專題11.3綜合檢測3（人教A版2019）

專題11.3必修第二冊綜合檢測3考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共19題，單選8題，多選3題，填空3題，解答5題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2024高三下·河南·開學(xué)考試）若復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A．i B．2i C．1 D．2【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和乘法法則進(jìn)行化簡計算，得到的虛部.【詳解】，，故虛部是1.故選：C.2．（2324高一下·福建福州·期末）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由8個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，方差為1．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意，由分層抽樣中數(shù)據(jù)方差的計算公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則新數(shù)據(jù)的方差，故選：C．3．（2024高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）甲、乙兩人參加學(xué)校組織的“勞動技能通關(guān)”比賽，已知甲通關(guān)的概率為，乙通關(guān)的概率為，且甲和乙通關(guān)與否互不影響，則甲、乙兩人都不通關(guān)的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、對立事件的概率公式計算作答.【詳解】甲、乙通關(guān)的事件分別記為A，B，事件A，B相互獨立，，所以甲、乙兩人都不通關(guān)的概率為.故選：D4．（2324高一下·上海虹口·期中）銳角三角形中，是邊上的高，若，則可表示為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得向量在方向上投影的數(shù)量為，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】如圖所示，因為，根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，可得向量在方向上投影的數(shù)量為，所以.故選：D.5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形弧長公式求出圓錐底面半徑，母線長為2，由等面積法得，得解.【詳解】側(cè)面展開圖扇形的弧長為，圓錐底邊的半徑r滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2，底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為R，則，.故選：D.

6．（2024高一上·四川達(dá)州·期末）若向量，，則向量與的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用坐標(biāo)運(yùn)算計算向量與的坐標(biāo)，再根據(jù)向量積的定義式求解夾角的余弦值，即得結(jié)果.【詳解】向量，，則，，故，,則向量與的夾角滿足，，故.故選：C.7．（2024高一下·福建廈門·期中）已知，，，，，則（

）A．14 B．34 C．26 D．24【答案】C【分析】先由已知條件求出，然后再求的值【詳解】解：因為，，，，，所以，所以，，故選：C8．（2024·全國·模擬預(yù)測）在四邊形中，點E為AD的中點，點F為BC的中點，且，若>0，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法可得，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得，由可得選項．【詳解】因為，，又點E為AD的中點，點F為BC的中點，所以，又因為，所以，且，所以，即，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，求線段的長度的范圍，關(guān)鍵在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的數(shù)量積的范圍得以解決．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．（2324高一下·云南昆明·期中）下列命題正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則或B．C．若是方程的一個根，則該方程的另一個根是D．在復(fù)平面內(nèi)，所對應(yīng)的向量分別為，其中為坐標(biāo)原點，若，則【答案】CD【分析】由復(fù)數(shù)模長的幾何意義可判斷A；由向量加法和減法的幾何意義可判斷BD；根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)可判斷C.【詳解】解：對于，若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是以原點為圓心，1為半徑的圓，有無數(shù)個點與復(fù)數(shù)對應(yīng)，故選項A錯誤；對于B，設(shè)所對應(yīng)的向量分別為，由向量加法的幾何意義可知，故選項B錯誤；對于，根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程的求根公式知，兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，所以若是方程的根，則該方程的另一個根是，故選項C正確；對于D，若，則復(fù)平面內(nèi)以為鄰邊的平行四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等和復(fù)數(shù)加法?減法的幾何意義可知，選項D正確，故選：CD.10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，，，…，，其平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為m，則下列判斷一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用平均數(shù)公式、方差公式分別可以確定新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與原平均數(shù)、方差的大小關(guān)系，因新加入數(shù)據(jù)不知與中位數(shù)大小所以無法確定新的中位數(shù)大?。驹斀狻俊?，，∴，平均數(shù)不變，所以A選項正確；，，所以，故B錯誤，C正確；對于D選項，由于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的大小關(guān)系不確定，所以不能比較新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)的大小，故D錯誤．故選：AC.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最大值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【分析】先求得正四面體的外接球半徑、內(nèi)切球半徑、正四面體的體積、外接球的體積.結(jié)合勒洛四面體的知識對選項進(jìn)行分析，從而得出正確選項.【詳解】首先求得正四面體的一些結(jié)論：正四面體棱長為，是底面的中心，是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖．，，由得，解得，（內(nèi)切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．對于A選項，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，故A正確；對于B選項，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖，其中點E為該球與勒洛四面體的一個切點，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B、O、E三點共線，且，，因此，故B正確；對于C選項，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點間的距離的最大值為a，最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖，根據(jù)勒洛四面體結(jié)構(gòu)的對稱性，不妨設(shè)此截面為投影光線垂直于正四面體的一個面ABD時，勒洛四面體在與平面ABD平行的一個投影平面α上的正投影，當(dāng)光線與平面ABD夾角不為90°時，易知截面投影均為上圖所示圖像在平面α上的投影，其面積必然減小.上圖截面為三個半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為a的正三角形的面積，即，故C錯誤；對于D選項，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.故選：ABD.【點睛】求解勒洛四面體問題的關(guān)鍵是理解勒洛四面體的結(jié)構(gòu)、正四面體的結(jié)構(gòu)特征、球的結(jié)構(gòu)特征，需要很強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力.正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心重合，是解題的突破口.填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）實系數(shù)一元二次方程的一根為，則.【答案】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理可得另一共軛虛根,再根據(jù)韋達(dá)定理可得的值,然后相加即可得到.【詳解】因為實系數(shù)一元二次方程的一根為,所以根據(jù)虛根成對定理可得,實系數(shù)一元二次方程的另一共軛虛根為,所以根據(jù)韋達(dá)定理得,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了實系數(shù)一元二次方程的虛根成對定理,屬于基礎(chǔ)題.13．（2024高二上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖，將兩個全等等腰直角三角形拼成一個平行四邊形ABCD，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折起，使平面平面BCD，則直線AC與BD所成角正弦值為【答案】【分析】將圖形補(bǔ)成一個正方體，進(jìn)而通過異面直線所成角的定義得出所求角，然后算出答案.【詳解】根據(jù)題意，平面ABD⊥平面BCD且交于BD，而AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊥CD，進(jìn)而將圖形補(bǔ)形為正方體BDCEAHFG，設(shè)其棱長為1，如圖所示.因為BD∥CE，所以∠ACE（或其補(bǔ)角）為所求角，設(shè)其為，易知AE⊥CE，由勾股定理易得，所以.故答案為：.14．（2324高二上·上海金山·期中）已知球的兩個平行截面的面積分別為，且兩個截面之間的距離是，則球的表面積為．【答案】【分析】先根據(jù)截面面積得到兩個圓截面的半徑，由于球的對稱性，考慮兩截面與球心的位置關(guān)系分別在球心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，加以分類討論.【詳解】由球的截面為圓，設(shè)兩個平行的截面圓的半徑分別為，，球的半徑為，因為，所以，又，所以，當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，，解得，球的表面積為；當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，，無解；綜上，所求球的表面積為.故答案為：.解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．（2024高一下·河南·階段練習(xí)）已知平面向量，，且．(1)求的值；(2)若，求實數(shù)m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量夾角公式求解作答.（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，，，因為，因此，解得，所以實數(shù)m的值為.16．（2024·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角A、、所對的邊分別為、、，且．(1)證明：；(2)若，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式變形可證；（2）把代入（1）中結(jié)論，利用正弦的二倍角公式變形后，結(jié)合誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得，注意角范圍．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以；（2）若，由（1）得，三角形中，所以，所以，又，，所以.17．（2024高一下·河南·期末）某公司加班加點生產(chǎn)口罩，防護(hù)服，消毒水等防疫物品．在加大生產(chǎn)的同時，該公司狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖．(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）．【答案】(1)0.030(2)平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率之和為1求得；（2）由同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值乘以頻率相加得平均值，求出頻率對應(yīng)的值即得中位數(shù)．【詳解】（1）由，得m＝0.030，所以直方圖中m的值是0.030．（2）平均數(shù)為，因為，，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為n，則，解得，所以可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33．18．（2024高二·重慶江北·期中）如圖，為圓的直徑，為圓周上異于、的一點，垂直于圓所在的平面，于點，于點．（1）求證：；（2）若，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）易證得平面，由線面垂直性質(zhì)可得，利用線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)證得結(jié)論；（2）利用勾股定理可求得長，在中，利用面積橋可求得，進(jìn)而得到；由等腰三角形三線合一可知為中點，由此確定到平面的距離；利用體積橋和三棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）垂直于圓所在平面，平面，，為圓的直徑，，又平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，.（2），，，，由平面，平面知：，，，解得：，，，，，為中點，由（1）知：平面，到平面的距離為，.【點睛】方法點睛：立體幾何求解三棱錐體積的問題常采用體積橋的方式，將所求三棱錐轉(zhuǎn)化為底面面積和高易求的三棱錐體積的求解問題.19．（2024高三上·寧夏·階段練習(xí)）