人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)銳角三角函數(shù)《解直角三角形及其應(yīng)用（第2課時(shí)）》示范教學(xué)課件

解直角三角形及其應(yīng)用

（第2課時(shí)）人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1．什么叫做解直角三角形？一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．2．直角三角形中，除直角外，五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系？如圖，在

Rt△ABC

中，∠C

為直角，∠A，∠B，∠C

所對(duì)的邊分別為

a，b，c，那么除直角∠C

外的五個(gè)元素之間有如下關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°；

（3）邊角之間的關(guān)系上述（3）中的

A

都可以換成

B，同時(shí)把

a，b

互換．類型一、解直角三角形1．（1）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，已知

BC＝12，AC＝4

，解這個(gè)直角三角形；解：（1）在

Rt△ABC

中，

因?yàn)樗浴螧＝30°，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．（2）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，a＝31，c＝31

，解這個(gè)直角三角形．解：（2）因?yàn)?/p>

所以∠A＝45°．所以∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°，所以∠A＝∠B．所以

b＝a＝31．已知兩邊解直角三角形的方法（1）已知兩直角邊：通常先利用勾股定理求出斜邊，再利用兩條直角邊的比得到其中一個(gè)銳角的正切值，求出該銳角，最后利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系求出另一個(gè)銳角．（2）已知斜邊和一直角邊：通常先利用勾股定理求出另一條直角邊，再利用已知直角邊與斜邊的比得到其中一個(gè)銳角的正弦（或余弦）值，求出該銳角，最后利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系求出另一個(gè)銳角．歸納2．（1）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝60°，解這個(gè)直角三角形；所以

BC＝AB·sin

A＝10×sin

60°＝5

．解：（1）在

Rt△ABC

中，∠B＝90°－60°＝30°．因?yàn)?/p>

，因?yàn)?/p>

，所以

AC＝AB·cos

A＝10×cos

60°＝5．（2）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝3，解這個(gè)直角三角形（精確到

0.001，sin

35°≈0.573

6，cos

35°≈0.819

2，tan

35°≈0.700

2）．所以

．解：（2）在

Rt△ABC

中，∠B＝90°－35°＝55°．因?yàn)?/p>

，所以

BC＝AC·tan

A＝3×tan

35°≈3×0.700

2≈2.101．因?yàn)?/p>

，已知一銳角和一邊解直角三角形的方法（1）已知一銳角和斜邊：先利用直角三角形的兩銳角互余求出另一個(gè)銳角，再利用已知角的正弦和余弦求出兩條直角邊．（2）已知一銳角和一直角邊：先利用直角三角形的兩銳角互余求出另一個(gè)銳角，再利用已知角的正切求出另一條直角邊．當(dāng)已知直角邊是已知銳角的對(duì)邊時(shí)，利用這個(gè)角的正弦求斜邊；當(dāng)已知直角邊是已知銳角的鄰邊時(shí)，利用這個(gè)角的余弦求斜邊．（在這個(gè)過程中，也可利用勾股定理求其中的某條邊）

歸納類型二、“化斜為直”解非直角三角形3．如圖，在

△ABC

中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2

，求

AB

的長．所以

CD＝AC·sin

30°＝

＝

，AD＝AC·cos

30°＝

＝3．所以

BD＝CD＝

．解：如圖，過點(diǎn)

C

作

CD⊥AB

于點(diǎn)

D．在

Rt△ACD

中，因?yàn)椤螦＝30°，在

Rt△BCD

中，因?yàn)?/p>

tan

45°＝

，所以

AB＝AD＋BD＝3＋

．D“化斜為直”解非直角三角形的方法一般情況下，直角三角形是求解或運(yùn)用銳角三角函數(shù)的前提條件，當(dāng)題目中所提供的是非直角三角形時(shí)，需先通過作垂線（或高）添加輔助線，將非直角三角形分割成兩個(gè)直角三角形，再運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決問題．若條件中有線段的比或銳角三角函數(shù)，則也可以設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)，列出方程求解．歸納類型三、解直角三角形與三角形面積的綜合應(yīng)用4．如圖，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AD

平分∠BAC，BD＝12，CD＝6，求△ABC

的面積．解：如圖，過點(diǎn)

D

作

DE⊥AB

于點(diǎn)

E．因?yàn)?/p>

AD

是∠BAC

的平分線，∠C＝90°，所以

DE＝CD＝6．在

Rt△BDE

中，BD＝12，

．又因?yàn)椤螧

是銳角，所以∠B＝30°．E所以△ABC

的面積為

．在

Rt△ABC

中，BC＝BD＋CD＝18，

AC＝BC·tan

B＝

＝

，E解與三角形有關(guān)的面積問題的方法先作輔助線構(gòu)造直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)求三角形的底或高，最后利用三角形面積公式求面積．歸納5．如圖所示，已知四邊形

ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB＝30

，BC＝50

，求四邊形

ABCD

的面積．在

Rt△EAB

中，AE＝AB·tan

60°＝30

×

＝90，

，解：方法

1，如圖所示，延長

DA，CB

交于點(diǎn)

E，則∠ABE＝60°，∠E＝30°．所以

CE＝BE＋BC＝60

＋50

＝110

．類型四、運(yùn)用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積EDC＝CE·tan

30°＝

＝110，在

Rt△DCE

中，所以

S四邊形ABCD＝S△DCE－S△EAB

＝

＝

．EEC＝BC·tan∠CBE＝50

×tan

30°＝50．方法

2，如圖所示，過點(diǎn)

B

作

BE∥AD，交

CD

于點(diǎn)

E，過點(diǎn)

E

作

EF∥AB，交

AD

于點(diǎn)

F，則

BE⊥AB，EF⊥AD，所以四邊形

ABEF

是矩形，所以∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°．在

Rt△BCE

中，

，EF＝

×(130＋100)×30

＋

×50

×50＝4

700

．所以

S四邊形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝

(AD＋BE)·AB＋

BC·EC在

Rt△DEF

中，

．所以

AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130．EF用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積（1）分割原有圖形為規(guī)則圖形．（2）粘補(bǔ)原有圖形為規(guī)則圖形．（3）綜合運(yùn)用分割、粘補(bǔ)的方法，使原有圖形變?yōu)橐?guī)則圖形．歸納類型五、解直角三角形與圓的綜合性問題6．如圖，在矩形

ABCD

中，點(diǎn)

O

在對(duì)角線

AC

上，以

OA

的長為半徑的⊙O

與

AD，AC

分別交于點(diǎn)

E，F(xiàn)，且∠ACB＝∠DCE．（1）判斷直線

CE

與⊙O

的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；解：（1）直線

CE

與⊙O

相切．證明：連接

OE．因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD

是矩形，所以

BC∥AD，∠ACB＝∠DAC．又因?yàn)椤螦CB＝∠DCE，所以∠DAC＝∠DCE．因?yàn)?/p>

OA＝OE，所以∠DAC＝∠AEO＝∠DCE．因?yàn)椤螪CE＋∠DEC＝90°，所以∠AEO＋∠DEC＝90°，所以∠OEC＝90°，所以直線

CE

與⊙O

相切．（2）若

tan∠ACB＝

，BC＝2，求⊙O

的半徑．所以

DE＝DC·tan∠DCE＝

＝1．所以

AB＝BC·tan∠ACB＝

，解：（2）因?yàn)?/p>

，BC＝2，所以

．因?yàn)椤螦CB＝∠DCE，所以

．又因?yàn)?/p>

DC＝AB＝

，在

Rt△CDE

中，

．設(shè)⊙O

的半徑為