2025高考數(shù)學專項復習：立體幾何小題拔高練（解析版）

2025高考數(shù)學專項復習立體幾何小題拔高練

（解析版）

立體幾何小題拔高練-新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通用）

一、單選題

1.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）已知直線/，加和平面d若月且￡口￡=/,

則“/_L加”是“/，夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?浙江?永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知正方體48co-4用GA的棱長為1,P

是線段用口上的動點，則三棱錐P-45。的體積為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

8654

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知三棱錐尸-4BC的四個頂點都在球。的球面上，

PB=PC=25AB=AC=4,PA=BC=2,則球。的表面積為（）

316匕79—158-79

A.JiB.—7iC.兀D.—兀

151555

-----1—■

4.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預測）已知正四面體力-BCD,AM=QMC,前N為線

段3C的中點，則直線與平面BCD所成角的正切值是（）

A25/14口3V14?4舊「5V14

7777

5.（2023?山東?沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，直三棱柱中，

NACB=],NC=M=1,BC=2,點M是BC的中點，點尸是線段42上一動點，

點。在平面上移動，則P,。兩點之間距離的最小值為（）

A.2B.gC.1D.1

323

6.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預測）《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底

面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬尸-48CD（如圖），尸工,平面

ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,點E,b分別在力民3。上，當空間四邊形尸EFD的周長

A.9兀B.11兀C.12兀D.16兀

7.（2023?湖南長沙糊南師大附中?？家荒＃┤鐖D，已知正四棱臺中，

AB=6,4月=4,84=2,點MN分別為/百，的中點，則下列平面中與8月垂

直的平面是（）

A.平面4aoB.平面加WC.平面/GVMD.平面

8.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學?？寄M預測）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形

狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通

過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上

下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部，其高度為圓錐高度

的;（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下0.0201?的沙，則該沙漏的一個沙時

9.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié),

很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈.下圖是小明為自家設計的一個花燈，該花燈由上面的正六

棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為40cm和20cm,

正六棱臺與正六棱柱的高分別為10cm和60cm,則該花燈的體積為（）

A.46000^3cm3B.480005/3cm3

C.5000073cm3D.52000百cm，

10.（2023?浙江?模擬預測）在《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三

棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉席為四個面都為直角三角形

的三棱錐，如圖，在塹堵NBC-44G中，ACLBC,AA,=2,鱉席耳-4。出的外接球

的體積為?1兀，則陽馬5-/CCW體積的最大值為（）

3

248

A.-B.—C.—D.4

333

二、多選題

11.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學?？寄M預測）如圖，在正方體A5CD-4片GA

中，/5=1,點尸在側面3CG4及其邊界上運動，并且總是保持8口，則下列結論

正確的是（）

B.點P在線段4c上

c.町J.平面4Go

D.直線/P與側面BCG4所成角的正弦值的范圍為^-,1

.7

12.（2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預測）在正方體力BCD-44GA中，點尸滿足

率=2西（0V2V1）,貝!］（）

JT1

A.若4=1,則/尸與8。所成角為7B.若AP工BD,貝!M=5

C.平面3CQD.AC1AP

13.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預測）折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”

諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是

運籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇

形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且/N8C=120。，則該圓

C.體積為四1

D.上底面積、下底面積和側面積之比為

81

1:9:24

14.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）正方體48（力-44。14的棱長為3,E,尸分別是棱4G，

G2上的動點，滿足2尸=。聲，貝I］（）

A.3尸與DE■垂直

B.B尸與。E一定是異面直線

C.存在點E,F,使得三棱錐尸-4BE的體積為二

D.當E,尸分別是耳G,G2的中點時，平面/所截正方體所得截面的周長為3屈+^^

15.（2023?江蘇?二模）已知/-BCD是棱長均為1的三棱錐，則（）

A.直線48與CD所成的角90°

B.直線3C與平面ZCD所成的角為60。

c.點c到平面力勖的距離為好

3

D.能容納三棱錐/-BCD的最小的球的半徑為如

4

16.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測）如圖，正方體ABCD-A^D,棱長為2,P是直線4。

上的一個動點，則下列結論中正確的是（）

B.PA+PC的最小值為2-尬

C.三棱錐片-/CP的體積不變

D.以點5為球心，0為半徑的球面與面的交線長辿兀

3

17.（2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在棱長為4的正方體中，E,F,

G分別為棱NO,AB,8c的中點，點尸為線段2尸上的動點，則（）

A.兩條異面直線2c和2G所成的角為45。

B.存在點尸，使得GG〃平面跳才

C.對任意點尸，平面尸CG，平面BE尸

D.點可到直線的距離為4

18.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）如圖，在已知直四棱柱

4BCD-4B￡R中,四邊形/BCD為平行四邊形，E,M,N,尸分別是3C,BB{,AtD,

的中點，以下說法正確的是（）

A.若5c=1,他=也,則。尸「BCX

B.MN//CD

C.MN〃平面

D.若AB=BC,則平面//CC，平面45D

19.（2023?湖南?模擬預測）已知正四棱錐的所有棱長均為2及，E,尸分別

是PC,的中點，M為棱尸3上異于P,B的一動點，則以下結論正確的是（）

JT

A.異面直線斯、尸。所成角的大小為g

B.直線所與平面力5s所成角的正弦值為"

6

C.A￡〃F周長的最小值為痛+2血

D.存在點M使得可，平面〃跖

20.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）如圖，正方體/BCD-Z'B'C'D'的棱長

為3,點河是側面上的一個動點（含邊界），點尸在棱CC上，且忸C[=l,則

下列結論正確的有（）

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為2而

B.保持尸M與8。垂直時，點M的運動軌跡長度為2夜

C.若保持1PMi=屈，則點M的運動軌跡長度為：兀

99

D.當M在。，點時，三棱錐3'-M4尸的外接球表面積為下兀

21.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模）如圖，在正方體MCD-43GA中，點M是棱。2上

A.過點M有且僅有一條直線與Bg都垂直

B.有且僅有一個點M到/瓦Eg的距離相等

C.過點M有且僅有一條直線與NG，8耳都相交

D.有且僅有一個點M滿足平面腿4G，平面

22.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）在棱長為2的正方體"CD-44G。中，點￡,尸分

別為棱3C與2G的中點，則下列選項正確的有（）

A./網/平面/EG

B.E尸與8G所成的角為30°

C.平面8/C

D.平面/EG截正方體的截面面積為2面

23.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）在四棱錐S-/&CD中，SD_L平面/BCD,四邊形Z8CL?是

正方形，若SD=4D,貝1］（）

A.ACVSD

B.4c與SB所成角為60°

C.AD與平面SCO所成角為45°

D.8。與平面SZ8所成角的正切值為立

3

24.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預測）如圖,在直三棱柱ABC-44G中，AB=BB、=BC=2,

E,F,N分別為/C,CG和2C的中點，。為棱44上的一動點，且8尸，44，則

下列說法正確的是（）

A.BFLDE

B.三棱錐b-。EN的體積為定值

C.苗瑟=3

D.異面直線4c與4N所成角的余弦值為巫

5

25.（2023?浙江?模擬預測）如圖，正方體48co-4用GA，若點"在線段BQ上運動,

B.直線。M與平面BCC4所成角的最大值為g

c.AM1A{D

D.點M到平面?與到平面/CD的距離之和為定值

26.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預測）已知正方體的棱長為2,M,N

分別為48,CG的中點，且兒W與正方體的內切球。（O為球心）交于E,尸兩點，

則下列說法正確的是（）

A.線段E尸的長為g

B.過O,M,N三點的平面截正方體4G所得的截面面積為3百

C.三棱錐。-。所的體積為3

6

7T

D.設P為球。上任意一點，則力尸與4。所成角的范圍是0,-

三、填空題

27.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）將兩個形狀完全相同的正三棱錐底面重合得到一個六面

體，若六面體存在外接球，且正三棱錐的體積為1,則六面體外接球的體積為

28.（2023,江蘇南通,二模）已知一扇矩形窗戶與地面垂直，高為1.5m,下邊長為1m,

且下邊距地面1m.若某人觀察到窗戶在平行光線的照射下，留在地面上的影子恰好為

矩形，其面積為L5m2,則窗戶與地面影子之間光線所形成的幾何體的體積為n?.

29.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測）已知正三棱錐的各頂點都在表面積為64%球面上，正

三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為.

30.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考三模）已知三棱錐尸-/3C的棱長均為4,先在三棱錐尸-48C

內放入一個內切球0,然后再放入一個球使得球。2與球。?及三棱錐尸-"8C的

三個側面都相切，則球5的表面積為

立體幾何小題拔高練-新高考數(shù)學復習分層訓練（新高考通用）

一、單選題

1.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模）已知直線/，加和平面d若月且￡口￡=/,

則“/J■加”是“八力”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】由面面垂直的性質、線面垂直的定義結合充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當機時，由且aC6=俏，得”;

當/1￡時，因為=機，所以加u〃，所以/_L/M.

即“小加”是“八夕”的充要條件.

故選：C

2.（2023?浙江?永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知正方體48co-44GA的棱長為1,p

是線段瓦A上的動點，則三棱錐2-/不。的體積為（）

1111

A.—B.—C.—D.一

8654

【答案】B

【分析】先由線面平行的判定定理證得片2〃面49，從而得到

[BD=—BD=七一4g，再結合錐體的體積公式即可得解.

【詳解】因為在正方體ABCD-45c夕1中，BBJ/DD,,BBX=DD,,

所以四邊形劭是平行四邊形，故BQJIBD,

又2.江面450,BDu面4BD,所以為D"/面4即，

因為尸是線段4。上的動點，所以P到面ABD的距離與2到面A.BD的距離相等，

所以％4加=&3。=%4皿=gx；xlxlxl=：

故選：B.

3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知三棱錐尸-4BC的四個頂點都在球O的球面上，

PB=PC=25AB=AC=4,PA=BC=2,則球。的表面積為（）

31679-158-79

A.------71B.—71C.71D.—71

151555

【答案】A

【分析】根據給定條件，證明尸平面再確定球心。的位置，求出球半徑作答.

【詳解】在三棱錐P-ABC中，如圖，N"+pAi=20=PB-，則R4，NB,同理尸/，/C,

而48ClNC=/,48,/Cu平面ABC,因此尸N_L平面ABC,

在等腰中，AB=AC=4,BC=2,貝U_5_],

CO////11.,——

AB4

sinZABC=dl-cos1NABC=—

A

令“BC的外接圓圓心為a,則。平面NBC,°I=YsinZABC~^15

有。。"/尸N,取P4中點D,連接OD,則有OD_LP4,又。/u平面ABC,即O,A1PA,

從而O///OD,四邊形為平行四邊形，OQ=NO=1,又00403,

因此球。的半徑R2=。/=。/2+GO?=4后）2+12=—

所以球。的表面積S=4兀甯=二7九

故選：A

——?1——?

4.（2。23?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預測）已知正四面體“-3。,/.二女,點N為線

段BC的中點，則直線MN與平面BCD所成角的正切值是（）

口3V14「4舊「5幅

A,現(xiàn)

7777

【答案】C

【分析】作出圖形，找出直線九W與平面BCD所成角的平面角，在三角形內即可求解.

【詳解】如圖，過點A向底面作垂線，垂足為O,連接AN,ON,OC,MN,

過點M作MG_LOC于G,連接NG,

2

由題意可知：MGI/AO且MG=—AO,

3

因為20_L平面BCD,所以MG_L平面BCD,

則NMNG即為直線與平面BCD所成角的平面角，

設正四面體的棱長為2,則NN=6，ON=-xy/3=—,

33

所以AOZAN?-ON?二位,貝I]MG=2ZO=短，

339

在AACVC中，由余弦定理可得：MN-yjNC2+MC2-2NC-MCcos60°=—,

3

22

在RtATWG中，NG=yjMN-MG=AI—--=—,

\9279

4V|

所以tanNMVG=妁=-^=勺好，

GN叵7

~9~

所以直線MN與平面58所成角的正切值是生但，

7

故選：C.

5.（2023?山東?沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，直三棱柱4G中，

2CB=3,/C=/4=l,8c=2,點河是BC的中點，點尸是線段4B上一動點,

點。在平面/MG上移動，則P，。兩點之間距離的最小值為（）

A.-B.|C.|D.1

323

【答案】A

【分析】根據題意可證：48〃平面NMG，可得P,。兩點之間距離的最小值為d,

利用等體積法求d,即可得結果.

【詳解】連接4c交/。于點。，連接0W,

?1,O,M分別為4C8C的中點，則OMIIA\B,

且（Wu平面/"G，/出《平面/可。］，

：.4B〃平面/MG，

則點P到平面/"G的距離相等，設為"，貝?。輕,。兩點之間距離的最小值為d,

即點4到平面/"G的距離為，，

：4C的中點。在上，則點C到平面AMC.的距離為d,

由題意可得為AC=CM=C1M=1,4cl=AM=MC、=4i,

1

由^C-AMCX=Vc「ACM，貝J’xdxLx拒xV^x、xlxLlxl，解得

322323

故尸，。兩點之間距離的最小值為d=@.

3

故選：A.

6.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預測）《九章算術》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底

面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬尸-/BCD（如圖），尸/，平面

ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,點E,b分別在力民上，當空間四邊形尸成辦的周長

最小時，三棱錐尸-4。尸外接球的表面積為（）

A.9兀B.11兀C.12KD.16K

【答案】B

【分析】把/尸，尸3剪開，使得AP/3與矩形/5CD在同一個平面內.延長DC到使

得CM=DC,則四點P,E,F,M在同一條直線上時，PE+EF+FD取得最小值，即空

間四邊形PEFD的周長取得最小值.可得CF=；PD=2,：.BF=\.：.點、E為AB的中點.

AF

設△“陽的外心為?！竿饨訄A的半徑為，，則”訴，利用勾股定理進而得出結

論.

【詳解】如圖所示，把/P,可剪開，使得AP/8與矩形/BCD在同一個平面內.

延長。C到〃，使得CM=DC,則四點P,E,F,M在同一條直線上時，PE+EF+FD

取得最小值，即空間四邊形尸EED的周長取得最小值.可得B尸。=2,，臺尸=1..?.點

E為N8的中點.

如圖所示，設△語的外心為。「外接圓的半徑為，，則”許AF二血I—.

設三棱錐尸-疝力'外接球的半徑為七球心為。，連接。。1,則。。1=3尸4=g,

則R2=2???三棱錐尸-/世外接球的表面積=4兀旌

故選：B.

7.（2023?湖南長沙?湖南師大附中?？家荒＃┤鐖D，已知正四棱臺N3CD-4片G。中,

AB=6,44=4,24=2,點分別為44，4G的中點，則下列平面中與2片垂

直的平面是（）

A.平面4cB.平面加WC.平面NCNMD.平面

【答案】C

【分析】延長四,3片,。弓，">1交于一點尸，取尸8中點。，連接/?C。，根據三角形

相似及長度關系可得為等邊三角形，即可得“0，尸B,CQYPB,由長度關系及

平行可證明△。耳工QB、N~AQBC,即可證明M在/。上，N在C0上，

再根據線面垂直的判定定理即可得出結果.

【詳解】解：延長河,34，CG，DA交于一點尸，取心中點。，連接工。<0,如圖所

因為正四棱臺/BCD-43c夕1，所以P-/由GQ為正四棱錐，

因為48=6,4片=4,BBi=2,且△尸4瓦~△尸48,

所以察=能即2贏，解得股=牝

所以PB=PA=AB=6,即△PAB為等邊三角形，

因為。為心中點，所以心，且3=3,同理可得C0,依,

因為84=2,所以。與=1,即碧=：,

因為監(jiān)N為4昂中點，所以4=2,

QBXJ_zQB空△/

“又MB[2-AB，NB12-CB'

因為ZQB\M=ZQBA,ZQB、N=AQBC,

所以AQB\M~^QBA,叢QB\N~AQBC,

所以ZQMB、=ZQAB,ZQNB,=ZQCB,

因為NB.//CB,

所以M在/。上，N在C。上，

因為CQLPB,所以/M_LPB,CN1PB,

即CN1BB},因為/Mu平面4WCN,CNu平面ZMCN,

AM^CN^Q,所以A81，平面NMCN.

故選：C

8.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學?？寄M預測）沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形

狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通

過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上

下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細沙全部在上部，其高度為圓錐高度

的9（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下O.OZcn?的沙，則該沙漏的一個沙時

【答案】C

【分析】由圓錐的體積公式計算細沙體積和沙堆體積，根據細沙體積不變即可求解.

【詳解】沙漏中的細沙對應的圓錐底面半徑為gx4=g,高為?，

333

所以細沙體積為，XTTX(學］x”■=1°247r(crtr

3⑴3811

1024

所以該沙漏的一個沙時為'F萬1985秒'

0.02

故選：C

9.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié),

很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈.下圖是小明為自家設計的一個花燈，該花燈由上面的正六

棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為40cm和20cm,

正六棱臺與正六棱柱的高分別為10cm和60cm,則該花燈的體積為（）

A.46000^3cm3B.480005/3cm3

C.5000073cm3D.52000百cm，

【答案】C

【分析】根據給定的幾何體，求出正六棱臺兩底面積，再利用臺體、柱體的體積公式計

算作答.

【詳解】依題意，花燈的體積等于上面的正六棱臺體積與下面的正六棱柱體積的和，

正六棱臺的兩個底面積分別為d=6x中X202=600x/3(cm2),

v=6x—x402=2400^(cm2),

4

所以花燈的體積

,

r=60S1+1xl0x(S1++(S2)=60X600A/3+|X10X(60073+,600君x2400g+240073)

=5000073(cm3).

故選：C

10.(2023?浙江?模擬預測)在《九章算術》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三

棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉腌為四個面都為直角三角形

的三棱錐，如圖，在塹堵NBC-N4G中，ACVBC,AAX=2,鱉的外接球

【答案】B

【分析】設/C=x,BC=y，4-4G8的外接球半徑為「，根據鱉麝4-4。避的外接球的

體積即可求得r,再根據的外接球的半徑與三棱柱NBC-44G的外接球的半

徑相同可得到x,y的關系式，再根據四棱錐的體積公式結合基本不等式即可求解.

【詳解】設/C=x,BC=y,耳-4GB的外接球半徑為r,

則B「AgB的外接球的體積為如/=迤￡/=0.

33

,.1x2+y2+4=（2r）2=8,.,.x2+y2=4.

又陽馬8-/CG4的體積為/TCC/=JxSnACC,A,X5C=gX2X孫Wg（一+y2）=,

4

所以陽馬8-/eq4體積的最大值為§.

故選：B.

二、多選題

11.（2023?浙江金華?浙江金華第一中學?？寄M預測）如圖，在正方體A5CD-4片GA

中，/5=1,點尸在側面3CG片及其邊界上運動，并且總是保持8口，則下列結論

正確的是（）

A.Pp-A^D=§

B.點P在線段4c上

c.ADJ平面4Go

D.直線/P與側面BCG4所成角的正弦值的范圍為學』

【答案】BC

【分析】對A,由面面平行說明"4D-CD；

對B,以。為坐標原點可建立如圖的空間直角坐標系，由向量法說明與，C,P三點共

線；

對C,由向量法證南，西，西，西，再由線線垂直證8〃，平面

對D,由向量法求線面角，進而討論范圍.

【詳解】對于A,點尸在平面BCC\B、內，平面BCCE//平面44Q,所以點尸到平面AAXD

的距離即為點C到平面44。的距離，即正方體的棱長，

所以七一.0=；1443-CO=；x；xlxlxl=1,A錯誤；

3326

對于B,以。為坐標原點可建立如圖的空間直角坐標系，

則/(1,0,0),尸(x,l,z),5(1,1,0),^(0,0,1),g(1,1,1),C(0,l,0),且OVxWl,OVzVl,

所以后](x-西二(f-U),^C=(-l,0,-l).

因為4P_L8D],所以/PBD]=l-x-l+z=0,所以X=z,即尸,所以CP=(x,0,x),

所以而=-x而，即4，C,尸三點共線，故點P在線段4c上，B正確；

對于c,4(1,0,1),G(0,1,1),甌=(1,0,1),%=(0,1,1),西=(一1,一1,1),

由函?函=0,西—西=0=麗_1西,西_1西，

因為。4CZ）G=。，DA-0Gu平面4G。，所以BD]_L平面MG。，c正確;

對于D,萬=（x-l,l,尤），04x41,平面BCG片的一個法向量為麗=（0,1,0）.

設后與平面8CCe的夾角為。，。為銳角，

.n\m-AP\111

2

其正弦值為一同網一卮產41Jrn+3-

由OVxVl,得YlvsinSV近，D錯誤.

23

故選：BC.

12.(2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預測)在正方體力BCD-44中，點尸滿足

率=2麗(0V2V1),貝I]()

7T

A.若4=1,則/尸與8。所成角為二B.若AP工BD,貝!|彳=—

42

C.4P〃平面8CQD.AtC1AP

【答案】BCD

【分析】NQ與3。所成角為與3a所成角，為60。,A錯誤，建系得到

AP-DB=-A+l-A=O>B正確，故面/口片〃面G?。，C正確，4C-AP=0,D正確,

得到答案.

【詳解】對選項A：%=1時P與2重合，42與8。所成角為與8a所成角，/BQI

為等邊三角形，則/尸與8。所成角為60。，錯誤；

對選項B：如圖建立空間直角坐標系，令40=1,率=2瓦耳，P(l-2,1-A,l),

ZP=(-A,1-2,1),DS=(1,1,0),2P-Z)5=-A+1-A=O-2=g,正確；

對選項C：D\B"BD,A4a平面BOu平面ADG，故。4〃平面8￡>G，

同理可得gH平面CXBD,AD{cBR=j,故面ADR"面CXBD,/Pu平面ADXBX,

/P〃平面C/Z),正確;

對選項D：4C=(-1,1,-1),4C-Zp=A+l-/t-l-0,4C±AP,正確.

故選：BCD

13.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預測）折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”

諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是

運籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇

形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3,且“BC=120。，則該圓

臺（）

圖1圖2

高為迪

A.B.表面積為34等71

3

C.體積為至1

7tD.上底面積、下底面積和側面積之比為

81

1:9:24

【答案】BCD

【分析】求得圓臺的上下底面半徑，根據圓臺的結構特征可求得圓臺母線長和高，判斷

A；根據圓臺的側面積以及體積公式求得表面積和體積，判斷B,C；進而求得上底面

積、下底面積和側面積之比，判斷D.

【詳解】對于A,設圓臺的上底面半徑為廠，下底面半徑為R,則

2兀/=--27T-1,2TIR=--271-3,

33

解得/-/，尺力,所以圓臺的母線長為3-1=2,高為〃=F_（T=警,選項A錯

誤；

11O

對于B,圓臺的上底面積為,兀，下底面積為兀，側面積為兀x（§+l）x2=］兀，

所以圓臺的表面積為S=*兀+兀+：兀=等兀，選項B正確；

對于C,圓臺的體積為匕=,兀.[dy+\i+P）.逑=2叵，選項C正確；

333381

1Q

對于D,圓臺的上底面積、下底面積和側面積之比為§兀：兀:寫兀=1:9:24,選項D正確，

故選：BCD.

14.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）正方體的棱長為3,E,尸分別是棱4G，

G2上的動點，滿足。/=GE,貝。（）

A.B尸與DE?垂直

B.8尸與?！暌欢ㄊ钱惷嬷本€

C.存在點E,F,使得三棱錐尸-48E的體積為二

4

D.當E,尸分別是耳G,G2的中點時，平面力.截正方體所得截面的周長為g血

【答案】ACD

【分析】設GE=A尸=ae[0,3],利用坐標法可判斷A,利用特值法可判斷B,根據體積

公式表示出三棱錐尸-43E的體積可判斷C,作出截面結合條件可得周長判斷D.

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設。田=2尸=“?0,3],

則。（0,0,0）,8（3,3,0）,￡（a,3,3）,尸（0,a,3）,

A：由題可得而=（-3,0-3,3）,瓦=（見3,3）,所以麗?瓦=—3a+3（a—3）+3x3=0,

所以旃_L方后，即3尸_LDE，故A正確；

B：當E,尸為中點時，DB=（3,3,O）,FE=（J,^,ojDB,所以E尸//BD,B,D,F,

E四點共面，此時8尸與DE不是異面直線，故B錯誤；

C：由GE=*=ae[0,3],可得知即=9音-由瀘-咚?=+9）,

則%W=嚷的=；x3x；（"-3a+9）=；（a-j]+已?,由于&，故C正

jzZ）o|_oZJ-L°

確；

D：直線E尸與4綜42分別交于G,〃，連接/G,/〃分別交8月，于點M,N,

則五邊形ANFEM為平面AEF截正方體所得的截面，

因為E,尸分別是4G，CQ］的中點，

7T13

所以易得NQEF=NHFR=',故可得=用后=，尸=5/8=§,

因為所以芻絲=型=!，

BMBA2

可得用=同理可得2N=gND=l,所以五邊形4VFW的周長為

219+4+$+［）+/1+：=,故D正確.

故選：ACD.

15.（2023?江蘇?二模）已知/-BCD是棱長均為1的三棱錐，則（）

A.直線48與CD所成的角90°

B.直線3C與平面/CD所成的角為60。

C.點C到平面N5Q的距離為逅

3

D.能容納三棱錐/-BCD的最小的球的半徑為如

4

【答案】ACD

【分析】根據正四面體的結構特征、線面垂直判定及性質、線面角定義逐一計算或判斷

各項正誤即可.

【詳解】A：若E為C。中點，連接由題設知：各側面均為等邊三角形，

DEC

所以_LC￡?,BE_LC￡>,AEIBE=E,4E,BEu面4BE,則0）_1_面/班，

又48u面/BE,故48_LCZ）,正確；

B：若萬為面/CD中心，連接3尸，則5尸，面/CD,CFu面/CD,

所以直線BC與平面NCD所成的角為4CF,且AFLCF,而c尸=工1、1=",

323

故cos/5c尸=”=",顯然/3CF不為60°,錯誤；

BC3

C：由B分析8尸=J3。2-CO?=",即該正棱錐的體高為Y6,故C到平面N9的距

33

離為漁，正確；

3

D：顯然正棱錐的外接球半徑最小，令其外接球半徑為R,貝1]上=（，一尺>+（g）2,

所以夫=巫，正確.

4

故選：ACD

16.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預測）如圖，正方體9CD-44GA棱長為2,尸是直線4。

上的一個動點，則下列結論中正確的是（）

4

A

A.8尸的最小值為血

B.PA+PC的最小值為2,2-尬

C.三棱錐瓦-/CP的體積不變

D.以點5為球心，0為半徑的球面與面48。的交線長辿兀

3

【答案】ACD

【分析】根據BP的最小值為等邊三角形的高，可求得A正確；將△/同。與矩

形44CZ）沿4。翻折到一個平面內，可知所求最小值為/C,利用余弦定理可求得B

錯誤；利用體積橋腺TW=匕叫w可求得三棱錐用-/CP的體積為定值，知C正確；利

用體積橋可求得點B到平面的距離，根據交線為圓可求得交線長，知D正確.

【詳解】對于A,在AB/Q中，AxB=BD=AxD=2y[2,即AB/Q是邊長為2啦的等邊

三角形,

B

.?.2P的最小值為的高，，瓦益=次=1=6，A正確；

對于B,將△44。與矩形4片。沿4。翻折到一個平面內，如圖所示,

則尸/+PC的最小值為/C；

TT7T

又AD=CD=2,ZADA=-,ZA.DC=~,

42

.?.在A/CQ中，由余弦定理得：/。2=4+4一8cos型=8+4行，

4

AC=272+72-即(P/+PC)1nhi=212+0，B錯誤；

對于c,?.,同片，平面,/Au平面；

v四邊形為正方形，，

又44門4。=4，/百,4。u平面44。。，.平面4與co；

：?七.ACP=VA-B[CP=[S△Bgp,g4D1=；S口AB\CD,g4D1=：x2義26義亞=:,

J乙Vz乙VzJ

即三棱錐用-/CP的體積不變，C正確;

對于D,設點3到平面的距離為d,

*—B-ABiC=VB「ABC,~S"B]C'~^^ABC-BB{,即工x2亞x23='x2x2x2,解

33222

彳日“26

pf:d_---,

3

???以點5為球心，V2為半徑的球面與平面48。的交線是以，2-屋=Y6為半徑的圓,