第二章 直線與圓方程 章末總結(jié)與測試（解析版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

第二章直線與圓的方程章末總結(jié)與測試考點一直線的斜率與傾斜角1．（23-24高二上·新疆昌吉·階段練習(xí)）已知直線.若，則實數(shù)的值是（

）A．4 B．C．4或0 D．4或【答案】C【解析】因為，，當(dāng)時，，顯然滿足題意；當(dāng)時，，解得；綜上，或.故選：C.2．（2024北京·階段練習(xí)）已知，若點在線段上，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】如圖，因為表示點和點連線的斜率，又，所以，，由圖知，的最小值為，

故選：C.3．（23-24高二下·河南南陽·期末）已知直線與直線平行，則實數(shù)（

）A． B．1 C．或1 D．【答案】C【解析】已知直線與直線平行，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得或.故選：C.4．（2024江蘇）已知點、、，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A． B．C． D．以上都不對【答案】C【解析】如圖，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率或，而，于是直線l的斜率或，所以直線l斜率k的取值范圍是，故選：C5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由可得，解得或.當(dāng)時，：，：，顯然，重合，舍去，故時，.因此“”是“”的充要條件.故選：C6．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】因為，故即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為，故選：C.考點二直線的方程1（23-24高二上·吉林延邊·期中）過兩條直線，的交點，且與直線垂直的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，設(shè)與直線垂直的直線的方程為，則，得，所以所求直線方程為.故選：A2．（22-23高二上·廣東湛江·期中）一條光線從點射出，與軸相交于點，經(jīng)軸反射，則反射光線所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得反射光線所在直線經(jīng)過點，設(shè)點關(guān)于x軸的對稱點為，則根據(jù)反射定律，點在反射光線所在直線上，故反射光線所在直線的方程為，即，故選：A．3．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）（多選）已知直線，下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．當(dāng)時，關(guān)于軸的對稱直線為C．直線一定經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．點到直線的最大距離為【答案】BD【解析】對于A，直線，所以直線過定點，故A錯誤；對于B.當(dāng)時，直線方程為，關(guān)于軸的對稱直線為，故B正確；對于C，當(dāng)時，直線方程為，直線不經(jīng)過第四象限，故C錯誤；對于D，如圖所示：設(shè)，由圖象知：，點到直線的最大距離為，故D正確；故選：BD4．（2024·江西·模擬預(yù)測）（多選）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．，使得【答案】AB【解析】對于選項A：因為表示過定點，且斜率不為0的直線，可知表示直線上所有的點，所以，故A正確；對于選項B：當(dāng)時，則，，聯(lián)立方程，解得，所以，B正確；對于選項C：當(dāng)時，則有：若，則；若，可知直線與直線平行，且，可得，解得；綜上所述：或，故C錯誤；對于選項D：若，由選項C可知，且，無解，故D錯誤．故選：AB．5（2024云南）已知直線，點．求：(1)點關(guān)于直線的對稱點的坐標；(2)直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；(3)直線關(guān)于點對稱的直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）設(shè)，由得，則，解得，故.（2）在直線上取一點，如，則關(guān)于直線的對稱點必在上，設(shè)對稱點為，則，解得，即，設(shè)與的交點為，則由，解得，即，又經(jīng)過點，故，所以直線的方程為，即.（3）設(shè)為上任意一點，則關(guān)于點的對稱點為，因為在直線上，所以，即直線的方程為.

考點三三種距離1．（23-24高二上·新疆昌吉·階段練習(xí)）兩平行直線之間的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】直線可化為，直線可化為，所以兩平行直線之間的距離為.故選：A.2．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）點到直線l：的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點到直線l：的距離為.故選：A3．（2024·重慶·三模）當(dāng)點到直線l：的距離最大時，實數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】直線l：，整理得，由，可得，故直線恒過點，點到的距離，故；直線l：的斜率，故，解得故選：B.考點四圓的方程1．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）圓心在軸上，半徑為，且過點的圓的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意設(shè)圓心為，則圓的方程為，又，解得，所以圓的方程為.故選：D2（23-24四川德陽·期末）過圓外一點，以為直徑的圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圓可知，，故以為直徑的圓的圓心為，半徑為，故以為直徑的圓的方程為，故選：D3．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)所求圓的方程為，即，圓心坐標為，代入中，即，解得，將代入中，即，滿足，故所求圓的方程為，故選：A4．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知圓過點，且與軸相切，圓心在軸上，則圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可設(shè)圓心為，半徑為，所以且，解得，故圓的方程為，即，故選：B.5（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）（多選）設(shè)圓，則下列命題正確的是（

）A．所有圓的面積都是 B．存在，使得圓C過點C．經(jīng)過點的圓C有且只有一個 D．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上【答案】AD【解析】對于A，由于每個圓的半徑都是，故面積都是，A正確；對于B，由于，故圓C必定不過，B錯誤；對于C，對和，均有，故，即圓C經(jīng)過點，C錯誤；對于D，圓心始終在直線上，D正確.故選：AD.6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1，0)，且被x軸分成兩段，弧長之比為1∶2，則圓C的方程可能是（

）A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝【答案】CD【解析】題可知，圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為，設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則rsin＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圓的方程為x2＋(y±)2＝.考點五直線與圓1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直線與圓交于兩點，則弦的長（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為，半徑，因為到直線的距離，所以.故選：B.2．（2024廣東湛江·期中）若圓上恰有三點到直線的距離為2，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由得，所以圓心，半徑，因為圓上恰有三點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故選：C．3．（23-24高二上·浙江金華·期中）（多選）已知圓，直線.則下列命題正確的有（

）A．直線恒過定點B．圓被軸截得的弦長為C．直線與圓恒相交D．直線被圓截得弦長最短時，直線的方程為【答案】ACD【解析】對于A，由已知可得，圓心，半徑，直線方程可化為，由，可得，所以直線恒過定點，A選項正確；對于B，將代入圓的方程有，解得，弦長為，B項錯誤；因為點到圓心的距離為，所以點在圓內(nèi)，直線與圓恒相交，C項正確；當(dāng)圓心與定點的連線恰好與垂直時，圓心到直線的距離最大，直線被圓截得的弦長最小，則的斜率應(yīng)滿足，所以，代入點斜式方程有，即，D正確.故選：ACD.4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）（多選）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點B．存在實數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點C．當(dāng)時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線【答案】ACD【解析】對于A，直線的方程為，由，得，直線過定點，A正確；對于B，又，即定點在圓內(nèi)，則直線與圓相交，有兩個交點，B錯誤；對于C，當(dāng)時，直線：，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，且，因此恰有2個點到直線的距離等于1，C正確；對于D，圓化為，圓的圓心為，半徑為4，兩圓圓心距為，兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確.故選：ACD.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點是圓上任意一點．(1)求P點到直線的距離的最大值和最小值．(2)求的最大值和最小值．(3)求的最大值和最小值【答案】(1)最大值為，最小值為(2)最大值為，最小值為(3)最大值為，最小值為【解析】（1）圓心到直線的距離為．∴P點到直線的距離的最大值為，最小值為．（2）解法一：設(shè)，則直線與圓有公共點，∴，解得，則，即的最大值為，最小值為．解法二：設(shè)，則，其中，∴得，即的最大值為，最小值為．（3）表示圓上的點與點連線的斜率為k，設(shè)，即，直線與圓有交點，設(shè)，解得．則，即的最大值為，最小值為．考點六圓與圓1．（2024北京·階段練習(xí)）圓．與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】C【解析】因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，又，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，故選：C.2．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知圓與圓相交，則相交的公共弦長為（

）A． B． C．5 D．2【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑，圓圓心，半徑，而，則兩圓相交，于是得兩圓的公共弦所在的直線方程為，圓心到此直線距離，所以公共弦長為.故選：D3（23-24高三上·吉林·階段練習(xí)）兩圓與的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為4，所以圓心距．又，所以兩圓相交，所以公切線只有2條．故選：B4．（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）已知圓與圓交于A，B兩點，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，圓與圓相交，兩圓方程相減得直線：，顯然點在直線上，因此線段是圓的直徑，所以.故選：C5．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】D【解析】圓：，所以圓心，半徑為.由點到直線距離公式得：，且，所以.又圓的圓心，半徑為：1.所以，.由，所以兩圓內(nèi)含.故選：D6．（2024·山東青島·三模）（多選）已知動點分別在圓和上，動點在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過點做圓的切線，則切線長最短為【答案】BD【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，圓的半徑為，A錯誤；對于B，，圓和圓相離，B正確；對于C，圓關(guān)于軸對稱的圓為，，連接交于點，連接，由圓的性質(zhì)得，，當(dāng)且僅當(dāng)點與重合，且是線段分別與圓和圓的交點時取等號，C錯誤；對于D，設(shè)點，過點的圓的切線長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確.故選：BD

7．（22-23高二上·吉林·階段練習(xí)）（多選）已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑B．點在圓C的內(nèi)部C．圓C與圓的公共弦所在直線方程為D．圓與圓C相交【答案】ACD【解析】對于A，圓的標準方程為，所以半徑，故A正確；對于B，將點代入圓的標準方程中得，所以點在圓的外部，故B錯誤；對于C，由兩圓方程相減得，則公共弦所在直線方程為，故C正確；對于D，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓與的圓心距為，小于兩圓半徑之和且大于兩圓半徑只差，即，故兩圓相交，故D正確.故選：ACD.8．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（多選）已知直線與圓：和圓：都相切，則直線的方程可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由題知，兩圓半徑，所以，故圓、外切，則兩圓有三條公切線，如圖，的中點為兩圓外切切點，當(dāng)直線過的中點，且與垂直時，因為，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線與平行，且到的距離為時，設(shè)直線的方程為，所以，解得或，所以直線的方程為或．故選：ABC．一、單選題1．（23-24高二上·新疆昌吉·階段練習(xí)）經(jīng)過點且斜率為的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為直線經(jīng)過點且斜率為，所以直線方程為，即.故選：D.2．（23-24高二下·云南紅河·期末）已知直線l：與圓C：有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓C：，知，圓心到直線的距離為：，解得：.故選：A3．（23-24高二下·福建福州·期末）若圓被直線平分，則（

）A．-2 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得圓心在直線上，則，解得.故選：D.4．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知直線：，：，若“”是“”的充要條件，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題意可知若，則，又因為即，故，即.故選：B.5．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）已知方程，則下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時，方程表示圓心為的圓B．當(dāng)時，方程表示圓心為的圓C．當(dāng)時，方程表示的圓的半徑為D．當(dāng)時，方程表示的圓與y軸相切【答案】A【解析】由題意，方程，可化為，當(dāng)時，，方程表示點，故A錯誤；當(dāng)時，，方程表示圓心為的圓，故B正確；當(dāng)時，，方程表示的圓的半徑為，故C正確；當(dāng)時，，方程表示的圓的半徑為，圓心為，與軸相交，故D正確，故選：A.6．（23-24高二下·云南昭通·期中）已知圓為直線上的一個動點，過點作圓的切線，切點分別為，若直線關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，根據(jù)題意，可得圓的圓心為，半徑.若圓的切線關(guān)于直線對稱，則，結(jié)合直線的斜率，可知直線的方程為，由，解得，所以，，由對稱性可知，故，故選：B.7．（24-25高三下·江西·階段練習(xí)）過點的直線與曲線有兩個交點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，曲線是以為圓心，1為半徑的半圓（如圖所示），設(shè)曲線的下端點為，要使與曲線有兩個交點，則應(yīng)位于直線和切線之間，所以，因為，易知，又與曲線相切，由，解得，所以，所以直線斜率的取值范圍為.故選：B.8．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知直線l與圓交于M，N兩點，若以MN為直徑的圓過點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，MN的中點，則，．又因為，，則，所以．若以MN為直徑的圓過點，則，且，，可得，即，整理得，所以Q在圓心為、半徑為的圓上．因為，可知點O在圓外，則，所以．故選：C．二、多選題9．（23-24高二上·安徽安慶·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．過點且在軸，軸截距相等的直線方程為D．經(jīng)過平面內(nèi)任意相異兩點的直線都可以用方程表示．【答案】AD【解析】對于A：直線的傾斜角為，則，因為，所以，故A正確.對于B：當(dāng)時，直線與直線斜率分別為，斜率之積為，故兩直線相互垂直，所以充分性成立，若“直線與直線互相垂直”，則，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B錯誤.對于C：截距為0時，設(shè)直線方程為，又直線過點，所以可得，所以直線方程為，當(dāng)截距不為0時，調(diào)直線方程為，又直線過點，所以可得，所以直線方程為，所以過點且在軸，軸截距相等的直線方程為或，故C錯誤；.對于D：經(jīng)過平面內(nèi)任意相異兩點的直線：當(dāng)斜率等于0時，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不存在時，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不為0且斜率存在時，直線方程為，也能用方程表示，故D正確.故選：AD.10．（22-23高二上·廣東東莞·期中）已知圓心為的圓與點，則（

）A．圓的半徑為2 B．點在圓外C．點在圓內(nèi) D．點與圓上任一點距離的最小值為【答案】BD【解析】因為，即，所以圓心為，半徑，故A錯誤；又，所以點在圓外，故B正確，C錯誤；因為，所以點與圓上任一點距離的最小值為，故D正確.故選：BD11．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知圓，直線，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．若直線與圓交于M，N兩點，則的最小值為C．若，動點在圓上，則的最大值為30D．若過直線上任意一點作圓的切線，切點為，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，若圓關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，將代入方程解得，故正確.對于，直線過定點，當(dāng)直線與垂直時，弦長最短，此時，圓心到直線的距離為弦長為，故錯誤.對于，設(shè)，，，，由圓的方程可知，的最大值為5，所以的最大值為，故正確.對于，因為，所以當(dāng)最小時，最小，此時與直線垂直，為點到直線的距離，為，由勾股定理得，故D正確.

故選：ACD三、填空題12．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）下列說法正確的是．①直線恒過定點；②直線在y軸上的截距為1；③直線的傾斜角為150°；④已知直線l過點，且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為．【答案】③【解析】直線即直線，當(dāng)時，，即直線恒過定點，①錯誤；直線，即在軸上的截距為，②錯誤；直線的斜率為，則傾斜角為150°，③正確；因為直線過點，且在，軸上截距相等，當(dāng)截距都為0時，直線方程為，當(dāng)截距不為0時，可設(shè)直線方程為，則，即，則直線方程為，所以直線的方程為或，④錯誤.故答案為：③.13．（23-24高二上·甘肅慶陽·階段練習(xí)）已知圓與圓有且僅有一條公共切線，則實數(shù)的值是．【答案】3或【解析】因為兩圓有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切．圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而兩圓圓心距，即，解得的值為3或．故答案為：3或14．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知圓O：圓：，則下列結(jié)論正確的是．①無論k取何值，圓心始終在直線上；②若圓O與圓有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為；③若圓O與圓的公共弦長為，則或；④與兩個圓都相切的直線叫做這兩個圓的公切線，如果兩個圓在公切線的同側(cè)，則這條公切線叫做這兩個圓的外公切線，當(dāng)時，兩圓的外公切線長為．【答案】①③④【解析】對于①，圓的圓心坐標為，在直線上，①正確；對于②，若圓O與圓有公共點，則，即，解得或，②錯誤；對于③，將圓O與圓的方程作差可得公共弦所在直線的方程為，則圓心O到該直線的距離，則，解得或，③正確；對于④，當(dāng)時，圓心距為3，圓O與圓外切，半徑差為1，則外公切線長為，④正確．故答案為：①③④

四、解答題15．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知圓C過三點．(1)求圓C的方程；(2)斜率為1的直線l與圓C交于M，N兩點，若為等腰直角三角形，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）解：因為圓過點，故圓心在上，設(shè)圓心坐標，則，解得．故其半徑．故圓的方程為：；（2）設(shè)直線l的方程為：，因為為等腰直角三角形，∴圓心到直線的距離，即，解得或－8，所以l：或．16．（22-23高二下·上海·期中）在平面直角坐標系中，圓的半徑為，其圓心在射線上，且(1)求圓的標準方程；(2)若直線過點，且與圓相切，求直線的方程；(3)自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在的直線與圓相切，求光線所在直線的方程.【答案】(1)(2)或(3)或【解析】（1）設(shè)圓心，，由于，所以，所以，即圓心的坐標為，則圓的方程為；（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，圓心到直線的距離，此時滿足直線和圓相切；若直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，