備考2024屆高考數(shù)學(xué)-模型 方法 技巧 專(zhuān)題1-6 比大小

專(zhuān)題1-6比大?。ū环磸?fù)考察的題型）常用放縮：，，放縮結(jié)論補(bǔ)充1：不等式，放縮結(jié)論補(bǔ)充2：對(duì)于，該不等式在R上恒成立，若令，則有，當(dāng)時(shí)，不等式兩邊同乘，則有，最后得出放縮結(jié)論補(bǔ)充3：對(duì)于，令，則有，可得.麥克勞林公式（泰勒展開(kāi)）：附：常用公式附：常用公式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）2022·新高考1卷T71．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故2022·年高考全國(guó)甲卷（理）T122．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)楫?dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時(shí)，，及此時(shí)，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開(kāi)設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見(jiàn)思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．2022·年全國(guó)甲卷（文）T123．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．2021年新高考II卷T7——找中間數(shù)4．已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.2021年高考乙卷（理）T125．設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，2020全國(guó)Ⅰ卷（理）T126．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗裕?，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.2020全國(guó)Ⅱ卷·文12·理117．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無(wú)法確定.2020年全國(guó)Ⅲ卷（文）T108．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將,改寫(xiě)為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?2020年全國(guó)Ⅲ卷（理）T129．已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，重點(diǎn)題型·歸類(lèi)精講重點(diǎn)題型·歸類(lèi)精講題型一找中間數(shù)，作差，作圖2023屆廣東高三寶安中學(xué)等七校第一次聯(lián)考第7題——比大小(找中間數(shù))已知a=，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a【答案】A，b=，c=【變式】已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）【解答】，，比較b，c取對(duì)數(shù)：，，同除得：，令，易知在上遞增，故，則.2023屆廣東普通中學(xué)第一次聯(lián)合考試（深高級(jí)出卷）第3題——比大小已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】①判斷、法一：分離1再結(jié)合圖像法二：結(jié)論，當(dāng)時(shí)，證明：，故<；而法三：糖水不等式②比較與c法一：令，則，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，顯然，又，所以，即法二：要證，即證令，求導(dǎo)可得，故已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解：，，，則，，的大小關(guān)系為2023屆·武漢市五月調(diào)研已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.【答案】A

【分析】本題考查指對(duì)的轉(zhuǎn)化和利用中間值比較大小，為較難題.【解答】解：令，則，可得，

，，，

，，

，又，可知若，則( )A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B，，，則題型二構(gòu)造一個(gè)函數(shù)比大小2023屆廣東省六校第一次聯(lián)考第7題——構(gòu)造函數(shù)比大小設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】b是函數(shù)的結(jié)構(gòu)，而c可以變?yōu)?，易知，故，而，則故選A2023屆廣東衡水大聯(lián)考高三第一次月考第8題——比大?。?gòu)造函數(shù)）設(shè)，，，則( )A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，，，故，故在上遞增，即，而，故巴蜀中學(xué)2023屆高考適應(yīng)性月考卷（一）第8題——構(gòu)造函數(shù)比大小已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞減，得到，進(jìn)而得到，即可得到答案.【詳解】令,則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.而所以在上有.所以在上單調(diào)遞減.所以，即故.故.江蘇省南京市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)考試第8題：構(gòu)造函數(shù)比比大小已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】a，c結(jié)構(gòu)為，對(duì)于這樣的結(jié)構(gòu)，可以用減1后再比大小，結(jié)合圖像可得比較b的大小時(shí)，結(jié)合換底公式：，，考慮到a，b分母相同，所以?xún)?yōu)先比較a，b的大小∵ ∴猜想a>b接下來(lái)證明，法一：構(gòu)造函數(shù)令，，，故在，則法二：放縮當(dāng)時(shí)，由故已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.【詳解】令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，則，故，單調(diào)遞減，又，故，即，而，則，即，所以2024屆·無(wú)錫市北高級(jí)中學(xué)10月階段檢測(cè)若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)a、b、c同時(shí)取自然對(duì)數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】對(duì)a、b、c同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得，即，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，故實(shí)數(shù)中值最大的是.【答案】【分析】由指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的單調(diào)性可知這4個(gè)數(shù)的最大數(shù)在與之中，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性可得，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，由指?shù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，冪函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故這4個(gè)數(shù)的最大數(shù)在與之中，令，所以，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

得，即．由，得，所以；這4個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是.設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，再根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，比較的大小即可.【詳解】因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，所?構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則.因?yàn)?，所以，所以，即，故已知是自然?duì)數(shù)的底數(shù)，是圓周率，下列不等式中，，，，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，由此判斷不等式正確的個(gè)數(shù).【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間上，遞增；在區(qū)間上遞減，由于，所以，所以：，，，所以不等式正確的個(gè)數(shù)為.，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而比較，，的大小，若有兩個(gè)解，則，，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)確定，進(jìn)而得到，即可判斷a、c的大小，即可知正確選項(xiàng).【詳解】令，則，，，而且，即時(shí)單調(diào)增，時(shí)單調(diào)減，又，∴，.若有兩個(gè)解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時(shí)，，故，綜上：.題型三放縮比大小2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三起點(diǎn)考試第7題——比大小（放縮，泰勒）.已知，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B思路一：放縮結(jié)合不等式，觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)都含有，把換成，自變量在內(nèi)，可以得出的大小，故.思路二：泰勒展開(kāi)2023屆深圳外國(guó)語(yǔ)高三第一次月考第8題——比大小(放縮)已知，，則( ) 【答案】D，，故，，故2023屆湖北7校(圓創(chuàng))聯(lián)考(襄陽(yáng)五中出卷)——第16題比大小設(shè)，，則a，b，c的大小關(guān)系是_________.【答案】思路一：放縮由，故，對(duì)于法一：∵∴法二：思路二：構(gòu)造函數(shù)對(duì)于：令，，在上遞增，對(duì)于：，令，，故在上遞增，所以，故.2023屆高三廣州全市第一次測(cè)試(廣州教科院出題)——第8題比大小設(shè)，，，，則( )A．a(chǎn)＜b＜c＜d B．a(chǎn)＜c＜b＜d C．a(chǎn)＜b＜d＜c D．a(chǎn)＜c＜d＜b【答案】B思路一：放縮由不等式，可得a＜c＜b而，即，即當(dāng)x=0.1時(shí)，，，故a＜c＜b＜d【補(bǔ)充】——當(dāng)x<1時(shí)，有，故思路二：泰勒展開(kāi)故a＜c＜b＜d2024屆·重慶市第一中學(xué)校高三上9月月考已知，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)建，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得，，賦值即可代入判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)是，等號(hào)成立，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以，可得：當(dāng)時(shí)，則，且，所以，令，則，即；又因?yàn)?，則，可得，則，令，則，可得，即；綜上所述：設(shè)，則（）A. B.C. D. 【答案】C設(shè)則A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】A已知，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B則下列關(guān)系正確的是( )A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】C已知，，則( ) 【答案】D，，故，，故設(shè)，，，，則( )A．a(chǎn)＜b＜c＜d B．a(chǎn)＜c＜b＜d C．a(chǎn)＜b＜d＜c D．a(chǎn)＜c＜d＜b【答案】B【分析】由不等式，可得a＜c＜b而，即，即當(dāng)x=0.1時(shí)，，，故a＜c＜b＜d已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，進(jìn)而比較大小，再根據(jù)正余弦函數(shù)性質(zhì)比較大小即可得答案.【詳解】解：當(dāng)，又，所以，故記，所以，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，即，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，所以.題型四構(gòu)造多個(gè)函數(shù)比大小，泰勒展開(kāi)重慶南開(kāi)中學(xué)高2023屆6月測(cè)試第7題——比大小已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A方法一：放縮方法二：構(gòu)造函數(shù)a，b可以同構(gòu)：，令，或者，令——這個(gè)函數(shù)更好由單調(diào)性來(lái)比較大小∵，∴由，所以猜想證明可以考慮指數(shù)化或者取對(duì)數(shù)指數(shù)化；，，而，故.【詳解】解：，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，綜上所述.設(shè)，，．則（

）A． B． C． D