河北省易縣中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

PAGE19-河北省易縣中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題（含解析）一?選擇題1.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，而男女生視力狀況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】【詳解】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點(diǎn)：分層抽樣．2.已知雙曲線（）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】，漸近線方程是，故選C,3.是橢圓的焦距為2的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】依據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，橢圓中，，，所以，即，所以橢圓的焦距為2；若，則，，則，當(dāng)橢圓的焦距為2時(shí)，，則，則，故是橢圓的焦距為2的充分不必要條件.故選：A4.為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,設(shè)出,由PF=4以及拋物線的定義列式可得,即,再代入拋物線方程可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再由三角形的面積公式可得.【詳解】由可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為,如圖:過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,依據(jù)拋物線的定義可知PM=PF=4,設(shè),則,解得,將代入可得,所以△的面積為=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的幾何性質(zhì),定義以及三角形的面積公式,關(guān)鍵是①利用拋物線的定義求P點(diǎn)的坐標(biāo);②利用OF為三角形的底,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的肯定值為高計(jì)算三角形的面積.屬中檔題.5.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo)可得,將代入可求得,則,,再求出和,利用點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程.【詳解】由題,因?yàn)?所以,所以,則,所以,,則,,所以曲線在點(diǎn)的切線方程為,即,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查在曲線上一點(diǎn)處的切線方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.6.有五條線段長(zhǎng)度分別為，從這5條線段中任取3條，則所取3條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出全部的基本領(lǐng)件，并找出事務(wù)“所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”所包含的基本領(lǐng)件，再利用古典概型的概率公式計(jì)算出所求事務(wù)的概率．【詳解】全部的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、、，共個(gè)，其中，事務(wù)“所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”所包含的基本領(lǐng)件有：、、，共個(gè)，由古典概型的概率公式可知，事務(wù)“所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是列舉基本領(lǐng)件，常見的列舉方法有：枚舉法和樹狀圖法，列舉時(shí)應(yīng)遵循不重不漏的基本原則，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題．7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圖象得出的單調(diào)性即可.【詳解】由圖可知在，上遞減，在，上遞增，故故選：B8.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，得到，，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，可得，可得，，所以切線方程為，即.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題9.已知曲線，則曲線（）A.關(guān)于軸對(duì)稱 B.關(guān)于軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線軸對(duì)稱【答案】ABCD【解析】【分析】依據(jù)；；；都成立得到答案.【詳解】，則；；成立故曲線關(guān)于軸對(duì)稱；關(guān)于軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；取曲線任一點(diǎn)關(guān)于直線軸對(duì)稱點(diǎn)為成立.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的對(duì)稱問題，意在考查學(xué)生對(duì)于軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱的理解和應(yīng)用.10.（多選題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】分別對(duì)選項(xiàng)所給函數(shù)進(jìn)行推斷即可.【詳解】由奇函數(shù)定義可知，A、B、D均為奇函數(shù)，C為偶函數(shù)，所以解除C；對(duì)于選項(xiàng)A，，所以在上單調(diào)遞增；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以在上單調(diào)遞增；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以在上單調(diào)遞增.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道基礎(chǔ)題.11.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.雙曲線漸近線方程為 B.以為直徑的圓的方程為C.到雙曲線的一條漸近線的距離為1 D.的面積為1【答案】ACD【解析】【分析】求出雙曲線C漸近線方程，焦點(diǎn)，的面積即可推斷.【詳解】A.代入雙曲線漸近線方程得,正確.B.由題意得，則以為直徑的圓的方程不是，錯(cuò)誤.C.，漸近線方程為，距離為1，正確.D.由題意得,設(shè)，根據(jù)，解得，，則的面積為1.正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】考查雙曲線的漸近線方程，焦點(diǎn)，以及雙曲線上的幾何性質(zhì).題目涉及學(xué)問點(diǎn)較為廣泛.12.如圖，點(diǎn)P在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積不變B.與平面所成的角大小不變C.D.【答案】ABD【解析】【分析】【詳解】正方體中，則有平面，∴到平面的距離不變，面積不變，因此三棱錐的體積不變，A正確；同理平面平面，從而可得平面平面，∴可得平面，與平面所成的角大小始終為0，B正確；當(dāng)與重合時(shí)，與所成角為，不垂直，C錯(cuò)；由正方體中，由，得平面，可得，同理，從而可證平面，必有，D正確；故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查空間的直線與平面間的平行與垂直的關(guān)系，駕馭正方體的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考查了學(xué)生的空間想象實(shí)力，邏輯推理實(shí)力．三?填空題13.已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回來(lái)直線，求得的值.【詳解】依據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回來(lái)方程知回來(lái)方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回來(lái)直線求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回來(lái)直線恒過，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.14.已知是空間任一點(diǎn)，四點(diǎn)滿意任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則________.【答案】-1【解析】【分析】利用空間向量基本定理，及向量共面的條件，即可得到結(jié)論．【詳解】∵2x?3y?4z?，∴2x?3y?4z?，∵O是空間隨意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿意任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案為﹣1【點(diǎn)睛】本題考查空間向量基本定理，考查向量共面的條件，屬于基礎(chǔ)題．15.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，則到的距離為_________.【答案】【解析】【分析】將到的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再依據(jù)等體積法可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以到的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)閭?cè)棱底面，所以，，因?yàn)?，即，因?yàn)椋云矫?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由得，所以，得，所以到的距離為.故答案為：16.已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則此橢圓離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，再由點(diǎn)P在橢圓上得出，聯(lián)立兩個(gè)方程得出，再由化簡(jiǎn)得出，結(jié)合離心率的公式即可求解.【詳解】設(shè)，則①將代入①式解得又，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率的取值范圍，屬于中檔題.三?解答題17.設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿意，；命題：實(shí)數(shù)滿意.（1）若，為真命題，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若，化簡(jiǎn)，解得,由為真命題，即都為真命題，得不等式組，求解即可；（2）原條件等價(jià)于是的充分不必要條件，得必有且，化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由已知，當(dāng)為真命題時(shí)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)為真命題時(shí)：.若，有，則當(dāng)為真命題，有，得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是區(qū)間(2,3).（2）若是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，則必有且，得，即a的取值范圍是區(qū)間.【點(diǎn)睛】充分條件、必要條件的三種判定方法:（1）定義法：依據(jù)進(jìn)行推斷，適用于定義、定理推斷性問題；（2）集合法：依據(jù)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題；（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：依據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行推斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題.18.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成果(單位：分)的頻率分布直方圖如下：(1)求頻率直方圖中a的值；(2)分別求出成果落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù)；(3)從成果在[50,70)的學(xué)生中人選2人，求這2人的成果都在[60,70)中的概率．【答案】(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3【解析】【詳解】（1）據(jù)直方圖知組距=10，由，解得（2）成果落在中的學(xué)生人數(shù)為成果落在中的學(xué)生人數(shù)為（3）記成果落在中的2人為，成果落在中的3人為、、，則從成果在的學(xué)生中人選2人的基本領(lǐng)件共有10個(gè)：其中2人的成果都在中的基本領(lǐng)伯有3個(gè)：故所求概率為19.如圖，四棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線與底面所成的角為45°，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，為的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）依據(jù)平面，得到，，.然后依據(jù)已知條件計(jì)算，利用勾股定理逆定理證得，然后利用線面垂直的判定定理證得平面，從而證得.（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿意題意，則，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量探究求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，平面，平面，∴，，.∵直線與底面所成的角為45°，∴.∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.∴.又，∴.在中，，，∴.在中，，，，∴，∴.又，平面.又平面，∴.（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿意題意，，由（1）可知，所以，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示，則，，，，，設(shè)，則，∴，得，，，∴，，設(shè)平面得法向量為，則有，可得令，則，，∴是平面的一個(gè)法向量.易知為平面的一個(gè)法向量.∴，故即解得，故在棱上存在點(diǎn)且為的中點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與證明，考察利用空間向量坐標(biāo)方法求解存在性問題，關(guān)鍵是經(jīng)過證明判定后，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并留意仔細(xì)計(jì)算空間平面的法向量，還要嫻熟駕馭線段上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法.20.已知函數(shù)．（1）探討單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；(2).【解析】【分析】（1），對(duì)分和兩種狀況探討即可；（2）有三個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說(shuō)明即可.【詳解】（1）由題，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個(gè)零點(diǎn)，則，且即，解得，當(dāng)時(shí)，，且，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，同理，，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可知的取值范圍為.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力、數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道中檔題.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)列，直線系，，若直線與直線交于點(diǎn).（1）求證：點(diǎn)在拋物線上，并求出該拋物線的方程；（2）設(shè)，為（1）中拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，且，證明：直線經(jīng)過定點(diǎn).【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與直線，消去可得結(jié)果；（2）設(shè)，，利用得，利用點(diǎn)斜式得到直線的方程并化簡(jiǎn)得：，從而可得直線經(jīng)過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè).依題意，得直線的方程為，由，消去，得，即，∴點(diǎn)在拋物線上.（2）設(shè)，，則有，，∴，.由，得，∴.又直線的方程為，即，即.由，得，代入，得.故直線經(jīng)過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問，利用得，再將直線的方程求出并化為是解題關(guān)鍵.22.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為.（1）求，的值；（2）若對(duì)隨意的，恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1），；（2）3【解析