1.1.2集合的基本關(guān)系（講義7大題型）（原卷版）

1.1.2集合的基本關(guān)系1、理解集合之間包含與相等的含義能從教材實(shí)例中抽象出子集、真子集的概念；2、能識(shí)別給定集合的子集、真子集，掌握列舉有限集所有集合的方法；3、會(huì)判斷集合間的關(guān)系，并能用符號(hào)和維恩圖表示.注意空集在解題中的影響.知識(shí)點(diǎn)1子集與真子集1、韋恩圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱(chēng)為Venn圖．表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線．2、子集含義一般地，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．韋恩圖示性質(zhì)（1）任意一個(gè)集合都是它本身的子集，記作；（2）傳遞性：對(duì)于集合，如果，，則．3、真子集含義一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。記作AB或(BA)．讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．韋恩圖示性質(zhì)（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）傳遞性：對(duì)于集合，如果，，則．【注意】（1）子集是刻畫(huà)兩個(gè)集合之間關(guān)系的，它反映的是局部與整體之間的關(guān)系(而元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體之間的關(guān)系)．（2）并不是任意兩個(gè)集合之間都具有包含關(guān)系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因?yàn)?∈A，但2?B，所以A不是B的子集；同理，因?yàn)?∈B，但3?A，所以B也不是A的子集．知識(shí)點(diǎn)2集合的相等1、集合相等的定義含義給定兩個(gè)集合和，如果組成它們的元素完全相同，就稱(chēng)這兩個(gè)集合相等，記作，讀作“A等于B”．韋恩圖示性質(zhì)（1）如果且，則；（2）如果，則且；（3）如果，，則．【注意】集合相等與集合的形式無(wú)關(guān)，形式不同的兩個(gè)集合也可以相等．2、韋恩圖表示集合間關(guān)系3、集合間關(guān)系與實(shí)數(shù)大小關(guān)系類(lèi)比實(shí)數(shù)集合定義包含兩層含義：或包含兩層含義：或相等若且，則若，，則傳遞性若，，則若，，則．若，，則若，，則知識(shí)點(diǎn)3空集1、空集的定義一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關(guān)系?與0?與{0}?與{?}相同點(diǎn)都表示無(wú)的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)?是集合；0是實(shí)數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個(gè)元素0?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}知識(shí)點(diǎn)4有限集的子集個(gè)數(shù)1、如果集合A中含有n個(gè)元素，則有（1）A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．（2）A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（3）A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．2、集合中含有個(gè)元素，集合中含有個(gè)元素，且，則符合條件的集合有個(gè)．【常用方法技巧】1、判斷兩個(gè)集合是否相等的方法重點(diǎn)是要把握住兩個(gè)原則：（1）對(duì)于元素較少的有限集，可用列舉法將元素一一列舉出來(lái)，看兩個(gè)集合中的元素是否完全相同；（2）若兩個(gè)集合是無(wú)限集，則從“互為子集”入手進(jìn)行判斷．2、子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題確定子集、真子集的三個(gè)關(guān)鍵：（1）確定所求的集合；（2）合理分類(lèi)，若集合中的元素較少，則用列舉法按照子集所含元素的個(gè)數(shù)依次寫(xiě)出，一般按元素從少到多的順序逐個(gè)寫(xiě)出滿足條件的集合；若集合中的元素較多，可根據(jù)結(jié)論計(jì)算出；（3）注意兩個(gè)特殊的集合，即空集和集合本身．3、利用集合相等求參數(shù)從集合相等的概念入手，尋找兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系．首先分析一個(gè)集合中的元素與另一個(gè)集合中的哪個(gè)元素相等，共有幾種情況，然后通過(guò)列方程（組）求解．當(dāng)集合中未知元素不止一個(gè)時(shí)，往往要分類(lèi)討論．求出參數(shù)值后要注意檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性．4、根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍對(duì)于兩個(gè)集合和，或中含有待定的參數(shù)（字母），常采用分類(lèi)討論或數(shù)形結(jié)合的方法：（1）分類(lèi)討論：若，在未指明非空時(shí)，應(yīng)分為和兩種情況來(lái)討論．（2）數(shù)形結(jié)合：對(duì)這種情況，在確定參數(shù)時(shí)，需要借助數(shù)軸來(lái)完成，將兩個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái)，分清端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)，確定兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，列不等式（組）求解．題型一子集、真子集的確定【例1】（2324高一上·山西臨汾·月考）寫(xiě)出集合的一個(gè)非空子集．【變式11】（2324高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知集合，則集合的子集有.【變式12】（2324高一上·四川成都·期中）集合的一個(gè)子集是（

）A． B． C． D．【變式13】（2324高一上·廣東東莞·月考）（多選）若，則（

）A． B． C． D．題型二子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題【例2】（2324高一上·福建泉州·月考）集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式21】（2324高一上·吉林·月考）集合的子集的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【變式22】已知集合滿足，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式23】（2324高一上·安徽黃山·期中）已知集合，則集合A的真子集有個(gè)．題型三判斷兩個(gè)集合是否相等【例3】（2324高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【變式31】（2324高一上·重慶云陽(yáng)·月考）（多選）下列集合中，與集合相等的是（

）A． B． C． D．【變式32】（2324高一上·河北石家莊·月考）（多選）給出以下幾組集合，其中是相等集合的有（

）A． B．C． D．【變式33】（2324高一上·四川成都·期中）（多選）下列各組中M，P表示相同集合的是（

）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C．M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}題型四根據(jù)集合相等求參數(shù)【例4】（2324高一上·四川綿陽(yáng)·月考）若集合，，且，則.【變式41】（2324高一上·陜西咸陽(yáng)·月考）設(shè)全集，集合，，且，則實(shí)數(shù)．【變式42】（2324高一上·甘肅蘭州·月考）已知集合，則.【變式43】（2324高一上·上?！て谥校┖腥齻€(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為.題型五空集的概念與辨析【例5】（2324高一上·云南紅河·月考）下列四個(gè)集合中，是空集的是（

）A． B． C． D．【變式51】（2324高一上·重慶·期中）下列關(guān)于0與說(shuō)法不正確的是（

）A． B． C． D．【變式52】（2324高一上·廣東廣州·期中）下列關(guān)于空集的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式53】（2324高一上·河北石家莊·期中）（多選）下列關(guān)系中，正確的有（

）A． B． C． D．題型六判斷兩個(gè)集合間的包含關(guān)系【例6】（2324高一上·廣東韶關(guān)·月考）若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【變式61】（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式62】（2223高一上·江蘇宿遷·月考）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式63】（2324高一上·北京·月考）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．題型七根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)【例7】（2324高一上·河南開(kāi)封·期末）已知集合，，若，則的值為（

）A．1 B．2 C．1