陜西省西安市碑林區(qū)工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共“10小題，每小題3分，計(jì)30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．本題主要考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．【詳解】解：A、，含有兩個(gè)未知數(shù)，不屬于一元二次方程；B、不是整式方程，不屬于一元二次方程；C、次數(shù)為3，不屬于一元二次方程；D、屬于一元二次方程；故選：D2.下列式子正確的是（

）A.若，則x＜y B.若bx＞by，則x＞yC.若，則x=y D.若mx=my，則x=y【答案】C【解析】【詳解】A選項(xiàng)錯(cuò)誤，，若a＞0，則x＜y；若a＜0，則x＞y；B選項(xiàng)錯(cuò)誤，bx＞by，若b＞0，則x＞y；若b＜0，則x＜y；C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)m=0時(shí)，x可能不等于y.故選C.點(diǎn)睛：遇到等式或者不等式判斷正誤，可以采用取特殊值代入的方法.3.下列四幅圖形中，表示兩棵小樹在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)陽(yáng)光下的影子的圖形可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行投影的定義判斷即可．本題考查平行投影，解題的關(guān)鍵是掌握平行投影的定義．【詳解】解：這里屬于平行投影，兩棵小樹在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)陽(yáng)光下的影子的圖形可能是：故選：A．4.如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，．故選：B．5.如圖所示，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形，使四邊形為正方形，應(yīng)添加的條件分別是（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】直接利用三角形中位線性質(zhì)以及正方形的判定方法分析得出答案．【詳解】解：使四邊形為正方形，應(yīng)添加的條件分別是且．理由：∵順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形，∴，，，，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是菱形，∵，∴，∵，，∵，∴，∴菱形是正方形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接，構(gòu)造平行線．6.如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，若菱形的面積為64，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)菱形面積公式求出，進(jìn)而求出，由此即可利用勾股定理求出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，，∴，∵菱形的面積為64，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等等，正確根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．7.三個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形按圖所示的方式重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則重疊部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，由正方形的性質(zhì)可得，證明可得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：連接，，由題意知：四邊形，四邊形都是正方形，，，，，，在和中，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過(guò)四、五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由元降到了元，設(shè)平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)原售價(jià)降低率）得出兩次降價(jià)后的價(jià)格，然后即可列出方程．【詳解】解：設(shè)平均每月降低的百分率為x，依題意得：，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵在于理解題意列出方程.9.若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A. B.且 C.且 D.【答案】B【解析】【分析】把分式方程化為整式方程，根據(jù)解為正數(shù)，得出的取值范圍．此題主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解題的關(guān)鍵，注意要排除產(chǎn)生增根時(shí)的值．【詳解】解：去分母得：，整理得：，解得：，關(guān)于的方程的解為正數(shù)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得：，的取值范圍是：且．故選：B．10.如圖，在四邊形中，，射線平分，于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至，若，，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D..4【答案】A【解析】【分析】如圖③中，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．先證明，得出是的中點(diǎn)，然后得，結(jié)合勾股定理得，運(yùn)用等腰三角形的三線合一得是的中點(diǎn)，證明是的中位線，即求解即可．本題考查四邊形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，應(yīng)用三角形中位線定理解決問(wèn)題．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．

∵射線平分，于點(diǎn)∴∵∴∴即是的中點(diǎn)由題意，，，，，∵，∴∵∴∴∵∴是的中點(diǎn)（等腰三角形的三線合一）∵是的中點(diǎn)∴是的中位線∴故選：A二、填空題（共6小題，每小題3分，計(jì)18分）11.因式分解：_________________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式再運(yùn)用平方差公式來(lái)進(jìn)行因式分解，據(jù)此即可作答．詳解】解：故答案為：12.如圖所示為一幾何體的三種視圖（單位：）通過(guò)我們所學(xué)的有關(guān)三視圖的知識(shí)及圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，得這個(gè)幾何體的側(cè)面積是_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了求幾何體的側(cè)面積以及幾何體的三視圖，先由三視圖得出這個(gè)幾何體是正三棱柱，結(jié)合側(cè)面積等于三個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，即，據(jù)此作答．【詳解】解：依題意，這個(gè)幾何體是正三棱柱∴∴這個(gè)幾何體的側(cè)面積是故答案為：13.在一個(gè)不透明的中裝材料、大小完全相同顏色不同的若干個(gè)紅球和3個(gè)白球．搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，記錄顏色后放回袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，估計(jì)袋中紅球有__________個(gè)．【答案】９【解析】【分析】由題意，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，摸到白球的頻率來(lái)估計(jì)概率為，結(jié)合實(shí)際白球數(shù)量計(jì)算得到總數(shù)量，然后計(jì)算紅球數(shù)量即可．【詳解】解：由題意知，摸到白球的概率為：所以總數(shù)量為：（個(gè)）紅球數(shù)量為：（個(gè)）故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查用頻率來(lái)估計(jì)概率的求法，根據(jù)題意找見對(duì)應(yīng)量是解題關(guān)鍵．14.如圖，在長(zhǎng)為28米，寬為10米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分），余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為243平方米，設(shè)道路的寬為x米，則________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式及道路的鋪設(shè)方式，可得出鋪設(shè)草坪的面積等于長(zhǎng)為米、寬米的矩形面積，結(jié)合草坪的面積為243平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，道路的寬為米，鋪設(shè)草坪的面積等于長(zhǎng)為米、寬米的矩形面積．草坪的面積為243平方米，．∴．∴（舍去）故答案為：115.如果關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是________．【答案】m≤3【解析】【分析】分類討論：當(dāng)m-2=0時(shí)，-2x+l=0有實(shí)數(shù)根；當(dāng)m-2≠0時(shí)，根據(jù)根的判別式得出b2-4ac≥0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程（m-2）x2-2x+l=0有實(shí)數(shù)根，∴當(dāng)m-2=0時(shí)，m=2時(shí)，-2x+l=0有實(shí)數(shù)根；當(dāng)m-2≠0時(shí)，b2-4ac=（-2）2-4（m-2）=-4m+12≥0，解得m≤3．由以上可知m≤3．故答案為m≤3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根；注意分類討論思想探討．16.如圖，，矩形的頂點(diǎn)A、B分別在邊、上，當(dāng)B在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在上運(yùn)動(dòng)，矩形的形狀保持不變，其中，．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是__________________．【答案】【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，矩形的性質(zhì)，三角形不等式，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：取線段的中點(diǎn)E，連接，∵，矩形，，，∴，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)O共線時(shí)，的長(zhǎng)度最大．∴點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離，故答案為：．三、解答題（共7小題，共52分．解答應(yīng)寫出過(guò)程）17.計(jì)算：（1）解不等式組：并寫出該不等式組的整數(shù)解；（2）解方程①（用公式法）：；②解方程：．【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）分別解出每個(gè)不等式，再取共同解集，即可作答．（2）①先求出，再運(yùn)用求根公式代入數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．②先把等號(hào)右邊整理，得，再移項(xiàng)，然后提公因式，令每個(gè)因式為0，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【小問(wèn)1詳解】解：由得由得∴【小問(wèn)2詳解】解：①∴∴②∴∴18.先化簡(jiǎn)，再求值：其中m是方程的根．【答案】，【解析】【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將方程變形得到，整體代入計(jì)算即可求出值．此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，已知式子的值，求代數(shù)式的值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，是方程的根，；，原式．19.如圖，是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)裝置，裝置A，B的轉(zhuǎn)盤分別被分成四、三個(gè)面積相等的扇形，裝置A上的數(shù)字分別是1，2，3，4，裝置B上的數(shù)字分別是3，4，5，這兩個(gè)裝置除了表面數(shù)字不同外，其它構(gòu)造完全相同．現(xiàn)在分別同時(shí)用力轉(zhuǎn)動(dòng)A，B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤．（1）A轉(zhuǎn)盤指向偶數(shù)的概率是．（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求A、B轉(zhuǎn)盤指向的數(shù)字之和不小于6的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．【小問(wèn)1詳解】解：A轉(zhuǎn)盤指向偶數(shù)概率是．故答案：；【小問(wèn)2詳解】列表如下：1234345674567856789由上圖可得出所有等可能的結(jié)果有12種，其中A、B轉(zhuǎn)盤指向的數(shù)字之和不小于6的情況有9種，則A、B轉(zhuǎn)盤指向的數(shù)字之和不小于6的概率是．【點(diǎn)睛】此題考查了用樹狀圖或列表法求概率，還用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，熟練掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．20.如圖，已知E、F分別為平行四邊形的對(duì)邊、上的點(diǎn)，且，于M，于N，交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）與互相平分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，，得出，，由證明，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；（2）連接、，求出，，得出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出即可．小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∵于M，于N，∴，在和中，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】證明：連接、，如圖所示：∵，，∴，∴，又∵由（1）得，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，平行線的判定，解此題的關(guān)鍵是推出四邊形是平行四邊形．構(gòu)造出平行四邊形對(duì)一部分學(xué)生是難點(diǎn)．21.已知關(guān)于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0．（1）求證：無(wú)論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x22=3x1x2，求實(shí)數(shù)p的值．【答案】（1）詳見解析；（2）p=±1．【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再計(jì)算根的判別式，判定△＞0，即可得到總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得兩根和與兩根積，再把變形，化成和與乘積的形式，代入計(jì)算，得到一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】證明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，∵無(wú)論p取何值時(shí)，總有4p2≥0，∴1+4p2＞0，∴無(wú)論p取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，∴52=5（6﹣p2），∴p=±1．22.直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元．為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過(guò)（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？【答案】（1）50元；（2）八折【解析】【分析】（1）設(shè)每件的售價(jià)定為x元，根據(jù)利潤(rùn)不變，列出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)該商品至少打m折，根據(jù)銷售價(jià)格不超過(guò)（1）中的售價(jià)列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】解：（1）設(shè)每件的售價(jià)定為x元，則有：，解得：(舍)，答：每件售價(jià)為50元；（2）設(shè)該商品至少打m折，根據(jù)題意得：，解得：，答：至少打八折銷售價(jià)格不超過(guò)50元．【點(diǎn)睛】本題主要考查