廣東省潮州市2024-2025學年高考預(yù)測卷（全國I卷）數(shù)學試題試卷含解析

廣東省潮州市2024-2025學年高考預(yù)測卷（全國I卷）數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（）A． B． C． D．2．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺3．已知的展開式中的常數(shù)項為8，則實數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．34．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交5．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝f（x），當x∈[﹣3，﹣2]時，f（x）＝﹣x﹣2，則（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）6．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值7．從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．968．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則實數(shù)的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．29．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，為坐標原點.若，則直線的斜率為()A． B． C． D．10．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．1511．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+112．已知隨機變量的分布列是則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）14．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則______15．如果橢圓的對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形，焦點在x軸上，且=,那么橢圓的方程是．16．在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數(shù)a的值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設(shè)為邊上一點，且，求的面積.19．（12分）已知函數(shù)，(其中，).（1）求函數(shù)的最小值.（2）若，求證：.20．（12分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知直線：（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．（1）設(shè)與相交于，兩點，求；（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）當時，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率．【詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù)．2．A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵．3．A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當取2時，常數(shù)項為，當取時，常數(shù)項為由題知，則.故選：A.本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對所取的項要進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．5．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函數(shù)f（x）在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函數(shù)且周期為2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]時的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，并結(jié)合f（x）是偶函數(shù)作出f（x）在R上的圖象如下，選項A，，所以，選項A錯誤；選項B，因為，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），選項B正確；選項C，，所以，即，選項C錯誤；選項D，，選項D錯誤.故選：B.本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.6．D【解析】

A．通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).7．D【解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．8．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)乘法運算化簡可得，所以由復(fù)數(shù)定義可知，解得，故選：A.本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)，則，故，此時，即．則直線的斜率．故選：D．本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．10．B【解析】，∴，選B．11．B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.12．C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論：①設(shè)甲參加，乙不參加，②設(shè)乙參加，甲不參加，③設(shè)甲，乙都不參加，可得不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，得解．【詳解】①設(shè)甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，②設(shè)乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為9，③設(shè)甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數(shù)為5，綜合①②③得：不同的選法種數(shù)為9+9+5＝1，故答案為：1．本題考查了排列組合及分類討論思想，準確分類及計算是關(guān)鍵，屬中檔題．14．【解析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得的表達式，判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得的值.【詳解】解：，可得時，，時，，又，兩式相減可得，即，上式對也成立，可得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，可得．本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于中檔題.15．【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為：∵短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形，焦點在軸上∴又，∴，∴橢圓的方程為，故答案為．考點：橢圓的標準方程，解三角形以及解方程組的相關(guān)知識．16．3【解析】

設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0），聯(lián)立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設(shè)為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標（0，1），∴B的坐標為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當且僅當，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得導函數(shù)，然后結(jié)合導函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可；(Ⅱ)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化為，，恒成立，然后構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實數(shù)的取值范圍即可．【詳解】解：(Ⅰ)當時，，當時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，由得：；由得：．∴當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間：當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．(Ⅱ)對任意的和，恒成立等價于：，，恒成立．即，，恒成立．令：，，，則得，由此可得：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當時，，即又∵，∴實數(shù)的取值范圍是：．本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識，屬于中等題．18．（1）；（2）.【解析】

（1）先求出角，進而可得出，則①②中有且只有一個正確，③正確，然后分①③正確和②③正確兩種情況討論，結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值；（2）計算出和，計算出，可得出，進而可求得的面積.【詳解】（1）因為，所以，得，，，為鈍角，與矛盾，故①②中僅有一個正確，③正確.顯然，得.當①③正確時，由，得（無解）；當②③正確時，由于，，得；（2）如圖，因為，，則，則，.本題考查解三角形綜合應(yīng)用，涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.19．（1）.（2）答案見解析【解析】

（1）利用絕對值不等式的性質(zhì)即可求得最小值；（2）利用分析法，只需證明，兩邊平方后結(jié)合即可得證.【詳解】（1），當且僅當時取等號，∴的最小值；（2）證明：依題意，，要證，即證，即證，即證，即證，又可知，成立，故原不等式成立.本題考查用絕對值三角不等式求最值，考查用分析法證明不等式，在不等式不易證明時，可通過執(zhí)果索因的方法尋找結(jié)論成立的充分條件，完成證明，這就是分析法．20．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值，進而可求得其正弦值.【詳解】（1）取中點，連接、、，且，四邊形為平行四邊形，且，、分別為、中點，且，則四邊形為平行四邊形，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為平行四邊形，，平面，