福建省莆田市2024屆高三第四次教學質(zhì)量檢測（三模）數(shù)學試題

莆田市2024屆高中畢業(yè)班第四次教學質(zhì)量檢測試卷

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號，座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡-并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知集合/={司》2一3X一4V0},8={xeN12-x〉O},則AClB=

A.{3,4}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}

2.已知拋物線C：J?=2R(P>0)的焦點為F,點P(m,4)在拋物線C上，且|%|=4,則拋物線C的準線

方程是

A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2

3.已知數(shù)據(jù)石，x2,x3,…，x”的平均數(shù)為x,方差為數(shù)據(jù)3再一1,3X2-1,3X3-1,…，3xn-1

的平均數(shù)為不，方差為s；,則

1

A.xx=3x,s；=9s之B.xx-3x,s；=9s-1

2

C%i=3。-1,s；=9sD.x1=3x-l,s；=9s2-1

4.設數(shù)列{%}的前n項和為S〃，貝『{%}是等差數(shù)列”是“醞二1也”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若制作一個容積為T的圓錐形無蓋容器(不考慮材料的厚度)，要使所用材料最省，則該圓錐的高是

A.V2B.2C.V6D.4

6.已知圓C：(X-3)2+/=16,A(-3,0),P是圓C上的動點，線段PA的垂直平分線與直線PC(點C是

圓C的圓心)交于點M,則點M的軌跡是

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

7.已知?！?,點P在曲線y=上，點Q在曲線y=11nx上，則的最小值是

s/2/-y/l.,、-^2八

A.2aB.V2(2C.-—(l+lna)D.------(lna+l)

8.已知定義在(0,+oo)上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=/(x)+l,且/⑴=1,貝iJ/(100)=

A.2*1B,2100+lC.2101-lD.2101+l

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.若z是非零復數(shù)，則下列說法正確的是

-Z

A.若z+z=0,則一二%B.若21?z=2目,則目=2

Z

若則二

C.若zx-z,貝!J4=zD.+zj=0,Z].z+0

10.如圖，在邊長為4的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別是棱BiG，C1D1的中點，P是正方形AiBiCQi

內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是

A.若DP〃平面CEF,則點P的軌跡長度為2亞

B.若AP=V17,則點P的軌跡長度為2萬

C.若AP=V17，則直線AP與平面CEF所成角的正弦值的最小值是名叵

17

D.若P是棱AiBi的中點，則三棱錐P-CEF的外接球的表面積是41〃

11.已知函數(shù)/(x)=3cos(ox+的圖象既關(guān)于點［一/川)中心對稱，也關(guān)于直線x=彳

jr27r

軸對稱，且/(X)在上單調(diào)，則。的值可能是

63

2614

A.—B.—C.2D.—

555

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量Z,B滿足問=叫=4,,且2+5,則向量Z,石夾角的余弦值是.

13.甲、乙等5人參加A,B,C這三項活動，要求每人只參加一項活動，且每項活動至少有1人參加，若甲，

乙不參加同一項活動，且只有1人參加A活動，則他們參加活動的不同方案有種.

14.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動點M與兩個定點A,B的距離之比為常數(shù)4(4>0,2^1),則

點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知A(-l,0),

B(O,1),M是平面內(nèi)一動點，且=JL則點M的軌跡方程為.若點P在圓O：(x-2)2+/=36

\MB\--------

上，則21PH+\PB\的最小值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且“cosC+1)=c(2—cosB).

(1)證明：a+b=2c.

9

(2)若a=6,cosC=—,求AABC的面積.

16.(15分)跑步是一種方便的體育鍛煉方法，堅持跑步可以增強體質(zhì)，提高免疫力.某數(shù)學興趣小組成員從某

校大學生中隨機抽取100人，調(diào)查他們是否喜歡跑步，得到的數(shù)據(jù)如表所示.

跑步

性別合計

喜歡不喜歡

男402060

女152540

合計5545100

(1)依據(jù)a=0.005的獨立性檢驗，能否認為該校大學生是否喜歡跑步與性別有關(guān)？

(2)該數(shù)學興趣小組成員為進一步調(diào)查該校大學生喜歡跑步的原因，采用分層抽樣的方法從樣本中喜歡跑步

的大學生中隨機抽取11人，再從這11人中隨機抽取4人進行調(diào)查，記最后抽取的4人中，女大學生的人數(shù)

為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

參考公式：=-------be)--------------,其中〃二口+^+0+^.

(a+6)(c+a){a+c)(Z?+tZ)

參考數(shù)據(jù)；

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

17.(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA=PC=V2AD,M為側(cè)棱PD上的點,

PD上平面MAC.

(1)證明：PBXAC.

⑵若PB=PD,求二面角P-AC-M的大小.

(3)在側(cè)棱PC'上是否存在一點N,使得BN//平面MAC?若存在，求出PC：PN的值；若不存在，請說明理

由.

22

18.(17分)已知橢圓C：三+二二底?！礮〉。)的左、右焦點分別為Fi,F2,Q(l,1.5)是C上一點，tan/

a"b~

4

F1QF2=§.點B1，B2分別為C的上、下頂點，直線4：y=Ax+l與C相交于M,N兩點，直線MBi與NB?

科交于點P.

(1)求C的標準方程；

(2)證明點P在定直線L上，并求直線MBi，NBi,，2圍成的二角形面積的最小值.

19.(17分)已知函數(shù)f(x)=x--+alnx,其中

X

(1)當工￡口,+00)時，/(X)>0,求Q的取值范圍.

(2)若。<一2,證明：/(x)有三個零點玉，x2,x3(xx<x2<x3),且M，x2,當成等比數(shù)列.

?1

(3)證明：V.=In(k+l)(neN*).

七]k(k+l)

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數(shù)學參考答案

1.B由題意可得/={x|—lVx<4},B={x^N\x<2],貝!]ACB={0,1}.

p.

1TIH---4,

2.D由題可得{2解得p=4,則拋物線C的準線方程是x=-2.

2pm=42,

3.C由題意可得石=3x—1,s；=9s?.

4.A由{%}是等差數(shù)列，得S”=(%+；“11=1%,反之，不成立，則“{%}是等差數(shù)歹廣是“醞=11?6”

的充分不必要條件.

147Z*4

5.B設該圓錐的高為h,底面圓的半徑為r,則一"從而「力=4,即/=一，該圓錐的側(cè)面積

33h

S=~2nr-V/z2+r2=7rM+=71，+牛.因為

4/z+￡=2/z+2/z+當23/2/zx2/zx與=12,當且僅當2力=與，即h=2時，等號成立，所以要使所用

小力2丫力2h2

材料最省，則該圓錐的高是2.

6.C由題意可得C(3,0).因為M是線段PA的垂直平分線，所以WR=|九牛則

W回—|〃。|=||九。卜|同。||=|吐|=4.因為|/。|=6,所以點M的軌跡是以A,C為焦點的雙曲線.

7.D因為函數(shù)了=6"工與y=—lnx=l0glix互為反函數(shù)，所以y=6"工與y=，lnx的圖象關(guān)于直線y=x

aea

對稱，所以|尸。|的最小值為點P到直線y=x距離的最小值的兩倍.設P(x0,為)，則

-eax°I

\PQ\=21°^_1=后(e—x0).設/(x)=后,也—%),f，(x)=6洲。-6.由/'(x)=0得

%=’111工.當工￡(一8,!111工］時，f\x)<0,/(X)單調(diào)遞減；當X￡(LlnL,+oo］時，f\x)>0,/(X)

aavaa)\aa)

單調(diào)遞增，所以/(x)=/■仕出口=也111四)，則|P0|的最小值是也(lna+1).

\aa)aa

8.A設在數(shù)列｛叫中，%=/(〃),則a1=/(l)=l,an<=24+1,從而an+l+l=2(%+1),故｛%+1｝

是首項和公比都是2的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項公式可得4+1=2",則％=2"-1,故

loo

/(lOO)=?loo=2-l.

9.BCD由z+Z=0,得二=—1,則A錯誤.因為z；=W，所以，=2目，解得目=2或忖=0(舍去),

Z

則B正確.設2=a+bi(a,Z?GR,ji..厚0),則z1=z=a-bi，所以z】=a+Z?i=z,貝!JC正確.由|z+zj=0,

得Z］=-z.設2=a+bi(a,6GR,且a厚0),則21-z=-z-z=(a?+/)，=a2+b2,從而z】-z+目？=Q,

則D正確.

10.ACD分別取棱AiBi，AiDi的中點M,N,連接DM,DN,MN,易證MN//EF,DN//CE,則平面DMN

〃平面CEF.因為DP//平面CEF,且P是正方形ABCiDi內(nèi)的動點，所以點P的軌跡是線段MN.因為

AiBi=AiDi=4,所以AiM=AiN=2.因為/MAiN=90°,所以MN=2后，則A正確.因為AP=JF7,所以點P

的軌跡是以Ai為圓心，1為半徑的一個圓，則點P的軌跡長度為一x2萬=2，則B錯誤.以A為坐標原點，

442

AB,AD,的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖1所示的空間直角坐標系.由題中數(shù)據(jù)可知

A(。，0,。)，C(4,4,。)，E(4,2,4),F(2,4,4),P(c°s0,s*4)(。"個，:區(qū)=(。，-2,4),赤=(2

——>-n-CE=-2y+4z=0,

0,4),AP=(cos0,sinO,4).設平面CEF的法向量為〃=(x,%z),則〈______,x=2得

n-CF=-2x+4z=0,

n-AP2后sin［，+：J+4

〃二(2,2,1).設直線AP與平面CEF所成的角為a,則sina二cos(〃,4P)

?||ZP-3V17

因為owe〈工，所以工紅，所以走Wsin(，+工〕W1,所以

244424J

、6_2A/17

6<2&sin，+?+4<2孤+4,則sina故C正確.P是棱AiBi的中點，則4PEF

-3而一17

外接圓的圓心為正方形AiBiCiDi的中心Oi,半徑為2.如圖2,設OCh=x,則三棱錐P-CEF的外接球的半徑

R滿足A?=(4-x＞+(2應)3=必+22,解得氏2=2，從而三棱錐P-CEF的外接球的表面積是

4兀R?=41〃,故D正確.

7137711r

-----——(P—kyTC+-，左］GZ,41

11.AB由題意可得v(左1,k?wZ),即

3710)77r

—------F(P—左2肛左2￡Z,

0=左—工］(左eZ).因為/(x)在上單調(diào)，所以32女—七=巴，所以72萬，即如2萬，

5＜2J63J2362a)

4(12

所以0＜。＜2,即0(一"一V2,解得一〈左＜3.因為kez,所以k=l或k=2或k=3.當k=l時，。=一，

5l2J25

^9=—,止匕時/(x)=3cos(2%+左］在—上單調(diào)遞減,

故k=l符合題意;當k=2時，a>=—,

10(510JL63J5

7T167T\7127r71

(p-一，此時/(x)=3cos—x+—在—,——上單調(diào)遞減，故k=2符合題意；當k=3時，刃=2,0=一，

10(510)［63」2

止匕時/(乃=3(：0512%+事71)在上不單調(diào),

故k=3不符合題意.

2

12.—因為*2*5,所以僅—2寸=25,所以4U+4片=25.因為同=2同=4,所以

32

—?—*—?—?7,貝ijcos(a.4=i^^=7

42-4?-Z)+4x22=25,所以。力=—

432

13.52甲或乙參加A活動的情況有彳心+^^

Z；=28種，甲和乙都不參加A活動的情況有

C；（C；+C；）A：=24種，則他們參加活動的不同方案有28+24=52種.

14.x2+j2-2x-+1=0(或(x-1)2+(J-2)2=4)；V101

設M(x,y),則?-+1)+匚=后,整理得/+_/—2x—4了+1=0(或(x—iy+(y—2)2=4).設P(X],

在+(")2

X),則(x「2)2+y；=36,故21P旬=+1)?+y：=,4x：+8芭+4y：+4

=JX；+y；+20X]-8+3[(%-2『+y；=+10)+y；.

令C-10,0),則21Pzi+|P3|=|pq+|0548cl=JHH.

15.(1)證明：因為b(cosC+1)=c(2-cosB),所以sinBcosC+sinB=2sinC-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC............2分

因為A+B+C=71，所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC........4分

所以sinA+sinB=2sinC...........5分

由正弦定理可得a+b=2c.............................7分

95-V7

(2)解：因為cos。二一，所以5畝。=二^

1616

27

由余弦定理可得c?=/+〃—2/cosC,BPc2=36+b2--b,

4

則4c2=144+4/—27b.................................8分

因為。=6,所以6+b=2c,所以36+12b+Z?2=4c2,...............................9分

則144+462—276=36+126+/,即136+36=0，

解得6=4或b=911分

a=6,此時AABC的面積S=-absinC=-x4x6x匯=”也........12分

①當6=4時，

22164

a=6,此時AABC的面積S=/absinC=Lx6x9xK=.................於分

②當6=9時，

221616

16.解：（1）零假設為笈°：該校大學生是否喜歡跑步與性別無關(guān).

100x(40x25—20xl5)_2450

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得到/=x8.249>7.879=x4分

60x40x55x452970005

根據(jù)a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷80不成立，即認為該校大學生是否喜歡跑步與性別有關(guān)，此推斷犯

錯誤的概率不大于0.0056分

⑵由題意可知抽取的男大學生有l(wèi)lx—=8人，女大學生有l(wèi)lx—^—=3人,

40+1540+15

則X的所有可能取值為0,1,2,38分

尸(X=o)=工=,，p(x=l)=^^=—10分

3355

c2c214c'c34

P(X=2)=-^^=—,P(X=3)=-m=JL12分

55C：165

所以X的分布列為

X0123

p728144

335555165

13分

7,28°14c412

E(X)=0x-----Fix-----l-2x-----l-3x-----=——15分

33555516511

17.⑴證明：記ACCBD=O,連接OP.

四邊形ABCD是正方形，所以O是AC的中點.

因為PA=PC,所以OP_LAC1分

四邊形ABCD是正方形，所以BD_LAC.

因為OP,BDu平面PBD,且OPnBD=O,所以AC_L平面PBD3分

因為PBu平面PBD,所以PB_LAC4分

(2)解：易證OB,OC,OP兩兩垂直，則以O為原點，OB,OC,而的方向分別為x,y,z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系.

設AD=1,則OP=2-,所以P(0,0,2,),B(2-,0，0),D(——,0,0).5分

——(y/2⑹

因為PD，平面MAC,所以DP=--,0,一-是平面MAC的一個法向量6分

22

\7

由⑴可知BD_L平面PAC,所以BD=(-72,0,0)是平面PAC的一個法向量....7分

設二面角P-AC-M為6,由圖可知6為銳角，

/一一、DPBD]

則cos0-cos<DP,BD)=_

\'DP\\BDV2xV22

故8=60。，即二面角P-AC-M的大小為60。.........9分

(3)解：假設在側(cè)棱PC上存在一點N,使得BN//平面MAC,且CN=tCP(0<t<l).

設AD=1,則P(0,0,—),B(—,0,0),C(0,—,0),

所以第=[—交，也,o1,c?=fo,--...............10分

I22JI22J

因為國=/而所以

(Oftwi),CN=/CP=I0,-2-r,—2rJ,.

—?—?—.(亞亞m、

貝|J8N=8C+CN=-——....................12分

1221；2J

——(42⑹

由(2)可知——,0,——是平面MAC的一個法向量.

22

因為BN//平面MAC,所以。所以8N?。0=0,

貝U—工+之/=0,解得/=1，即國=」而，...................14分

2233

故PC：PN=3：2,即在側(cè)棱PC上存在一點N,使得BN〃平面MAC,此時PC：PN=3：2....................15分

18.解：⑴設橢圓的焦距為2c,則F(c,0),F2(C,0).

2c4

當NFF2Q=90。時，c=l,tan/FQF2=——=一,滿足題意.............1分

1.5c3

當NFEQMO。時，存1,設直線QFi的斜率為占=3，直線QF2的斜率為k,=—.

1+c1-c

1.51.5

tanZFiQF2=tan(ZQF2X-ZQFIF2)=~~,即-「三~

]+左左23111-51-53

1-c1+c

13

整理得4c2+9c—13=0,解得。=1或0=—

4

又W1，且c>0,所以沒有c滿足方程4c2+%-13=0.

綜上，C=13分

1152

因為點Q(1,1.5)在橢圓C上，所以一Z-H-=1又。2=/+/,

ab

所以a=2,b=6,.................4分

22

所以C的方程為土+匕=1.........5分

43

j=Ax+1

⑵設M(X],%),N(X,y)>聯(lián)立方程組《

223x2+4y2-12=0'

整理得(3+4左2)2+8fcc—8=0,.......6分

nl8k8八

則x1+x92=-------，MM=---------，...........7分

3+4左2123+4左2

由Bi(0,V3),B2(O,-百)，可得直線MBi的方程為x+G，直線NB2的方程為

X]

y=y^x-43.....................................8分

x2

則y-百_x2{yx-V3)_x2{kxx+1-\U)_kx^c2+(1-A/5)X2

10分

J+A/3xr(y2+A/3)xx{kx2+1+V3)kx^c2+(1+

=再+(2-A/3)x2_011分

解得y=3,故點P在定直線4：歹二3上............12分

設直線4與直線MBI,NBi的交點分別為E,F,

口,曰r(3-r(3-5/3)x?I八

易得E~上尹,3,F~~七^,3.........13分

I必-13)I%-13)

SMEF=工(3-=(6—36)一廠」.........14分

12、'y1-6y2-6H+1-6kxz+l-樞

,96+192左2

15分

12-673

>672-276-16分

當且僅當k=0時，等號成立，故直線MBi,NBi,乙圍成的三角形面積的最小值為6五-2卡.……17分

1nY+dX+1

19.(1)解：(解法一)由題意可知/(x)的定義域為(0,+8),/，(x)=l++—=——--(%>0)……1分

XXX

設g(x)=%2+ax+l(x>°)，其中g(shù)(0尸L

①當—■!<(),即時，g(x)>0,所以/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增，所以當xe[l,+oo)時，

/(%)>/(1)=0,故滿足題意；…….2分

②當一T〉。，且△=/—4<0,即一2<。<0時，g(x)>0,所以/'(x)20,/(x)單調(diào)遞增，所以當

xe[l,+co)時，/(x)>/(1)=0,故一2<。<0滿足題意；..........3分

③當——〉0,且A=M—4〉0,即2時，

2

設g(x)=0的兩根為p；q,解得?+%〉]),

則當xe(l,q)時，g(x)<0,所以/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/(x)</(l)=0,故。<—2不滿足題意...........4分

綜上，。的取值范圍是[一2,+00)...................5分

177Y+(IX+1

(解法二)由題意可知/(x)的定義域為(0,+oo),f'(x)=1+4+-=(x>0).....1分

XXX

因為/(1)=0,/(x)>0(x>l),所以/'(l)=a+220,解得4