高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略考點(diǎn)29等差數(shù)列及其n項(xiàng)和12種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點(diǎn)29等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和12種常見考法歸類考點(diǎn)一利用定義求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)二利用Sn與an的關(guān)系求等差數(shù)列通項(xiàng)公式考點(diǎn)三等差數(shù)列的基本運(yùn)算（一）等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算（三）與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合考點(diǎn)四等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)五等差數(shù)列的性質(zhì)（一）等差中項(xiàng)的應(yīng)用（二）利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算及應(yīng)用考點(diǎn)六等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（一）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中項(xiàng)性質(zhì)（二）等差數(shù)列片段和的性質(zhì)（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值問題（四）兩個等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題（五）等差數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的和考點(diǎn)七含絕對值的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和考點(diǎn)八含取整符號的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和考點(diǎn)九等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題考點(diǎn)十等差數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題考點(diǎn)十一等差數(shù)列的綜合問題考點(diǎn)十二等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1.等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).注：在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，表示為an＋1＝eq\f(an＋an＋2,2)，等價于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.(2)等差中項(xiàng)：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是.該式又可以寫成an＝nd＋(a1－d)，這表明d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，且d>0時是增函數(shù)，d<0時是減函數(shù).(2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．(3)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.該式又可以寫成Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，這表明d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n(2)數(shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，則{an}從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列.(3)當(dāng)d≠0時，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.4.等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時，一般要運(yùn)用方程思想．（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個基本元素．（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意運(yùn)用整體代換思想，使運(yùn)算更加便捷．5.解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題.(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解．(3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用．6.特殊設(shè)法:三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為；四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為.這對已知和,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.7.由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟(1)令n＝1，則a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，則an＝Sn－Sn－1.(3)驗(yàn)證a1與an的關(guān)系：①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，②若a1不適合an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))8.等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數(shù)列，若(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法對于數(shù)列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法(為常數(shù),)?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判斷問題前n項(xiàng)和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和)?{an}是等差數(shù)列是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.9.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)①等差數(shù)列{an}中，若公差為d，則an＝am＋(n－m)d，當(dāng)n≠m時，d＝eq\f(an－am,n－m).②在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.注：出現(xiàn)等項(xiàng)時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；若求項(xiàng)，可由轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．③若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列.④若數(shù)列{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數(shù))也是等差數(shù)列，且公差為λ1d1＋λ2d2.⑤數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則從數(shù)列中抽出項(xiàng)ak，ak＋m，ak＋2m，…，組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，公差為md.⑥如果兩個等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．(2)與和有關(guān)的性質(zhì)①等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，公差為n2d；②記S偶為所有偶數(shù)項(xiàng)的和，S奇為所有奇數(shù)項(xiàng)的和.若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N*)，則S2n－1＝(2n－1)an(an是數(shù)列的中間項(xiàng))，S奇－S偶＝an，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n－1,n)(S奇≠0).③若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．④兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)(bn≠0，T2n－1≠0).⑤等差數(shù)列中，,則,.⑥等差數(shù)列中，若，則．⑦等差數(shù)列中，若，則．注：等差數(shù)列中，若，則10.其他衍生等差數(shù)列．若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．11.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)鄰項(xiàng)變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．①若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最大值.在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；②若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值.若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．③若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值.(2)函數(shù)法：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：(為常數(shù),)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；(3)數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法：求最大項(xiàng)的方法：設(shè)為最大項(xiàng)，則有；求最小項(xiàng)的方法：設(shè)為最小項(xiàng)，則有.只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可.(4)在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.12.與等差數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的問題（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理．但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”．13.關(guān)于奇偶項(xiàng)問題的討論對于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．14.對于含絕對值的數(shù)列求和問題由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計(jì)算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負(fù)的項(xiàng)（2）在對進(jìn)行討論，當(dāng)時，，當(dāng)時，15.等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用(1)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識解決相關(guān)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．考點(diǎn)一利用定義求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.2．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）已知數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．1434．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則______．6．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．7．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考點(diǎn)二利用Sn與an的關(guān)系求等差數(shù)列通項(xiàng)公式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則__________.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．2n C． D．10．（2023·海南海口·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．11．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃?shù)列的前項(xiàng)和為，，若該數(shù)列滿足，則下列命題中錯誤的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．是等比數(shù)列12．（2023·遼寧鐵嶺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C．3 D．213．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)錯誤的是（）A． B． C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．－5050考點(diǎn)三等差數(shù)列的基本運(yùn)算（一）等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用14．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）等差數(shù)列滿足，，則（

）A．5 B．7 C．9 D．1115．（2023·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．916．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算17．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．8118．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．7219．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則等于（

）A．10 B．15 C．20 D．2520．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和（

）A．200 B．300 C．210 D．32021．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則滿足的正整數(shù)n的最大值為（

）A．16 B．15 C．12 D．822．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．（三）與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合23．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“某賈人擅營，月入益功疾（注：從第2個月開始，每月比前一月多入相同量的銅錢），第3月入25貫，全年（按12個月計(jì)）共入510貫”，則該人第12月營收貫數(shù)為（

）A．64 B．66 C．68 D．7024．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌若干塊扇面形石板構(gòu)成第1環(huán)，依次向外共砌27環(huán)，從第2環(huán)起，每環(huán)依次增加相同塊數(shù)的扇面形石板．已知最內(nèi)3環(huán)共有54塊扇面形石板，最外3環(huán)共有702塊扇面形石板，則圜丘壇共有扇面形石板（不含天心石）（

）A．3339塊 B．3402塊 C．3474塊 D．3699塊26．（2023·廣東深圳·?？级＃┧未凭茦I(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（

）A．45 B．40 C．35 D．3027．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究，他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來表示數(shù)，稱為形數(shù)，形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶；下圖為五角形數(shù)的前4個，現(xiàn)有如下說法：①第9個五角形數(shù)比第8個五角形數(shù)多25；②前8個五角形數(shù)之和為288；③記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為610；則正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)四等差數(shù)列的判定與證明28．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列29．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.30．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．31．（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．32．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，向量，，．(1)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求證：．考點(diǎn)五等差數(shù)列的性質(zhì)（一）等差中項(xiàng)的應(yīng)用33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．434．（2023秋·廣西防城港·高三防城港市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．35．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（

）A． B．2 C． D．（二）利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算及應(yīng)用37．（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，那么（

）A． B． C． D．38．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．39．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A． B．4 C． D．40．（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，，則（

）A．25 B．35 C．40 D．5041．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足，則的值為（

）A．－3 B．3 C．－12 D．1242．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，則的值為（

）A．2033 B．2123 C．123 D．0考點(diǎn)六等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（一）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中項(xiàng)性質(zhì)43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．33 B．66 C．22 D．4444．（2023秋·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．150 B．120 C．75 D．6045．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則______．46．（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16（二）等差數(shù)列片段和的性質(zhì)47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．48．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．28050．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值問題51．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則（

）A．25 B．45 C．55 D．6552．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.53．【多選】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列54．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，（

）A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值D．若，，則當(dāng)或14時，取得最大值（四）兩個等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩個等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則______.56．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．758．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（

）A． B． C． D．61．（2023秋·四川甘孜·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an≠0，若a5=3a3，則（

）A． B． C． D．（五）等差數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的和62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則其奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B． C． D．63．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，且，，則（

）A． B． C． D．64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七含絕對值的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2﹣5n+2，則數(shù)列{|an|}的前10項(xiàng)和為（）A．56 B．58 C．62 D．6066．【多選】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．不是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列中最小 D．67．【多選】（2023春·河北石家莊·高二?？奸_學(xué)考試）已知為等差數(shù)列，，則（

）A．的公差為2 B．的公差為3C．的前50項(xiàng)和為900 D．的前50項(xiàng)和為1300考點(diǎn)八含取整符號的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和68．（2023春·遼寧朝陽·高二北票市高級中學(xué)?？计谥校┑炔顢?shù)列滿足，，記，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則（

）A．1000 B．2445 C．1893 D．50050069．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谥校椴怀^的最大整數(shù)，設(shè)為函數(shù)的值域中所有元素的個數(shù).若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.70．（2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，若表示不超過的最大整數(shù)，如，，則數(shù)列的前2000項(xiàng)的和為______.71．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的前7項(xiàng)和，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，；(2)設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.考點(diǎn)九等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題72．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，滿足，且，則當(dāng)取得最小值時，n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．773．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則當(dāng)取得最大值時，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．1174．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是75．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個命題正確個數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．476．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足：對恒成立，且，其前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．1777．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，，則（

）A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng) B．C． D．時，的最大值為78．（2023秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對恒成立，則正整數(shù)的值為______.考點(diǎn)十等差數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題79．【多選】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是公差大于0的等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．80．【多選】（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項(xiàng)，若且，則以下結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．81．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差，是等比數(shù)列，若，，和分別是和的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．和的大小關(guān)系不確定82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，當(dāng)數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值時，n的值為（

）A．30 B．31 C．32 D．33考點(diǎn)十一等差數(shù)列的綜合問題83．【多選】（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知遞增數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且其前項(xiàng)和為，則（

）A．存在公差為1的等差數(shù)列，使得B．存在公比為2的等比數(shù)列，使得C．若，則D．若，則84．【多選】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當(dāng)時，是的最大值 D．當(dāng)時，是的最小值85．【多選】（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且有，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C． D．86．【多選】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列，記，，則（

）A．公比B．若是遞減數(shù)列，則C．若不單調(diào)，則的最大項(xiàng)為D．若不單調(diào)，則的最小項(xiàng)為考點(diǎn)十二等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用87．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）小方計(jì)劃從4月1日開始存儲零錢，4月1日到4月4日每天都存儲1元，從4月5日開始，每天存儲的零錢比昨天多1元，則小方存錢203天（4月1日為第1天）的儲蓄總額為（

）A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元88．（2023·江蘇南通·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲?乙兩個機(jī)器人分別從相距70的兩處同時相向運(yùn)動，甲第1分鐘走2，以后每分鐘比前1分鐘多走1，乙每分鐘走5.若甲?乙到達(dá)對方起點(diǎn)后立即返回，則它們第二次相遇需要經(jīng)過___________分鐘.89．（2023·全國·高三專題練習(xí)）血藥濃度檢測可使給藥方案個體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測，當(dāng)患者A給藥3小時的時候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過2小時檢測一次，每次檢測血藥濃度降低到上一次檢測血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時，給藥時間為（

）A．11小時 B．13小時 C．17小時 D．19小時90．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．10591．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖中的直角三角形繼續(xù)作下去，記，，，的長度構(gòu)成的數(shù)列為，則（

）A． B． C． D．92．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)D（第一段圓?。僖渣c(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…….以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時，“蚊香”的長度為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十三等差數(shù)列與其他知識的交匯93．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了解開學(xué)后大學(xué)生的身體健康狀況，2023年寒假開學(xué)后，某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了學(xué)生在假期間每天的學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到下圖所示的頻率分布直方圖.圖中數(shù)值是公差為0.002的等差數(shù)列，則估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（

）A．120 B．125 C．160 D．16594．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．95．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則α的取值范圍為（

）A． B． C． D．96．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且對，滿足，，.則的值為（

）A．5 B．9 C．4023 D．404997．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，，設(shè)點(diǎn)A是直線BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A． B． C． D．98．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),點(diǎn)在拋物線上,則過點(diǎn)和的直線的一個方向向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．99．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線與圓C：相切，則①；②數(shù)列為等差數(shù)列；③圓C可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)；④數(shù)列的前10項(xiàng)和為23.以上結(jié)論正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4100．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點(diǎn)作平行于直線，的平面，截面面積為，則下列說法正確的是（

）A．B．為遞減數(shù)列C．存在常數(shù)，使為等差數(shù)列D．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則時，考點(diǎn)29等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和12種常見考法歸類考點(diǎn)一利用定義求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式考點(diǎn)二利用Sn與an的關(guān)系求等差數(shù)列通項(xiàng)公式考點(diǎn)三等差數(shù)列的基本運(yùn)算（一）等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算（三）與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合考點(diǎn)四等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)五等差數(shù)列的性質(zhì)（一）等差中項(xiàng)的應(yīng)用（二）利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算及應(yīng)用考點(diǎn)六等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（一）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中項(xiàng)性質(zhì)（二）等差數(shù)列片段和的性質(zhì)（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值問題（四）兩個等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題（五）等差數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)或奇數(shù)項(xiàng)的和考點(diǎn)七含絕對值的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和考點(diǎn)八含取整符號的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和考點(diǎn)九等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題考點(diǎn)十等差數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題考點(diǎn)十一等差數(shù)列的綜合問題考點(diǎn)十二等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用1.等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).注：在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，表示為an＋1＝eq\f(an＋an＋2,2)，等價于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.(2)等差中項(xiàng)：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是.該式又可以寫成an＝nd＋(a1－d)，這表明d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，且d>0時是增函數(shù)，d<0時是減函數(shù).(2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．(3)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.該式又可以寫成Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，這表明d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5())Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n(2)數(shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，則{an}從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列.(3)當(dāng)d≠0時，Sn關(guān)于n的表達(dá)式是一個常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式，即點(diǎn)(n，Sn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上，這就是說等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)，它的圖象是拋物線y＝eq\f(d,2)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn)．且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下.4.等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見類型及解題策略：（1）求公差或項(xiàng)數(shù)．在求解時，一般要運(yùn)用方程思想．（2）求通項(xiàng)．和是等差數(shù)列的兩個基本元素．（3）求特定項(xiàng)．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．（4）求前項(xiàng)和．利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解．【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時，要注意運(yùn)用整體代換思想，使運(yùn)算更加便捷．5.解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題.(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解．(3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)結(jié)合使用．6.特殊設(shè)法:三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為；四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為.這對已知和,求數(shù)列各項(xiàng),運(yùn)算很方便.7.由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟(1)令n＝1，則a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，則an＝Sn－Sn－1.(3)驗(yàn)證a1與an的關(guān)系：①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，②若a1不適合an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))8.等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數(shù)列，若(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法對于數(shù)列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法(為常數(shù),)?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判斷問題前n項(xiàng)和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和)?{an}是等差數(shù)列是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.9.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)①等差數(shù)列{an}中，若公差為d，則an＝am＋(n－m)d，當(dāng)n≠m時，d＝eq\f(an－am,n－m).②在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.注：出現(xiàn)等項(xiàng)時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項(xiàng)）有關(guān)的條件；若求項(xiàng)，可由轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．③若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列.④若數(shù)列{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數(shù))也是等差數(shù)列，且公差為λ1d1＋λ2d2.⑤數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則從數(shù)列中抽出項(xiàng)ak，ak＋m，ak＋2m，…，組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，公差為md.⑥如果兩個等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．(2)與和有關(guān)的性質(zhì)①等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，公差為n2d；②記S偶為所有偶數(shù)項(xiàng)的和，S奇為所有奇數(shù)項(xiàng)的和.若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，則，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N*)，則S2n－1＝(2n－1)an(an是數(shù)列的中間項(xiàng))，S奇－S偶＝an，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n－1,n)(S奇≠0).③若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．④兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)(bn≠0，T2n－1≠0).⑤等差數(shù)列中，,則,.⑥等差數(shù)列中，若，則．⑦等差數(shù)列中，若，則．注：等差數(shù)列中，若，則10.其他衍生等差數(shù)列．若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．②等長度截取為等差數(shù)列，公差為．③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．11.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(1)鄰項(xiàng)變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．①若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最大值.在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；②若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值.若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．③若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值.(2)函數(shù)法：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：(為常數(shù),)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；(3)數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法：求最大項(xiàng)的方法：設(shè)為最大項(xiàng)，則有；求最小項(xiàng)的方法：設(shè)為最小項(xiàng)，則有.只需將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的求法即可.(4)在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.12.與等差數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的問題（1）在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”．（2）數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致．一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理．但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題．即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”．13.關(guān)于奇偶項(xiàng)問題的討論對于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．14.對于含絕對值的數(shù)列求和問題由正項(xiàng)開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計(jì)算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負(fù)的項(xiàng)（2）在對進(jìn)行討論，當(dāng)時，，當(dāng)時，15.等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用(1)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識解決相關(guān)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．考點(diǎn)一利用定義求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.【答案】【分析】根據(jù)題意整理可得，結(jié)合等差數(shù)列分析運(yùn)算.【詳解】∵，將等式兩邊同時除以得：，所以是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則，所以.故答案為：.2．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獢?shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】∵，，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴．∴，∴數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，等式兩邊開方可得：，即，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C．4．（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由遞推式證明數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，又，可得，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【分析】首先求不動點(diǎn)，將已知等式兩側(cè)與不動點(diǎn)作差，再化簡得到為等差數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)，令得：，解得：；，化簡得：，所以，從而，又，所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以．故答案為：6．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】通過等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而確定m的最小值.【詳解】，是等差數(shù)列，又∵，∴，故對，，也符合上式，，故，即的最小值為1．故選：C．7．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合前n項(xiàng)積的意義求解作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】（1）依題意，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時，有，兩式相除得，，顯然，即，因此當(dāng)時，，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，由（1）得，，于是，因此，則，所以數(shù)列前項(xiàng)和為.考點(diǎn)二利用Sn與an的關(guān)系求等差數(shù)列通項(xiàng)公式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則__________.【答案】【分析】當(dāng)時，由可得，兩式作差可得出，當(dāng)時，求出的值，可得出，分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】當(dāng)時，由可得，兩式相減得，即，即.當(dāng)時，，即，所以，，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.則.故答案為：.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．2n C． D．【答案】D【分析】首先令求出數(shù)列首項(xiàng)，再根據(jù)得，兩式相減得，然后構(gòu)造等差數(shù)列，通過等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.【詳解】令，由可得：，兩式作差可得：，化簡整理可得：，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，進(jìn)而可得：．故選：D．10．（2023·海南海口·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合“”可得，由此求出數(shù)列通項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和推理作答即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，因?yàn)?，所以．?dāng)時，，即．因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，故．（2）證明：因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以?11．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃?shù)列的前項(xiàng)和為，，若該數(shù)列滿足，則下列命題中錯誤的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】利用可化簡已知等式證得A正確；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可整理得到B正確；由與關(guān)系可求得C錯誤；由，結(jié)合等比數(shù)列定義可知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，由得：，，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，A正確；對于B，由A知：，，B正確；對于C，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗(yàn)：不滿足，，C錯誤；對于D，由B得：，，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，D正確.故選：C.12．（2023·遼寧鐵嶺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由結(jié)合求出，從而求得，由此求出的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案．【詳解】各項(xiàng)為正的數(shù)列，，時，，即，化為：，，，又，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為2．故選：D．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)錯誤的是（）A． B． C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．－5050【答案】A【分析】由可得－＝－1，即數(shù)列是以＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列可判斷C，由求出可判斷A，B；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可判斷D.【詳解】是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則，

整理得－＝－1（常數(shù)），所以數(shù)列是以＝－1為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，故C正確；所以，故．所以當(dāng)時，－，不適合上式，故故B正確，A錯誤；所以，故D正確．故選：A.考點(diǎn)三等差數(shù)列的基本運(yùn)算（一）等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用14．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）等差數(shù)列滿足，，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋獾?，所?故選：B.15．（2023·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量公差，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式，即可得.【詳解】由題設(shè)，則，而，若等差數(shù)列公差為，則，所以，通項(xiàng)公式為，故.故選：C16．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件建立方程組，即可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求；（2）利用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，．則，解得，所以．（2）由（1）可得，則，所以.（二）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算17．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所?故選：D.18．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【分析】利用基本量法可得，故可求的值.【詳解】設(shè)的公差為d，則，即，則，故選：A.19．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則等于（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差即可得解.【詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，而，則，等差數(shù)列公差，首項(xiàng)，則.故選：B.20．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和（

）A．200 B．300 C．210 D．320【答案】C【分析】設(shè)，，則，解方程即可求出，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可得出答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，所以，所以．因?yàn)?，所以所以則，所以．故選：C.21．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則滿足的正整數(shù)n的最大值為（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式求解，再求解不等式得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，解得，所以，．由，得，即，解得1<n<16，所以正整數(shù)n的最大值為15．故選：B．22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件求出，寫出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法求的和.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為,公差為,由題意得，解得，所以，所以，數(shù)列的前2020項(xiàng)和.故選：A（三）與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合23．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“某賈人擅營，月入益功疾（注：從第2個月開始，每月比前一月多入相同量的銅錢），第3月入25貫，全年（按12個月計(jì)）共入510貫”，則該人第12月營收貫數(shù)為（

）A．64 B．66 C．68 D．70【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，列出方程求解作答.【詳解】依題意，該人每個月的收入依次排成一列構(gòu)成等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，有，設(shè)的公差為d，因此，解得，所以該人第12月營收貫數(shù).故選：D24．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為，由題意可得，所以，故選：B25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌若干塊扇面形石板構(gòu)成第1環(huán)，依次向外共砌27環(huán)，從第2環(huán)起，每環(huán)依次增加相同塊數(shù)的扇面形石板．已知最內(nèi)3環(huán)共有54塊扇面形石板，最外3環(huán)共有702塊扇面形石板，則圜丘壇共有扇面形石板（不含天心石）（

）A．3339塊 B．3402塊 C．3474塊 D．3699塊【答案】B【分析】依題意每層扇面形石板的塊數(shù)成等差數(shù)列設(shè)為，其中，，根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出即可.【詳解】解：依題意每層扇面形石板的塊數(shù)成等差數(shù)列設(shè)為，其中，，所以，所以所以，故圜丘壇共有扇面形石板（不含天心石）塊.故選：B26．（2023·廣東深圳·?？级＃┧未凭茦I(yè)很發(fā)達(dá)，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角垛，底層是每邊為n個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，記自上而下第n層的圓球總數(shù)為，容易發(fā)現(xiàn)：，，，則（

）A．45 B．40 C．35 D．30【答案】B【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第層的圓球總數(shù)個數(shù)表達(dá)式，再將，，代入求解即可．【詳解】當(dāng)時，第1層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時，第2層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時，第3層的圓球總數(shù)為，．所以第層的圓球總數(shù)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故．故選：B．27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究，他們借助幾何圖形（或格點(diǎn)）來表示數(shù)，稱為形數(shù)，形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶；下圖為五角形數(shù)的前4個，現(xiàn)有如下說法：①第9個五角形數(shù)比第8個五角形數(shù)多25；②前8個五角形數(shù)之和為288；③記所有的五角形數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為610；則正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先根據(jù)圖形找到規(guī)律，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，然后用累加法可得，然后可判斷①②③.【詳解】根據(jù)圖形知：，，則，①正確；，②正確；，數(shù)列是首項(xiàng)為1公差為的等差數(shù)列，前20項(xiàng)和為，③錯誤.故選：C.考點(diǎn)四等差數(shù)列的判定與證明28．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】分析可知數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，故對任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.29．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義法判斷即可.（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20項(xiàng)和即可得出答案.【詳解】（1）由題知，是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由，可得：當(dāng)時，，兩式相減得，，故數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由知：當(dāng)時，，又，所以，由（1）設(shè)的公差為，則，由，則，，所以.即數(shù)列的前20項(xiàng)和為.30．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由得出，再計(jì)算，將代入，即可證明；（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，代入，再裂項(xiàng)得，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)椋?，即所以（為常?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：．31．（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)等差差數(shù)列的定義證明即可，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）利用分式分離變形，結(jié)合分組求和與裂項(xiàng)求和即可得.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.32．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，向量，，．(1)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求證：．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）利用裂項(xiàng)相消法分析證明.【詳解】（1）由題意可得：，則，可得，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得：，則，∵，故.考點(diǎn)五等差數(shù)列的性質(zhì)（一）等差中項(xiàng)的應(yīng)用33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】先利用等差中項(xiàng)判定數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：C．34．（2023秋·廣西防城港·高三防城港市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，使用基本不等式求的最小值.【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：A35．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)，，成等差數(shù)列，求得公比即可.【詳解】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時，，不滿足，當(dāng)時，，即，解得或（舍去），所以，故選：A36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若成等差數(shù)列，且的面積為，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由成等差數(shù)列得，結(jié)合余弦定理，可得，由的面積為，可得，兩式相除可得答案.【詳解】若成等差數(shù)列，則，由余弦定理得，，則，①由的面積為，得，則，②由②÷①得.故選：C.（二）利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算及應(yīng)用37．（2023春·河南商丘·高三臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)直接可得解.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得，解得，故選：B．38．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中項(xiàng)求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A39．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，得到答案.【詳解】，故.故選：C40．（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，，則（

）A．25 B．35 C．40 D．50【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及性質(zhì)求得答案即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，得，即①；由，得，②；由①②得，則.故選：A.41．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足，則的值為（

）A．－3 B．3 C．－12 D．12【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若則可得.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，解得，∵，∴．故選：A42．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，則的值為（

）A．2033 B．2123 C．123 D．0【答案】D【分析】根據(jù)是等差數(shù)列，先求出公差，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，故選：D.考點(diǎn)六等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（一）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中項(xiàng)性質(zhì)43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．33 B．66 C．22 D．44【答案】A【分析】先由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再按照等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意知：，則，則.故選：A.44．（2023秋·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．150 B．120 C．75 D．60【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)橐渤傻炔顢?shù)列，故，同理因?yàn)?，所以，故所?故選：D45．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則______．【答案】182【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．又，所以，所以．故答案為?82．46．（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可求得，則可得的值.【詳解】根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.（二）等差數(shù)列片段和的性質(zhì)47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，即可得出．【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：C.48．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果.【詳解】由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：A．49．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根據(jù)在等差數(shù)列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差數(shù)列即可得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因?yàn)?S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故選：D.50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110【答案】C【分析】利用數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式計(jì)算即可.【詳解】，，則.故選：C（三）等差數(shù)列前n項(xiàng)和與n的比值問題51．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則（

）A．25 B．45 C．55 D．65【答案】D【分析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則為等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)根據(jù)基本量法計(jì)算可得.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由，知，所以，所以，所以，故選：D．52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，再設(shè)公差為及通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：53．【多選】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的最小項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程，可判斷B選項(xiàng)；解不等式，可判斷C選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】由已知，，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，.對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，是遞增數(shù)列，A對；對于B選項(xiàng)，令，可得，B錯；對于C選項(xiàng)，令可得，所以，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，C對；對于D選項(xiàng)，，則，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，D對.故選：ACD.54．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項(xiàng)和為，（

）A．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值B．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值C．若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值D．若，，則當(dāng)或14時，取得最大值【答案】BD【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，得數(shù)列為遞減數(shù)列，分析的正負(fù)號，可得的最大值的取到情況.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對于A，且時取最大值，設(shè)，則，當(dāng)時，；時，；時，，所以或14時，前k項(xiàng)和取最大值，A項(xiàng)錯誤；對于B，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項(xiàng)和最大，B項(xiàng)正確；對于C，，則，同理，，，前13項(xiàng)和最大，C項(xiàng)錯誤；對于D，，，得，由題等差數(shù)列在時，，時，，所以，，，所以或14時，前k項(xiàng)和取最大值，D項(xiàng)正確；故選：BD.（四）兩個等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若兩個等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則______.【答案】/【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，把轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】因?yàn)?，為等差?shù)列，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.56．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得，由題意可得，令，計(jì)算即可求解.【詳解】,又，，所以，又，所以.故選：A.57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的