《數(shù)據(jù)、模型與決策》 課件 朱順泉 第2章 線(xiàn)性規(guī)劃的靈敏度分析

《MBA數(shù)據(jù)、模型與決策》

Data,ModelsandDecision-making第2章線(xiàn)性規(guī)劃模型的圖解法什么是

圖解法?例2.1廣州電器廠(chǎng)生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題廣州電器廠(chǎng)生產(chǎn)A、B兩種電器產(chǎn)品。產(chǎn)品A與產(chǎn)品B在生產(chǎn)過(guò)程中均使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的數(shù)量分別為6與2。同時(shí)，產(chǎn)品B還需使用原材料2，每件產(chǎn)品的消耗量為1。此外，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品A與一件產(chǎn)品B所需的勞動(dòng)時(shí)間分別為2與4。該廠(chǎng)提供的原材料和勞動(dòng)時(shí)間的數(shù)量是有限的。在第一個(gè)月初，該廠(chǎng)可提供的原材料1的數(shù)量是1800，原材料2的數(shù)量是350，可提供的2.1一個(gè)簡(jiǎn)單的最大化問(wèn)題總勞動(dòng)時(shí)間為1600。該兩種原材料的保存時(shí)間是一個(gè)月，也就是說(shuō)，第一個(gè)月用不完的原材料只能丟棄。經(jīng)財(cái)務(wù)部門(mén)分析計(jì)算，產(chǎn)品A與B每件利潤(rùn)分別為3元與8元，而且根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得到的該兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求狀況可以確定，按當(dāng)前的定價(jià)可確保所有產(chǎn)品均能銷(xiāo)售出去。問(wèn)第一個(gè)月內(nèi)產(chǎn)品A與產(chǎn)品B各應(yīng)生產(chǎn)多少，可使總利潤(rùn)最大？項(xiàng)目1件產(chǎn)品A1件產(chǎn)品B總量原材料1621800原材料201350勞動(dòng)時(shí)間241600利潤(rùn)38表2.1廣州電器廠(chǎng)月生產(chǎn)安排分析：在上述問(wèn)題中，目標(biāo)是總利潤(rùn)的最大化，所要決策的變量是產(chǎn)品的產(chǎn)量，而產(chǎn)品的產(chǎn)量則受到可提供的原材料與勞動(dòng)時(shí)間的約束，因此，該問(wèn)題可以用目標(biāo)、決策變量和約束條件三個(gè)因素加以描述。實(shí)際上，所有的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題都包括這三個(gè)因素。①目標(biāo)函數(shù)是指系統(tǒng)所追求的目標(biāo)的數(shù)學(xué)描述。例如最大利潤(rùn)、最小成本等。②決策變量是指系統(tǒng)中有待確定的未知因素。例如決定企業(yè)經(jīng)營(yíng)目標(biāo)的各產(chǎn)品的產(chǎn)量等。③約束條件是指實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)目標(biāo)的限制因素，它們限制了目標(biāo)值所能達(dá)到的程度。例如原材料供應(yīng)量、市場(chǎng)需求等。

解：此問(wèn)題可用表2.1表示項(xiàng)目1件產(chǎn)品A1件產(chǎn)品B總量原材料1621800原材料201350勞動(dòng)時(shí)間241600利潤(rùn)38表2.1廣州電器廠(chǎng)月生產(chǎn)安排①?zèng)Q策變量此問(wèn)題的決策變量是第一個(gè)月產(chǎn)品A與產(chǎn)品B的產(chǎn)量。可設(shè)：X為第一個(gè)月產(chǎn)品A的產(chǎn)量（件）；Y為第一個(gè)月產(chǎn)品B的產(chǎn)量（件）。X、Y即為本問(wèn)題的決策變量。②目標(biāo)函數(shù)此問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是總利潤(rùn)最大。由于產(chǎn)品A與產(chǎn)品B每件利潤(rùn)分別為3元與8元，而其產(chǎn)量分別為X與Y,所以總利潤(rùn)可計(jì)算如下：總利潤(rùn)=3X+8Y③約束條件此問(wèn)題共有四個(gè)約束條件。第一個(gè)約束是原材料1的約束。每件產(chǎn)品A與產(chǎn)品B對(duì)原材料1的消耗量分別為6與2，而兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為X與Y，所以該兩種產(chǎn)品在第一個(gè)月對(duì)原材料1的總消耗量為6X+2Y。由題意，原材料1的可提供量為1800。由此，可得第一個(gè)約束如下：

6X+2Y≤1800第二個(gè)約束是原材料2的約束。由于只有產(chǎn)品B需消耗原材料2，而且單位產(chǎn)品B對(duì)原材料2的消耗量為1，產(chǎn)品B的產(chǎn)量為Y。由題意，原材料2的可提供量為350。由此可得第二個(gè)約束如下：

Y≤350第三個(gè)約束是勞動(dòng)時(shí)間的約束。由于每單位產(chǎn)品A與產(chǎn)品B對(duì)勞動(dòng)時(shí)間的需要量分別為2與4，而兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為X與Y，所以?xún)煞N產(chǎn)品在第一個(gè)月所需的總勞動(dòng)時(shí)間為2X+4Y。由題意，勞動(dòng)時(shí)間的可提供量為1600。由此可得第三個(gè)約束如下：

2X+4Y≤1600第四個(gè)約束是決策變量的非負(fù)約束。由于產(chǎn)量不可能為負(fù)值，所以有：

X≥0，,Y≥0

由上述分析可建立本問(wèn)題的線(xiàn)性規(guī)劃模型如下：o.b.max3X+8Ys.t.6X+2Y≤1800Y≤3502X+4Y≤1600X，,Y≥0所謂的線(xiàn)性規(guī)劃就是：

(1)每一個(gè)問(wèn)題都用一組決策變量（x1,x2,…xn）表示某一方案；這組決策變量的值就代表一個(gè)方案。一般，這些變量取值是非負(fù)的。（2）存在一定的約束條件，這些約束條件是一組關(guān)于決策變量的線(xiàn)性等式或線(xiàn)性不等式。（3）都有一個(gè)要求達(dá)到的目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于決策變量的線(xiàn)性函數(shù)。所謂的線(xiàn)性規(guī)劃就是：

(1)每一個(gè)問(wèn)題都用一組決策變量（x1,x2,…xn）表示某一方案；這組決策變量的值就代表一個(gè)方案。一般，這些變量取值是非負(fù)的。（2）存在一定的約束條件，這些約束條件是一組關(guān)于決策變量的線(xiàn)性等式或線(xiàn)性不等式。（3）都有一個(gè)要求達(dá)到的目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于決策變量的線(xiàn)性函數(shù)。滿(mǎn)足以上三個(gè)條件的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。它的一般形式為：目標(biāo)函數(shù)

max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn滿(mǎn)足約束條件:

a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(＝,≥)b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(＝,≥)b2

………….……….am1x1+am2x2+…+amnxn≤(＝,≥)bmx1,x2,…,xn≥0由此可知，線(xiàn)性規(guī)劃模型有各種不同的形式，目標(biāo)函數(shù)有的求max，有的求min，約束條件可以是“≤”，也可以是“≥”不等式，還可以是等式，決策變量一般是非負(fù)約束，在實(shí)際問(wèn)題中有一定的意義,但也允許在（－∞，∞）范圍內(nèi)取值。線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解可能出現(xiàn)下列情況：1.有惟一解這里，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題有惟一解是指該規(guī)劃問(wèn)題有且僅有一個(gè)既在可行域內(nèi)，又使目標(biāo)值達(dá)到最優(yōu)的解，即只有一個(gè)最優(yōu)解。2.2線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法例如，例2.1廣州電器廠(chǎng)生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題，它的線(xiàn)性規(guī)劃模型為：o.b.max3X+8Y（利潤(rùn)最大化）s.t.6X+2Y≤1800（原材料約束）

Y≤350（原材料約束）

2X+4Y≤1600（勞動(dòng)時(shí)間約束）

X，，,Y≥0（非負(fù)約束）1.有惟一解線(xiàn)性問(wèn)題的圖解法2004006008001002003004005006007008009006X+2Y=18002X+4Y=16000ODCBAY=350XY3X+8Y=Z線(xiàn)性問(wèn)題的圖解法步驟在坐標(biāo)圖上作出代表各約束條件的直線(xiàn)；確定滿(mǎn)足所有約束條件的可行域；作出任意一條等利潤(rùn)直線(xiàn)；朝著使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化的方向，平行移動(dòng)該等利潤(rùn)直線(xiàn)，直到再繼續(xù)移動(dòng)就會(huì)離開(kāi)可行域?yàn)橹?。線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解的討論唯一解無(wú)窮多解目標(biāo)函數(shù)為：MaxZ=2X+4Y時(shí)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題無(wú)可行域的情況：線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題可行域無(wú)界的情況：

6X+2Y=18002X+4Y=1600Y=350X=400max3X+8Ys.t.X+Y=350X，Y≥0本問(wèn)題是利潤(rùn)最大化，所以應(yīng)在可行域內(nèi)選擇使利潤(rùn)達(dá)到最大值的解。不妨考慮一下哪些解可以使利潤(rùn)達(dá)到3X+8Y=1200，可作出等利潤(rùn)線(xiàn)3X+8Y=2400；可得出：3X+8Y=k，k取不同的值表示不同的利潤(rùn)。不難發(fā)現(xiàn)所有的等利潤(rùn)都相互平行，且離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的等利潤(rùn)線(xiàn)，利潤(rùn)最高。因此，最優(yōu)解應(yīng)是在可行域內(nèi)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的那條等利潤(rùn)直線(xiàn)上的點(diǎn)。可見(jiàn)B點(diǎn)就是。而B(niǎo)點(diǎn)是直線(xiàn)②和直線(xiàn)③的交點(diǎn)。解此方程組可得：X=100，Y=350。例如下面一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型：o.b.max3X+8Y（利潤(rùn)最大化）s.t.6X+2Y≤1800（原材料約束）

Y≤350（原材料約束）

2X+4Y≤1600（勞動(dòng)時(shí)間約束）

X≥350X，,Y≥0（非負(fù)約束）松弛變量與線(xiàn)性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)式若在約束條件左邊加上一個(gè)變量，使原來(lái)的“≤”約束不等式變?yōu)榈仁郊s束Max3X+8Y+0S1+0S2+0S36X+2Y+S1＝1800Y+S2=3502X+4Y+S3=1600X,Y,S1,S2,S3≥0標(biāo)準(zhǔn)型線(xiàn)性規(guī)劃模型變量S1,S2,S3為松弛變量，表示可提供資源與實(shí)際消耗資源之差，即閑置的那部分資源將最優(yōu)解X=100,Y=350帶入約束條件左邊，得到三種資源的實(shí)際使用量如下：6X+2Y=1300≤1800（原材料1約束）（1）Y=350≤350（原材料2的約束）（2）2X+4Y=1600≤1600（勞動(dòng)時(shí)間約束）（3）原材料1有多余，原材料2、勞動(dòng)時(shí)間沒(méi)有多于約束1稱(chēng)為非緊約束，表示這時(shí)資源有多于約束2和約束3稱(chēng)為緊約束，表示這時(shí)資源已全部使用完畢2.有無(wú)窮多解這里，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題有無(wú)窮多解是指該規(guī)劃問(wèn)題無(wú)窮多個(gè)既在可行域內(nèi)，又使目標(biāo)值達(dá)到最優(yōu)的解，即有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解。2.有無(wú)窮多解

例如下面一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型：

o.b.max4X+8Y（利潤(rùn)最大化）

s.t.6X+2Y≤1800（原材料約束）

Y≤350（原材料約束）

2X+4Y≤1600（勞動(dòng)時(shí)間約束）

X，，，,Y≥0（非負(fù)約束）約束條件和例2.1廣州電器廠(chǎng)生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題的約束條件一樣，也就是可行域一樣，但目標(biāo)函數(shù)不一樣，它有無(wú)窮多解，解為BC直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，如下圖：4X+8Y=KABCOD例如下面一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型：o.b.max3X+8Y（利潤(rùn)最大化）s.t.6X+2Y≤1800約束）

Y≤350（原材料約束）

2X+4Y≤1600（勞動(dòng)時(shí)間約束）

X≥350X，,Y≥0（非負(fù)約束）如下圖，不存在可行域，無(wú)解3.無(wú)解ABCODEF4.可行域無(wú)界

這里，線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的可行域無(wú)界是指最大化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值可以無(wú)限增大，或最小化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)值可以無(wú)限減小。例如下面一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型：o.b.max4X+8Y（利潤(rùn)最大化）s.t.X+Y≥350（資源約束）

X，,Y≥0（非負(fù)約束）如下圖，可行域無(wú)界，目標(biāo)函數(shù)值可以無(wú)限增大4.可行域無(wú)界AB圖解法適合于求解含有兩個(gè)決策變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。歸納步驟如下：1在坐標(biāo)圖上作出代表各約束條件的直線(xiàn)；2確定滿(mǎn)足所有約束條件的可行域；3作出任意一條等利潤(rùn)直線(xiàn)，可令利潤(rùn)函數(shù)值等于任意一個(gè)特定值；4朝著使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化的方向，平行移動(dòng)該等利潤(rùn)直線(xiàn)，直到再繼續(xù)移動(dòng)就會(huì)離開(kāi)可行域?yàn)橹?。此時(shí)，該等利潤(rùn)直線(xiàn)在可行域的那些點(diǎn)，就是最優(yōu)解。圖解法步驟例2.3廣州金屬?gòu)S成本優(yōu)化問(wèn)題廣州金屬?gòu)S從Ⅰ、Ⅱ兩種礦石中提煉A、B兩種金屬。已知每噸礦石中金屬A、B的含量和兩種礦石的價(jià)格如表2.4.1所示。據(jù)預(yù)測(cè)，金屬B的需求量不少于420千克，而金屬A由于銷(xiāo)路問(wèn)題，該廠(chǎng)決定，其產(chǎn)量不得超過(guò)600千克。此外，礦石Ⅱ由于庫(kù)存積壓，要求其使用量不得少于800噸，問(wèn)應(yīng)使用各種礦石多少?lài)?，使得在滿(mǎn)足要求的前提下總費(fèi)用最?。?.3最小化問(wèn)題

表2.3礦石成分與價(jià)格表

金屬礦石AB價(jià)格（元/噸）Ⅰ0.400.4245Ⅱ0.250.1510解：根據(jù)題意可作如下分析：①?zèng)Q策變量本問(wèn)題的決策變量是兩種礦石的使用量。可設(shè)：X為礦石Ⅰ的使用量（噸）；Y為礦石Ⅱ的使用量（噸）。②目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是總費(fèi)用最小。總費(fèi)用可計(jì)算如下：總費(fèi)用=45X+10Y（元）③約束條件本問(wèn)題共有四個(gè)約束。第一個(gè)約束是金屬A的產(chǎn)量約束，第二個(gè)約束是金屬B的需求約束，第三個(gè)約束是礦石Ⅱ的使用量約束，第四個(gè)約束是非負(fù)約束。由上述分析，可建立該最小化問(wèn)題的線(xiàn)性規(guī)劃模型如下：o.b.Min45X+10Ys.t.0.40X+0.25Y≤600（金屬A的產(chǎn)量約束）

0.42X+0.15Y≥420（金屬B的需求約束）

Y≥800（礦石Ⅱ的使用量約束）

X≥0,Y≥0（非負(fù)約束）最小化問(wèn)題的圖解法5001000150020002500Y50010001500XABC0.40X+0.42Y=6000.42X+0.15Y=420Y=800本問(wèn)題的目標(biāo)是最小化，所以應(yīng)在可行域內(nèi)選擇使得費(fèi)用達(dá)到最小值的解。作等費(fèi)用直線(xiàn)族45X+10Y=k(k可取不同的常數(shù))，對(duì)于等費(fèi)用直線(xiàn)族來(lái)說(shuō)，越靠近原點(diǎn)的等費(fèi)用直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的費(fèi)用越小。因此，最優(yōu)解應(yīng)是在可行域內(nèi)的、最接近原點(diǎn)的那條等費(fèi)用直線(xiàn)上的點(diǎn)。本問(wèn)題中，既在可行域內(nèi)的、又最接近原點(diǎn)的那條等費(fèi)用直線(xiàn)上的點(diǎn)是A點(diǎn)，所有A點(diǎn)的坐標(biāo)就是最優(yōu)解。而A點(diǎn)直線(xiàn)①和②的交點(diǎn)。解此線(xiàn)性方程組，得到：X=333.3噸，Y=1866.7噸。相應(yīng)的最優(yōu)解為：45X+10Y=33666（元）。剩余變量（surplus）若將最優(yōu)解X=333.3、Y=1866.7代入約束條件的左邊0.4X+0.25Y=600≤600（1）0.42X+0.15Y=420≥420（2）Y=1867≥800（3）約束（1）與（2）的左邊等于右邊，稱(chēng)為“緊約束”約束（3）的左邊大于右邊，說(shuō)明礦石乙的實(shí)際使用量不僅能夠滿(mǎn)足所有求的最小使用量，而且還多用了，稱(chēng)約束（3）為“非緊”約束在約束條件（3）的左邊減去一個(gè)變量，可使原來(lái)的“≥”約束不等式變?yōu)榈仁郊s束。同理，在約束條件（2）的左邊減去一個(gè)變量，也可使可使原來(lái)的“≥”約束不等式變?yōu)榈仁郊s束。在約束條件（1）的右邊加上一個(gè)變量，使可使原來(lái)的“≤”約束不等式變?yōu)榈仁郊s束Min45X+10Y+0S1+0S2+0S30.4X+0.25Y+S1=6000.42X+0.15Y-S2=420Y-S3=800X,Y,S1,S1,S1≥0案例分析2-1創(chuàng)業(yè)投資基金公司的數(shù)據(jù)分析

廣州某創(chuàng)業(yè)投資基金公司為計(jì)算機(jī)軟件和互聯(lián)網(wǎng)的應(yīng)用發(fā)展提供創(chuàng)業(yè)基金。目前該基金公司有兩個(gè)投資機(jī)會(huì)：一個(gè)是需要資金去開(kāi)發(fā)互聯(lián)網(wǎng)安全軟件的公司；另一個(gè)是需要資金去開(kāi)發(fā)對(duì)顧客滿(mǎn)意度進(jìn)行調(diào)查的應(yīng)用軟件的公司，開(kāi)發(fā)安全軟件的公司要求該基金運(yùn)作公司必須在接下來(lái)3年給其第1年提供600000元，第2年提供600000元，第3年提供250000元。開(kāi)發(fā)調(diào)查應(yīng)用軟件的公司要求基金公司在接下來(lái)3年給其第1年提供500000元，第2年提供350000元，第3年提供400000元。該基金公司認(rèn)為這兩項(xiàng)投資都是值得嘗試的。但是，由于其他的投資，公司只能在第1年共800000元，第2年投資700000元，第3年投資500000元。該基金運(yùn)作公司的金融分析小組對(duì)這兩項(xiàng)計(jì)劃進(jìn)行了調(diào)查，建議公司的目標(biāo)應(yīng)該是追求總投資利潤(rùn)現(xiàn)值最大化。凈現(xiàn)值應(yīng)考慮到3年后兩家公司的股票價(jià)值和3年內(nèi)的資金流出量。按8%的回報(bào)率計(jì)算，該基金公司的金融分析小組估計(jì)，如果對(duì)開(kāi)發(fā)安全軟件的公司進(jìn)行100%的投資，凈現(xiàn)值應(yīng)該是1800000元；對(duì)開(kāi)發(fā)調(diào)查軟件的公司進(jìn)行100%的投資，凈現(xiàn)值應(yīng)該是1600000元。該基金公司對(duì)安全公司和市場(chǎng)調(diào)查的公司投入任何比例的資金。比如，如果基金公司對(duì)安全公司投資40%的資金，那么第1年就需要0.40*600000=240000元，第2年需要0.40*600000=240000元，第1年需要0.40*250000=100000元，，在這種情況下，凈利潤(rùn)的值就是0.40*180000=720000元。對(duì)市場(chǎng)分析公司的投資計(jì)算方法相同。案例報(bào)告對(duì)該基金公司的投資問(wèn)題進(jìn)行分析，準(zhǔn)備一個(gè)報(bào)告介紹你的建議和結(jié)論。包括如下內(nèi)容：（1）這兩種投資各應(yīng)該占多大的比例？總投資的凈現(xiàn)值是多少？（2）接下來(lái)3年的為兩個(gè)公司的資金分配計(jì)劃是什么？基金公司每年投資的總額是多少？（3）如果基金公司愿意在第1年追加100000元投資，會(huì)對(duì)投資計(jì)劃產(chǎn)生什么影響？（4）制定追加100000元投資以后的投資分配計(jì)劃；（5）你是否建議第1年再追回投資100000元。在該報(bào)告的中應(yīng)該包括線(xiàn)性規(guī)劃模型和圖形的求解等。Theendofchapter1

第2章線(xiàn)性規(guī)劃的靈敏度分析什么是靈敏度分析本章內(nèi)容要點(diǎn)線(xiàn)性規(guī)劃靈敏度分析的概念和內(nèi)容使用Excel進(jìn)行靈敏度分析影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用本章節(jié)內(nèi)容2.1線(xiàn)性規(guī)劃靈敏度分析2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)2.4單個(gè)約束右端值變動(dòng)2.5多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)2.6約束條件系數(shù)變化2.7增加一個(gè)新變量2.8增加一個(gè)約束條件2.9影子價(jià)格（ShadowPrice）2.1線(xiàn)性規(guī)劃靈敏度分析在第2章的討論中，假定以下的線(xiàn)性規(guī)劃模型中的各個(gè)系數(shù)cj、bi、aij是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。2.1線(xiàn)性規(guī)劃靈敏度分析其實(shí)，系數(shù)cj、bi、aij都有可能變化，因此，需要進(jìn)行進(jìn)一步的分析，以決定是否需要調(diào)整決策。靈敏度分析研究的另一類(lèi)問(wèn)題是探討在原線(xiàn)性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變量或者一個(gè)約束條件對(duì)最優(yōu)解的影響。廣州電器廠(chǎng)生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題廣州電器廠(chǎng)生產(chǎn)A、B兩種電器產(chǎn)品。產(chǎn)品A與產(chǎn)品B在生產(chǎn)過(guò)程中均需使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的數(shù)量分別為6和2。同時(shí)產(chǎn)品B還需使用原材料2，每件產(chǎn)品的消耗量為1。此外，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品A與一件產(chǎn)品B所需的勞動(dòng)時(shí)間分別為2和4。該廠(chǎng)可提供的兩種原材料和勞動(dòng)時(shí)間的數(shù)量是有限的。在第一個(gè)月初，該廠(chǎng)可提供的原材料1的數(shù)量為1800，原材料2的數(shù)量為350，可提供的總勞動(dòng)時(shí)間為1600。該兩種原材料的保存時(shí)間為一個(gè)月，也就是說(shuō)第一個(gè)月用不完的原材料只能丟棄。經(jīng)財(cái)務(wù)部門(mén)分析計(jì)算，產(chǎn)品A和產(chǎn)品B每件利潤(rùn)分別為3元和8元。而且根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得知，該兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求狀況可以確定，按當(dāng)前定價(jià)可確保所有產(chǎn)品均能銷(xiāo)售出去。問(wèn)第一個(gè)月產(chǎn)品A與產(chǎn)品B各應(yīng)生產(chǎn)多少，可使利潤(rùn)最大？現(xiàn)假定市場(chǎng)狀況或生產(chǎn)工藝發(fā)生變化，使目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)發(fā)生了變化產(chǎn)品A的利潤(rùn)系數(shù)從3元/單位增至2.5元/單位最優(yōu)解、最優(yōu)目標(biāo)值會(huì)發(fā)生變化么目標(biāo)函數(shù)系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化，才不會(huì)影響最優(yōu)解？如果原材料2的供應(yīng)量增加30千克，最大利潤(rùn)將會(huì)如何變化？線(xiàn)性規(guī)劃的電子表格求解方法

我們以第2章的例1為例，在圖2-1所示的圖中的B5:D7和B8:C8區(qū)域設(shè)置已知數(shù)據(jù)，B14:C14區(qū)域設(shè)為決策變量x1,x2，目標(biāo)函數(shù)的利潤(rùn)最大化與約束條件的公式計(jì)算設(shè)置如圖2-1所示?！斑x項(xiàng)”對(duì)話(huà)框的功能分大體三部分：（一）控制規(guī)劃求解過(guò)程

1.最長(zhǎng)運(yùn)算時(shí)間，最長(zhǎng)可達(dá)32767秒。

2.迭代次數(shù)，最多可達(dá)32767次。以上兩項(xiàng)在運(yùn)算過(guò)程中如果尚未找出結(jié)果就已達(dá)到設(shè)定的運(yùn)算時(shí)間和迭代次數(shù)，將會(huì)彈出“顯示中間結(jié)果”對(duì)話(huà)框，可選擇“繼續(xù)運(yùn)行”或“停止”。2.精度。精度必須用小數(shù)表示，小數(shù)位數(shù)越多，達(dá)到的精度越高，但求解時(shí)間也相應(yīng)地越長(zhǎng)。4.允許誤差，只適用于有整數(shù)約束條件的整數(shù)規(guī)劃，指滿(mǎn)足整數(shù)約束條件的目標(biāo)單元格結(jié)果與最佳結(jié)果之間可以允許的偏差。5.收斂度，只適用于非線(xiàn)性規(guī)劃，指在最近5次迭代中，如果目標(biāo)單元格數(shù)值的變化小于設(shè)置的數(shù)值，規(guī)劃求解即停止運(yùn)行。在以上5個(gè)選項(xiàng)下面還有4個(gè)復(fù)選框:1.“采用線(xiàn)性模型”，加速求解過(guò)程。2.“自動(dòng)按比例縮放”，當(dāng)輸入和輸出的數(shù)值相差很大時(shí)，可選擇，以放大求解結(jié)果。2.“假定非負(fù)”。4.“顯示迭代結(jié)果”。2.精度。精度必須用小數(shù)表示，小數(shù)位數(shù)越多，達(dá)到的精度越高，但求解時(shí)間也相應(yīng)地越長(zhǎng)。4.允許誤差，只適用于有整數(shù)約束條件的整數(shù)規(guī)劃，指滿(mǎn)足整數(shù)約束條件的目標(biāo)單元格結(jié)果與最佳結(jié)果之間可以允許的偏差。5.收斂度，只適用于非線(xiàn)性規(guī)劃，指在最近5次迭代中，如果目標(biāo)單元格數(shù)值的變化小于設(shè)置的數(shù)值，規(guī)劃求解即停止運(yùn)行。（二）選擇規(guī)劃求解所用方法1“估計(jì)”，指定在每個(gè)一維搜索中用以得到基本變量初始估計(jì)值的逼近方案。選擇“正切函數(shù)”，指定使用正切向量線(xiàn)性外推法。選擇“二次方程”，指定使用二次函數(shù)外推法，可提高非線(xiàn)性規(guī)劃的計(jì)算精度。2.“導(dǎo)數(shù)”，指定用于估計(jì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件偏導(dǎo)數(shù)的差分方案?！跋蚯安罘帧庇糜诙鄶?shù)約束條件數(shù)值變化比較緩慢的問(wèn)題?！爸行牟罘帧庇糜诩s束條件數(shù)值變化迅速，特別是接近限定值的問(wèn)題。2.“搜索”，指定每次迭代算法以確定搜索方向。“牛頓法”用準(zhǔn)牛頓法進(jìn)行迭代，占內(nèi)存較多，但所需迭帶次數(shù)較少?！肮曹椃ā闭加玫膬?nèi)存較少，但要達(dá)到指定的精度需要迭代的次數(shù)較多。當(dāng)問(wèn)題較大或內(nèi)存有限，或單步進(jìn)程緩慢時(shí)，應(yīng)使用“共軛法”。2.2靈敏度分析的內(nèi)容

1.目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值的影響當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化時(shí)，等利潤(rùn)直線(xiàn)變得陡峭或平坦，它與可行域的交點(diǎn)也可能隨之變化。目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)改變足夠大時(shí)，可使最優(yōu)解發(fā)生變化。見(jiàn)例子1的圖，若等利潤(rùn)線(xiàn)在AE和BF之間變化時(shí)，則B點(diǎn)仍然是既在可行域上、又離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)，此時(shí)最優(yōu)解保持不變；若等利潤(rùn)線(xiàn)變得足夠陡峭或平坦超出了直線(xiàn)AE和BF之間的范圍，則該等利潤(rùn)線(xiàn)將與可行域相交于另一頂點(diǎn)C點(diǎn)（或A點(diǎn)），這時(shí)最優(yōu)解將從頂點(diǎn)B點(diǎn)變?yōu)榱硪粋€(gè)頂點(diǎn)C點(diǎn)（或A點(diǎn)）。可見(jiàn)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，若變化量在某個(gè)范圍內(nèi)，則最優(yōu)解不變；若變化足夠大，則最優(yōu)解將發(fā)生變化。而當(dāng)最優(yōu)解發(fā)生變化時(shí)，通常最優(yōu)目標(biāo)值也將隨之發(fā)生變化。2.約束條件右邊的變化對(duì)最優(yōu)解與目標(biāo)值的影響當(dāng)約束條件右邊變化時(shí)，相應(yīng)的表示約束的直線(xiàn)將平行移動(dòng)，可行域?qū)l(fā)生變化。當(dāng)該移動(dòng)足夠大，最優(yōu)解、目標(biāo)值也可能隨之變化。如當(dāng)勞動(dòng)時(shí)間減少時(shí)，表示勞動(dòng)時(shí)間約束條件的直線(xiàn)BC移動(dòng)至圖中虛線(xiàn)B’C’所示的位置，可行域亦隨之變化，從多邊形OABCD變?yōu)镺AB’C’D。這時(shí)，最優(yōu)解與目標(biāo)值均將發(fā)生變化。但是約束條件①（原材料1約束）的右邊發(fā)生變化，而且變化不太大，則可行域的變化不會(huì)影響最優(yōu)解與目標(biāo)值，該約束是非緊的。當(dāng)然如果變化很大，以致使該約束條件成為緊的，這時(shí)，最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值均可能發(fā)生變化?？梢?jiàn)，當(dāng)約束條件右邊發(fā)生變化時(shí)，最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值可能會(huì)發(fā)生變化。綜上所述，靈敏度分析主要內(nèi)容包括：1.目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化時(shí)，表示目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn)族變得陡峭或平坦，它與可行域的交點(diǎn)也可能隨之變化。靈敏度分析是研究目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解與目標(biāo)值的影響以及目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)改變多少，方可使最優(yōu)解發(fā)生變化。2.約束條件右邊變化時(shí)，相應(yīng)的表示約束條件的直線(xiàn)將平行移動(dòng)，可性域發(fā)生變化，最優(yōu)解與最優(yōu)目標(biāo)值也可能隨之變化。靈敏度分析是研究約束條件右邊變化時(shí)對(duì)目標(biāo)值或最優(yōu)解的影響狀況。2.3敏感性報(bào)告及其解釋

下面討論如何獲得敏感性報(bào)告，并利用敏感性報(bào)告進(jìn)行靈敏度分析。靈敏度分析所要解決的問(wèn)題可通過(guò)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析，例如可用數(shù)學(xué)公式計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)或約束條件右邊變化對(duì)最優(yōu)解與目標(biāo)值的影響。不過(guò)這種計(jì)算一般比較復(fù)雜。運(yùn)用Excel的規(guī)劃求解功能可得到敏感性報(bào)告。1.Excel得到敏感性報(bào)告要用Excel獲得敏感性報(bào)告，選擇如圖2-5所示中的敏感性報(bào)告，得到如圖2-6所示的結(jié)果。2.敏感性報(bào)告中各項(xiàng)指標(biāo)的含義敏感性報(bào)告中由兩部分組成。位于報(bào)告上部的表格（單元格A6:H10）是關(guān)于目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生的影響；位于報(bào)告下部的表格（單元格A12:H17）是關(guān)于約束條件右邊變化對(duì)目標(biāo)值的影響。位于報(bào)告上部的表格是關(guān)于目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生的影響。表格中前三列是關(guān)于該問(wèn)題中決策變量的信息，其中單元格是指決策變量所在單元格的地址名字是指這些決策變量的名稱(chēng)，終值是決策變量的終值，即最優(yōu)解。本題中，有兩個(gè)決策變量：產(chǎn)品A的產(chǎn)量和產(chǎn)品B的產(chǎn)量，它們?cè)陔娮颖砀裆系牡刂贩謩e是$B$14和$C$14，其最優(yōu)解分別為100單位和350單位。第四列是遞減成本，它的絕對(duì)值表示目標(biāo)函數(shù)中決策變量的系數(shù)必須改進(jìn)多少，才能得到該決策變量的正數(shù)解。這里的“改進(jìn)”，在最大化問(wèn)題中是指增加，在最小化問(wèn)題中是指減少。本題中，兩個(gè)決策變量均已得到正數(shù)解，所以它們的遞減成本均為零。第五列目標(biāo)式系數(shù)是指目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)，它是題目中的已知條件。本例中目標(biāo)函數(shù)中兩個(gè)決策變量的系數(shù)分別為3和8。第六列和第七列分別是允許的增量和運(yùn)行的減量，它們表示目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)在允許的增量與減量范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解不變。本例中，第一個(gè)決策變量（產(chǎn)品A的產(chǎn)量）的目標(biāo)系數(shù)為3，允許增量為1，允許的減量為3，因此該目標(biāo)系數(shù)在[2-3,3+1]即[0,4]范圍內(nèi)變化，該問(wèn)題的最優(yōu)解不變。同理第二個(gè)決策變量（產(chǎn)品B的產(chǎn)量）的目標(biāo)系數(shù)為8，允許增量為1E+30，允許的減量為2，因此該目標(biāo)系數(shù)在[8-2,8+1E+30]即[6,]范圍內(nèi)變化，該問(wèn)題的最優(yōu)解不變。注意：這里給出的決策變量的允許變化范圍是指其他條件不變，僅在該決策變量變化時(shí)的允許變化范圍。位于報(bào)告下部的表格反映約束條件右邊變化對(duì)目標(biāo)值的影響。表格中的前三列是關(guān)于約束條件左邊的信息，其中單元格是指約束條件左邊所在單元格的地址，名字是約束條件左邊的名稱(chēng)，終值是約束條件左邊的終值。在本例中，有三個(gè)約束條件，它們分別是原材料1使用量、原材料2使用量和勞動(dòng)時(shí)間使用量，它們?cè)陔娮颖砀裆蠈?duì)應(yīng)的地址分別是$B$19，$B$20，$B$21，其終值分別為1300，350和1600。第四列是陰影價(jià)格即影子價(jià)格，后面討論。第五列為約束限制值，指約束條件右邊的值，通常是題目給定的已知條件，本題中三個(gè)約束條件右邊的值分別是原材料1，原材料2，勞動(dòng)時(shí)間的供應(yīng)量，它們分別是1800，350，1600。第六列與第七列是允許的增量和允許的減量，它們表示約束條件右邊在允許的增量與減量范圍內(nèi)變化時(shí)，影子價(jià)格不變。例如本題中，第一個(gè)約束條件右邊的值為1800，允許的增量為1E30，允許的減量為500，因此該約束條件右邊在[1800-500,1800+1E30]即[1300,]范圍內(nèi)變化時(shí)，原材料1的影子價(jià)格不變。注意：這里給出的決策變量的允許變化范圍是指其他條件不變，僅在該決策變量變化時(shí)的允許變化范圍。同理第二個(gè)約束條件右邊在[350-50,350+50]即[300,400]范圍內(nèi)變化時(shí)，原材料2的影子價(jià)格不變。第三個(gè)約束條件右邊在[1600-200,1600+166.7]即[1400,1766.7]范圍內(nèi)變化時(shí)，勞動(dòng)時(shí)間的影子價(jià)格不變。2.影子價(jià)格

在敏感性報(bào)告中，第四列是影子價(jià)格，這是一個(gè)十分重要的概念，影子價(jià)格是指約束條件右邊增加（或減少）一個(gè)單位，目標(biāo)值增加（或減少）的數(shù)量。在例1中有三個(gè)資源約束，每種資源的影子價(jià)格是該種資源供應(yīng)量增加（或減少）一個(gè)單位時(shí)，總利潤(rùn)增加（或減少）的數(shù)量。例如，從敏感性報(bào)告可知：第一個(gè)約束條件（原材料1供應(yīng)量約束）的影子價(jià)格為0，這說(shuō)明在允許的范圍[1300，]內(nèi)，再增加一個(gè)單位（減少）一個(gè)單位的原材料1供應(yīng)量，總利潤(rùn)不變。第二個(gè)約束條件（原材料2供應(yīng)量約束）的影子價(jià)格為2，這說(shuō)明在允許的范圍[300，400]內(nèi)，再增加一個(gè)單位（減少）一個(gè)單位的原材料2供應(yīng)量，總利潤(rùn)將增加（或減少）2元。第三個(gè)約束條件（勞動(dòng)時(shí)間供應(yīng)量約束）的影子價(jià)格為1.5，這說(shuō)明在允許的范圍[1400，1766.7]內(nèi)，再增加一個(gè)單位（減少）一個(gè)單位的勞動(dòng)時(shí)間供應(yīng)量，總利潤(rùn)將增加（或減少）1.5元。4.使用敏感性報(bào)告進(jìn)行敏感度分析

下面采用敏感性報(bào)告對(duì)例1進(jìn)行靈敏度分析，并回答開(kāi)始提出的問(wèn)題。（1）若產(chǎn)品A的利潤(rùn)系數(shù)從3（元/單位產(chǎn)品）增至2.5（元/單位產(chǎn)品），那么，已求得的最優(yōu)解、最優(yōu)目標(biāo)值會(huì)變化嗎？該系數(shù)在什么范圍內(nèi)，才不會(huì)影響最優(yōu)解？由圖1所示可知敏感性報(bào)告上部的表格可知，產(chǎn)品A的系數(shù)在允許的變化范圍[2-3，3+1]，即[0，4]區(qū)間變化時(shí)，不會(huì)影響最優(yōu)解。現(xiàn)在產(chǎn)品A的利潤(rùn)系數(shù)是2.5，是在允許的變化范圍內(nèi)，所以最優(yōu)解不變，仍然是X=100，Y=350。要注意的是，最優(yōu)目標(biāo)值將發(fā)生變化。原來(lái)是3100，現(xiàn)在是2.5*100+8*350=3150。

影子價(jià)格經(jīng)濟(jì)意義（1）影子價(jià)格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而做的估價(jià)。它是一種邊際價(jià)格，其值相當(dāng)于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，資源（約束右端值）每增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)值的增加量；（2）影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用（2）如原材料2供應(yīng)量增加30千克，最大利潤(rùn)將為多少？由圖1的敏感性報(bào)告下部可知，當(dāng)原材料2的約束條件右邊在允許變化的范圍[350-50,350+50]