2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五課考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升新人教A版必修2

PAGE1-第五課考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)抽象角度1概率與頻率【典例1】對一批U盤進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率b(1)計(jì)算表中次品的頻率.(2)從這批U盤中任意抽取一個(gè)是次品的概率約是多少？(3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，要銷售2000個(gè)U盤，至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤？【解析】(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí)，出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng)，所以從這批U盤中任意抽取一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤，為保證其中有2000個(gè)正品U盤，則x(1-0.02)≥2000，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x≥2041，即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤.【類題·通】頻率是概率的近似值，是隨機(jī)的，隨著試驗(yàn)的不同而變化；概率是多次的試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定值，是一個(gè)常數(shù)，不要用一次或少數(shù)次試驗(yàn)中的頻率來估計(jì)概率.【加練·固】某射擊運(yùn)動(dòng)員為備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91(1)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？(3)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？(4)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？【解析】(1)由題意得，擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9.(2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9=270.(3)由概率的意義可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化.后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊不中靶心.(4)不一定.角度2互斥事件與對立事件的概率【典例2】(1)(2019·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是________.

(2)(2019·江蘇高考)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是________.

【解析】(1)前五場中有一場客場輸時(shí)，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108，前五場中有一場主場輸時(shí)，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072，綜上所述，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是P=0.108+0.072=0.18.答案：0.18(2)方法一：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，共有C52=10種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有C3若選出的2名學(xué)生都是女生，有C22=1所以所求的概率為6+110=7方法二：P=1-C32C52答案：7【類題·通】互斥事件與對立事件概率的計(jì)算1.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).2.設(shè)事件A的對立事件是A，則P(A)=1-P(A).【加練·固】甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5個(gè)不同題目，選擇題3個(gè)，判斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【解析】把3個(gè)選擇題記為x1，x2，x3，2個(gè)判斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種.因此基本事件的總數(shù)為6+6+6+2=20.(1)“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為620=310，“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為620=310，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到判斷題”的概率為310(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為220=110，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1-110素養(yǎng)二數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1古典概型【典例3】某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S=x+y+z評價(jià)該產(chǎn)品的等級.若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率.(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品.①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果；②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率.【解析】(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為610=0.6，從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為(2)①在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15個(gè)樣本點(diǎn).②在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B包含的樣本點(diǎn)有：(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)，共6個(gè)樣本點(diǎn).所以P(B)=615=2【類題·通】古典概型及其解法1.古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性.2.在求古典概型問題的概率時(shí)，往往需要我們將所有基本事件一一列舉出來，以便確定基本事件總數(shù)及事件所包含的基本事件數(shù).這就是我們常說的窮舉法.在列舉時(shí)應(yīng)注意按一定的規(guī)律、標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏.【加練·固】甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率.(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率.【解析】(1)甲校2名男教師分別用A，B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E，F(xiàn)表示.從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))}，共9個(gè)樣本點(diǎn).事件“從中選出2名教師性別相同”包含的樣本點(diǎn)有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為P=49(2)從甲校和乙校報(bào)名的6名教師中任選2名，試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)樣本點(diǎn).從中選出2名教師來自同一所學(xué)校包含的樣本點(diǎn)有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6個(gè)樣本點(diǎn)，所以選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為P=615=2角度2概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用【典例4】某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測試，學(xué)校從測試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖.(注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.【解析】(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01+0.02)×10=30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015+0.03)×10=45.(2)因?yàn)闃颖玖颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是530+45=115，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×115=2，女生人數(shù)為設(shè)抽取的5人分別為A，B，C，D，E，其中A，B為男生，C，D，E為女生，從5人中任意選取2人，試驗(yàn)的樣本空間Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10個(gè)樣本點(diǎn).事件“至少有一名男生”包含的樣本點(diǎn)有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7個(gè)樣本點(diǎn)，故至少有一名男生的概率為P=710，即選取的2人中至少有一名男生的概率為7【類題·通】求解古典概型的交匯問題一般步驟1.將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；2.判斷事件是否為古典概型；3.選用合適的方法確定基本事件個(gè)數(shù)；4.代入古典概型的概率公式求解.【加練·固】甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)如下，甲：9，9，11，11，乙：X，8，9，10，其中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，以X表示.(1)如果X=8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差.(2)如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.【解析】(1)當(dāng)X=8時(shí)，乙組四名同學(xué)的植樹棵數(shù)分別是8，8，9，10，故x=8+8+9+104=35s2=14×=1116(2)當(dāng)X=9時(shí)，記甲組四名同學(xué)分別為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學(xué)分別為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選