人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)銳角三角函數(shù)《解直角三角形及其應(yīng)用（第4課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

解直角三角形及其應(yīng)用（第4課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．正確理解方向角的概念．2．能運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決有關(guān)方向角的問(wèn)題．3．能夠融會(huì)貫通地運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步提高運(yùn)用解直角三角形知識(shí)分析解決問(wèn)題的綜合能力．教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決有關(guān)方向角的問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決有關(guān)方向角的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程知識(shí)回顧利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)問(wèn)題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】方向角在測(cè)繪、地質(zhì)與地球物理勘探、航空、航海及部隊(duì)行進(jìn)等方面應(yīng)用廣泛．你知道怎樣利用方向角測(cè)量?jī)傻氐木嚯x嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生思考，然后找學(xué)生代表說(shuō)一說(shuō)解決問(wèn)題的思路，教師糾正．【答案】利用方向角，根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形，然后通過(guò)解直角三角形就可得出所求兩地的距離．【新知】一般地，方向角是指目標(biāo)與參照物所在的直線和南北方向所在的直線所夾的銳角．【追問(wèn)】你知道怎樣表示方向角嗎？【師生活動(dòng)】直接找學(xué)生說(shuō)出圖中各點(diǎn)所在位置的方向角（以點(diǎn)O所在位置為參照點(diǎn)），教師糾正．【答案】如圖，點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東60°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏東45°方向（東南方向），點(diǎn)C在點(diǎn)O的南偏西80°方向，點(diǎn)D在點(diǎn)O的北偏西30°方向．南偏東45°也稱為東南方向；南偏西45°也稱為西南方向；北偏西45°也稱為西北方向；北偏東45°也稱為東北方向．【歸納】特別注意：（1）方向角通常是以南北方向線為基準(zhǔn)，一般習(xí)慣說(shuō)成“南偏東（西）”或“北偏東（西）”；（2）觀測(cè)點(diǎn)不同，所得的方向角也不同，但各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的南北方向線是互相平行的，因此，通常借助于此性質(zhì)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生了解方向角的概念，知道方向角的表示方法．二、典例精講【例1】如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？【分析】能確定的線段和角有：∠A＝65°，PA＝80nmile，∠B＝34°．要求解的是：線段PB的長(zhǎng)度．【答案】解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·sin65°≈72.505（nmile）．在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝，∴PB＝≈130（nmile）．因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130nmile．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)方向角的實(shí)際問(wèn)題的掌握情況．【例2】海中有一個(gè)小島A，它周圍8nmile內(nèi)有暗礁．漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12nmile到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？【答案】解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)D點(diǎn)作DC∥AE，則AE是點(diǎn)A到BD的最短距離，且CD//AE//BF．∴∠BAE＝∠ABF＝60°，∠DAE＝∠ADC＝30°．∴∠ABE＝∠BAD＝30°．∴AD＝BD＝12nmile．∴AE＝AD·sin60°＝12×＝6（nmile）．∵6＞8，∴如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)．【歸納】解答關(guān)于方向角的應(yīng)用題時(shí)，對(duì)于非直角三角形問(wèn)題，可以通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化成直角三角形問(wèn)題來(lái)解決．多利用正北、正南、正東、正西方向線構(gòu)造直角三角形，注意所作的輔助線盡量不分割已知的特殊角．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)方向角的實(shí)際問(wèn)題的解題思路的掌握情況．【例3】如圖，隨著我市鐵路建設(shè)進(jìn)程的加快，現(xiàn)規(guī)劃從A地到B地有一條筆直的鐵路通過(guò)，但在附近的C處有一個(gè)大型油庫(kù)．現(xiàn)測(cè)得油庫(kù)C在A地的北偏東60°方向上，在B地的西北方向上，B地在A地的正東方向上，AB的距離為250(＋1)m．已知在以油庫(kù)C為中心，半徑為200m的范圍內(nèi)施工均會(huì)對(duì)油庫(kù)的安全造成影響．問(wèn)：若在此路段修建鐵路，油庫(kù)C是否受到影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．由題意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，即tan30°＝，∴AD＝CD．在Rt△BDC中，tan∠CBD＝，即tan45°＝，∴BD＝CD．∵AD＋BD＝AB，∴CD＋CD＝250(＋1)m．∴CD＝250m．∵250m＞200m，∴在此路段修建鐵路，油庫(kù)C不會(huì)受到影響．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決有方向角的實(shí)際問(wèn)題的掌握情況．【例4】知識(shí)改變世界，科技改變生活．導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘（用C表示）開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13km，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達(dá)C地，求B，C兩地的距離．【答案】解：如圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，則∠BAD＝60°，∠DBC＝53°．設(shè)AD＝xkm，則在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝x（km）．在Rt△BCD中，CD＝BD·tan∠DBC≈x×＝x（km）．由AC＝AD＋CD，得x＋x＝13，解得x＝4－3．所以km．即B，C兩地的距離約為km．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)