人教A版（2019）必修第二冊8.5空間直線、平面的平行(學(xué)案)(原卷版+解析)

8.5空間直線、平面的平行（學(xué)案）知識自測知識自測一．基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性二．空間等角定理1.定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ)2.推廣：如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.三．直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言四．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言五．平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))?α∥β圖形語言六．兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言知識簡用知識簡用題型一直線與直線平行【例1-1】（2022廣東）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【例1-2】（2022湖北）必修第二冊實(shí)戰(zhàn)演練第八章課時練習(xí)26直線與直線平行）在正六棱柱任意兩個頂點(diǎn)的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型二等角定理【例2-1】（2022北京）不在同一個平面內(nèi)的兩個三角形的三組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個三角形（

）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【例2-2】（2022上海）給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型三直線與平面平行【例3-1】（2022陜西）如圖，在長方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【例3-2】（2022河南）正方體的邊長為1，為正方形的中心．(1)求證：直線平面；(2)求三棱錐的體積．【例3-3】（2022山西）如圖，在五面體P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱PD上，滿足．求證：平面EMC．題型四平面與平面平行【例4-1】（2022云南）如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)，Q分別為的中點(diǎn)，求證：平面平面．【例4-2】（2022西藏）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)．求證：平面平面．題型五平行的判斷定理與性質(zhì)的辨析【例5-1】（2022甘肅?。┫铝心鼙ＷC直線與平面平行的條件是（

）A．，B．，，C．?，，，，且D．，，，【例5-2】（2022吉林）對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（

）A．如果，，m、n是異面直線，那么B．如果，，m、n是異面直線，那么n與相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果，，m、n共面，那么【例5-3】（2022安徽）在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．38.5空間直線、平面的平行（學(xué)案）知識自測知識自測一．基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言直線a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性二．空間等角定理1.定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)符號語言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補(bǔ)2.推廣：如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.三．直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言四．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言五．平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α，,a∩b＝A，,a∥β，b∥β))?α∥β圖形語言六．兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言知識簡用知識簡用題型一直線與直線平行【例1-1】（2022廣東）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【答案】C【解析】如圖，連接AD1，CD1，AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故選：C【例1-2】（2022湖北）必修第二冊實(shí)戰(zhàn)演練第八章課時練習(xí)26直線與直線平行）在正六棱柱任意兩個頂點(diǎn)的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】連接CF，C1F1，與棱AB平行的有，共有5條，故選：D.題型二等角定理【例2-1】（2022北京）不在同一個平面內(nèi)的兩個三角形的三組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個三角形（

）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【答案】C【解析】根據(jù)等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似或全等.故選：C【例2-2】（2022上海）給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】對于①，這兩個角也可能互補(bǔ)，故①錯誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故③錯誤．所以正確的命題有1個．故選：B題型三直線與平面平行【例3-1】（2022陜西）如圖，在長方體中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，又平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD.（2）因?yàn)椋制矫?，所以三棱錐的高為，∴.【例3-2】（2022河南）正方體的邊長為1，為正方形的中心．(1)求證：直線平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面．（2）解：在棱長為的正方體中，可得平面，且，其中的面積為，又由，即三棱錐的體積．【例3-3】（2022山西）如圖，在五面體P-ABCD中，，底面ABCD是菱形，且，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱PD上，滿足．求證：平面EMC．【答案】證明見解析【解析】證明：連接BD，交MC于F，連接EF，在菱形ABCD中，三角形BMF與三角形FCD相似，且相似比為1:2，所以，故，而BP是平面EMC外的直線，平面EMC，所以平面EMC．題型四平面與平面平行【例4-1】（2022云南）如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)，Q分別為的中點(diǎn)，求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】因?yàn)镋是的中點(diǎn)，Q是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．又因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面．【?-2】（2022西藏）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)．求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，從而，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)椋裕郑运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，，平面，所以平面平面．題型五平行的判斷定理與性質(zhì)的辨析【例5-1】（2022甘肅?。┫铝心鼙ＷC直線與平面平行的條件是（

）A．，B．，，C．?，，，，且D．，，，【答案】B【解析】A中，直線可能在平面內(nèi)，A錯誤；B中，，，，根據(jù)線面平行的判定，可知，B正確；C中，，若點(diǎn)在內(nèi)，則直線在平面內(nèi)，C錯誤.D中，直線可能在平面內(nèi)，D錯誤.故選：B【例5-2】（2022吉林）對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（

）A．如果，，m、n是異面直線，那么B．如果，，m、n是異面直線，那么n與相交C．如果，，m、n共面，那么D．如果，，m、n共面，那么【答案】C【解析】對于A，如果，，m、n是異面直線，則或與相交，故A錯；對于B，如果，，m、n是異面直線，那么n與相交或平行，故B錯；對于C，如果，，m、n共面，由線面平行的性質(zhì)定理，可得，故C對；對于D，如果，，m、n共面，則或相交，故D錯故選：C【例5-3】（2022安徽）在下列判斷兩個平面與平