電路分析基礎(chǔ)第5章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析5.1正弦信號(hào)的根本概念5.2正弦信號(hào)的相量表示5.3三種根本電路元件VAR的相量形式5.4基爾霍夫定律的相量形式和電路的相量模型5.5阻抗與導(dǎo)納5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析5.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率*5.8三相電路習(xí)題5 5.1正弦信號(hào)的根本概念

正弦信號(hào)的三要素

正弦信號(hào)是指隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓或電流，它是周期信號(hào)。所謂周期信號(hào)，是指每隔一定的時(shí)間間隔T重復(fù)變化且無始無終的信號(hào)。圖5.1-1給出了幾種常見的周期信號(hào)的波形。圖5.1-1幾種周期信號(hào)的波形周期信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

f(t)=f(t+kT)k=0，±1，±2，… (5.1-1)

我們把周期信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化的次數(shù)稱為頻率，用f表示，單位為赫茲(Hz)。根據(jù)上述周期和頻率的定義，有

正弦信號(hào)通常有兩種表述方法:一種是三角函數(shù)表達(dá)式，另一種是波形圖。

以電流為例，正弦信號(hào)的三角函數(shù)表達(dá)式為

i(t)=Imcos(wt+y) (5.1-3)

其波形如圖5.1-2所示。(5.1-2)圖5.1-2正弦電流信號(hào)波形圖式(5.1-3)中，Im稱為正弦信號(hào)i(t)的振幅值或最大值，它表示正弦信號(hào)i(t)所能到達(dá)的最大值；wt+y稱為正弦信號(hào)i(t)的相位角，簡(jiǎn)稱相位，單位為弧度或度，它反映了正弦信號(hào)每一瞬間的狀態(tài)。相位每增加2p弧度，正弦信號(hào)經(jīng)歷一個(gè)周期，即

［w(t+T)+y］－(wt+y)=2p

解上式得(5.1-4)

【例5.1-1】試?yán)L出正弦信號(hào) 的波形圖。

解由題目告知的i(t)表達(dá)式可得：振幅Im=50mA，角頻率w=100prad/s，初相 。畫i(t)波形時(shí)，取縱坐標(biāo)為i(t)，橫坐標(biāo)為wt。

由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,正振幅Im出現(xiàn)在 ，即 時(shí)，正振幅出現(xiàn)點(diǎn)確定以后，根據(jù)正弦信號(hào)的波形特征，便可畫出i(t)的波形，如圖5.1-3所示。圖5.1-3例5.1-1用圖【例5.1-2】電壓波形如圖5.1-4所示。

(1)試求振幅、周期和角頻率。

(2)寫出u(t)的表達(dá)式。圖5.1-4例5.1-2用圖

解(1)由波形圖可知：

振幅為

Um=100V

周期為

T=22.5-2.5=20ms(兩峰值之間的時(shí)間間隔)

由式(5.1-4)得角頻率為(2)要寫出正弦信號(hào)u(t)的表達(dá)式，必須知道其三要素：振幅、角頻率和初相。由波形圖可知，從坐標(biāo)原點(diǎn)(即時(shí)間起點(diǎn))到第一個(gè)正最大值所需時(shí)間為2.5ms，那么初相的絕對(duì)值為相位差

設(shè)兩個(gè)同頻率正弦信號(hào)為

u1(t)=U1mcos(wt+y1)

u2(t)=U2mcos(wt+y2)

它們的相位分別為wt+y1和wt+y2，它們的相位之差為

j12=(wt+y1)－(wt+y2)=y1－y2 (5.1-5)

如果相位差j12=y1－j2>0，那么表示u1(t)超前于u2(t)，或u2(t)滯后于u1(t)，如圖5.1-5(a)所示。

如果相位差j12=y1－y2<0，那么表示u1(t)滯后于u2(t)，或u2(t)超前于u1(t)，如圖5.1-5(b)所示。圖5.1-5兩同頻率正弦信號(hào)超前或滯后示意圖在對(duì)同頻率正弦信號(hào)相位差的計(jì)算中，有時(shí)會(huì)遇到以下三種特殊情況，如圖5.1-6所示。圖5.1-6同頻正弦信號(hào)同相、正交和反相示意圖【例5.1-3】?jī)赏l正弦電壓分別為

試求它們的相位差，并指出其超前、滯后相位關(guān)系。

解u1(t)是cos函數(shù)，u2(t)是sin函數(shù)，計(jì)算相位差時(shí)應(yīng)將它們化為同名函數(shù)。

將u2(t)化為cos函數(shù)形式由u1(t)和u2(t)函數(shù)的表達(dá)式知初相

那么相位差【例5.1-4】同頻正弦電流分別為

試畫出它們的波形圖，并計(jì)算相位差。解由i1(t)和i2(t)的函數(shù)表達(dá)式可畫出其波形圖如圖5.1-7所示。

由i1(t)和i2(t)的表達(dá)式可知初相

那么相位差圖5.1-7例5.1-4用圖周期信號(hào)的有效值

周期信號(hào)的有效值是這樣定義的：設(shè)有兩個(gè)阻值相等的電阻R，分別通以周期電流i(t)和直流電流I(見圖5.1-8)，如果在相同時(shí)間T內(nèi)，兩個(gè)電阻消耗的能量相等，那么稱直流電流I為周期電流i(t)的有效值。圖5.1-8有效值定義用圖由圖(a)可知，電阻R在時(shí)間T內(nèi)消耗的能量為

由圖(b)可知，電阻R在時(shí)間T內(nèi)消耗的能量為

假設(shè)兩能量相等那么有

類似地，同樣可給出周期性電壓u(t)的有效值為

正弦信號(hào)是周期信號(hào)，將正弦電流信號(hào)i(t)=Imcos(wt+y)代入式(5.1-6)中，可得正弦電流信號(hào)的有效值為(5.1-7)(5.1-6)即

同理可得正弦電壓信號(hào)的有效值(5.1-8)(5.1-9) 5.2正弦信號(hào)的相量表示

復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)

設(shè)A為一復(fù)數(shù)，a和b分別為其實(shí)部和虛部，那么復(fù)數(shù)A可表示為

A=a+jb (5.2-1)

復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上可用一帶箭頭的線段表示，如圖5.2-1所示。圖5.2-1復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上的表示由圖5.2-1可得復(fù)數(shù)A的另一表示形式

A=|A|cosq+j|A|sinq (5.2-2)

式(5.2-2)稱為復(fù)數(shù)A的三角形式表示。

根據(jù)歐拉公式

ejq=cosq+jsinq

式(5.2-2)可寫為

A=|A|ejq

(5.2-3)

式(5.2-3)稱為復(fù)數(shù)A的指數(shù)形式表示。在工程上常把式(5.2-3)簡(jiǎn)寫為

A=|A|∠q (5.2-4)

【例5.2-1】將復(fù)數(shù)A=3+j4化為指數(shù)表示形式。

解

復(fù)數(shù)A的指數(shù)表示形式為

A=|A|∠q=5∠53.1°

【例5.2-2】將復(fù)數(shù)A=10∠－30°化為直角坐標(biāo)形式。

解

用相量表示正弦信號(hào)

設(shè)正弦電壓為

u(t)=Umcos(wt+uu)

顯然可把它看做一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，寫為

式中(5.2-5)(5.2-6)(電壓振幅相量)相量是一個(gè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上可用一條帶箭頭的線段表示，如圖5.2-2所示。相量在復(fù)平面上的圖示稱為相量圖。圖5.2-2相量圖式(5.2-5)中，ejwt稱為旋轉(zhuǎn)因子，相量與ejwt的乘積 是時(shí)間t的復(fù)函數(shù)，在復(fù)平面上可用一個(gè)以恒定角速度w逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的相量表示，如圖5.2-3所示。圖5.2-3旋轉(zhuǎn)相量及其在實(shí)軸上的投影同樣地，正弦電流可表示為

式中(5.2-7)(電流振幅相量)【例5.2-3】正弦電流i1(t)和i2(t)分別為

i1(t)=5cos(314t+60°)A

i2(t)=－10sin(314t+120°)A

試寫出i1(t)和i2(t)對(duì)應(yīng)的振幅相量和有效值相量，并作相量圖。

解用相量表示正弦信號(hào)時(shí)，該正弦信號(hào)必須是cos函數(shù)形式。將i2(t)化為cos函數(shù)形式

i2(t)=－10sin(314t+120°)=10cos(314t+210°)

=10cos(314t－150°)A于是振幅相量

有效值相量

振幅相量圖如圖5.2-4所示。圖5.2-4例5.2-3用圖【例5.2-4】試計(jì)算4cos2t+3sin2t。

解先將同頻正弦信號(hào)用相應(yīng)的相量表示，用相量進(jìn)行運(yùn)算(即復(fù)數(shù)運(yùn)算)，最后再將相量的運(yùn)算結(jié)果復(fù)原為正弦信號(hào)，這樣就避開了繁瑣的三角函數(shù)運(yùn)算，使運(yùn)算過程得以大大簡(jiǎn)化。

將正弦信號(hào)化為統(tǒng)一的cos函數(shù)形式：

4cos2t+3sin2t=4cos2t+3cos(2t－90°)

寫出對(duì)應(yīng)相量，作相量運(yùn)算:

4∠0°+3∠－90°=4cos0°+j4sin0°+3cos(－90°) +j3sin(－90°)=4－j3=5∠－36.9°

于是，得

4cos2t+3sin2t=5cos(2t－36.9°)5.3三種根本電路元件VAR的相量形式

1.電阻元件

圖5.3-1(a)所示為電阻元件的時(shí)域模型，uR和iR取關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)通過電阻的正弦電流

iR(t)=Imcos(wt+yi)

根據(jù)歐姆定律，電阻兩端的電壓

uR(t)=RiR(t)=RImcos(wt+yi)=Umcos(wt+yu)

上式說明：電阻上的電壓uR與電流iR是同頻率、同相位的正弦信號(hào)。它們的振幅值和相位具有如下關(guān)系

又因

所以

由式(5.3-2)可畫出電阻元件的相量模型如圖5.3-1(b)所示。電阻元件的電壓相量與電流相量的相位關(guān)系如圖5.3-1(c)所示。(5.3-2)(5.3-1)圖5.3-1電阻元件的時(shí)域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖

2.電感元件

圖5.3-2(a)所示為電感元件的時(shí)域模型，uL和iL取關(guān)聯(lián)參考方向，有

由上式可見，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件的電壓uL(t)與電流iL(t)是同頻率的正弦信號(hào)，且電壓超前于電流90°，它們的振幅與相位關(guān)系是(5.3-3)(5.3-4)又因

所以

由式(5.3-5)可畫出電感元件的相量模型如圖5.3-2(b)所示。電感電壓和電流的相量圖如圖5.3-2(c)所示。(5.3-5)圖5.3-2電感元件的時(shí)域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖3.電容元件

圖5.3-3(a)所示為電容元件的時(shí)域模型，uC和iC取關(guān)聯(lián)參考方向，有

由上式可見：在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容元件的電流iC(t)與電壓uC(t)是同頻率的正弦信號(hào)，且電流超前于電壓90°，或電壓滯后于電流90°。它們的振幅與相位關(guān)系是(5.3-7)(5.3-6)一般將上式寫為

由式(5.3-8)可畫出電容元件的相量模型如圖5.3-3(b)所示。電容電壓和電流的相量圖如圖5.3-3(c)所示。(5.3-8)圖5.3-3電容元件的時(shí)域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖 5.4基爾霍夫定律的相量形式

和電路的相量模型

基爾霍夫定律的相量形式

基爾霍夫定律指出：對(duì)于集總參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任意時(shí)刻，流出或流入該節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和恒等于零。KCL的時(shí)域表達(dá)式為

∑i(t)=0

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，所有的鼓勵(lì)和響應(yīng)都是同一頻率的正弦信號(hào)，設(shè)

i(t)=Imcos(wt+y)

那么

要使上式對(duì)任意時(shí)間t都成立(等于零)，必有

同理可得，基爾霍夫電壓定律KVL的相量形式為(5.4-2)(5.4-1)電路的相量模型

前面我們討論了正弦信號(hào)的相量表示，三種根本電路元件R、L、C的電壓相量與電流相量的關(guān)系，以及基爾霍夫定律的相量形式，它們是建立電路相量模型和列寫電路相量方程的根本依據(jù)。下面以一個(gè)簡(jiǎn)單例子來說明電路相量模型的建立。

圖5.4-1(a)所示為一正弦穩(wěn)態(tài)電路。圖5.4-1電路的時(shí)域模型和相量模型【例5.4-1】正弦穩(wěn)態(tài)電路的時(shí)域模型如圖5.4-2(a)所示，試畫出其相量模型。

解將時(shí)域模型中的正弦量is(t)、i1(t)、uC(t)用它們對(duì)應(yīng)的相量 表示，根本電路元件R、L、C用它們的相量模型代替，得圖5.4-2(b)所示的電路的相量模型。圖5.4-2例5.4-1用圖 5.5阻抗與導(dǎo)納

阻抗

圖5.5-1(a)所示為無源二端正弦穩(wěn)態(tài)電路。

在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，定義無源二端電路端口的電壓相量與電流相量的比值為該無源二端電路的阻抗，記為Z，即

其等效電路模型如圖5.5-1(b)所示。阻抗的單位為歐姆(Ω)。式(5.5-1)亦可寫為(5.5-2)(5.5-1)圖5.5-1無源二端正弦穩(wěn)態(tài)電路及其阻抗阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，將 代入式(5.5-1)，有

在5.4節(jié)中我們討論了三個(gè)根本電路元件VAR的相量形式，在關(guān)聯(lián)參考方向下，它們是(5.5-3)

將其與阻抗定義式(5.5-2)對(duì)照，可得電阻、電感、電容的阻抗分別為(5.5-4)導(dǎo)納

仍以圖5.5-1(a)所示的無源二端正弦穩(wěn)態(tài)電路為例。

在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，定義無源二端電路端口的電流相量與電壓相量的比值為該無源二端電路的導(dǎo)納，記為Y，即

顯然，導(dǎo)納等于阻抗的倒數(shù)，導(dǎo)納的單位為西門子(S)。式(5.5-5)也可寫為(5.5-6)(5.5-5)導(dǎo)納也是一個(gè)復(fù)數(shù)，將 代入式(5.5-5)，有

由三個(gè)根本電路元件電阻、電感和電容的VAR的相量形式，可得它們的導(dǎo)納分別為(5.5-7)(5.5-8)無源單口正弦穩(wěn)態(tài)電路的等效阻抗與導(dǎo)納計(jì)算

1.阻抗串聯(lián)

設(shè)有n個(gè)阻抗串聯(lián)，如圖5.5-2(a)所示，它可等效為圖5.5-2(b)，其等效阻抗為

式(5.5-9)說明,阻抗串聯(lián)的等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和。因此，但凡串聯(lián)的元件，用阻抗來表征較為方便。

分壓公式為(5.5-9)(5.5-10)圖5.5-2阻抗的串聯(lián)及等效2.導(dǎo)納并聯(lián)

設(shè)有n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)，如圖5.5-3(a)所示，它可等效為圖(b)，其等效導(dǎo)納為

式(5.5-11)說明，導(dǎo)納并聯(lián)的等效導(dǎo)納等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和。因此，但凡并聯(lián)的元件，用導(dǎo)納來表征較為方便。

分流公式為(5.5-12)(5.5-11)圖5.5-3導(dǎo)納的并聯(lián)及等效在兩個(gè)元件并聯(lián)時(shí)，如圖5.5-4所示，由式(5.5-11)和式(5.5-12)不難得出端口的等效阻抗為

分流公式為(5.5-14)(5.5-13)圖5.5-4兩個(gè)阻抗并聯(lián)3.無源單口正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的等效化簡(jiǎn)

【例5.5-1】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.5-5(a)所示，w=3rad/s，求ab端口的輸入阻抗，并指出電壓與電流的相位關(guān)系。圖5.5-5例5.5-1用圖

解首先作出其相量模型，如圖5.5-5(b)所示。仿照電阻混聯(lián)電路的處理方法，可得ab端口的輸入阻抗為

【例5.5-2】正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型如圖5.5-6所示，求ab端的輸入阻抗。圖5.5-6例5.5-2用圖解這是一個(gè)含受控源的無源單口電路。根據(jù)電阻電路局部的處理方法，用外加鼓勵(lì)法求該單口電路的輸入阻抗。在端口施加一源電壓，求該端口電流，找出端口的VAR式。沿端口所在回路列KVL方程

結(jié)合式(1)、(2)，有(1)(2)將上式代入式(2)中，得

于是ab端口的輸入阻抗 5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析

相量分析法的一般步驟

用相量分析法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的步驟可歸納如下：

(1)由電路的時(shí)域模型畫出對(duì)應(yīng)的相量模型。

(2)仿照電阻電路的分析方法建立相量形式的電路方程，求出響應(yīng)相量。

(3)將求得的響應(yīng)相量變換成對(duì)應(yīng)的時(shí)域瞬時(shí)值表達(dá)式。

下面舉例說明相量分析法的應(yīng)用。

【例5.6-1】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-1(a)所示，鼓勵(lì) ，求電流i(t)。圖5.6-1例5.6-1用圖

解(1)由電路的時(shí)域模型畫出電路的相量模型，如圖5.6-1(b)所示。圖(b)中：

(2)仿照電阻電路的分析方法建立相量形式的電路方程并求解。由圖(b)可知(3)寫出電流相量對(duì)應(yīng)的時(shí)域瞬時(shí)值表達(dá)式：

【例5.6-2】正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型如圖5.6-2所示， ，求支路電流 。圖5.6-2例5.6-2用圖

解由阻抗分流公式(5.5-14)，得

或由KCL相量形式，可求得為電路的根本分析法和電路定理在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的應(yīng)用

1.節(jié)點(diǎn)分析法和回路分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

對(duì)于具有3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)和3個(gè)獨(dú)立回路(網(wǎng)孔)的正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路，可得到相量形式的節(jié)點(diǎn)方程和回路方程為(5.6-1)

【例5.6-3】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-3(a)所示， ， ，試用節(jié)點(diǎn)分析法求電流i(t)。(5.6-2)圖5.6-3例5.6-3用圖【例5.6-4】圖5.6-4(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中， ， ，求電流i(t)。圖5.6-4例5.6-4用圖2.電路定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

在電阻電路局部曾講過，一個(gè)線性含源單口電路N，就其端口來看，可等效為一個(gè)理想電壓源串聯(lián)電阻支路(或理想電流源并聯(lián)電阻組合)，即戴維南等效電路(或諾頓等效電路)。類似地，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，也可將一個(gè)線性含源單口電路N的相量模型等效為戴維南等效電路(或諾頓等效電路)相量模型，如圖5.6-5所示。圖5.6-5線性含源單口電路等效相量模型【例5.6-5】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-6所示，求電流。圖5.6-6例5.6-5用圖(一)

解將待求電流支路移去，求余下含源單口電路的戴維南等效電路。

(1)求端口開路電壓。作對(duì)應(yīng)電路如圖5.6-7(a)所示。圖5.6-7例5.6-5用圖(二)【例5.6-6】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-8所示， ， ，求電流iR(t)。圖5.6-8例5.6-6用圖(一)解此題為多頻鼓勵(lì)源作用下求取正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)?？蓱?yīng)用疊加原理，按同一頻率鼓勵(lì)源分別單獨(dú)作用于電路，求出各分響應(yīng)瞬時(shí)值，再將分響應(yīng)瞬時(shí)值疊加即為各鼓勵(lì)源共同作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。

(1) 電流源單獨(dú)作用(w=5rad/s)，對(duì)應(yīng)電路相量模型如圖5.6-9(a)所示，此時(shí)us(t)=0，視作短路。圖5.6-9例5.6-6用圖(二)正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量圖分析

【例5.6-7】RC并聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-10(a)所示，I=2.5A，I2=2A。

(1)求電流I1；

(2)假設(shè)電壓u(t)=20cos105tV，求電容C的值。圖5.6-10例5.6-7用圖【例5.6-8】正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型如圖5.6-11(a)所示，是一個(gè)測(cè)量電感線圈電感和電阻的電路。R1=50Ω，用電壓表測(cè)得電壓U=110V，U1=60V，U2=70V，

電路的工作頻率f=50Hz，求電感線圈的電感Lx和電阻Rx。圖5.6-11例5.6-8用圖 5.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

單口網(wǎng)絡(luò)的功率

正弦穩(wěn)態(tài)單口網(wǎng)絡(luò)N如圖5.7-1所示，設(shè)端口電壓u(t)和端口電流i(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其表達(dá)式分別為

u(t)=Umcos(wt+yu)

i(t)=Imcos(wt+yi)

1.單口網(wǎng)絡(luò)N的瞬時(shí)功率

p(t)=u(t)i(t)=UmImcos(wt+yu)cos(wt+yi)

根據(jù)三角公式圖5.7-1單口網(wǎng)絡(luò)p(t)可寫為

式中，j=yu－yi。電壓u(t)、電流i(t)和瞬時(shí)功率p(t)的波形如圖5.7-2所示。(5.7-1)圖5.7-2單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率波形

2.單口網(wǎng)絡(luò)N的平均功率

瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，記為P，其計(jì)算式為

將式(5.7-1)代入上式，得(5.7-2)如果單口網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)不含獨(dú)立源(無源單口網(wǎng)絡(luò))，那么可以等效為一個(gè)阻抗Z，此時(shí)式(5.7-2)可寫為

P=UIcosjZ (5.7-3)

設(shè)無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗為

即

將上式代入式(5.7-3)，有

P=I2R (5.7-4)同理，由無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納表達(dá)式可導(dǎo)出

P=U2G (5.7-5)

由平均功率計(jì)算式(5.7-3)、式(5.7-4)、式(5.7-5)可見，無源單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率只與電阻有關(guān)，與電抗無關(guān)。也就是說，一個(gè)無源單口網(wǎng)絡(luò)N的平均功率實(shí)質(zhì)上就是該網(wǎng)絡(luò)中各電阻所消耗的平均功率之和，即

P=∑PR (5.7-6)

3.單口網(wǎng)絡(luò)N的視在功率和功率因數(shù)

單口網(wǎng)絡(luò)N端口的電壓有效值與電流有效值的乘積稱為視在功率，用S表示，即

S=UI (5.7-7)

視在功率的單位為伏·安(V·A)，以區(qū)別于平均功率。

由平均功率表達(dá)式(5.7-2)與視在功率表達(dá)式(5.7-7)可看出，平均功率是在視在功率上打了一個(gè)折扣，這個(gè)折扣就是cosj，稱為功率因數(shù)，用l表示，即(5.7-8)4.單口網(wǎng)絡(luò)N的無功功率

式(5.7-1)可寫為

上式說明，瞬時(shí)功率是由兩個(gè)分量組成的，這兩個(gè)分量的波形分別如圖5.7-3所示。圖5.7-3瞬時(shí)功率的兩個(gè)分量第二個(gè)分量pX是以角頻率2w在橫軸上下波動(dòng)的交變分量，其正、負(fù)半周與橫軸之間構(gòu)成的面積分別代表等量的吸收能量和釋放能量，其平均值為零，是一個(gè)在平均意義上不能作功的無功分量。這個(gè)分量反映了網(wǎng)絡(luò)與外部電路之間能量往返交換的速率，我們把它的最大值定義為無功功率，用Q表示，即

Q=UIsinj (5.7-9)

如果單口網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)不含獨(dú)立源，那么式(5.7-9)可寫為

Q=UIsinjZ (5.7-10)類似于平均功率計(jì)算式(5.7-4)和式(5.7-5)的推導(dǎo)，同樣可根據(jù)阻抗和導(dǎo)納定義式導(dǎo)出無源單口網(wǎng)絡(luò)無功功率的另外兩個(gè)計(jì)算式：

Q=I2X=－U2B (5.7-11)

由以上分析可見，無源單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率只與電抗有關(guān)，與電阻無關(guān)。也就是說，一個(gè)無源單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率等于網(wǎng)絡(luò)中各電抗的無功功率之和，即

Q=∑Qk (5.7-12)5.單口網(wǎng)絡(luò)N的復(fù)功率

視在功率、有功功率、無功功率和功率因數(shù)角可以用一個(gè)復(fù)數(shù)來統(tǒng)一表達(dá)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為復(fù)功率。

設(shè)單口網(wǎng)絡(luò)端口的電壓相量和電流相量為

且電流相量的共軛

那么定義端口的電壓相量與電流相量的共軛的乘積為復(fù)功率，用表示，即(5.7-13)

將式(5.7-13)寫成復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)形式，有

由式(5.7-13)和式(5.7-14)可見，復(fù)功率的模就是視在功率，復(fù)功率的輻角就是功率因數(shù)角，故復(fù)功率的單位與視在功率的單位相同，都是伏·安(V·A)，復(fù)功率的實(shí)部為有功功率P，虛部為無功功率Q，從而可將它們之間的關(guān)系用圖5.7-4

所示的功率三角形表示。由功率三角形可得以下關(guān)系式：(5.7-15)

(5.7-14)

圖5.7-4功率三角形前面討論有功功率和無功功率時(shí)，導(dǎo)出式(5.7-6)和式(5.7-12)，現(xiàn)結(jié)合式(5.7-14)有

但

【例5.7-1】電路如圖5.7-5所示，輸入端電壓相量

，求該無源二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率P、無功功率Q、視在功率S和功率因數(shù)l。(5.7-16)

圖5.7-5例5.7-1用圖【例5.7-2】電路如圖5.7-6所示， ，

求網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率PN。圖5.7-6例5.7-2用圖6.功率因數(shù)的提高

可以從兩個(gè)方面來提高負(fù)載的功率因數(shù)：一方面是改進(jìn)用電設(shè)備的功率因數(shù)；另一方面，由于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常家用電氣設(shè)備絕大多數(shù)為感性負(fù)載。

【例5.7-3】圖5.7-7(a)為一日光燈電路模型，工作頻率為50Hz，端電壓U=200V，日光燈功率為40W，額定電流為0.4A。

(1)試求并電容前電路的功率因數(shù)cosjZ、電感L和電阻R。

(2)假設(shè)要將功率因數(shù)提高到0.95，試求需要在RL支路兩端并聯(lián)的電容C的值。圖5.7-7例5.7-3用圖最大功率傳輸定理

電路如圖5.7-8所示，圖中電壓源串聯(lián)內(nèi)阻抗Zs是實(shí)際電壓源模型，可認(rèn)為是任何一個(gè)線性含源二端電路N的戴維南等效電路，ZL是負(fù)載阻抗。

設(shè)電源內(nèi)阻抗為

Zs=Rs+jXs

負(fù)載阻抗為

ZL=RL+jXL

由圖5.7-8可知，電路中的電流為圖5.7-8求最大功率傳輸用圖于是，電流的有效值為

由此得負(fù)載吸收的平均功率為(5.7-17)

由式(5.7-17)可見，XL只出現(xiàn)在分母中，顯然對(duì)任意RL值，當(dāng)Xs+XL=0(即XL=－Xs)時(shí)分母最小，此即為所求的XL值。在XL選定后，功率變成

為確定使上式中PL為最大的RL值，將PL對(duì)RL求導(dǎo)數(shù)并令其為零，即(5.7-18)

上式要成立，分子必為零，所以有

(Rs+RL)2－2RL(Rs+RL)=0

解得

RL=Rs

因此，在電源給定的情況下，負(fù)載ZL獲得最大功率的條件是：

即(5.7-19)

將式(5.7-19)代入式(5.7-17)，得在共軛匹配條件下負(fù)載獲得的最大功率為

在某些情況下，負(fù)載阻抗的實(shí)部和虛部以相同的比例增大或減小，即阻抗角保持不變，只改變阻抗的模|ZL|?？梢宰C明，在這種情況下，負(fù)載獲得最大功率的條件是：

|ZL|=|Zs| (5.7-21)(5.7-20)

【例5.7-4】電路如圖5.7-9(a)所示，ZL為負(fù)載阻抗，試求在以下情況下負(fù)載ZL獲得的最大功率。

(1)負(fù)載ZL的實(shí)部和虛部均可調(diào)節(jié)。

(2)負(fù)載為純電阻RL。圖5.7-9例5.7-4用圖 5.8三相電路

三相電源

1.對(duì)稱三相電源

三相電源是由三相發(fā)電機(jī)獲得的。圖5.8-1(a)所示是三相發(fā)電機(jī)的示意圖，它主要由轉(zhuǎn)子和定子組成。圖中，AX、BY、CZ是完全相同而彼此相隔120°的三個(gè)定子繞組，每個(gè)繞組稱為一相，分別稱為A相、B相和C相，其中A、B、C稱為始端，X、Y、Z稱為末端，定子是固定不動(dòng)的，它一般由硅鋼片疊成。三相發(fā)動(dòng)機(jī)中部的磁極是轉(zhuǎn)動(dòng)的，稱為轉(zhuǎn)子。圖5.8-1三相發(fā)電機(jī)示意圖和三相電源模型當(dāng)轉(zhuǎn)子在汽輪機(jī)或水輪機(jī)驅(qū)動(dòng)下以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，三個(gè)定子繞組中便會(huì)感應(yīng)出隨時(shí)間按正弦方式變化的電壓。這三個(gè)電壓的頻率相同，幅值相等，相位彼此相差120°，相當(dāng)于三個(gè)獨(dú)立的正弦電壓源，稱為對(duì)稱三相電壓源，其模型如圖5.8-1(b)所示，它們的瞬時(shí)值表達(dá)式分別為(5.8-1)

式中，Upm為每相電壓的振幅，Up為每相電壓的有效值。由式(5.8-1)可寫出對(duì)稱三相電壓的相量分別為

圖5.8-2是對(duì)稱三相電壓源的波形圖和相量圖。

顯然，對(duì)稱三相電壓源的瞬時(shí)值之和為零，即

uA+uB+uC=0 (5.8-3)

由圖5.8-2(b)可知，它們的相量之和為零，即(5.8-2)

(5.8-4)

圖5.8-2對(duì)稱三相電壓源的波形圖和相量圖圖5.8-3對(duì)稱三相電源的Y連接及相量圖圖5.8-3中，端線與中線之間的電壓(即每相電源的電壓)稱為相電壓，用uA、uB和uC表示;兩條端線之間的電壓稱為線電壓，用uAB、uBC和uCA表示。由圖5.8-3(a)可見，線電壓與相電壓有如下關(guān)系：

用相量表示為(5.8-5)

將式(5.8-2)代入式(5.8-5)中，得相電壓和線電壓的相量圖如圖5.8-3(b)所示。由圖5.8-3(b)可得線電壓的有效值為

同理可得

由此可見，假設(shè)相電壓是對(duì)稱的，那么線電壓也是對(duì)稱的，而且線電壓的有效值是相電壓的有效值的倍。設(shè)線電壓的有效值用表示，那么(5.8-6)

根據(jù)相量圖(見圖5.8-3(b))不難看出，對(duì)稱三相線電壓相量與相電壓相量之間的相位關(guān)系如下：

2)三角形連接(△連接)

將對(duì)稱三相電源的始端與末端依次相連，即X與B、Y與C、Z與A相連形成一個(gè)閉合回路，由三個(gè)連接點(diǎn)引出三根端線向外供電，就構(gòu)成了△連接，如圖5.8-4(a)所示。這種接法是沒有中線的。(5.8-7)

圖5.8-4對(duì)稱三相電源的△連接及相量圖在△連接中，由于每相電源直接連接在兩端線之間，所以線電壓就等于相電壓，即

也即

Ul=Up (5.8-9)(5.8-8)

對(duì)稱三相電路的計(jì)算

對(duì)稱三相電路是由對(duì)稱三相電源連接對(duì)稱三相負(fù)載組成的電路。所謂對(duì)稱三相負(fù)載，是指三個(gè)負(fù)載的參數(shù)完全相同，它們也可接成星形和三角形，如圖5.8-5所示。圖5.8-5對(duì)稱三相負(fù)載的連接首先分析圖5.8-6所示的對(duì)稱三相電路，稱為三相四線制Y-Y供電系統(tǒng)。圖中，NN′為中線;ZN為中線阻抗；端線電流稱為線電流，其有效值用Il表示；流過各相負(fù)載的電流稱為相電流，其有效值用Ip表示。顯然，在負(fù)載為Y連接時(shí)，相電流等于線電流，即

Ip=Il (5.8-10)圖5.8-6三相四線制Y-Y供電系統(tǒng)設(shè)每相負(fù)載阻抗Z=|Z|∠jZ，由于圖5.8-6所示的電路只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)N和N′，因此采用節(jié)點(diǎn)分析法分析較為方便。選N為參考節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)N′到N的電壓為UN′N，列節(jié)點(diǎn)方程為

即由于電源對(duì)稱，即

所以有

UN′N=0 (5.8-11)由圖5.8-6可知，各線電流(也即各相電流)為

根據(jù)KCL，中線電流為(5.8-13)

(5.8-12)

每相負(fù)載的平均功率為

Pp=UpIpcosjZ (5.8-14)

在負(fù)載作Y形連接時(shí)，有

Il=Ip

于是：

三相負(fù)載總的平均功率為

P=3Pp=3UpIpcosjZ (5.8-15)【例5.8-1】對(duì)稱三相三線制電路如圖5.8-7所示。對(duì)稱三相電源的相電壓為220V，對(duì)稱三相負(fù)載阻抗Z=10∠45°W，求三相負(fù)載的電流和消耗的總功率。圖5.8-7例5.8-1用圖下面我們分析另一類典型的三相電路，即三角形連接的對(duì)稱三相負(fù)載與對(duì)稱三相電源組成的電路。三相電源可能是Y形連接，也可能是△連接。當(dāng)只要求分析負(fù)載的電流和電壓時(shí)，只需知道線電壓即可。圖5.8-8(a)所示是△連接的對(duì)稱三相負(fù)載。圖5.8-8△連接的對(duì)稱三相負(fù)載及其相量圖圖5.8-8中，、、是線電流，其有效值用Il表示；

、、是負(fù)載的相電流，其有效值用Ip表示。

設(shè)線電壓

由圖5.8-8(a)可知，各相負(fù)載的相電壓等于線電壓，于是得負(fù)載的相電流為(5.8-16)

線電流為(5.8-17)

(5.8-18)

由式(5.8-16)、式(5.8-17)和式(5.8-18)繪出電壓、電流的相量圖如圖5.8-8(b)所示。由圖5.8-8(b)可見，假設(shè)線電壓是對(duì)稱的，那么相電流和線電流也是對(duì)稱的。根據(jù)此相量圖可得線電流的有效值為

同理可得

線電流的有效值是相電流有效值的倍，即(5.8-19)

此外，由圖5.8-8(b)可得各線電流與相電流的相位關(guān)系為

三相負(fù)載總的平均功率為

三相負(fù)載的瞬時(shí)功率等于各相負(fù)載瞬時(shí)功率之和，即

p=pA+pB+pC=3UpIpcosjZ=3Pp=P=定值

(5.8-22)(5.8-20)

(5.8-21)

【例5.8-2】對(duì)稱三相電路如圖5.8-9所示。對(duì)稱三相電源 ，負(fù)載阻抗Z=10∠45°Ω，求電路中的電壓、電流和三相功率。圖5.8-9例5.8-2用圖 習(xí)題5

5-1試畫出以下正弦電壓或電流的波形，并指出其振幅、頻率和初相角。(1)(2)(3)；；。5-2兩同頻率的正弦電流分別為

i1(t)=100sin(wt－90°)A

i2(t)=60cos(wt+30°)A

試在同一坐標(biāo)系中畫出它們的波形，計(jì)算它們的相位差，并指出它們的超前、滯后關(guān)系。

5-3正弦電流的有效值為2A，周期為20ms，初相為，試寫出其瞬時(shí)值表達(dá)式。

5-4兩同頻率的正弦電壓分別為試在同一坐標(biāo)系中畫出它們的波形，計(jì)算它們的相位差，并指出其超前、滯后關(guān)系。

5-5試寫出以下正弦信號(hào)對(duì)應(yīng)的振幅相量和有效值相量，并作相量圖。

(1)u(t)=110cos(314t+45°)V;

(2)u(t)=－100sin(314t－60°)V;

(3)i(t)=－30cos(314t+30°)A。5-6寫出以下相量代表的正弦信號(hào)的瞬時(shí)值表達(dá)式(設(shè)角頻率為w)：(1)；(2)；(3)；(4)。5-7根據(jù)以下各式給出的電流瞬時(shí)值表達(dá)式i1(t)和i2(t)，試?yán)孟嗔坑?jì)算i(t)=i1(t)+i2(t)，并作相量圖。

(1)i1(t)=4cos2tA，i2(t)=3sin2tA；

(2)i1(t)=10cos(wt+36.86°)A，i2(t)=6cos(wt+120°)A;

(3)

5-8以下各式哪些是錯(cuò)的？哪些是對(duì)的？5-9元件A的正弦端電壓u(t)=12cos(103t+30°)V，求流過元件A的正弦電流i(t)。

(1)A為R=4Ω的電阻；

(2)A為L(zhǎng)=20mH的電感；

(3)A為C=1μF的電容。5-10元件A為電阻、電感或電容，假設(shè)其端電壓和電流如以下情況所示，試確定A為何種元件，并求其參數(shù)。

(1)u(t)=1600cos(628t+20°)V，i(t)=4cos(628t－70°)A;

(2)u(t)=70cos(314t+30°)V，i(t)=7sin(314t+120°)A;

(3)u(t)=250cos(200t+50°)V，i(t)=0.5cos(200t+140°)A;

(4)u(t)=3800sin(400t+60°)V，i(t)=4cos(400t+60°)A。

5-11正弦穩(wěn)態(tài)電路如題5-11圖所示， ， ，試畫出其相量模型。題5-11圖5-12試求題5-12圖所示各電路ab端的阻抗或?qū)Ъ{。題5-12圖5-13求題5-13圖所示電路ab端的輸入阻抗Zab。

(1)ω=0；

(2)ω=1rad/s。題5-13圖5-14電路如題5-14圖所示，A是電抗元件(L或C)，u(t)=10cos(2t+45°)V， ，試求元件A的參數(shù)值。題5-14圖5-15題5-15圖所示的電路中，A是動(dòng)態(tài)元件(L或C)， ，

試求元件R和A的參數(shù)值。題5-15圖5-16正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型如題5-16圖所示，試求ab端的輸入阻抗Zab。題5-16圖5-17電路的相量模型如題5-17圖所示，試用分壓關(guān)系求電壓。題5-17圖5-18電路的相量模型如題5-18圖所示，試用分流公式求支路電流和，并畫出相量圖。題5-18圖5-19題5-19圖所示的電路中，

求電壓uC(t)。題5-19圖5-20電路的相量模型如題5-20圖所示， ，求電流、、和，并畫出相量圖。題5-20圖5-21電路的相量模型如題5-21圖所示，試用節(jié)點(diǎn)分析法求A、B