2024-2025學年高中數(shù)學第一講不等式和絕對值不等式測評練習含解析新人教A版選修4-5

PAGEPAGE6第一講測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.若1a＜1b<0,給出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2.其中正確的有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析由已知得b<a<0,所以a+b<ab,|a|<|b|,>0,從而>2,因此①④正確.答案B2.設集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A?B,則實數(shù)a,b必滿意()A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3解析由題意可得集合A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A?B,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b≤-3或a-b≥3,因此選D.答案D3.對于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集為()A.[0,+∞) B.(0,2)C.[0,2) D.(0,+∞)解析如圖,|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,當點P在點A右側(cè)時|PB|-|PC|>8,故x≥0.答案A4.下列函數(shù)中,最小值為2的是()A.y=x+B.y=x2-2x+4C.y=x2+D.y=解析在函數(shù)y=x2+中,x2>0,所以y=x2+≥2=2,當且僅當x=±1時,函數(shù)的最小值為2.答案C5.若不等式|ax+2|<4的解集為(-1,3),則實數(shù)a等于()A.8 B.2 C.-4 D.-2解析由已知得-4<ax+2<4,則-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集為(-1,3),故a=-2.答案D6.“a=2”是“關(guān)于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的()A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件解析因為|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空得a>1,故必要性不成立.又當a=2時,不等式|x+1|+|x+2|<a有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“關(guān)于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的充分不必要條件,故選C.答案C7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要條件是|x+1|<b(a,b>0),則a,b之間的關(guān)系是()A.b≥ B.b<C.a≤ D.a>解析由|f(x)-1|<a可得<x<,由|x+1|<b可得-b-1<x<b-1,由題意可得解得b≥.答案A8.若x∈(0,π),則y=sincos2的最大值等于()A. B.C. D.解析y2=sin2cos4·2sin2·cos2·cos2,所以y≤,故所求最大值為.答案B9.若|x-1|<3,|y+2|<1,則|2x+3y|的取值范圍是()A.[0,5) B.[0,13)C.[0,9) D.[0,4)解析|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.答案B10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是區(qū)間(-3,3)的子集,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,7) B.(-∞,7]C.(-∞,5) D.(-∞,5]解析不等式x2<|x-1|+a等價于x2-|x-1|-a<0,設f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是區(qū)間(-3,3)的子集,則解得a≤5,故選D.答案D11.(2024陜西寶雞一模)在正項等比數(shù)列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16,則的最小值等于()A.1 B. C. D.解析設正項等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由a2024=a2024+2a2024,得q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍去).又因為aman=16,即·2m+n-2=16,所以m+n=6.因此(m+n)=,當且僅當m=4,n=2時,等號成立.故選B.答案B12.導學號26394017設0<x<1,a,b都為大于零的常數(shù),若≥m恒成立,則m的最大值是()A.(a-b)2 B.(a+b)2C.a2b2 D.a2解析[x+(1-x)]=a2+b2+≥a2+b2+2ab=(a+b)2,當且僅當時,等號成立.由≥m恒成立,可知m≤(a+b)2.故m的最大值是(a+b)2.答案B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若x>-2,且x≠0,則的取值范圍是.

解析因為x>-2,且x≠0,所以當x>0時,有>0;當-2<x<0時,有<-,綜上,的取值范圍是∪(0,+∞).答案∪(0,+∞)14.(2024山東淄博模擬)已知f(x)=lg,若f(a)+f(b)=0,則的最小值是.

解析f(x)=lg,f(a)+f(b)=0,∴l(xiāng)g+lg=0,∴=1,整理,得a+b=2(a,b∈(0,2)),則(a+b)=≥.當且僅當a=2b=時,等號成立.答案15.若關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a+對隨意的實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

解析由肯定值不等式的意義可得a+≤4,所以≤0,解得a的取值范圍為(-∞,0)∪{2}.答案(-∞,0)∪{2}16.“蛟龍?zhí)枴陛d人深潛器是我國首臺自主設計、自主集成研制的作業(yè)型深海載人潛水器,“蛟龍?zhí)枴奔偃绺鶕?jù)預料下潛的深度s(單位:米)與時間t(單位:分)之間的關(guān)系滿意關(guān)系式為s=0.2t2-14t+2000,則平均速度的最小值是米/分.

解析平均速度為v(t)==0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26,當且僅當0.2t=,即t=100時,取得最小值.答案26三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)設不等式|x-2|<a(a∈N+)的解集為A,且∈A,?A.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因為∈A,且?A,所以<a,且≥a,解得<a≤.又因為a∈N+,所以a=1.(2)因為|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,當且僅當(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2時取到等號.所以f(x)的最小值為3.18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R+,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R+,且=m,求證a+2b+3c≥9.(1)解因為f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等價于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m},又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],所以m=1.(2)證明由(1)知=1,又a,b,c∈R+,所以a+2b+3c=(a+2b+3c)=3+=3+≥3+2+2+2=3+6=9(當且僅當a=2b=3c時,等號成立).故a+2b+3c≥9.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當a=2時,求不等式f(x)≤6的解集;(2)設函數(shù)g(x)=|2x-1|.當x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍.解(1)當a=2時,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.(2)當x∈R時,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當x=時等號成立,所以當x∈R時,f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3.①(分類探討)當a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解.當a>1時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范圍是[2,+∞).20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求證f(ab)>|a|f.(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=當x<-3時,由-2x-2≥8,解得x≤-5;當-3≤x≤1時,不成立;當x>1時,由2x+2≥8,解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集為{x|x≤-5或x≥3}.(2)證明因為f(ab)=|ab-1|,|a|f=|a|=|a-b|,又|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故所證不等式成立.21.導學號26394018(本小題滿分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.(1)求的最小值;(2)求證3≤x2+y2+z2<9.(1)解因為x+y+z≥3>0,>0,所以(x+y+z)≥9,即≥3,當且僅當x=y=z=1時,取最小值3.(2)證明因為x2+y2+z2=≥==3(當且僅當x=y=z=1時,等號成立).又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,所以3≤x2+y2+z2<9(當且僅當x=y=z=1時,等號成立).22.導學號26394019(本小題滿分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若a+b=1,對?a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范圍.解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,當x<-1時,由f(x)>x得1-2x+x+1>x,解得x<-1;當-1≤x≤時,由f(x)>