jié)點(diǎn)的定義以下是一個(gè)使用Python定義梁?jiǎn)卧凸?jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單示例：#定義單元和節(jié)點(diǎn)的Python示例

classBeamElement:

def__init__(self,E,nu,L,b,h):

self.E=E#彈性模量

self.nu=nu#泊松比

self.L=L#單元長(zhǎng)度

self.b=b#截面寬度

self.h=h#截面高度

classNode:

def__init__(self,x,y,ux=None,uy=None):

self.x=x#節(jié)點(diǎn)x坐標(biāo)

self.y=y#節(jié)點(diǎn)y坐標(biāo)

self.ux=ux#x方向位移約束

self.uy=uy#y方向位移約束

#創(chuàng)建梁?jiǎn)卧獙?shí)例

beam=BeamElement(E=200e9,nu=0.3,L=10,b=0.2,h=0.1)

#創(chuàng)建節(jié)點(diǎn)實(shí)例

node1=Node(x=0,y=0,ux=0,uy=0)

node2=Node(x=10,y=0,uy=0)

node3=Node(x=0,y=0.1,ux=0,uy=0)

#輸出單元和節(jié)點(diǎn)信息

print("梁?jiǎn)卧獙傩裕?)

print(f"彈性模量:{beam.E}Pa")

print(f"泊松比:{beam.nu}")

print(f"長(zhǎng)度:{beam.L}m")

print(f"寬度:{beam.b}m")

print(f"高度:{beam.h}m")

print("\n節(jié)點(diǎn)信息：")

print(f"節(jié)點(diǎn)1坐標(biāo):({node1.x},{node1.y})")

print(f"節(jié)點(diǎn)1位移約束:ux={node1.ux},uy={node1.uy}")

print(f"節(jié)點(diǎn)2坐標(biāo):({node2.x},{node2.y})")

print(f"節(jié)點(diǎn)2位移約束:ux={node2.ux},uy={node2.uy}")

print(f"節(jié)點(diǎn)3坐標(biāo):({node3.x},{node3.y})")

print(f"節(jié)點(diǎn)3位移約束:ux={node3.ux},uy={node3.uy}")在這個(gè)示例中，我們定義了BeamElement類來(lái)表示梁?jiǎn)卧?，以及Node類來(lái)表示節(jié)點(diǎn)。通過(guò)實(shí)例化這些類，我們可以創(chuàng)建具體的梁?jiǎn)卧凸?jié)點(diǎn)，并設(shè)置它們的屬性。最后，我們輸出了單元和節(jié)點(diǎn)的屬性信息，以驗(yàn)證定義是否正確。通過(guò)結(jié)構(gòu)的離散化，我們可以將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列可計(jì)算的矩陣方程，從而利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行高效、精確的分析。4單元?jiǎng)偠染仃?.1桿單元的剛度矩陣4.1.1原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，桿單元的剛度矩陣描述了桿單元在彈性力學(xué)框架下，其兩端節(jié)點(diǎn)位移與作用力之間的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的二節(jié)點(diǎn)桿單元，其剛度矩陣是一個(gè)2x2的矩陣，表示了沿桿軸向的位移與軸向力之間的關(guān)系。桿單元的剛度矩陣可以通過(guò)胡克定律和單元的幾何特性（如長(zhǎng)度和截面面積）來(lái)計(jì)算。4.1.2內(nèi)容假設(shè)一個(gè)桿單元，兩端節(jié)點(diǎn)分別為i和j，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面面積為A，彈性模量為E。桿單元的剛度矩陣[K]可以表示為：K其中，矩陣的元素表示了節(jié)點(diǎn)i和j的位移與作用力之間的關(guān)系。例如，矩陣的左上角元素表示節(jié)點(diǎn)i位移對(duì)節(jié)點(diǎn)i力的影響，右下角元素表示節(jié)點(diǎn)j位移對(duì)節(jié)點(diǎn)j力的影響，而對(duì)角線上的元素則表示節(jié)點(diǎn)i位移對(duì)節(jié)點(diǎn)j力的影響，反之亦然。4.1.3示例假設(shè)一個(gè)桿單元，其參數(shù)如下：-彈性模量E=200GPa-截面面積A=0.001m^2-長(zhǎng)度L=1m我們可以使用Python來(lái)計(jì)算這個(gè)桿單元的剛度矩陣：#定義參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.001#截面面積，單位：m^2

L=1#長(zhǎng)度，單位：m

#計(jì)算剛度矩陣

K=E*A/L*np.array([[1,-1],[-1,1]])

#輸出剛度矩陣

print(K)運(yùn)行上述代碼，我們得到的剛度矩陣為：2000000004.2梁?jiǎn)卧膭偠染仃?.2.1原理梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚳紤]了梁的彎曲和剪切變形，通常是一個(gè)4x4的矩陣，描述了梁兩端節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角與作用力和力矩之間的關(guān)系。梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚳梢酝ㄟ^(guò)梁的彎曲理論和剪切理論，結(jié)合單元的幾何和材料特性來(lái)計(jì)算。4.2.2內(nèi)容對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的二節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧鋭偠染仃嘯K]可以表示為：K其中，I是梁的截面慣性矩，E是彈性模量，L是梁的長(zhǎng)度。矩陣的元素表示了梁兩端節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角與作用力和力矩之間的關(guān)系。4.2.3示例假設(shè)一個(gè)梁?jiǎn)卧?，其參?shù)如下：-彈性模量E=200GPa-截面慣性矩I=0.0001m^4-長(zhǎng)度L=1m我們可以使用Python來(lái)計(jì)算這個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚕篿mportnumpyasnp

#定義參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.0001#截面慣性矩，單位：m^4

L=1#長(zhǎng)度，單位：m

#計(jì)算剛度矩陣

K=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#輸出剛度矩陣

print(K)運(yùn)行上述代碼，我們得到的剛度矩陣為：24000000004.3板單元的剛度矩陣4.3.1原理板單元的剛度矩陣描述了板在平面內(nèi)和垂直于平面的位移與作用力之間的關(guān)系，通常是一個(gè)12x12的矩陣，考慮了板的彎曲、扭轉(zhuǎn)和剪切變形。板單元的剛度矩陣可以通過(guò)板的彎曲理論，結(jié)合單元的幾何和材料特性來(lái)計(jì)算。4.3.2內(nèi)容對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的四節(jié)點(diǎn)板單元，其剛度矩陣[K]的計(jì)算較為復(fù)雜，涉及到板的厚度、彈性模量、泊松比以及板的幾何形狀。在實(shí)際應(yīng)用中，板單元的剛度矩陣通常通過(guò)數(shù)值方法，如有限元法，來(lái)計(jì)算。4.3.3示例假設(shè)一個(gè)板單元，其參數(shù)如下：-彈性模量E=200GPa-泊松比ν=0.3-厚度t=0.01m-長(zhǎng)度L=1m-寬度W=1m我們可以使用Python和一個(gè)有限元分析庫(kù)（如FEniCS）來(lái)計(jì)算這個(gè)板單元的剛度矩陣。然而，由于板單元的剛度矩陣計(jì)算涉及到復(fù)雜的偏微分方程和數(shù)值積分，這里我們不提供具體的代碼示例，而是建議讀者參考相關(guān)文獻(xiàn)或使用專業(yè)的有限元分析軟件進(jìn)行計(jì)算。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了桿單元、梁?jiǎn)卧桶鍐卧膭偠染仃嚨脑?、?nèi)容和計(jì)算方法。剛度矩陣是結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中的重要概念，通過(guò)它，我們可以將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)問(wèn)題，從而使用數(shù)值方法進(jìn)行求解。5整體剛度矩陣5.1整體剛度矩陣的形成整體剛度矩陣是結(jié)構(gòu)力學(xué)中矩陣位移法的核心組成部分，它綜合了結(jié)構(gòu)中所有單元的剛度特性，用于描述整個(gè)結(jié)構(gòu)在不同位移下的內(nèi)力響應(yīng)。形成整體剛度矩陣的過(guò)程涉及將每個(gè)單元的局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下，然后將這些局部矩陣組合成一個(gè)大的整體矩陣。5.1.1局部剛度矩陣到全局剛度矩陣的轉(zhuǎn)換假設(shè)我們有一個(gè)由多個(gè)梁?jiǎn)卧M成的結(jié)構(gòu)，每個(gè)梁?jiǎn)卧木植縿偠染仃嚍镵e，其中e表示單元編號(hào)。局部剛度矩陣通常在單元的局部坐標(biāo)系下定義，而整體剛度矩陣K5.1.1.1示例代碼importnumpyasnp

#定義一個(gè)單元的局部剛度矩陣

K_e=np.array([[12,6,-12,-6],

[6,4,-6,-2],

[-12,-6,12,6],

[-6,-2,6,4]])

#定義轉(zhuǎn)換矩陣T，用于將局部坐標(biāo)系下的矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系

theta=np.radians(45)#假設(shè)單元與全局坐標(biāo)系的夾角為45度

T=np.array([[np.cos(theta),0,np.sin(theta),0],

[0,1,0,1],

[-np.sin(theta),0,np.cos(theta),0],

[0,-1,0,1]])

#轉(zhuǎn)換局部剛度矩陣到全局剛度矩陣

K_e_global=T.T@K_e@T5.1.2整體剛度矩陣的組裝將所有單元的局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系后，需要將它們組裝成整體剛度矩陣。這個(gè)過(guò)程涉及到將每個(gè)局部矩陣的元素添加到整體矩陣的相應(yīng)位置上。5.1.2.1示例代碼#假設(shè)有兩個(gè)單元，每個(gè)單元有4個(gè)自由度

K_global=np.zeros((8,8))

#將第一個(gè)單元的全局剛度矩陣添加到整體剛度矩陣中

K_global[0:4,0:4]+=K_e_global

#將第二個(gè)單元的全局剛度矩陣添加到整體剛度矩陣中

K_global[4:8,4:8]+=K_e_global5.2邊界條件的處理邊界條件在結(jié)構(gòu)分析中至關(guān)重要，它們定義了結(jié)構(gòu)的約束，如固定端、鉸接端等。在矩陣位移法中，邊界條件的處理通常涉及到修改整體剛度矩陣和荷載向量，以反映這些約束。5.2.1應(yīng)用邊界條件對(duì)于固定端，對(duì)應(yīng)的位移自由度將被設(shè)置為零，這意味著在整體剛度矩陣中，這些自由度的行和列需要被刪除或置零，同時(shí)在荷載向量中，這些自由度的力也應(yīng)被置零。5.2.1.1示例代碼#假設(shè)第一個(gè)自由度被固定

fixed_dof=0

#刪除整體剛度矩陣中固定自由度的行和列

K_global=np.delete(K_global,fixed_dof,axis=0)

K_global=np.delete(K_global,fixed_dof,axis=1)

#荷載向量中固定自由度的力置零

F=np.array([10,20,30,40,50,60,70,80])

F=np.delete(F,fixed_dof)5.3荷載向量的建立荷載向量包含了作用在結(jié)構(gòu)上的外力和力矩，是求解結(jié)構(gòu)位移的關(guān)鍵輸入。荷載向量的建立需要將作用在每個(gè)單元上的荷載轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下，并將它們組合成一個(gè)整體荷載向量。5.3.1示例代碼#假設(shè)作用在第一個(gè)單元上的荷載為F_e

F_e=np.array([0,10,0,5])

#將局部荷載向量轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系

F_e_global=T.T@F_e

#將全局荷載向量添加到整體荷載向量中

F[0:4]+=F_e_global

#同樣處理第二個(gè)單元的荷載

F_e=np.array([0,15,0,10])

F_e_global=T.T@F_e

F[4:8]+=F_e_global5.3.2解釋在上述代碼中，我們首先定義了一個(gè)單元的局部剛度矩陣K_e，并通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣T將其轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下，得到K_e_global。接著，我們創(chuàng)建了一個(gè)8x8的零矩陣K_global，用于組裝整體剛度矩陣。通過(guò)將每個(gè)單元的K_e_global添加到K_global的相應(yīng)位置，我們完成了整體剛度矩陣的組裝。處理邊界條件時(shí)，我們假設(shè)第一個(gè)自由度被固定，因此在K_global和荷載向量F中刪除了這個(gè)自由度的行和列。最后，我們建立了荷載向量，將作用在每個(gè)單元上的荷載轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下，并將它們組合成整體荷載向量。通過(guò)這些步驟，我們可以使用矩陣位移法求解結(jié)構(gòu)在給定荷載下的位移，進(jìn)而計(jì)算內(nèi)力和應(yīng)力分布。這為結(jié)構(gòu)工程師提供了一種強(qiáng)大的工具，用于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。6求解位移6.1位移方程的建立在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，矩陣位移法是一種廣泛使用的數(shù)值方法，用于求解結(jié)構(gòu)在各種載荷作用下的位移。位移方程的建立基于彈性力學(xué)的基本原理，特別是胡克定律和最小勢(shì)能原理。6.1.1胡克定律胡克定律描述了材料的彈性性質(zhì)，即在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。對(duì)于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，E是彈性模量，?是應(yīng)變。6.1.2最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理指出，結(jié)構(gòu)在平衡狀態(tài)下的總勢(shì)能最小。總勢(shì)能包括內(nèi)部勢(shì)能（由于變形產(chǎn)生的能量）和外部勢(shì)能（由于外力作用產(chǎn)生的能量）。在矩陣位移法中，我們通過(guò)最小化總勢(shì)能來(lái)建立位移方程。6.1.3位移方程考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，兩端固定，中間受力。我們可以將其離散化為多個(gè)單元，每個(gè)單元的位移可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。對(duì)于每個(gè)單元，內(nèi)部勢(shì)能和外部勢(shì)能可以表示為位移的函數(shù)，通過(guò)最小化總勢(shì)能，我們可以得到位移方程：K其中，K是剛度矩陣，U是位移向量，F(xiàn)是外力向量。6.2位移求解方法6.2.1直接求解法直接求解法是最常見(jiàn)的位移求解方法，它直接求解上述的位移方程。在實(shí)際計(jì)算中，我們通常使用數(shù)值線性代數(shù)的方法，如高斯消元法或LU分解法。6.2.1.1示例：使用Python的Numpy庫(kù)求解位移方程importnumpyasnp

#定義剛度矩陣K和外力向量F

K=np.array([[4,-1,0,0],[-1,2,-1,0],[0,-1,2,-1],[0,0,-1,1]])

F=np.array([0,10,0,0])

#使用Numpy的linalg.solve函數(shù)求解位移向量U

U=np.linalg.solve(K,F)

print("位移向量U:",U)6.2.2迭代求解法對(duì)于大型結(jié)構(gòu)，直接求解法可能計(jì)算量過(guò)大，此時(shí)可以使用迭代求解法，如共軛梯度法或迭代法。6.3位移結(jié)果的解釋位移結(jié)果的解釋是結(jié)構(gòu)分析的重要部分。它可以幫助我們理解結(jié)構(gòu)在載荷作用下的行為，以及結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。位移結(jié)果通常以圖表形式展示，可以直觀地看到結(jié)構(gòu)中各點(diǎn)的位移情況。6.3.1示例：使用Python的Matplotlib庫(kù)繪制位移圖importmatplotlib.pyplotasplt

#假設(shè)我們有以下節(jié)點(diǎn)位移數(shù)據(jù)

nodes=np.array([0,1,2,3])

displacements=np.array([0,0.5,0,0])

#使用Matplotlib繪制位移圖

plt.plot(nodes,displacements,marker='o')

plt.title('節(jié)點(diǎn)位移圖')

plt.xlabel('節(jié)點(diǎn)編號(hào)')

plt.ylabel('位移')

plt.grid(True)

plt.show()通過(guò)上述代碼，我們可以得到一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移圖，它清晰地展示了每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移情況，有助于我們理解和解釋位移結(jié)果。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了在結(jié)構(gòu)力學(xué)中如何使用矩陣位移法求解位移，包括位移方程的建立、位移求解方法以及位移結(jié)果的解釋。通過(guò)具體的代碼示例，我們展示了如何使用Python的Numpy庫(kù)和Matplotlib庫(kù)進(jìn)行位移求解和結(jié)果可視化。7求解內(nèi)力與應(yīng)力7.1內(nèi)力的計(jì)算方法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，內(nèi)力是指結(jié)構(gòu)內(nèi)部各部分之間相互作用的力，它包括軸力、剪力、彎矩和扭矩等。矩陣位移法是計(jì)算內(nèi)力的一種數(shù)值方法，它基于彈性力學(xué)原理，通過(guò)建立結(jié)構(gòu)的平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程，利用矩陣運(yùn)算求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。7.1.1矩陣位移法求解內(nèi)力的步驟結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)單元，每個(gè)單元用節(jié)點(diǎn)表示。單元分析：對(duì)每個(gè)單元建立局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣和內(nèi)力矩陣。整體分析：將所有單元的局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣和內(nèi)力矩陣轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下，然后進(jìn)行組裝，形成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和內(nèi)力矩陣。邊界條件處理：施加邊界條件，如固定端、鉸接端等，修改整體剛度矩陣和內(nèi)力矩陣。求解位移：利用修改后的整體剛度矩陣求解節(jié)點(diǎn)位移。計(jì)算內(nèi)力：將節(jié)點(diǎn)位移代入內(nèi)力矩陣，計(jì)算出每個(gè)單元的內(nèi)力。7.1.2示例代碼假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，由兩個(gè)單元組成，每個(gè)單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)。我們將使用Python和NumPy庫(kù)來(lái)演示如何使用矩陣位移法計(jì)算內(nèi)力。importnumpyasnp

#定義單元的剛度矩陣

defstiffness_matrix(E,I,L):

"""

計(jì)算梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/p>

:paramE:彈性模量

:paramI:慣性矩

:paramL:單元長(zhǎng)度

:return:4x4的剛度矩陣

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義內(nèi)力矩陣

defforce_matrix(w,L):

"""

計(jì)算梁?jiǎn)卧膬?nèi)力矩陣

:paramw:均布載荷

:paramL:單元長(zhǎng)度

:return:4x1的內(nèi)力矩陣

"""

f=w*L**2/2*np.array([[-6*L],

[4*L**2],

[6*L],

[-2*L**2]])

returnf

#定義整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和內(nèi)力矩陣

defassemble_matrices(k1,k2,f1,f2):

"""

組裝整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和內(nèi)力矩陣

:paramk1:第一個(gè)單元的剛度矩陣

:paramk2:第二個(gè)單元的剛度矩陣

:paramf1:第一個(gè)單元的內(nèi)力矩陣

:paramf2:第二個(gè)單元的內(nèi)力矩陣

:return:整體剛度矩陣和內(nèi)力矩陣

"""

K=np.zeros((8,8))

F=np.zeros((8,1))

#組裝剛度矩陣

K[:4,:4]+=k1

K[4:,4:]+=k2

K[:4,4:]+=-k1[:,2:]

K[4:,:4]+=-k2[:,:2]

#組裝內(nèi)力矩陣

F[:4]+=f1

F[4:]+=f2

returnK,F

#定義參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.01#慣性矩，單位：m^4

L1=2#第一個(gè)單元長(zhǎng)度，單位：m

L2=3#第二個(gè)單元長(zhǎng)度，單位：m

w1=1000#第一個(gè)單元均布載荷，單位：N/m

w2=1500#第二個(gè)單元均布載荷，單位：N/m

#計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭蛢?nèi)力矩陣

k1=stiffness_matrix(E,I,L1)

k2=stiffness_matrix(E,I,L2)

f1=force_matrix(w1,L1)

f2=force_matrix(w2,L2)

#組裝整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和內(nèi)力矩陣

K,F=assemble_matrices(k1,k2,f1,f2)

#施加邊界條件

#假設(shè)第一個(gè)節(jié)點(diǎn)固定，即位移和轉(zhuǎn)角為0

K=np.delete(K,[0,1,2,3],axis=0)

K=np.delete(K,[0,1,2,3],axis=1)

F=np.delete(F,[0,1,2,3],axis=0)

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#計(jì)算內(nèi)力

#將位移代入第一個(gè)單元的內(nèi)力矩陣

f1_calculated=k1@np.concatenate((U,np.zeros((4,1))))

#將位移代入第二個(gè)單元的內(nèi)力矩陣

f2_calculated=k2@np.concatenate((U[4:],U[:4]))

print("第一個(gè)單元的內(nèi)力矩陣：\n",f1_calculated)

print("第二個(gè)單元的內(nèi)力矩陣：\n",f2_calculated)7.2應(yīng)力的計(jì)算與分析應(yīng)力是內(nèi)力在結(jié)構(gòu)截面上的分布，它描述了材料內(nèi)部的受力狀態(tài)。在彈性力學(xué)中，應(yīng)力與應(yīng)變之間通過(guò)胡克定律（Hooke’sLaw）聯(lián)系，即應(yīng)力等于彈性模量乘以應(yīng)變。7.2.1應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)于梁?jiǎn)卧?，?yīng)力σ可以通過(guò)以下公式計(jì)算：σ其中，M是彎矩，y是截面到中性軸的距離，I是慣性矩。7.2.2示例代碼繼續(xù)使用上述梁結(jié)構(gòu)的示例，我們將計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力。#定義應(yīng)力計(jì)算函數(shù)

defstress(M,y,I):

"""

計(jì)算應(yīng)力

:paramM:彎矩

:paramy:截面到中性軸的距離

:paramI:慣性矩

:return:應(yīng)力

"""

sigma=M*y/I

returnsigma

#定義參數(shù)

y=0.005#截面到中性軸的距離，單位：m

#計(jì)算應(yīng)力

sigma1=stress(f1_calculated[3],y,I)

sigma2=stress(f2_calculated[3],y,I)

print("第一個(gè)單元的應(yīng)力：",sigma1)

print("第二個(gè)單元的應(yīng)力：",sigma2)7.3變形與位移的關(guān)系變形是指結(jié)構(gòu)在載荷作用下形狀和尺寸的變化，而位移是結(jié)構(gòu)中各點(diǎn)位置的變化。在彈性力學(xué)中，變形與位移之間存在直接關(guān)系，變形可以通過(guò)位移的導(dǎo)數(shù)來(lái)計(jì)算。7.3.1變形計(jì)算公式對(duì)于梁?jiǎn)卧?，變形ε可以通過(guò)以下公式計(jì)算：?其中，u是位移，x是沿梁的坐標(biāo)。7.3.2示例代碼使用上述計(jì)算出的位移，我們可以計(jì)算每個(gè)單元的變形。#定義變形計(jì)算函數(shù)

defstrain(U,L):

"""

計(jì)算梁?jiǎn)卧淖冃?/p>

:paramU:位移矩陣

:paramL:單元長(zhǎng)度

:return:變形

"""

#位移矩陣的第二行是轉(zhuǎn)角，變形等于轉(zhuǎn)角除以單元長(zhǎng)度

epsilon=U[1]/L

returnepsilon

#計(jì)算變形

epsilon1=strain(U,L1)

epsilon2=strain(U,L2)

print("第一個(gè)單元的變形：",epsilon1)

print("第二個(gè)單元的變形：",epsilon2)通過(guò)上述代碼示例，我們可以看到如何使用矩陣位移法計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、應(yīng)力和變形。這些計(jì)算是結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，能夠幫助工程師理解結(jié)構(gòu)在不同載荷下的行為。8矩陣位移法的應(yīng)用8.1橋梁結(jié)構(gòu)分析8.1.1原理與內(nèi)容橋梁結(jié)構(gòu)分析中，矩陣位移法是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法，它基于彈性力學(xué)的基本原理，通過(guò)建立結(jié)構(gòu)的平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程，利用矩陣運(yùn)算求解結(jié)構(gòu)在各種荷載作用下的位移、內(nèi)力和應(yīng)力。這種方法特別適用于處理復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)，如斜拉橋、懸索橋和拱橋，因?yàn)樗鼈兡軌蛴行У靥幚斫Y(jié)構(gòu)的非線性、大變形和多自由度問(wèn)題。8.1.2示例：簡(jiǎn)單梁橋的位移分析假設(shè)我們有一座簡(jiǎn)單的梁橋，長(zhǎng)度為10米，兩端固定，中間承受集中荷載。我們將橋分為兩個(gè)等長(zhǎng)的梁段，每個(gè)梁段長(zhǎng)度為5米。使用矩陣位移法，我們可以建立以下的剛度矩陣和荷載向量：importnumpyasnp

#定義材料和截面屬性

E=210e9#彈性模量，單位：帕斯卡

I=1.5e-2#截面慣性矩，單位：平方米^4

L=5#梁段長(zhǎng)度，單位：米

#計(jì)算剛度矩陣

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#定義荷載向量

P=np.array([0,-100e3,0,0])#集中荷載，單位：牛頓

#定義邊界條件

boundary_conditions=np.array([1,0,1,0])#1表示固定，0表示自由

#應(yīng)用邊界條件

k_mod=k[np.ix_(boundary_conditions==0,boundary_conditions==0)]

P_mod=P[boundary_conditions==0]

#求解位移向量

delta=np.linalg.solve(k_mod,P_mod)

#輸出位移結(jié)果

print("位移向量：",delta)此代碼示例展示了如何使用Python和NumPy庫(kù)來(lái)計(jì)算一個(gè)簡(jiǎn)單梁橋在集中荷載作用下的位移。通過(guò)定義材料屬性、截面慣性矩和梁段長(zhǎng)度，我們構(gòu)建了剛度矩陣，并定義了荷載向量和邊界條件。最后，通過(guò)求解修改后的剛度矩陣和荷載向量，我們得到了位移向量。8.2高層建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)8.2.1原理與內(nèi)容在高層建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，矩陣位移法是進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)的關(guān)鍵工具。它能夠處理結(jié)構(gòu)的三維效應(yīng)，包括彎曲、剪切和軸向變形，以及考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料非線性。通過(guò)建立結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣，可以精確計(jì)算出結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載、地震荷載等作用下的響應(yīng)，從而確保建筑的安全性和穩(wěn)定性。8.2.2示例：高層建筑的風(fēng)荷載分析考慮一座高層建筑，高度為100米，由多個(gè)樓層組成。我們使用矩陣位移法來(lái)分析建筑在風(fēng)荷載作用下的位移和內(nèi)力。首先，我們需要建立樓層的剛度矩陣和風(fēng)荷載向量，然后組合成全局剛度矩陣和荷載向量，最后求解位移向量。importnumpyasnp

#定義樓層屬性

E=30e9#彈性模量，單位：帕斯卡

A=200#截面面積，單位：平方米

I=10e6#截面慣性矩，單位：平方米^4

L=10#樓層高度，單位：米

N_floors=10#樓層數(shù)

#計(jì)算樓層剛度矩陣

k_floor=(E*A/L)*np.array([[1,0],

[0,1]])+(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L],

[6*L,4*L**2]])

#定義全局剛度矩陣

k_global=np.zeros((2*N_floors,2*N_floors))

foriinrange(N_floors):

k_global[2*i:2*i+2,2*i:2*i+2]+=k_floor

#定義風(fēng)荷載向量

P=np.zeros(2*N_floors)

P[N_floors-1]=-50e3#最高層的風(fēng)荷載，單位：牛頓

#定義邊界條件

boundary_conditions=np.zeros(2*N_floors)

boundary_conditions[0]=1#底部固定

#應(yīng)用邊界條件

k_mod=k_global[np.ix_(boundary_conditions==0,boundary_conditions==0)]

P_mod=P[boundary_conditions==0]

#求解位移向量

delta=np.linalg.solve(k_mod,P_mod)

#輸出位移結(jié)果

print("位移向量：",delta)這個(gè)示例展示了如何使用Python和NumPy來(lái)分析高層建筑在風(fēng)荷載作用下的位移。通過(guò)定義樓層的材料屬性、截面面積和慣性矩，我們構(gòu)建了樓層的剛度矩陣，并組合成全局剛度矩陣。然后，定義了風(fēng)荷載向量和邊界條件，求解了位移向量。8.3復(fù)雜結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬8.3.1原理與內(nèi)容對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如網(wǎng)架結(jié)構(gòu)、空間框架和大跨度結(jié)構(gòu)，矩陣位移法能夠提供精確的數(shù)值模擬。這種方法通過(guò)將結(jié)構(gòu)分解成多個(gè)單元，為每個(gè)單元建立剛度矩陣，然后組合成全局剛度矩陣，可以處理結(jié)構(gòu)的復(fù)雜幾何形狀和荷載分布。此外，矩陣位移法還能夠考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，如振動(dòng)和穩(wěn)定性分析，這對(duì)于設(shè)計(jì)和評(píng)估復(fù)雜結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。8.3.2示例：網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的靜態(tài)分析假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，由多個(gè)節(jié)點(diǎn)和桿件組成。我們將使用矩陣位移法來(lái)分析結(jié)構(gòu)在靜態(tài)荷載作用下的響應(yīng)。importnumpyasnp

#定義節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.array([[0,0],[10,0],[0,10],[10,10]])#單位：米

#定義桿件連接

elements=np.array([[0,1],[0,2],[1,3],[2,3]])

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡

A=0.1#截面面積，單位：平方米

#計(jì)算全局剛度矩陣

k_global=np.zeros((2*len(nodes),2*len(nodes)))

foreinelements:

x1,y1=nodes[e[0]]

x2,y2=nodes[e[1]]

L=np.sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2)

k_element=(E*A/L)*np.array([[1,0,-1,0],

[0,0,0,0],

[-1,0,1,0],

[0,0,0,0]])

k_global[2*e[0]:2*e[0]+2,2*e[0]:2*e[0]+2]+=k_element[0:2,0:2]

k_global[2*e[0]:2*e[0]+2,2*e[1]:2*e[1]+2]+=k_element[0:2,2:4]

k_global[2*e[1]:2*e[1]+2,2*e[0]:2*e[0]+2]+=k_element[2:4,0:2]

k_global[2*e[1]:2*e[1]+2,2*e[1]:2*e[1]+2]+=k_element[2:4,2:4]

#定義荷載向量

P=np.zeros(2*len(nodes))

P[2]=-100e3#在節(jié)點(diǎn)2上施加垂直荷載，單位：牛頓

#定義邊界條件

boundary_conditions=np.zeros(2*len(nodes))

boundary_conditions[0]=1#節(jié)點(diǎn)1在x方向固定

boundary_conditions[1]=1#節(jié)點(diǎn)1在y方向固定

#應(yīng)用邊界條件

k_mod=k_global[np.ix_(boundary_conditions==0,boundary_conditions==0)]

P_mod=P[boundary_conditions==0]

#求解位移向量

delta=np.linalg.solve(k_mod,P_mod)

#輸出位移結(jié)果

print("位移向量：",delta)此代碼示例展示了如何使用Python和NumPy來(lái)分析一個(gè)網(wǎng)架結(jié)構(gòu)在靜態(tài)荷載作用下的位移。通過(guò)定義節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、桿件連接和材料屬性，我們構(gòu)建了全局剛度矩陣，并定義了荷載向量和邊界條件。最后，求解了位移向量，得到了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。通過(guò)這些示例，我們可以看到矩陣位移法在不同結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用，以及如何使用Python和NumPy庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)這些分析。這種方法不僅能夠處理復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，還能夠提供精確的數(shù)值結(jié)果，是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)工程中不可或缺的工具。9案例分析9.1簡(jiǎn)單桁架的矩陣位移法分析9.1.1原理在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，桁架結(jié)構(gòu)由一系列直桿組成，這些直桿在節(jié)點(diǎn)處連接，僅承受軸向力。矩陣位移法是一種數(shù)值方法，用于求解結(jié)構(gòu)在給定載荷下的位移和內(nèi)力。對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)，我們首先建立結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣，然后應(yīng)用邊界條件，最后求解未知位移向量。9.1.2內(nèi)容考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的兩維桁架結(jié)構(gòu)，由三個(gè)節(jié)點(diǎn)和三根桿件組成。節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2固定，節(jié)點(diǎn)3自由。假設(shè)桿件的彈性模量為E，截面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。9.1.2.1全局剛度矩陣全局剛度矩陣[K]是一個(gè)6x6的矩陣，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度（x和y方向的位移）。矩陣的元素表示節(jié)點(diǎn)位移對(duì)節(jié)點(diǎn)力的影響。9.1.2.2應(yīng)用邊界條件節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的位移為零，因此，我們從全局剛度矩陣中刪除與這些節(jié)點(diǎn)位移相關(guān)的行和列，形成一個(gè)簡(jiǎn)化后的矩陣。9.1.2.3求解未知位移應(yīng)用載荷向量{F}，其中只包含節(jié)點(diǎn)3的載荷。通過(guò)求解簡(jiǎn)化后的剛度矩陣與載荷向量的方程[K]{U}={F}，我們得到節(jié)點(diǎn)3的位移向量{U}。9.1.2.4代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.001#截面積，單位：m^2

L=1.0#桿件長(zhǎng)度，單位：m

#剛度矩陣的局部元素

k_local=(E*A/L)*np.array([[1,0,-1,0],

[0,0,0,0],

[-1,0,1,0],

[0,0,0,0]])

#轉(zhuǎn)換局部剛度矩陣到全局坐標(biāo)系

T=np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta),0,0],

[np.sin(theta),-np.cos(theta),0,0],

[0,0,np.cos(theta),np.sin(theta)],

[0,0,np.sin(theta),-np.cos(theta)]])

K=T.T@k_local@T

#全局剛度矩陣

K_global=np.zeros((6,6))

K_global[2:4,2:4]+=K[0:2,0:2]

K_global[2:4,4:6]+=K[0:2,2:4]

K_global[4:6,2:4]+=K[2:4,0:2]

K_global[4:6,4:6]+=K[2:4,2:4]

#應(yīng)用邊界條件

K_reduced=K_global[2:6,2:6]

#載荷向量

F=np.array([0,-1000,0,0])#節(jié)點(diǎn)3的載荷，單位：N

#求解未知位移

U=np.linalg.solve(K_reduced,F)

print("節(jié)點(diǎn)3的位移向量：",U)9.1.3描述上述代碼示例展示了如何使用矩陣位移法分析一個(gè)簡(jiǎn)單的桁架結(jié)構(gòu)。首先，我們定義了材料屬性和局部剛度矩陣。然后，通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣將局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中。接著，我們構(gòu)建了全局剛度矩陣，并應(yīng)用了邊界條件。最后，我們求解了節(jié)點(diǎn)3的位移向量。9.2連續(xù)梁的矩陣位移法求解9.2.1原理連續(xù)梁是一種常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)，由多個(gè)梁段組成，梁段之間在支座處連接。矩陣位移法可以用于求解連續(xù)梁在給定載荷下的位移和內(nèi)力。我們首先建立每個(gè)梁段的局部剛度矩陣，然后通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣將局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中，最后組合所有梁段的剛度矩陣形成全局剛度矩陣。9.2.2內(nèi)容考慮一個(gè)由兩個(gè)梁段組成的連續(xù)梁，每個(gè)梁段的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，彈性模量為E，慣性矩為I。9.2.2.1局部剛度矩陣每個(gè)梁段的局部剛度矩陣[K]是一個(gè)4x4的矩陣，因?yàn)槊總€(gè)梁段有四個(gè)自由度（兩端的轉(zhuǎn)角和撓度）。9.2.2.2轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣[T]將局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中。9.2.2.3組合剛度矩陣將所有梁段的剛度矩陣組合成一個(gè)全局剛度矩陣[K_global]。9.2.2.4應(yīng)用邊界條件應(yīng)用邊界條件，例如，梁的兩端固定。9.2.2.5求解未知位移通過(guò)求解全局剛度矩陣與載荷向量的方程[K]{U}={F}，我們得到梁的位移向量{U}。9.2.2.6代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.0001#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁段長(zhǎng)度，單位：m

#剛度矩陣的局部元素

k_local=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系

T=np.array([[1,0,0,0],

[0,1,0,0],

[0,0,1,0],

[0,0,0,1]])

K_global=np.zeros((8,8))

K_global[0:4,0:4]+=k_local

K_global[0:4,4:8]+=k_local[0:4,0:4]

K_global[4:8,0:4]+=k_local[0:4,0:4]

K_global[4:8,4:8]+=k_local

#應(yīng)用邊界條件

K_reduced=K_global[2:6,2:6]

#載荷向量

F=np.array([0,-1000,0,0])#梁段上的載荷，單位：N

#求解未知位移

U=np.linalg.solve(K_reduced,F)

print("梁的位移向量：",U)9.2.3描述上述代碼示例展示了如何使用矩陣位移法求解一個(gè)連續(xù)梁的位移和內(nèi)力。我們首先定義了材料屬性和局部剛度矩陣。然后，通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣將局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中，并組合所有梁段的剛度矩陣形成全局剛度矩陣。接著，我們應(yīng)用了邊界條件，并求解了梁的位移向量。9.3空間框架結(jié)構(gòu)的分析9.3.1原理空間框架結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件在三維空間中連接而成。矩陣位移法可以用于求解空間框架結(jié)構(gòu)在給定載荷下的位移和內(nèi)力。我們首先建立每個(gè)桿件的局部剛度矩陣，然后通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣將局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中，最后組合所有桿件的剛度矩陣形成全局剛度矩陣。9.3.2內(nèi)容考慮一個(gè)由四個(gè)節(jié)點(diǎn)和六根桿件組成的空間框架結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2固定，節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4自由。假設(shè)桿件的彈性模量為E，截面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。9.3.2.1局部剛度矩陣每個(gè)桿件的局部剛度矩陣[K]是一個(gè)6x6的矩陣，因?yàn)槊總€(gè)桿件有六個(gè)自由度（x、y和z方向的位移和轉(zhuǎn)角）。9.3.2.2轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣[T]將局部剛度矩陣轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系中。9.3.2.3組合剛度矩陣將所有桿件的剛度矩陣組合成一個(gè)全局剛度矩陣[K_global]。9.3.2.4應(yīng)用邊界條件應(yīng)用邊界條件，例如，節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的位移為零。9.3.2.5求解未知位移通過(guò)求解全局剛度矩陣與載荷向量的方程[K]{U}={F}，我們得到節(jié)點(diǎn)3和節(jié)點(diǎn)4的位移向量{U}。9.3.2.6代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.001#截面積，單位：m^2

I=0.0001#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#桿件長(zhǎng)度，單位：m

#剛度矩陣的局部元素

k_local=(E*A/L)*np.array([[1,0,0,-1,0,0],

[0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,0,0],

[-1,0,0,1,0,0],

[0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,0,0]])

#轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系

T=np.array([[np.cos(theta_x)*np.cos(theta_y),np.cos(theta_x)*np.sin(theta_y),-np.sin(theta_x),0,0,0],

[np.sin(theta_x)*np.cos(theta_y),np.sin(theta_x)*np.sin(theta_y),np.cos(theta_x),0,0,0],

[np.sin(theta_y),-np.cos(theta_y),0,0,0,0],

[0,0,0,np.cos(theta_x)*np.cos(theta_y),np.cos(theta_x)*np.sin(theta_y),-np.sin(theta_x)],

[0,0,0,np.sin(theta_x)*np.cos(theta_y),np.sin(theta_x)*np.sin