甘肅省張掖市二中2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測試題(一)數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
甘肅省張掖市二中2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測試題(一)數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第2頁
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文檔簡介

甘肅省張掖市二中2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測試題(一)數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95442.已知橢圓:的左,右焦點(diǎn)分別為,,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,且的三邊長,,成等差數(shù)列,則的離心率為()A. B. C. D.3.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.5.命題:的否定為A. B.C. D.6.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.7.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.8.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A. B. C. D.10.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.11.一個四面體所有棱長都是4,四個頂點(diǎn)在同一個球上,則球的表面積為()A. B. C. D.12.若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在直三棱柱內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1,同時在三棱柱外有一個外接球.若,,,則球的表面積為______.14.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.15.已知,為虛數(shù)單位,且,則=_____.16.設(shè)α、β為互不重合的平面,m,n是互不重合的直線,給出下列四個命題:①若m∥n,則m∥α;②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;③若α∥β,m?α,n?β,則m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n?α,m⊥n,則n⊥β;其中正確命題的序號為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與直線交于點(diǎn),若的面積為1,求的值和弦長.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、.試判斷是否為定值,并說明理由.20.(12分)已知拋物線E:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3,拋物線E上的兩個動點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=1.線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線E的方程;(2)求△ABC面積的最大值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個微型智能機(jī)器人(大小不計)只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個單位長度,例如:該機(jī)器人在點(diǎn)處時,下一步可行進(jìn)到、、、這四個點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉(zhuǎn)化為,結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出,,,利用勾股定理列方程,結(jié)合橢圓的定義,求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式,化簡后求得離心率.【詳解】由已知,,成等差數(shù)列,設(shè),,.由于,據(jù)勾股定理有,即,化簡得;由橢圓定義知的周長為,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴離心率.故選:C本小題主要考查橢圓離心率的求法,考查橢圓的定義,考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.3.B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計算,計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中等題.4.A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計算出,由此可計算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】

命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.6.C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋谏蠟闇p函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為增函?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?故選:C本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡求解即可.【詳解】由得:本題正確選項(xiàng):本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查計算能力.10.B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.11.A【解析】

將正四面體補(bǔ)成正方體,通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長都是4,∴正方體的棱長為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.12.B【解析】

計算拋物線的交點(diǎn)為,代入計算得到答案.【詳解】可化為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故.故選:.本題考查了拋物線的焦點(diǎn),屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先求出球O1的半徑,再求出球的半徑,即得球的表面積.【詳解】解:,,,,設(shè)球O1的半徑為,由題得,所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為,所以外接球的半徑為,所以球的表面積為.故答案為:本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題,考查球的表面積的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.14.2【解析】

由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點(diǎn),即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn)∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點(diǎn),∴,∵PQ垂直l于點(diǎn)Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點(diǎn),∴,故答案為:2.本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.15.4【解析】

解:利用復(fù)數(shù)相等,可知由有.16.④【解析】

根據(jù)直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】對于①,當(dāng)m∥n時,由直線與平面平行的定義和判定定理,不能得出m∥α,①錯誤;對于②,當(dāng)m?α,n?α,且m∥β,n∥β時,由兩平面平行的判定定理,不能得出α∥β,②錯誤;對于③,當(dāng)α∥β,且m?α,n?β時,由兩平面平行的性質(zhì)定理,不能得出m∥n,③錯誤;對于④,當(dāng)α⊥β,且α∩β=m,n?α,m⊥n時,由兩平面垂直的性質(zhì)定理,能夠得出n⊥β,④正確;綜上知,正確命題的序號是④.故答案為:④.本題考查了直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解:(1)當(dāng)時,,即或或解之得或,即不等式的解集為.(2)由題意得:當(dāng)時為減函數(shù),顯然恒成立.當(dāng)時,為增函數(shù),,當(dāng)時,為減函數(shù),綜上所述:使恒成立的的取值范圍為.本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18.(1),;(2).【解析】

(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標(biāo)方程為:.轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:,化為一般式得化為極坐標(biāo)方程為:.

(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.19.(1)(2)為定值.【解析】

(1)根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)根據(jù)題意設(shè)直線方程:,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達(dá)式,比即可得出為定值.【詳解】解:(1)依題意,,,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)為定值.①因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率.②設(shè)直線:,由得,由,得.①把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值.本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問題,考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.20.(1)y2=6x(2).【解析】

(1)根據(jù)拋物線定義,寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,列方程即可得解;(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)表示出|AB|和點(diǎn)到直線的距離,得出面積,利用均值不等式求解最大值.【詳解】(1)拋物線E:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F(,0)到準(zhǔn)線x的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為y2=6x;(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則,y0,kAB,則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0(x﹣2),①可得x=5,y=0是①的一個解,所以AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn),且點(diǎn)C(5,0),由①可得直線AB的方程為y﹣y0(x﹣2),即x(y﹣y0)+2②代入y2=6x可得y2=2y0(y﹣y0)+12,即y2﹣2y0y+2y02=0③,由題意y1,y2是方程③的兩個實(shí)根,且y1≠y2,所以△=1y02﹣1(2y02﹣12)=﹣1y02+18>0,解得﹣2y0<2,|AB|,又C(5,0)到線段AB的距離h=|CM|,所以S△ABC|AB|h?,當(dāng)且僅當(dāng)9+y02=21﹣2y02,即y0=±,A(,),B(,),或A(,),B(,)時等號成立,所以S△ABC的最大值為.此題考查根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值,表示三角形的面積關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入,拋物線中需要考慮設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的技巧

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