異面直線所成角62683

１、一條直線與兩條異面直線中的一條相交，那么它與另一條之間的位置關系是（）Ａ、平行Ｂ、相交Ｃ、異面Ｄ、可能平行、可能相交、可能異面２、兩條異面直線指的是（）Ａ、沒有公共點的兩條直線Ｂ、分別位于兩個不同平面的兩條直線Ｃ、某一平面內的一條直線和這個平面外的一條直線Ｄ、不同在任何一個平面內的兩條直線練習：DD3、下列命題中，其中正確的是（１）若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線互相平行（２）若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行（３）若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行（４）若兩條直線都和第三條直線異面，那么這兩條直線互相平行4.若兩直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系_________．5.直線a和b分別是長方體的兩個相鄰的面的對角線所在直線，則a和b的位置關系是_________．6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝40

，則∠A1O1B1＝

．

1．空間兩直線的位置關系．位置關系共面情況公共點個數(shù)相交在同一平面內有且只有一個平行沒有異面不同在任一平面內復習回顧：

2．平行公理．

3．空間等角定理．4．異面直線空間內不同在任一平面內的兩條直線叫異面直線．(不平行也不相交)．4.2異面直線的畫法

mn

ABl

mn

mn畫異面直線一定要依托于平面．4.1定義．對于異面直線，如何判定，又如何進一步刻畫呢？用反證法證明：空間四邊形ABCD的對角線AC，BD是異面直線．DABC

在空間四邊形中，各邊所在直線異面的共有幾對？練習：空間里,不在同一個平面上的四個點兩兩相連,就是空間四邊形

例1．求證過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線．已知：A

，B

，B

l，l

．求證：直線AB和l是異面直線．

ABl定理：過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線．符號表示：若A

，B

，B

l，l

，則直線AB與l是異面直線．——兩點一線一面判定兩條直線是異面直線的常用方法：反證法．3.已知不共面的三直線a，b，c相交于點O，M，P是a上兩點，N，Q分別在b，c上．求證：MN，PQ異面.

acbOPMQN法二：（判定定理）∵a∩c=O，∴它們確定一個平面，

設為β

，由已知N?平面β

，M∈平面β

，

PQ?平面β

，M?PQ，

∴PQ和MN是異面直線．證明：法一：（反證法）假設PQ和MN共面，所確定的平面為β，

那么點P、Q、M、N都在平面β內，∴PM?β

即a?β∴O∈平面β∴直線OQ、ON都在平面β內,即直線b、c都在平面β內∴直線a、b、c都在平面β內，與已知條件a、b、c不共面矛盾，

假設不成立，∴AD和BC是異面直線．

小結：異面直線的判定：①利用定義；②判定定理：過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線．符號表示：若A

，B

，B

l，l

，則直線AB與l是異面直線．

——兩點一線一面③常用方法：反證法．定量異面直線所成的角aα一、異面直線所成角的定義：1.直線a、b是異面直線。經過空間任意一點O，分別作直線a1∥a，b1∥b。我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。ba1b1Ob

aαOθ為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上。

2.異面直線a和b所成的角的范圍：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

相交垂直（有垂足）垂直異面垂直（無垂足）OααO因此，異面直線所成角的范圍是（0，]3、特例：空間內O點“任取”，說明角的大小與點O的位置選取無關，只由兩直線的相對位置所確定；

abOa

b

a

思考：異面直線所成角的大小與點O的位置選取有關嗎？為什么？a

，b

相交，將異面直線轉化為平面內兩相交直線所成的角進行度量，立體問題平面化；找異面直線所成的角的關鍵是什么？平移轉化為平面角例1.如圖，在正方體中，（1）哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？（2）求直線BA1和CC1所成的角的大小。四、例題分析：解：（1）與直線BA1成異面直線有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D（2）∵B1B∥C1C∴∠A1B1B是異面直線BA1和CC1所成的角易求得所成的角為AA1BB1CC1DD1AA1BB1CC1DD1例2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求下列各對異面直線所成的角O

主要步驟：①構造平面角；②證明；③求角計算．(1)AC與B1D1；(2)AC與BC1(3)A1B與B1D1．（4）BD1與AC例2.已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體DCBAA1D1C1B1異面直線所成角的求法(2)BC1和AC新課講解：AA1BB1CC1DD1例2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求下列各對異面直線所成的角O

主要步驟：①構造平面角；②證明；③求角計算．轉化為平面角(3)A1B與B1D1．DCBAA1D1C1B1異面直線所成角的求法oE（4）BD1與AC

DCBAA1D1C1B1異面直線所成角的求法補形法（4）BD1與AC

AA1BB1CC1DD1練習．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別為所在棱的中點，求下列各對異面直線所成的角．OPEFMNL*中位線(1)EF與MN；(2)EF與BD1．例2．空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是對角線BD，AC的中點，(1)若BC＝AD＝2EF，求直線EF與AD所成角的大小．(2)若AB＝8，CD＝6，EF＝5，求AB與CD所成角的大小．BCDAEF求異面直線所成的角的一般步驟是：

根據異面直線所成角的定義，求異面直線所成角,就是要將其變換成相交直線所成的角。其方法為：

平移法：即根據定義，以“運動”的觀點，用“平移轉化”的方法，使之成為相交直線所成的角。(1)找出或作出有關的圖形；(2)證明它符合定義；(3)計算。[即：一證二作三求]

具體地講是選擇“特殊點”作異面直線的平行線，構作含異面直線所成(或其補角)的角的三角形，再求之。

1．異面直線的判定．小結：①利用定義；②判定定理：若A

，B

，B

l，l

，則直線AB與l是異面直線．

——兩點一線一面③常用方法：反證法．

2．異面直線所成的角．練習：1.指出下列命題是否正確，并說明理由.①過直線外一點可作無數(shù)條直線與已知直線成異面直線.②過直線外一點只有一條直線與已知直線垂直.③若a∥b，c⊥a則b⊥c．④若c⊥a，b⊥c則a∥b．⑤分別與兩條異面直線a，b都相交的兩條直線c，d一定異面.2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1所成角為60

的面對角線有

條AA1BB1CC1DD13.已知不共面的三直線a，b，c相交于點O，M，P是a上兩點，N，Q分別在b，c上．求證：MN，PQ異面.

acbOPMQN法二：（判定定理）∵a∩c=O，∴它們確定一個平面，

設為β

，由已知N?平面β

，M∈平面β

，

PQ?平面β

，M?PQ，

∴PQ和MN是異面直線．證明：法一：（反證法）假設PQ和MN共面，所確定的平面為β，

那么點P、Q、M、N都在平面β內，∴PM?β

即a?β∴O∈平面β∴直線OQ、ON都在平面β內,即直線b、c都在平面β內∴