3.3 拋物線（原卷版）-2024-2025學年【暑假預習】高二數(shù)學（人教A版2019選擇性必修一）

.3拋物線知識點一拋物線的標準方程【【解題思路】用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟設方程：根據(jù)焦點的位置，設出標準方程列方程：根據(jù)條件建立關于參數(shù)P的方程解方程：解關于參數(shù)P的方程，求出P的值得方程：根據(jù)參數(shù)P的值，寫出所求的標準方程注意：當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論情況的個數(shù)．【例1-1】（2023·新疆·三模）已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023·河南新鄉(xiāng)）已知拋物線的焦點為F，C上一點滿足，則拋物線C的方程為（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知拋物線：過點，則拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西安康）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·河南）已知為坐標原點，為拋物線（）的焦點，點在上，且，則的方程為（

）A． B． C． D．知識點二拋物線定義的應用【【解題思路】1.拋物線定義的應用實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．2.拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負．(2)關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸．(3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.【例2-1】（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知點，且是拋物線的焦點，為上任意一點，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例2-2】（2024·四川成都·模擬預測）設點，動點P在拋物線上，記P到直線的距離為d，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【變式】1．（2024·湖南常德）已知拋物線方程為:，焦點為.圓的方程為，設為拋物線上的點，為圓上的一點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2024·四川成都）已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．43（2024·全國·模擬預測）已知點，點是拋物線上任一點，為拋物線的焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．知識點三直線與拋物線的位置關系【【解題思路】直線與拋物線的位置關系(1)設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論，求解交點時不要忽略二次項系數(shù)為0的情況．(2)一般弦長：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)焦點弦長：設焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.【例3-1】（2024·江蘇宿遷）已知拋物線，點，則“”是“過且與僅有一個公共點的直線有3條”的（

）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例3-2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知拋物線，直線過定點.討論直線與拋物線的公共點的情況.【變式】1．（23-24高二下·上海·階段練習）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（

）條A．0 B．1 C．2 D．32．（2024高三·全國·專題練習）過點與拋物線只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．0條3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）當k為何值時，直線與拋物線有兩個公共點？僅有一個公共點？無公共點？知識點四弦長【【解題思路】直線與拋物線的位置關系(1)設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論，求解交點時不要忽略二次項系數(shù)為0的情況．(2)一般弦長：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)焦點弦長：設焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.【例4-1】（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知直線與拋物線：交于兩點，則（

）A． B．5 C． D．【例4-2】（2024·江西新余·二模）已知點在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則（O為坐標原點）的面積是（

）A． B．1 C．2 D．4【例4-3】（23-24高二下·河南洛陽·期末）經(jīng)過拋物線的焦點F的直線交C于A，B兩點，與拋物線C的準線交于點P，若成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【變式】1．（22-23高二下·上海閔行·期末）已知直線與拋物線交于A、B兩點，則弦AB的中點到準線的距離為(（

）.A．4 B． C．8 D．2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學考試）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（2024·山東濟寧）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于，兩點，若，則（

）A． B．1 C． D．24．（2024·上海）過拋物線的焦點的直線交于點，交的準線于點，，點為垂足.若是的中點，且，則.5．（2024·北京）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，若弦中點縱坐標為2，則．知識點五拋物線有關的軌跡問題【【解題思路】求軌跡問題的兩種方法(1)直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．(2)定義法：若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數(shù)法列方程(組)求解的曲線方程．【例5-1】（2024·湖南衡陽）已知點，動圓過點，且與相切，記動圓圓心點的軌跡為曲線，則曲線的方程為（

）A． B． C． D．【例5-2】（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式】1（2024·福建泉州·模擬預測）已知為坐標原點，矩形的頂點A，C在拋物線上，則頂點B的軌跡方程為．2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點為動點，以線段為直徑的圓與軸相切．動點的軌跡的方程為.3．（23-24北京房山·期末）已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是.4．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習）若動點到點的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．5（22-23福建寧德·期末）已知圓：與定直線：，動圓與圓外切且與直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.知識點六拋物線的實際應用問題【【解題思路】首先確定與實際問題相匹配的數(shù)學模型．此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關知識解決此問題，操作步驟為(1)建系：建立適當?shù)淖鴺讼担?2)假設：設出合適的拋物線標準方程．(3)計算：通過計算求出拋物線的標準方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)還原：還原到實際問題中，從而解決實際問題．【例6-1】（2024·全國·模擬預測）某社會實踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為21.6m，拱頂距水面10.9m，路面厚度約1m．若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機取景，使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【例6-2】（23-24高二上·山東濱州·期末）如圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面，水面寬.當水面上升后，水面寬為（

）A． B． C． D．，【變式】1（2024·山西晉城）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設該拋物線的焦點到準線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點到橋面的距離）為（

）A．米 B．米C．米 D．米2．（23-24高二上·四川德陽·期末）一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示）的曲面是旋轉(zhuǎn)拋物面（拋物線圍繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而得的一種空間曲面，拋物線的對稱軸、焦點、頂點分別稱為旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線、焦點、頂點），已知衛(wèi)星波束以平行于旋轉(zhuǎn)拋物面的軸線的方式射入該衛(wèi)星接收天線經(jīng)反射后聚集到焦點處（如圖②所示），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為6m，深度為1m，則其頂點到焦點的距離等于（

）A． B． C．1m D．3．（23-24高二上·新疆阿克蘇·階段練習）魚腹式吊車梁中間截面大，逐步向梁的兩端減小，形狀像魚腹，如圖，魚腹式吊車梁的魚腹部分是拋物線的一部分，其寬為，高為，根據(jù)圖中的坐標系，則該拋物線的焦點到準線距離為（

）A． B．5 C．10 D．20【題組一拋物線的標準方程】1．（2024·貴州畢節(jié)）已知點在拋物線上，則拋物線C的準線方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知拋物線C：過點，則拋物線C的準線方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知點在拋物線上，則拋物線的準線方程為（

）A． B．C． D．4．（2024·福建莆田）已知拋物線）的焦點為F，點在拋物線C上，且，則拋物線C的準線方程是（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西西安）已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，為坐標原點，當時，，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．

【題組二拋物線定義的應用】1．（2024·陜西西安）設為拋物線C：上的動點，關于的對稱點為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邯鄲）已知拋物線的焦點為F，為拋物線上一動點，點，則周長的最小值為（

）A．13 B．14 C．15 D．163．（2024·內(nèi)蒙古赤峰）已知拋物線的焦點為，點的坐標是，P為上一點，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．54．（2024·湖南·模擬預測）已知點，拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當運動到時，，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．35．（23-24陜西安康·開學考試）已知拋物線的焦點為，，點是拋物線上一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．86．（23-24高二上·浙江杭州·期末）設點，拋物線上的點P到y(tǒng)軸的距離為d．若的最小值為1，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【題組三直線與拋物線的位置關系】1．（2024湖北）已知直線及拋物線，則（）A．直線與拋物線有一個公共點 B．直線與拋物線有兩個公共點C．直線與拋物線有一個或兩個公共點 D．直線與拋物線可能沒有公共點2（2024山東）若直線y＝kx＋2與拋物線y2＝x只有一個公共點，則實數(shù)k的值為（）A． B．0C．或0 D．8或03．（2024·福建漳州·三模）寫出過點且與拋物線有唯一公共點的一條直線方程.【題組四弦長】1．（2024·天津·模擬預測）雙曲線和拋物線（）的公共焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，若中點的橫坐標為6，則（

）A．16 B．12 C．10 D．82．（2024·安徽馬鞍山）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，直線過其焦點且與交于兩點，若直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北）已知拋物線的準線方程為，直線交拋物線于、兩點，則弦長______.4．（2024·南昌市）過點的直線與拋物線交于兩點，，則△ABC面積的最小值為____.【題組五拋物線有關的軌跡問題】1．（22-23高二上·四川綿陽·期中）在平面坐標系中，動點P和點滿足，則動點的軌跡方程為．2．（2022高三·全國·專題練習）已知點，在軸上，且，則外心的軌跡的方程；3．（2024遼寧沈陽·階段練習）點，點B是x軸上的動點，線段PB的中點E在y軸上，且AE垂直PB，則點P的軌跡方程為．4（24-25高二上·上?！ふn堂例題）在平面直角坐標系xOy中，動圓M與圓N：相內(nèi)切，且與直線相切，記動圓圓心M的軌跡為曲線C．求曲線C的方程．【題組六拋物線的實際應用問題】1．（23-24高二上·四川德陽·階段練習）如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計劃在拱形橋的焦點處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（

）（結(jié)果精確到0.0