人教版九年級數(shù)學下冊銳角三角函數(shù)《解直角三角形及其應用（第4課時）》示范教學設計

解直角三角形及其應用（第4課時）教學目標1．正確理解方向角的概念．2．能運用解直角三角形知識解決有關方向角的問題．3．能夠融會貫通地運用相關的數(shù)學知識，進一步提高運用解直角三角形知識分析解決問題的綜合能力．教學重點運用解直角三角形知識解決有關方向角的問題．教學難點運用解直角三角形知識解決有關方向角的問題．教學過程知識回顧利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)問題中的條件，適當選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；（3）得到數(shù)學問題的答案；（4）得到實際問題的答案．新知探究一、探究學習【問題】方向角在測繪、地質與地球物理勘探、航空、航海及部隊行進等方面應用廣泛．你知道怎樣利用方向角測量兩地的距離嗎？【師生活動】學生思考，然后找學生代表說一說解決問題的思路，教師糾正．【答案】利用方向角，根據(jù)已知條件構造直角三角形，然后通過解直角三角形就可得出所求兩地的距離．【新知】一般地，方向角是指目標與參照物所在的直線和南北方向所在的直線所夾的銳角．【追問】你知道怎樣表示方向角嗎？【師生活動】直接找學生說出圖中各點所在位置的方向角（以點O所在位置為參照點），教師糾正．【答案】如圖，點A在點O的北偏東60°方向，點B在點O的南偏東45°方向（東南方向），點C在點O的南偏西80°方向，點D在點O的北偏西30°方向．南偏東45°也稱為東南方向；南偏西45°也稱為西南方向；北偏西45°也稱為西北方向；北偏東45°也稱為東北方向．【歸納】特別注意：（1）方向角通常是以南北方向線為基準，一般習慣說成“南偏東（西）”或“北偏東（西）”；（2）觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，因此，通常借助于此性質進行角度的轉換．【設計意圖】通過這個問題，讓學生了解方向角的概念，知道方向角的表示方法．二、典例精講【例1】如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數(shù)）？【分析】能確定的線段和角有：∠A＝65°，PA＝80nmile，∠B＝34°．要求解的是：線段PB的長度．【答案】解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·sin65°≈72.505（nmile）．在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sinB＝，∴PB＝≈130（nmile）．因此，當海輪到達位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130nmile．【設計意圖】通過這個問題，檢驗學生對運用解直角三角形的知識解決有關方向角的實際問題的掌握情況．【例2】海中有一個小島A，它周圍8nmile內有暗礁．漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12nmile到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？【答案】解：如圖，過A點作AE⊥BD于點E，過D點作DC∥AE，則AE是點A到BD的最短距離，且CD//AE//BF．∴∠BAE＝∠ABF＝60°，∠DAE＝∠ADC＝30°．∴∠ABE＝∠BAD＝30°．∴AD＝BD＝12nmile．∴AE＝AD·sin60°＝12×＝6（nmile）．∵6＞8，∴如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁的危險．【歸納】解答關于方向角的應用題時，對于非直角三角形問題，可以通過作輔助線轉化成直角三角形問題來解決．多利用正北、正南、正東、正西方向線構造直角三角形，注意所作的輔助線盡量不分割已知的特殊角．【設計意圖】通過這個問題，檢驗學生對運用解直角三角形的知識解決有關方向角的實際問題的解題思路的掌握情況．【例3】如圖，隨著我市鐵路建設進程的加快，現(xiàn)規(guī)劃從A地到B地有一條筆直的鐵路通過，但在附近的C處有一個大型油庫．現(xiàn)測得油庫C在A地的北偏東60°方向上，在B地的西北方向上，B地在A地的正東方向上，AB的距離為250(＋1)m．已知在以油庫C為中心，半徑為200m的范圍內施工均會對油庫的安全造成影響．問：若在此路段修建鐵路，油庫C是否受到影響？請說明理由．【答案】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D．由題意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，即tan30°＝，∴AD＝CD．在Rt△BDC中，tan∠CBD＝，即tan45°＝，∴BD＝CD．∵AD＋BD＝AB，∴CD＋CD＝250(＋1)m．∴CD＝250m．∵250m＞200m，∴在此路段修建鐵路，油庫C不會受到影響．【設計意圖】通過這個問題，進一步檢驗學生對運用解直角三角形的知識解決有方向角的實際問題的掌握情況．【例4】知識改變世界，科技改變生活．導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學生乘車到黑龍灘（用C表示）開展社會實踐活動，車到達A地后，發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13km，導航顯示車輛應沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達C地，求B，C兩地的距離．【答案】解：如圖，作BD⊥AC于點D，則∠BAD＝60°，∠DBC＝53°．設AD＝xkm，則在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝x（km）．在Rt△BCD中，CD＝BD·tan∠DBC≈x×＝x（km）．由AC＝AD＋CD，得x＋x＝13，解得x＝4－3．所以km．即B，C兩地的距離約為km．【設計意圖】通過這個問題，進一步檢驗學生對運