2025版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（新高考卷）解析版

專題02復(fù)數(shù)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，2

共機(jī)復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2023?新高考I卷，2

高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查，重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的運(yùn)

2024新高考I卷,2

算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2022?新高考n卷，2

等，難度較低.

復(fù)數(shù)的幾何意義2023新高考n卷,1

復(fù)數(shù)的模2024?新高考II卷，1

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，但是需要一些運(yùn)算技巧，否則有些計(jì)算量。II卷考查復(fù)數(shù)的模

的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)考查。復(fù)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含

義.（2）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法

及其幾何意義、復(fù)數(shù)的模。

試題精講

2

1.（2024新高考I卷-2）若——=l+i,貝!Jz=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】c

【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)楦?^^=l+」=l+i,所以z=l+』=l-i.

z-1z-1z-11

故選：C.

2.（2024新高考II卷-1）已知z=-l-i,貝卜（）

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

［詳解］若z=T-i,則目=J（一1）2+（_咪=0.

故選：C.

近年真題精選

1.（2022新高考I卷-2）若i（l-z）=l,貝”+彳=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+T.

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z-=3=-i,故z=l+i,故z+三=（l+i）+（l-i）=2,

11

故選：D

1-i_

2.（2023新高考I卷?2）已知2=」^,貝I」？—三=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共輾復(fù)數(shù)的概念得到乙從而解出.

【詳解】因?yàn)槎?-i,二編篇二-2彳i一1,.所以-=,1，即Z4=T.

故選：A.

3.（2022新高考II卷2）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【詳解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

4.（2023新高考II卷-1）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因?yàn)椋?+3譏37）=3+。-琛=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

必備知識(shí)速記

一、復(fù)數(shù)的概念

(1)1叫虛數(shù)單位，滿足『=一1,當(dāng)左eZ時(shí)，嚴(yán)=1,產(chǎn)+1=7-，泮+2=-1,嚴(yán)+3=.

(2)形如a+瓦(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作a+初eC.

①?gòu)?fù)數(shù)z=〃+bi(a,be尺)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,6)一—對(duì)應(yīng)，.叫z的實(shí)部,6叫z的虛部；6=0=zeR,Z

點(diǎn)組成實(shí)軸；方片0/叫虛數(shù)；6/0且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸(不包括原點(diǎn)).兩個(gè)實(shí)

部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共輾復(fù)數(shù).

②兩個(gè)復(fù)數(shù)a+"c+由(a也c,deR)相等,(兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn))

b-d

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)〃+4(氏6￡出的模，也就是向量了彳的模，即有向線段。彳的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為

|zga+初|=Ja?+廿,顯然，|z\=\a-bi+Z?2,z-z=a2+Z?2.

二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)?(a-bi)=zz=a2+b2=|z「

V(注意Z?=|z『)

z+z=2a

其中|2|=」片+廿,叫z的模；3=a-從是z=a+歷的共輾復(fù)數(shù)(a,6eR).

(3)a+bi_(a+bi)?(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i2+屋力0)

c+di(c+di)?(c-di)c2+d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)塞運(yùn)算法則)都適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)百且分別對(duì)應(yīng)的向量函，礪為鄰邊作平行四邊形OZZZ。，對(duì)角線oz表示的向量。就是復(fù)數(shù)

Z1+Z2所對(duì)應(yīng)的向量.Z]-z2對(duì)應(yīng)的向量是44.

2,復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,Z>);

(2)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,beR)對(duì)應(yīng)平面向量Oz;

（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).

（4）復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR）的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a,b）到原點(diǎn)的距離.

三、實(shí)系數(shù)一元二次方程

1、實(shí)系數(shù)一元二次方程辦2+區(qū)+。=0伍,仇。€氏4/0）中的八=62—4四為根的判別式，那么

一b+J"-4ac

（1）△>0O方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、_—;

A=0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)根-2.

A<0o方程有兩個(gè)共輾虛根

求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：

①設(shè)z=x+yi（x,jeR）化歸為實(shí)數(shù)方程來(lái)解決.

②把z看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)變形.

③對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.

2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

（1）當(dāng)△=/0時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根滿足韋達(dá)定理

—,

（2）當(dāng)A=〃一4。。<0時(shí)，方程的兩個(gè)共軌虛數(shù)根西、與，則

再+%=再+再=2Re再=一

—Ii2（~by\fy/^ac-b2c

x[x2=x1'x[=|xj=\~2a\+~2a

綜上所述，無(wú)論方程的判別式4QC的符號(hào)如何，韋達(dá)定理都成立，于是韋達(dá)定理能被推廣到復(fù)數(shù)根的

情況，即實(shí)系數(shù)一元二次方程。/+及+。=0（。、b、?！昊鹎襋W0）的兩個(gè)根與系數(shù)滿足關(guān)系

一、單選題

1.（2024?安徽蕪湖?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z=±l,且三是復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)，貝建。的值是（）

1

A.V5B.3C.5D.9

【答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)2,再求出最后得解.

【詳解】-.^=—=2+1,

1

:.z=2-i,

.?.zN=（2+i）（2-i）=5.

故選:C

2.（2024?北京?三模）已知復(fù)數(shù)l+i=R,則［在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共甄復(fù)數(shù)的定義得到z=即可求出結(jié)果.

■、*心、?4i—2/日笈?i—2（—2+i）（l—i）13.

【詳解】由1+1=—,得至||z===^——--=--+-1,

z1+1222

1313

所以2=-5一字，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（-,一5），

故選：c.

3.（2024?河南?三模）已知關(guān)于x的方程/+2》+3=0的一個(gè)根為x=a+6i（a,6eR）,則/十^+^二

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得。及〃的值即可得解.

【詳解】由，+2x+3—0可得）二2±也2一12一土瓜

2

故。二-1,b2=（iV2j=2,即a?+/+〃=1+2-1=2.

故選：C.

4.（2024?河南?三模）已知i為虛數(shù)單位，=（）

（1-iX

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.

(1+i)3(1+i)2(1+i)2i(l+i)

【詳解】(1-i)2=-^2i--2i

故選:D

5.(2024?山東德州?三模)已知復(fù)數(shù)z滿足:z-i(2+z)=0,則2=)

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

【答案】B

【分析】由已知可得z=/L,計(jì)算即可.

【詳解】由z-i(2+z)=0,可得(1-由=2i,

2i=加+D-_]+]

所以z=

1-i(l-i)(l+i)

故選：B.

6.(2024?重慶?三模)已知a/eR,(a+i)i=6-2i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=a+bi的共輾復(fù)數(shù)為()

A.-2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

【答案】A

【分析】先利用復(fù)數(shù)相等求出。力，再由共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)概念即可求解.

【詳解】因?yàn)?a+i)i=ai+i?=—1+ai=Z7-2i,

所以Q=_2,b=_1,^z=a+bi=-2-i,

所以復(fù)數(shù)z=〃+bi的共甄復(fù)數(shù)為三=—2+i，

故選：A.

7.(2024?河南鄭州?三模)復(fù)數(shù)z=〃+bi(〃,b￡R且awO),若(l+2i)I為純虛數(shù)，則()

A.a=-2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

【答案】A

【分析】求出0+2iR,根據(jù)(l+2i)7為純虛數(shù)即可求解.

[詳解](l+2i)z=(l+2i)(a-歷)=a+26+(2a-6)i,

因?yàn)?l+2i)彳為純虛數(shù)，所以a+2b=0,2a-bw0,

所以。=-26.

故選：A.

8.(2024?四川遂寧?三模)若復(fù)數(shù)z==(其中aeR,i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z-l在復(fù)平面內(nèi)

3-1

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,結(jié)合已知求出。值即可得解.

a+i_(a+i)(3+i)3a-l(a+3)i

【詳解】依題意,TJ-(3-i)(3+i)-10+10

[3（2—1=011

由Z為純虛數(shù)，得2八，解得〃=不復(fù)數(shù)Z-1=-1+小，

[。+3。033

所以復(fù)數(shù)Z-1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-1,；）位于第二象限.

故選：B

9.（2024?江蘇南通?三模）已知z為復(fù)數(shù)，則"z=7'是"z2=/”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】A

【分析】正向可得zeR,則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得。=0或6=0,則必要性不成立.

【詳解】若z=Z，貝！JzeR,則z2=r,故充分性成立；

若22=/,設(shè)z=a+bi,a,b￡R,貝!）z?=/+2。歷一/,j2=a2-2abi-b2,

則2ab=0,〃=0或b=0,「.z與亍不一定相等，則必要性不成立，

則“z4”是”=廣的充分非必要條件，

故選：A

10.（2024?山東濰坊?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=sin[d+；]+2i是純虛數(shù)，則。的值可以為（）

兀c5兀―2023兀一2025K

A.-B.——C.---------D.--------

4444

【答案】c

【分析】根據(jù)題意得到sin[e+￡[=o,將四個(gè)選項(xiàng)代入檢驗(yàn)，得到答案.

【詳解】由題意得sin[+：]=0,

A選項(xiàng)，當(dāng)夕=2時(shí),sin住+父=1,不合題意，A錯(cuò)誤；

4（44）

B選項(xiàng)，當(dāng)6=當(dāng)時(shí)，sin俘+：〕=-!,不合要求，B錯(cuò)誤；

4I44J

"2023712.（2023TC無(wú)、.,必十士

C選項(xiàng)，當(dāng)。=一一時(shí)，sm--—+-=sm5067r=n0,故C正確；

4I44J

D選項(xiàng)，當(dāng)6=型號(hào)時(shí)，sin[空管+力=1,D錯(cuò)誤.

4<44J

故選：C

?7

11.（2024?黑龍江?三模）若不7一=i,則z（彳-1）的虛部為（）

1-1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,然后化簡(jiǎn)z（7-l）得3-i,即可求出其虛部.

?7

【詳解】因?yàn)?吉=i,所以z=-2+l-ii=-l+i,所以—,

1-1

所以z傳-l）=（_l+i）（-2-i）=3-i,貝！|ze-l）的虛部為_(kāi)1.

故選：A

12.（2024?貴州畢節(jié)三模）若復(fù)數(shù)z滿足（1+，+力2=312。24-雷，則|z|=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求出z=-4-3i,再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椋╨+i2+i，2=3i2°24-4i,貝！|（l-l+i）N=3-4i,

gn_3-4i（3-4i）i3i-4i2_3i+4_

即z=-------=------；----=----------=--------=—4—319

ii2-1-1

故忖=J（-4）2+（-3）2=5.

故選：B.

二、多選題

13.（2024?湖北荊州三模）已知復(fù)數(shù)2=病一i++（機(jī)eR）,則下列命題正確的是（）

A.若？為純虛數(shù)，則以=±1

B.若z為實(shí)數(shù)，則z=0

C.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，則加=-1

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限

【答案】BD

【分析】首先得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何

意義判斷C、D.

【詳解】復(fù)數(shù)zn/T+W+DiWeR）的實(shí)部為蘇t,虛部為他+1,

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（加2-l,m+l）,

2

（m_］=（］

對(duì)于A：若z為純虛數(shù)，貝!J,解得加=1,故A錯(cuò)誤；

［加+n1。0

對(duì)于B：若z為實(shí)數(shù)，則加+1=0,解得加=-1,則z=0,故B正確；

對(duì)于C：若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，

所以〃?+1=2（療_1）,解得用=_1或加=g,故C錯(cuò)誤；

m-1<0-1<m<1

對(duì)于D：令?,不等式組無(wú)解,

m+1<0

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，故D正確.

故選:BD.

14.（2024?河北衡水?三模）復(fù)數(shù)z=cos]e-：j+isin6>,其中設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，則

下列說(shuō)法正確的是（）

TT

A.當(dāng)8時(shí),B.當(dāng)e時(shí)，彳=一1-烏

C.對(duì)任意凡點(diǎn)尸均在第一象限D(zhuǎn).存在。，使得點(diǎn)p在第二象限

【答案】AC

【分析】當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算可判斷A、B；由0<夕<]判斷z的實(shí)部和虛部范圍可判斷C、D.

42

【詳解】當(dāng)。=:時(shí)，z=l+^i,故目=

，故A選項(xiàng)正確;

z=l-^i,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)0<6<；時(shí),<0-^<<cos^-^<1,0<sin^<1,

故對(duì)任意。，點(diǎn)尸均在第一象限，故C選項(xiàng)正確；

不存在凡使得點(diǎn)P在第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

15.（2024?福建莆田?三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若z+』=0,則三=iB.若zN=2目，則忖=2

Z

C.若Z]=Z,貝|JZ]=2D.若|z+zj=o,貝I]Z[N+]z「=0

【答案】BCD

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的定義可判定A、C,利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)公式可判定B、D.

【詳解】對(duì)于A,由z+』=0,得三=-1,則A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)閦N=，，所以，=2|z|,解得忖=2或目=0（舍去），則B正確.

對(duì)于C,設(shè)z=a+6i（a,6eR,且abwO）,

則Z]=z=a-6i,所以Z]=a+6i=z,則C正確.

對(duì)于D,由|z+Z||=0,得Z]=-z

設(shè)2=。+藥（a,beR,且,則4?z=-z?z=-（"+〃），

|z|2=a2+b2,從而4?彳+|z『=0,則D正確.

故選：BCD

16.（2024?福建福州三模）已知復(fù)數(shù)滿足：上+6|+卜-6卜4,民-&=1,則（）

A.㈤的最小值是1B.目的最大值是2

C.2的最大值是3D.歸I2|的最大值是4

zi一

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A,設(shè)z=a+bi，z=c+di,依題意可得02+（"一2『=1,可知復(fù)數(shù)z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在以C（0,2）

為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對(duì)于B,根據(jù)題意可得

^（a+^+b2+^（a~^+b2=4,表示復(fù)數(shù)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在以上g,0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，

根據(jù)圖形和|1=團(tuán)可判斷B；對(duì)于C,根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式證明三=也.結(jié)合圖形求得

句句

1<|Z||<2,1<|Z2|<3,然后可判斷C；對(duì)于D,根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知?dú)w—2月尸0|,結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化

為求+1的最值，根據(jù)點(diǎn)尸在橢圓;+/=1上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.

【詳解】設(shè)Z]=〃+歷/2=c+di,a,瓦c,dER,

對(duì)于A,因?yàn)椋?2股卜+0_2川=1,所以c，+（d-2）2=l,

所以，復(fù)數(shù)Z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在以C（0,2）為圓心，1為半徑的圓上，

由圖可知，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為1,即㈤的最小值是1,A正確；

對(duì)于B,因?yàn)椴?甸+,一碼=J（a+V3）2+Z>2+J（a-V3）2+Z>2=4,

所以，復(fù)數(shù)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在以上道,0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，

由橢圓幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)。到原點(diǎn)的最大距離為2,即㈤的最大值為2,

又同=㈤，所以目的最大值是2,B正確;

c+diac+bdad-be.

對(duì)于c,因?yàn)椤?=

zxa+bi

2

ac+bdad-bea2c2+b2d2+墳f_|_a2d2

五=+

所以2222

Z2a+ba+b

由圖可知‘閆他2,閆小3,所以當(dāng)|心43時(shí),幸取得最大值3,C正確

對(duì)于D,因?yàn)闅w-Z21=|伍-C)+伍-辦卜匠姨+伍_(kāi)療表示P,Q的距離,

2

所以歸T2|的最大值為|CQ|+1,設(shè)。(xj),則,+/=1,即》2=4-4/，

所以園+]=^x2+(y-2)2+]=a_4/+丁2_4￥+4+1=^-3y2-4j+8+1,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)了=-:時(shí)，|。0|+1取得最大值坦+1,D錯(cuò)誤.

33

三、填空題

7

17.(2024?山西臨汾?三模)已知復(fù)數(shù)z滿足：「=2-3i,則入_____

1+1

【答案】5+