北師大版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)講義

第一章、豐富的圖形世界

一'生活中的立體圖形

常見的立體圖形有兩種分類方法:

‘球

柱L體｛f枝圓柱

①按形狀分類：立體圖形,

維體｛氏

1棱缽

1?閱臺(tái)

臺(tái)體t樓臺(tái)

立體I多面體（由平面圍成的立體圖形）

②按構(gòu)成分類:圖形［旋轉(zhuǎn)體（繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周）

圓柱、棱柱、圓錐和球的異同

相同點(diǎn)：圓柱和棱柱都有兩個(gè)底面.

不同點(diǎn)：①圓柱的底面是圓形，棱柱的底面是多邊形；②圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面,

棱柱的側(cè)面是多個(gè)四邊形；③圓錐的底面是圓形，側(cè)面是曲面；④球只有一個(gè)曲面。

1.下列圖形中，屬于立體圖形的是（）

2.下列立體圖形中，有五個(gè)面的是（）

A.四棱錐B.五棱錐

C.四棱柱D.五棱柱

知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)、線、面構(gòu)成立體圖形

（1）點(diǎn)：任何幾體圖形都是由個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的.

（2）線：有直線和曲線之分.

⑶面：有平面和曲面之分.

（4）點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系是：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體，面

與面相交得到線,線與線相交得到點(diǎn).

1

3、如圖所示，下列圖形繞著虛線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐體的是().

3§

q/

CD

二、展開與折疊

知識(shí)點(diǎn)正方體的展開與折疊

正方體是特殊的棱柱，它的六個(gè)面都是大小相同的正方形，將一個(gè)正方體的表

面展開，可以得到U種不同的展開圖，如圖①??所示.為了方便大家熟悉這U種展開圖，

我們把它歸為四類：一四一型(①?⑥)，二三一型(⑦?⑨)，二二二型(⑩)，三三型(?).

⑨⑩?

4.如圖是正方體的一種展開圖，其中每個(gè)面上都有一個(gè)數(shù)字，那么在原正方體中，與數(shù)字6

相對(duì)的面上的數(shù)字是()m

C.5D.2

知識(shí)點(diǎn)棱柱、圓柱'圓錐的表面展開圖

⑴圓錐的展開圖由一個(gè)扇形和一個(gè)圓形組成,并且圓形與扇形的弧相連，不能

與其他地方相連，如圖①所示.

(2)圓柱的展開圖由兩個(gè)(大小一樣)和一個(gè)長(zhǎng)方形組成，且兩個(gè)圓形要在長(zhǎng)方形的

兩側(cè)，不能在同一側(cè)，如圖②所示.

(3)棱柱的展開圖由兩個(gè)相同的多邊形(形狀、大小均相同)和一個(gè)大長(zhǎng)方形(由多個(gè)小

2

長(zhǎng)方形組成）組成，兩個(gè)多邊形的邊數(shù)與組成大長(zhǎng)方形的小長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)相同，且兩個(gè)多邊形

在大長(zhǎng)方形的兩側(cè)，如圖③④所示.

1.下列四個(gè)圖中，是三棱錐的表面展開圖的是（B）

2.如圖所示的平面圖形中，不可能圍成圓錐的是（D）

3.下面的圖形中，是三棱柱的側(cè)面展開圖的是（A）

三、截一個(gè)幾何體

1、定義

用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出的面叫做截面.截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、

六邊形或圓等等

1、說出下列幾何體截面的形狀.

解：長(zhǎng)方形圓梯形長(zhǎng)方形

四、從三個(gè)方向看物體的形狀

3

一般是從以下三個(gè)方向：（1）從正面看；（2）從左面看；（3）從上面看.（如下圖）

從上面U

從左面行

BnEbff13

從正面看從左曲看從上曲而

從正面看

1.有兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體，按如圖的方式擺放,從正面看到的形狀圖是（C）

正面

2.由4個(gè)相同的小立方體搭成的幾何體如圖所示,則從正面看到的圖形是（A）

BCI)

正面

第二章、有理數(shù)及其運(yùn)算

一、有理數(shù)的分類

r「正整數(shù)'正整數(shù)

正有理數(shù)

整數(shù)j零.正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)、負(fù)整數(shù)有理數(shù)v零

正分?jǐn)?shù),負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù).負(fù)分?jǐn)?shù)

2.如果“上升7米”記作+7米,那么一5米表示（A)

A.下降5米B.上升12米

C.下降2米D.上升2米

_5

3.把下列各數(shù):—3,4,—0.5,—0.86,0.8,8.7,0,一%'-7,分別填在相應(yīng)的大括號(hào)

里.

正數(shù)集合：｛4,0.86,0.8,8.7,___?,?｝?

負(fù)數(shù)集合：｛

-3,-0.5,—J—-7,---*,?｝；

整數(shù)集合：（一3,4,0,—7,...［；

二'數(shù)軸與絕對(duì)值

1、數(shù)軸三要素：①原點(diǎn)②單位長(zhǎng)度③正方向

2、相反數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)

4

數(shù)互為相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是0.

3、絕對(duì)值：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.

1、、A,3是數(shù)軸上兩點(diǎn)，線段A3上的點(diǎn)表示的數(shù)中，有互為相反數(shù)的是()

2、實(shí)數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的是()

abed

???-1-----L->-J----^9_?——L—

?4-4-2-101234

A.aB.bC.cD.d

3、下列說法正確的是()

A.一同一定是負(fù)數(shù)B.只有兩個(gè)數(shù)相等時(shí)它們的絕對(duì)值才相等

C.若同=同，則a與b互為相反數(shù)D.若一個(gè)數(shù)小于它的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)

4、若卜―6|+|y+9|=0,則％+丁的值為.

三'有理數(shù)加減法

1、有理數(shù)加法法則：

①同號(hào)兩數(shù)相加，和取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

②異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不等時(shí)，和取絕對(duì)值較大

的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；

③一個(gè)數(shù)與0相加仍得這個(gè)數(shù)；

2、有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

3、加減混合運(yùn)算步驟

①可以通過有理數(shù)的減法法則，把減法轉(zhuǎn)化為加法；

②再寫成省略加號(hào)和括號(hào)的形式；

③最后用加法法則和加法運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算.

4、直接省略括號(hào)的方法

①括號(hào)前是“+”號(hào)，括號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)不發(fā)生改變；

②括號(hào)前是“一”號(hào)，括號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)變成相反的符號(hào).

1、(1)(-1.8)+(0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2)；

解：原式=-0.9.

(2)(—16)+(+17)+(—9)+23+(—14)；

解：原式=1.

5

⑶(+8務(wù)+11+息+(—7。+(—5：)；

1.4JT：o

解：原式=—2；.

三、有理數(shù)乘除法

1、有理數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.

②任何數(shù)與0相乘，積仍為0.

2、互為倒數(shù)：兩個(gè)有理數(shù)的乘積為1.

3、乘法運(yùn)算定律：

①乘法交換律：axb=bxa

②乘法結(jié)合律：(axb)xc=ax(Z?xc)

③乘法對(duì)加法的分配律：ax(b+c)=ab+ac

4、有理數(shù)的乘方：求“個(gè)相位竺士算叫做乘方.

5、有理數(shù)的除法：除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

①兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.

②0除以任何非0的數(shù)都得0.

注意：0不能作除數(shù).

科學(xué)計(jì)數(shù)法

1、過度包裝既浪費(fèi)資源又污染環(huán)境.據(jù)測(cè)算，如果全國每年

減少10%的過度包裝紙用量，那么可減排二氧化碳3120000噸，

把數(shù)3120000用科學(xué)記數(shù)法表示為(B)

A.3.12X105B.3.12X106

C.31.2X105D.0.312X107

有理數(shù)的混合運(yùn)算

1、有理數(shù)的混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.

6

1、計(jì)算下列各式：

⑴―0.752.(—1，+(-1)2。2*一52；

解：原式=^x捺+(_1)、閡=1一表=卷.

⑵俘一哥-i)U)

解：原式=^＜（-30）+（一知*（一30）+1X（—30）+（一1）*（一30）=—20+3—5+12

-10.

第三章、整式及其加減

知識(shí)點(diǎn)1單項(xiàng)式

(1)像已。2,|x,&h等,都是數(shù)和字母的乘積，這樣的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一

個(gè)數(shù)字和一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式.

⑵一個(gè)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)；所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單

項(xiàng)式的次數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2多項(xiàng)式

⑴幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其

中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

(2)一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

知識(shí)點(diǎn)3整式

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

1.下列各式中不是單項(xiàng)式的是(D)

AqB」

A?2?4

c-°d-!

2.已知一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是3,次數(shù)是2,則這個(gè)單項(xiàng)式可以是(D)

A.~2xy2B.2X3

C.2xy3D.3x2

知識(shí)點(diǎn)1同類項(xiàng)的概念

所含字母相同，并且相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是」1

類項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)2合并同類項(xiàng)

7

(1)合并同類項(xiàng)：把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng).

(2)合并同類項(xiàng)的法則：在合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)

不變.

7.已知3*5,2和一2/勺”是同類項(xiàng)，則6加一3〃的值為4.

8.若3xm+5y2與x3yn的和是一Q單項(xiàng)式，則m"=4.

9.代數(shù)式x2—8—3j2+3kxy中不含孫項(xiàng)，則k=~~.

(1)3。一(2a—1)；

解：原式=3a—2a+l=a+l.

(2)5m2—[5m2—(2m2—mn)—7mn-5].

解：J^^=5m2—[5m2—2m2+mn—7mn—5]=5m2—5in2-\-2m2—mn+7mn+5=2in2-[-6mn-\-5

四、探索與表達(dá)規(guī)律

1、一般步驟：

①觀察；②歸納；③猜想；④驗(yàn)證

1.下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的：

根據(jù)此規(guī)律確定x的值為(C)

A.135B.170

C.209D.252

第四章、基本平面圖形

知識(shí)點(diǎn)1、2線段'射線、直線的概念及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系

(1)線段：繃緊的琴弦、黑板的邊沿都可以近似地看做線段，線段有兩個(gè)特征：一是直

的；二是有兩個(gè)端點(diǎn).

(2)射線：將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了」^射線有三個(gè)特征：一是直的；

二是有一個(gè)端點(diǎn)；三是向一方無限延長(zhǎng).

(3)直線：將線段向兩個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了直線.直線有三個(gè)特征：一是直的；

二是沒有端點(diǎn)；三是向兩方無限延長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)3直線的基本性質(zhì)

8

兩點(diǎn)確定一條直線.經(jīng)過一點(diǎn)的直線有條.

7.(知識(shí)點(diǎn)3)(5分)作線段AB,在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C,使BC=2AB,M是5c的中點(diǎn)，

若A5=30cm,求5M的長(zhǎng).

解：如圖所示，因?yàn)锳5=30cm,所以5C=60cm,而M為5c的中點(diǎn)，所以5M="c=30cm.

AHQC

8.(綜合題)(7分)(1)如圖，點(diǎn)C在線段A5上，且AC=10cm.5C=18cm,點(diǎn)N分別是

AC,5c的中點(diǎn)，求線段“V的長(zhǎng)度；

AMCNB

(2)若AC=acm,BC=bcm,其他條件不變，請(qǐng)用代數(shù)式表示的長(zhǎng)度；

(3)若將第(1)問，“點(diǎn)C在線段A5上”改為“點(diǎn)C在直線A5上”，其他條件不變，結(jié)果會(huì)有變

化嗎？如果有，求出結(jié)果.

知識(shí)點(diǎn)1角的概念及表示方法

⑴角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成,兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn).

(2)角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的.

⑶通?？梢杂靡韵路绞奖硎窘牵?/p>

484c或N4乙aAl

①②③

知識(shí)點(diǎn)2角的度量及單位換算

(1)度量角的工具是量角器.

(2)角的單位換算：1。=60',r=60".

知識(shí)點(diǎn)3方向角

方向角指的是在某觀測(cè)點(diǎn)，觀察某物在該位置的某個(gè)方向的角.

8.(知識(shí)點(diǎn)2)(8分)如圖，已知OE平分NAOC,OF平分N50C.

9

⑴若NA05是直角，N5OC=60。，求NEOb的度數(shù)；

(2)若NAOC=x。，ZEOF=y°,ZBOC=60°,請(qǐng)用x的代數(shù)式來表示y；

(3)如果NAOC+NEOb=210。，N5OC=60。，那么NE。b是多少度？

第五章、一元一次方程

1、.解方程：

(l)4x+16=8+2x;

(2)2x-2=3x+3.

三、一元一次方程的應(yīng)用

1、等積變形：

“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常見類型：

①形狀面積變了，周長(zhǎng)沒變；②原體積=變化后體積.

常用的面積,體積公式：

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式：(長(zhǎng)+寬)X2；面積公式：長(zhǎng)X寬

長(zhǎng)方體的體積公式：長(zhǎng)義寬X高

正方形的周長(zhǎng)公式：邊長(zhǎng)義4；面積公式：邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)

正方體體積公式：邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)

圓的周長(zhǎng)公式：C=?d=2次；面積公式：S="2；

圓柱的體積公式：V柱=底面積X高；

圓錐的體積公式：v錐=3x底面積X高

2、利潤問題：

①利潤率=擋寒X1。。％=售收？本X1。。％

成本成本

②標(biāo)價(jià)=成本(或進(jìn)價(jià))X(1+利潤率)

③實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)x打折率

④利潤=售價(jià)一成本(或進(jìn)價(jià))=成本X利潤率

3、分配問題：

①分配問題中主要考慮“總量不變”；

②比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系,或是量與量之間的比

例關(guān)系

10

4、行程問題：

(1)三個(gè)基本量間的關(guān)系：路程=速度X時(shí)間

(2)基本類型有：

①相遇問題(或相向問題)：

I.基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和X相遇時(shí)間

II.尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離.

②追及問題：

I.基本量及關(guān)系：追及路程=速度差X追及時(shí)間

II.尋找相等關(guān)系：

同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；

同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離=追者走的路程.

③航行問題：

I.基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，

逆流速度=靜水速度一水流速度，

順?biāo)俣纫荒嫠俣?2X水速；

II.尋找相等關(guān)系：

兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變

1、分配問題：

例題1、把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，

則還缺25本.問這個(gè)班有多少學(xué)生？

設(shè)這個(gè)班有x個(gè)學(xué)生，則

3x+20=4x-25

x=45

2、某車間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)或螺母2000個(gè)，一個(gè)螺

釘要配兩個(gè)螺母。為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生

產(chǎn)螺母？

利潤問題

3、一件商品每件的進(jìn)價(jià)為250元，按標(biāo)價(jià)的九折銷售時(shí)，利潤為15.2%,這種商品每件標(biāo)價(jià)

是多少？

工程問題

4、一件工作，甲單獨(dú)做20小時(shí)完成，乙單獨(dú)做12小時(shí)完成。若甲先單獨(dú)做4小時(shí),剩下的部分

由甲、乙合做，還需幾小時(shí)完成？

計(jì)分問題

5、在2002年全國足球甲級(jí)聯(lián)賽A組的前11輪比賽中，大連隊(duì)保持連續(xù)不敗，共積23分，按

11

比賽規(guī)則，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，那么該隊(duì)共勝了多少場(chǎng)？

解：設(shè)該隊(duì)勝了X場(chǎng)，那么平了(11—X場(chǎng))，則

3X+1*(11-X)=23

解得X=6答：該隊(duì)勝了6場(chǎng).

收費(fèi)問題

6、根據(jù)下面的兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式表，考慮下列問題

方式一方式二

月租費(fèi)30元/月0

本地通話費(fèi)0.30元/分鐘0.40元/分

鐘

(1)一個(gè)月內(nèi)在本地通話200分鐘，按方式一需交費(fèi)多少元？按方式二呢？

(2)對(duì)于某個(gè)本地通話時(shí)間，會(huì)出現(xiàn)按兩種計(jì)費(fèi)方式收費(fèi)一樣多嗎？

行程問題

7、(相遇問題)甲、乙兩人從相距為180千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，乙開汽車，

沿同一條路線相向勻速行駛。已知甲的速度為15千米/小時(shí)，乙的速度為45千米/小時(shí)。

8、(追及問題)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)生步行到郊外旅行。(1)班學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4千米/

時(shí)，(2)班學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6千米/時(shí)。前隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)后隊(duì)派一

名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12千米/時(shí)。

(1)后隊(duì)追上前隊(duì)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)后隊(duì)追上前隊(duì)時(shí)間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是多少？

(3)兩隊(duì)何時(shí)相距3千米？

(4)兩隊(duì)何時(shí)相距8千米？

第六章、數(shù)據(jù)的收集與整理

知識(shí)點(diǎn)1普查與抽樣調(diào)查

(1)普查：為了某一特定的目的而對(duì)所有考察對(duì)象進(jìn)行全面調(diào)查，稱為普查.

(2)抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，稱為抽樣調(diào)查.

知識(shí)點(diǎn)2總體'個(gè)體與樣本

總體、個(gè)體、樣本是統(tǒng)計(jì)學(xué)中三個(gè)重要概念，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.

(1)總體：所要考察對(duì)象的全體稱為總體.

(2)個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體.

(3)樣本：從總體中抽取一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本.

總體、個(gè)體、樣本都可以對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行量化，所不同的是范圍的大小不同.

1、以下問題，不合適用全面調(diào)查的是(D)

A.旅客上飛機(jī)前的安檢

B.學(xué)校招聘教師，對(duì)應(yīng)聘人員的面試

12

C.了解全班學(xué)生的課外讀書時(shí)間

D.了解一批燈泡的使用壽命

2、小明的