高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷01

高二期末模擬卷01單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解對數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】因為，由，即，解得，所以，所以.故選：A2．已知函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】由題意，根據(jù)求導(dǎo)公式和運算法則可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意知，，則.所以.故選：B3．已知首項的等差數(shù)列中，，若該數(shù)列的前項和，則等于（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出公差，然后代入求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得或，若，則為常數(shù)數(shù)列，則，不合題意，舍去；則，由等差數(shù)列前項和公式得，解得.故選：D.4．曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線的切線方程，結(jié)合三角形面積公式計算即可.【詳解】由，得，則，，所以曲線在點處的切線方程為.令，得，令，得，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選：C5．函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.6．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前項之積為，且，則取得最大值時，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，進而可得，可得等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，可求取得最大值時的值．【詳解】由，得，，則，由于，得，所以等比數(shù)列是遞減數(shù)列，故，則取得最大值時．故選：A．7．已知函數(shù)的極值點為，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、零點存在定理，求出函數(shù)的極大值點，然后利用指對互化求解即可.【詳解】由得，，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，又，，由零點存在定理知，存在，使得，所以當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，所以是函數(shù)的極大值點，則，即.所以.故選：D8．已知，若函數(shù)有兩個不同的零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)求得時，有最小值，由，求a的取值范圍.【詳解】由題意，令，得，已知，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，故當(dāng)時，有最小值，而，由此可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，若函數(shù)有兩個不同的零點，結(jié)合零點存在定理可知，的最小值，又，所以，，所以，所以，即a的取值范圍是．故選：B.【點睛】方法點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9．已知，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式、結(jié)合“1”的妙用計算判斷ACD；利用二次函數(shù)求出最小值判斷D.【詳解】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A正確；對于B，由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C錯誤；對于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確.故選：ABD10．已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項積為，則（

）A．可能為等差數(shù)列 B．不可能為等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】AC【分析】對于AB，舉例判斷，對于C，根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合題意分析判斷，對于D，根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合題意分析判斷，【詳解】對于A，當(dāng)為常數(shù)列時，因為為等差數(shù)列，所以為等差數(shù)列，所以A正確．對于B，當(dāng)為常數(shù)列，且時，因為是等比數(shù)列，所以為等比數(shù)列，所以B錯誤．對于C，設(shè)的公差為，則，得，因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以C正確．對于D，設(shè)的公比為，則，當(dāng)時，不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，所以D錯誤．故選：AC11．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點B．當(dāng)時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導(dǎo)數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結(jié)論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】解不等式化簡集合A，再利用交集的定義及集合的包含關(guān)系求解即得.【詳解】依題意，，則，由，得，所以的取值范圍是.故答案為：13．?dāng)?shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項的和為．【答案】210【分析】數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.【詳解】數(shù)列滿足，若，，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成以1，2為首項，公差均為2的等差數(shù)列所以數(shù)列的前20項的和為.故答案為：210.14．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（1）則實數(shù)a的值為；（2）設(shè)，若對任意的恒成立，則k的最大整數(shù)值為．【答案】14【分析】空1由切線特點“切點在切線上也在曲線上”和導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求解；空2將問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值情況即可求解.【詳解】由題意，即①，又，故由題意，即②，所以由①②得.所以，故對任意的恒成立對任意的恒成立，所以，所以，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，即，即，則當(dāng)時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故，又，所以k的最大整數(shù)值為4.故答案為：1；4.【點睛】方法點睛：恒成立求參問題通常結(jié)合參數(shù)分離法將恒成立問題轉(zhuǎn)化成研究具體函數(shù)的最值問題來求解：函數(shù)在區(qū)間上滿足（1）恒成立；（2）恒成立.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負與單調(diào)性的關(guān)系，分及討論即可得；（2）原問題可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，即可得其最小值，即可得證.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）得，

要證，即證，即證，令，則，

令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，.16．已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求正整數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)15【分析】（1）利用通項與前n項和的關(guān)系先求，然后可得；（2）利用裂項相消法求和，然后解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，兩式相減，得，，顯然也符合上式，數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，解得.正整數(shù)的最大值為15.17．若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【詳解】（1）因為的圖象過，故，故即（負的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.（2）因為存在使得成等差數(shù)列，故有解，故，因為，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域為，故即.18．已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，求得，再由即可求得等比數(shù)列的首項與公比；（2）把（1）中求得的通項公式帶入（2）中，得到，利用裂項相消法求和得到；，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可得到，再進行比大小即可.【詳解】（1）∵數(shù)列的前項和為，且，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，又數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，所以，所以.（2），∴，故，而，故，由于當(dāng)時，，故，所以.19．在數(shù)學(xué)中，由個數(shù)排列成的m行n列的數(shù)表稱為矩陣，其中稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對于兩個矩陣A和B，如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和B相乘，具體來說：若，，則，其中.已知，函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若是的兩個極值點，證明：，.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意，，求導(dǎo)得，從而可以分是否為0進行討論，時，可以繼續(xù)分是否大于0進行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導(dǎo)數(shù)證明得到，進一步有，從而即可順利得解.【詳解】（1）由矩陣乘法定義知，，∵，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，方程的判別式，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)