第三章函數(shù)的概念與性質全章總結提升課件高一上學期數(shù)學人教A版

第3章函數(shù)的概念與性質人教A版

數(shù)學必修第一冊知識網(wǎng)絡·整合構建專題突破·素養(yǎng)提升專題一函數(shù)的三要素1.函數(shù)的三要素是指函數(shù)的定義域、對應關系、值域.其中定義域是研究函數(shù)時首先要考慮的,求函數(shù)的定義域多轉化為解不等式問題.函數(shù)三要素的探求多用到換元、數(shù)形結合等方法.2.掌握函數(shù)的三要素,提升邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學素養(yǎng).【例1】

(1)[2024湖南衡陽高一月考]已知函數(shù)f(x+1)的定義域為[1,7],則函數(shù)h(x)=f(2x)+的定義域為(

)A.[4,16]

B.(-∞,1]∪[3,+∞)C.[1,3] D.[3,4]C解析

函數(shù)f(x+1)的定義域為[1,7],則2≤x+1≤8,因此在f(2x)中,2≤2x≤8,所以函數(shù)h(x)的定義域為[1,3].故選C.(2)[2024安徽阜陽高一期末]已知函數(shù)f(x2-1)=x4+1,則函數(shù)y=f(x)的解析式是(

)A.f(x)=x2+2x+2,x≥0 B.f(x)=x2+2x+2,x≥-1C.f(x)=x2-2x+2,x≥0 D.f(x)=x2-2x+2,x≥-1B(3)[蘇教版教材習題]函數(shù)f(x)=-x2+2x在[0,10]上的值域是

.[-80,1]解析

函數(shù)f(x)的圖象開口向下,對稱軸為直線x=1,所以當x=1時,f(x)取得最大值1,當x=10時,f(x)取得最小值-80,所以函數(shù)的值域為[-80,1].規(guī)律方法1.求函數(shù)的定義域,始終記住是求使函數(shù)有意義的自變量x的取值范圍.2.求函數(shù)值域的方法:(1)與二次函數(shù)有關的函數(shù),可用配方法(注意定義域)求值域;(4)基本不等式法:若函數(shù)解析式直接或變形能滿足基本不等式的條件,可利用基本不等式求最值.D(2)已知函數(shù)y=f(x-1)的定義域是[-1,2],則y=f(1-3x)的定義域為(

)C解析

由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,所以-2≤1-3x≤1,解得0≤x≤1.(3)已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=1-2x,則當x<0時,y=f(x)的表達式為

.

-1-2x解析y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=1-2x,則當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[1-2(-x)]=-1-2x,所以當x<0時,y=f(x)的表達式為f(x)=-1-2x.專題二函數(shù)圖象的畫法及應用1.畫函數(shù)的圖象,可以用描點法,也可以用變換法,要注意利用函數(shù)的單調性、周期性、奇偶性、對稱性簡化作圖.2.利用函數(shù)的圖象可以直觀觀察求函數(shù)值域、最值、單調性、奇偶性等,重點是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及冪函數(shù)圖象.(1)畫出f(x)的大致圖象;(2)若x∈[-2,3],求f(x)的最大值和最小值;(3)當f(x)≥2時,求實數(shù)x的取值范圍.解

(1)當x≤0時,f(x)=x2,圖象為拋物線的一部分,當x>0時,f(x)=4-2x,圖象為直線的一部分,可得圖象:(2)x∈[-2,3],由圖象可知,當x=-2時,f(x)取得最大值,最大值為4;當x=3時,f(x)取得最小值,最小值為-2.規(guī)律方法

函數(shù)圖象可以使問題變得直觀,但仍要結合代數(shù)運算才能獲得精確結果.(1)在給定的坐標系中,作出函數(shù)f(x)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調遞減區(qū)間;(3)如果直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象有三個交點,求a的取值范圍.解

(1)描點連線,作圖即可.(2)單調遞減區(qū)間為(-∞,0),[0,2].(3)當a∈(-2,0)時,直線y=a和函數(shù)f(x)圖象有三個交點.專題三函數(shù)性質的應用函數(shù)的性質主要有定義域、值域、單調性和奇偶性,利用函數(shù)的單調性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是重點題型,解不等式時經(jīng)常結合圖象,一定要注意定義域的影響.掌握單調性和奇偶性的判斷和證明,會綜合運用函數(shù)的性質,進一步提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).(1)求實數(shù)m和n的值;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值.∵-2≤x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上單調遞增.規(guī)律方法1.解決有關函數(shù)性質的綜合問題時,要綜合考慮函數(shù)各種性質之間的關系,盡量畫出函數(shù)圖象,綜合考慮題目中的其他條件解答.2.如果函數(shù)為抽象函數(shù)也要緊扣相關定義,同時根據(jù)解題需要給x靈活賦值.變式訓練3

已知函數(shù)f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在[0,3]上的最大值為3,最小值為-1.(1)求f(x)的解析式;(2)若?x∈(1,+∞),使得f(x)<mx,求實數(shù)m的取值范圍.解

(1)f(x)的圖象開口向上,對稱軸為直線x=2,專題四函數(shù)的應用1.將現(xiàn)實生活中的實際應用問題建立合適的數(shù)學模型并解決,這是需要具備的一項重要素養(yǎng).2.通過構造數(shù)學模型解決實際問題,提升數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).【例4】

[2024浙江高一期中]天氣轉冷,寧波某暖手寶廠商為擴大銷量,擬進行促銷活動.根據(jù)前期調研,獲得該產(chǎn)品的銷售量a萬件與投入的促銷費(1)求出k的值,并將y表示為x的函數(shù);(2)促銷費用為多少萬元時,該產(chǎn)品的利潤最大?此時最大利潤為多少?規(guī)律方法

將實際問題轉化為熟悉的函數(shù)模型過程中,要注意實際問題對函數(shù)定義域的影響.變式訓練4為了進一步增加市場競爭力,某公司計劃在2024年利用新技術生產(chǎn)某款新手機,通過市場分析,生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本300萬,每生產(chǎn)x(單位:千部)手機,需另投入成本R(x)萬元,且R(x)=由市場調研知此款手機售價0.7萬元,且每年內(nèi)生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.(1)求出2024年的利潤w(x)關于年產(chǎn)量x的表達式;(2)2024年年產(chǎn)量為多少時,企業(yè)所獲利潤最大?最大利潤是多少?(2)若0<x<50,w(x)=-10(x-30)2+8

700,則x=30時,w(x)max=8

700萬元;∵8

950>8

700,∴2024年年產(chǎn)量為100千部時,企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤是8

950萬元.易錯易混·銜接高考1.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)A.y=x4+3 B.y=x3+x

C.y=2x,x∈(0,2] D.y=x3-2B解析

選項A,y=x4是偶函數(shù),y=3是偶函數(shù),則y=x4+3是偶函數(shù);選項B,f(-x)=(-x)3-x=-f(x),且定義域為R,則函數(shù)為奇函數(shù);選項C,函數(shù)定義域(0,2]不是關于原點對稱的區(qū)間,則函數(shù)是非奇非偶函數(shù);選項D,y=x3是奇函數(shù),y=2是偶函數(shù),則函數(shù)y=x3-2是非奇非偶函數(shù).故選B.2.函數(shù)y=|-x2+4x+5|的單調遞增區(qū)間是

.

(-1,2),(5,+∞)畫出函數(shù)圖象如下:可得單調遞增區(qū)間為(-1,2),(5,+∞).3.[2024上海普陀高一月考]函數(shù)f(x)=x7-ax5+bx3-cx+8,其中a,b,c是常數(shù),且f(19)=95,則f(-19)