人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義-全等三角形的判定與性質（30題）（解析版）

專題第01講全等三角形的判定與性質

1.(2023?長沙)如圖，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為D,E.

A

(1)求證：AABE沿AACD；A

(2)若NE=6,CD=8,求3D的長./\

【分析】(1)利用“44S”可證明△/AE0A4CD；

BC

(2)先利用全等三角形的性質得到ND=4E=6,再利用勾股定理計算出/C,從而得到N8的長，然后

計算即可.

【解答】(1)證明：'JCDLAB,BELAC,

:.NAEB=NADC=90°,

在△/BE和△/CD中，

，ZAEB=ZADC

.ZBAE=ZCAD,

AB=AC

:.AABE咨4ACD(AAS)；

(2)解：V/XABE^/\ACD,

：.AD=AE=6,

在RtA^CD中,AC^7AD2CD2=7S2+82=10,

：A8=ZC=10,

：.BD=AB-AD=\0-6=4.

2.(2022秋?黔江區(qū)期末)如圖，已知NC=/b=90°,AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點、O.

(1)求證：Rt^\ABC^RtADEF；

(2)若//=51°,求/8。9的度數(shù).

【分析】（1）根據乩證明兩個三角形全等；

（2）根據三角形全等的性質和三角形外角的性質可得結論.

【解答】（1）證明：

：.AE+EB=DB+EB,即AB=DE,

在RtA^CB和RtADFA中,

[AC=DF,

1AB=DE'

；.Rt/\ABC名RtADE尸(HL)；

(2)解：VZC=90°,ZA=51a,

：.AABC=Z.C-ZA=90°-51°=39°,

由(1)知RtZ\48C且RtZXDE凡

NABC=ZDEF.

：.ZDEF=39°,

：.ZBOF=ZABC+ZBEF=390+39°=78°.

3.(2022秋?鼓樓區(qū)期末)如圖，點/、C、。在同一直線上，BCLAD,垂足為C,BC=CD,點、E在BC

上，AC=EC,連接N3,DE.

(1)求證：△43C0△EDC；

(2)寫出與?！甑奈恢藐P系，并說明理由.

【分析】(1)在RtZUCB和RtZkECD中，由4SL4證明三角形全等;

(2)根據(1)得出//加=90°即可.

【解答】(1)證明：

/.ZACB=ZECD=90°,

在RtZX/CB和Rt/\ECD中，

'BC=DC

<ZACD=ZECD，

,AC=EC

.?.△/8C0△EDC(SAS\

(2)解：ABIDE.理由：

如圖延長DE交于點H

AABC沿AEDC,

：.ZB^ZD,

VZ^C5=90°,

：.ZA+ZB^9Q°,

/.ZD+ZA=90°,

AZAFD=90°,

：.AB±DE.

4.(2023?黃石模擬)如圖所示，在△/8C中，4D_L2C于。，CEUB于E,4D與CE交于點R且工。

=CD

(1)求證：△43。g△CEO；

(2)已知3C=7,AD=5,求Nb的長.

【分析】(1)由NS4證明即可;

(2)理由全等三角形的性質即可解決問題；

【解答】(1)證明：'：ADLBC,CELAB,

AADB=ZCDF=ZCEB=90°,

AZBAD+ZB=ZFCD+ZB=90°,

ZBAD=ZFCD,

在△48。和CFD中，

,ZADB=ZCDF

<AD=DC，

LZBAD=ZDCF

.,.△ABD名ACFD(ASA),

(2)解：丫AABD沿△CFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC=5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

5.（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，在四邊形N3C￡>中，點￡為對角線3。上一點，NA=/BEC,

且4D=3￡.

（1）求證：△ABg^ECB；

（2）如果NBDC=75°,求N/D5的度數(shù).

【分析】（1）由“4SL4”可證g△EC8；

（2）由全等三角形的性質可得8O=8C,由等腰三角形的性質可求解.

【解答】（1）證明..【。〃臺。，

ZADB=ZCBE,

在和△EC2中，

，ZA=ZBEC

<AD=BE，

,ZADB=ZCBE

：./\ABD^/\ECB（4W；

（2）解：,:△ABD94ECB,

:.BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=15°,

：.ZDBC=3O°,

:.NADB=NCBD=30°.

6.（2023?營口）如圖，點4,B,C,。在同一條直線上，點E,尸分別在直線48的兩側，MAE=BF,Z

A=/B,NACE=NBDF.

（I）求證：LACE咨LEDF；

（2）若/8=8,AC=2,求CD的長.

E

【分析】（1）根據全等三角形的判定定理證明△/（主也△DBF即可；

（2）根據全等三角形的性質即可得到結論.

【解答】（1）證明：在和△AD尸中，

2A=NB

<NACE=/BDF，

AE=BF

:.AACE沿ABDF（//S）；

（2）由（1）知△4CE四△8。尸，

：.BD=AC=2,

"：AB=8,

：.CD=AB-AC-BD=4,

故CD的長為4.

7.（2023?朔城區(qū)一模）如圖，在四邊形N3CD中，AB//CD,在8。上取兩點￡,F,使DF=BE,連接NE,

CF.

（1）若AE〃CF,試說明1也△CDF；

（2）在（1）的條件下，連接//，CE,試判斷/尸與CE有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由.

【分析】（1）由“N&4”可證尸；

（2）由全等三角形的性質可得=由“&4S”可證△/8E/凡可得結論.

【解答】（1）證明：：/夕〃。。，

N4BD=NCDF,

'：AE//CF,

：.ZAEB=ZCFD,

,:BF=DE,

：.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在△4BE和△a）廠中，

，ZABD=ZCDF

-BE=DF，

LZAEB=ZCFD

:.△ABE妾ACDF(ASA)；

(2)解：AF=CE,理由如下:

AABE妾ACDF,

：.AB=CD,AE=CF,

在ANB尸和△0￡>￡中，

'AB=CD

?ZABD=ZCDB-

,BF=DE

:AABEtACDF(SAS),

：.AF=CE.

8.(2023春?岑溪市期末)如圖，在四邊形A8CD中，AB=CD,BE=DF-,AELBD,CFLBD,垂足分別

為E,F.

(1)求證：AABE義ACDF；

(2)若/C與AD交于點。，求證：40=C0.

【分析】（1）由“4X4"可證△NAE1烏△（?￡）/；

（2）由全等三角形的性質可得NE=CF,可證四邊形4ECF是平行四邊形，可得/。=。。.

【解答】證明：（1）'JAB//CD,

二/ABE=ZCDF,

在△/BE和△CZ）尸中，

，ZABE=ZCDF

,BE=DF，

1ZAEB=ZCFD=90°

:AABE<4CDF(ASA)；

(2)如圖，

?；AABE妾LCDF,

：.AE=CF,

:AELBD,CFLBD,

：.AE//BD,

...四邊形AECF是平行四邊形,

：.AO=CO.

9.（2023春?梅州期末）如圖，在中，4B=AC=3,NB=42°,點。在線段3c上運動（點。不與

點、B、C重合），連接4D,作//?！?42°,交線段/C于點E.

C1）當時，ZEDC=°,NAED=°；

（2）若DC=3,試說明△48。之△DCE；

（3）在點。的運動過程中，△，￡>￡的形狀可以是以/￡為腰的等腰三角形嗎？若可以，求/8D4的度

數(shù)；若不可以，請說明理由.

【分析】（1）根據三角形內角和定理得到/氏4。=25°,根據等腰三角形的性質得到NC=N2=42°,

根據三角形內角和定理計算，得到答案；

（2）當￡>C=3時，利用NOEC+N￡r）C=140°,ZADB+ZEDC=140°,得至/DEC,根據

AB=DC=3,證明空△OCE；

（3）用DA=DE、AE=AD、￡/=￡。三種情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算.

【解答】解：（1）-：AB=AC,

；./。=/8=42°,

VZADE=42°,/皿1=118°,

:/助C=180°-NADB-NADE=20°,

：.ZAED=Z￡￡>C+ZC=20°+42°=62°,

故答案為：20；62；

（2）當￡>C=3時，△ABDmADCE,

理由：'：AB=3>,￡>C=3,

：.AB=DC,

VZC=42°,

:./DEC+NEDC=138°,

VZADE=42a,

：.ZADB+ZEDC=13S°,

ZADB=/DEC,

在△43。和△OCE中，

，ZADB=ZDEC

?ZB=ZC，

,AB=DC

:AABD安/XDCE(AAS)；

(3)當/5D4的度數(shù)為110°或80°時，△4DE的形狀是等腰三角形，

①當。時，/DAE=/DEA=70°,

:./BDA=/DAE+/C=10°+42°=112°；

②當AD=/￡1時，NAED=NADE=42°=ZC,

此時，點。與點8重合，不合題意；

③當E/=E。時，ZEAD=ZADE^42°,

：.ZBDA^ZEAD+ZC=420+42°=84°；

綜上所述，當?shù)亩葦?shù)為112?；?4°時，△NOE的形狀是等腰三角形.

10.(2023春?甘州區(qū)校級期末)已知△48C,點。、尸分別為線段NC、上兩點，連接瓦入C下交于點￡.

(I)若BDUC,CFLAB,如圖1所示，/4+/BEC=度；

(2)若BD平分N4BC,CF平分NACB,如圖2所示，試說明此時NA4c與NBEC的數(shù)量關系；

(3)在(2)的條件下，若/加1C=6O°,試說明：EF=ED.

【分析】(1)根據余角的性質得到/D￡C=NA4C,由于/D￡C+N3￡C=180°,即可得到結論；

(2)根據角平分線的性質得到NMC=LBC,AECB=^/ACB,于是得到結論；

22

(3)作N8EC的平分線交8c于由NR4c=60°,得到/3￡。=90°+//R4C=120°,求得

ZFEB=ZDEC=60°,根據角平分線的性質得到/8EM=60°,推出△FSE名△E8M,根據全等三角

形的性質得到￡尸=￡加，同理D￡=￡M,即可得到結論.

【解答】解：(1)'CBDLAC,CFLAB,

：.ADCE+ADEC=ZDCE+ZFAC=90°,

：.ZDEC=ZBAC,NDEC+NBEC=18Q°,

AZBAC+ZBEC=\SO°；

故答案為：180.

(2);BD平分NABC,C尸平分

：.AEBC=^/ABC,AECB=^/ACB,Z5￡C=180°-(ZEBC+ZECB)=180°-A(ZABC+

222

NACB)=180°-工(180°-ZBAC)=90°+1-ZBAC；

22

(3)作/BEC的平分線EM交5c于M,

VZBAC=60°,

:./BEC=90。+,/8/C=

:.NFEB=NDEC=6Q°,

,:EM平分/BEC,

：.ZBEM=60°,

在/XFBE與AEBM中,

，ZFBE=ZEBM

<BE=BE，

,ZFEB=ZMEB

AFBE烏AEBM,

:.EF=EM,同理

:.EF=DE.

圖2

11.（2023春?佛山月考）已知，如圖1,在△48C中，/￡＞為△/8C的中線，￡為/。上一個動點（不與點

A,。重合）.分別過點E和點C作與4D的平行線交于點R連

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖2,延長交NC于點G,^BGLAC,且4D=3G,請判斷EG與/￡的數(shù)量關系，并說明

理由.

FF

【分析】（1）過點。作。河〃45交/。于點M,連接證明△45。2△MOCG4”）,推出45=〃。,

再證明四邊形瓦加F和四邊形45￡廠是平行四邊形，可得結論；

（2）過點。作ZW〃5G交ZC于點N,根據平行線分線段的性質得CN=GN,根據三角形中位線定理得

DN=LBG,再根據直角三角形邊角的關系得ND4N=30°,可得結論.

2

【解答】（1）證明：如圖1中，

圖1

過點。作。加〃交尸。于點連接

,:DM〃AB,

：.NMDC=/ABD,

,:CF〃AD,

：./MCD=/ADB,

??Z。是△45。的中線，

：.BD=DC,

:?△ABDmAMDCCASA)f

：.AB=MD,

U：AB//EF,

：.EF//DM,

,:DE〃FM,

J四邊形EDMF是平行四邊形,

:?DM=EF,

：.AB=EF,

，四邊形ABEF是平行四邊形，

：.AF=BE-,

(2)解：EG=LE,

2

理由：如圖2中，過點。作8G交4C于點N,

圖2

,:BD=CD,DN//BG,

:.CN=GN,

:.DN=LBG,

2

?：AD=BG,

：.DN^—AD,

2

'：BG±AC,DN//BG,

C.DNLAC,

：.NAND=90°,

:./DAN=30°,

；.EG=—AE.

2

12.（2023春?子洲縣期末）【問題背景】

如圖，AB//CD.連接8C,點E,b在5c上，且8P=C￡,連接/￡,DF,且

【問題探究】

（1）試說明：AE=DF：

（2）若4B=CF,

①試判斷△CD尸的形狀，并說明理由：

②若NB=30°,求/DFS的度數(shù).

AB

【分析】(1)根據/2〃CD可證明N8=NC,根據8尸=CE可證明8E=CF,再依據44s證明1也

△OCT即可得到結論；

(2)①證明CD=CF即可得出結論；

②由平行線的性質得出NC=30°,再根據/是等腰三角形求底角的度數(shù)即可解答.

【解答】解：(1),：AB//CD,

Z5=ZC,

'：BF=CE,

BF+EF=CE+EF.即BE=CF,

在△48E和△DCF中，

；/4=ND,ZB=ZC,BE=CF,

:AABE沿ADCF(AAS),

：.AE=DF；

(2)①△CD廠是等腰三角形；

理由：:LABE咨ADCF,

：.AB=CD,

'：AB=CF,

：.CD=CF,

...△CDb是等腰三角形；

(2),：AB//CD,ZB=30°,

，/。=/8=30°,

???△CDF是等腰三角形，

-'-ZD=ZCFD=yX(180°-30°)=75°，

AZ￡?F5=180°-ZCFD=105°.

13.(2023春?漳州期末)如圖，在△4BC中，4B=AC,點D,E分別在邊/C,3c上，連接/E,BD交于

點尸，NBAC=NBFE=2NAEB.

(1)說明：NEAC=/ABD；

(2)若BD平分/ABC,BE=15,AF=6,求△BEF的面積；

(3)判斷所，BF,/尸之間的數(shù)量關系，并加以說明.

A

D

BEC

【分析】(1)根據N8/E+NE4C=NR4C,ZBAE+ZABD=ZBDC,NBAC=NBFE,即可證明結論；

(2)過點尸作/G_L8C于點G,求出//BE+N4EB=90°,得出/54E=180°-90°=90°,證明E4

±AB,根據角平分線的性質得出FG=4F=6,根據三角形面積公式求出

SABEF-|BEXFG=1X15X6=45；

(3)在2。上截取BH=4E,連接AH,證明dABg△CAE(SAS),得出ZAHB=NAEC,ZC=ZBAH,

證明NHAF=ZAHF,得出AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,即可證明結論.

【解答】(1)證明：VZBAE+ZEAC=ZBAC,ZBAE+ZABD=ZBDC,

又：NBAC=/BFE,

：.ZBAE+ZEAC=ZBAE+ZABD,

：.ZEAC=ZABD；

(2)解：過點/作/G_L8C于點G,如圖所示：

ZABE=ZC,

：.ZBAC=1800-2/ABE,

?'?ZAEB=yZBAC=90°-/ABE，

/.ZABE+ZAEB=90°,

/￡=180°-90°=90°,

：.FALAB,

:BD平分/ABC,FGLBC,

；.FG=AF=6,

SABEF-|BEXFG=yX15X6=45：

(3)解：2AF=BF-EF；理由如下：

在上截取連接/H如圖所示:

在△488和■中，

，AB=AC

?ZABH=ZCAE-

,BH=AE

:AABH%4CAE(SAS),

：.ZAHB=ZAEC,NC=/B4H,

ZAHF=ZAEB-j-ZBAC=y(180°-2ZC)=90°-ZC-

根據解析(2)可知，NBAE=90°,

：.ZHAF=900-NBAH=90°-ZC,

：./HAF=ZAHF,

：.AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,

：.2AF=BF-EF.

14.(2023春?宣漢縣校級期末)已知：NACB=90°,AC=BC,ADLCM,BELCM,垂足分別為D,E,

(1)如圖1，把下面的解答過程補充完整，并在括號內注明理由.

①線段CD和BE的數(shù)量關系是：CD=BE；

②請寫出線段BE,DE之間的數(shù)量關系并證明.

解：①結論：CD=BE.

理由："JADLCM,BELCM,

；./4CB=NBEC=NADC=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

N4CD=______________

在和中，()

:AACD絲4CBE,()

：.CD=BE.

②結論：AD=BE+DE.

理由：?:AACD沿MBE,

,/CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

(2)如圖2,上述結論②還成立嗎？如果不成立，請寫出線段N。，BE,OE之間的數(shù)量關系.并說明

理由.

【分析】(1)根據同角的余角相等，全等三角形的判定和性質即可解決問題；

(2)結論：DE-BE=AD,只要證明△/CD四△C3E即可解決問題；

【解答】解：(1)\"ADLCM,BELCM,

：.ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,NBCE+NCBE=90°,

：./ACD=NCBE

"ZADC=ZBEC

在△48和△C5E中，(.ZACD=ZCBE)

,AC=BC

:AACD咨ACBE,(AAS)

：.CD=BE.

②結論：AD=BE+DE.

理由：?:AACD咨ACBE,

：.AD=CE

'：CE=CD+DE^BE+DE,

：.AD=BE+DE.

，ZADC=ZBEC

故答案為：NCBE,<ZACD=ZCBE-AAS,AD=CE.

LAC=BC

(2)不成立，結論：DE-BEAD.

理由："JADLCM,BELCM,

：.ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

：.ZACD=ZCBE

在△4CD和△C8E中，

，ZADC=ZBEC

<ZACD=ZCBE>

AC=BC

:.AACD"LCBE,(AAS)

：.AD=CE,CD=BE,

圖2

15.(2022秋?鄒城市校級期末)(1)如圖①，在四邊形/BCD中，AB=AD,NB=ND=90°,E,F分

別是邊8C,CO上的點，且/區(qū)4尸=工/8/。.請直接寫出線段跖，BE,ED之間的數(shù)量關系：；

2

(2)如圖②，在四邊形A8CD中，AB=AD,N3+/D=180°,E,尸分別是邊3C,CD上的點，且/

EAF=1ZBAD,(1)中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；

2

(3)在四邊形/BCD中，AB=AD,/8+/。=180°,E,尸分別是邊BC,CD所在直線上的點，且/

EAF=^ZBAD.請直接寫出線段￡尸，BE,ED之間的數(shù)量關系：

【分析】(1)如圖1,延長班到G,使3G=。尸，連接/G,即可證明可得4F=/G,

再證明尸0ZXNEG,可得EF=EG,即可解題；

(2)如圖2,同理可得：EF=BE+DF；

(3)如圖3,作輔助線，構建△/BG,同理證明下和△/EG

^/XAEF.可得新的結論：EF=BE-DF.

【解答】解：(1)如圖1,延長匹到G,使BG=DF,連接NG.

:在△N3G與△為□尸中，

'AB=AD圖1

<ZABG=ZADF=90°，

BG=DF

:.△ABG沿4ADF(SAS).

J.AG^AF,Z1=Z2,

：.Zl+Z3=Z2+Z3=^-ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易證△/EG之△/￡1?

：.EG=EF.

;EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的結論斯仍然成立.

理由是：如圖2,延長￡8到G,BG=DF,連接NG.

VZABC+ZD^ISO°,ZABG+ZABC^1SQQ,

ZABG=ZD,

:在△N3G與△為□尸中，

圖2

，AB=AD

?NABG=ND，

BG=DF

:.AABG沿4ADF(SAS).

C.AG^AF,/l=/2,

N1+N3=N2+N3=L/BAD=NEAF.

2

：.NGAE=NEAF.

又AE=AE,

：.4AEG咨AAEF.

：.EG=EF.

,:EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)當(1)結論EF=BE+FD成立,

當圖三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

證明：在BE上截取2G,使2G=Z)R連接NG.

VZB+Z^DC=180°,ZADF+ZADC^18Q°,

ZB=ZADF.

:在△43G與△//)尸中，

'AB=AD

-ZABG=ZADF-

.BG=DF

:.△ABG/AADF(S4S).

AZBAG^ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=^-ZBAD.

2

：.NGAE=NEAF.

\'AE=AE,

:.AAEG9/XAEF(S/S).

：.EG=EF

,:EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

,:EG=BG-BE

:.EF=FD-BE.

故答案為：(A)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.

16.(2023春?榮成市期末)已知在△4BC中，AC=BC,分別過4,3兩點作互相平行的直線ZM,BN,過

點。的直線分別交直線BN于點D,E.

(1)如圖1,AMLAB,求證：CD=CE；

(2)如圖2,ZABC=ZDEB=60°,判斷線段N。，0c與之間的關系，并說明理由.

【分析】(1)延長/C交8N于點尸，證明△/OCg△尸EC(ASA),即可得出結論;

(2)在協(xié)上截取￡〃=EC,連接CH,證明△ZX4C之■4D_______i/

(44S),得出/Q=C",DC=BH,即可得出結論.

【解答】(1)證明：如圖1,延長4C交5N于點R

?：AC=BC,BEF

，/CAB=/CBA,圖1

ABLAM,

：.ZBAM=90°,

又。：AM〃BN,

：.ZBAM+ZABN=1^0°,

AZABN=90°,

：.NBAF+NAFB=90°,NABC+NCBF=90°,

：.ZCBF=ZAFB,

：.BC=CF,

：.AC=FC,

又"JAM//BN,，ZDAF=ZAFB,

，ZDAC=ZEFC

在△/DC和△BE'C中，，AC=FC，

,ZACD=ZFCE

:.△AD84FEC(ASA),

：.DC=EC；

(2)解：AD+DC=BE；理由如下：

如圖2,在班上截取即=EC,連接CH,

,:AC=BC,ZABC=60°,

：./\ABC為等邊三角形，

:NDEB=60°,

.?.△CHE是等邊三角形，

圖2

；.NCHE=60°,/HCE=6Q°,

：.ZBHC=nO0,

'：AM//BN,

：.ZADC+ZBEC=1?,O0,

：.ZADC=120°,

AZDAC+ZDCA^60°,

又：ZDCA+ZACB+ZBCH+ZHCE^1SO0,

：.NDCA+NBCH=60°,

：.ZDAC=ZBCH,

，ZDAC=ZHCB

在△￡UC與中，，NADC=/CHB，

,AC=CB

:.ADA(WAHCB(44S),

：.AD=CH,DC=BH,

又＜CH=CE=HE,

：.BE=BH+HE=DC+AD,

即AD+DC=BE.

17.（2023春?吉安縣期末）如圖，Zi/BC中，。為48的中點，/。=5厘米，NB=/C,3c=8厘米.

（1）若點P在線段3c上以3厘米/秒的速度從點8向終點C運動，同時點。在線段。上從點。向終

點/運動，若點。的速度與點P的速度相等，經1秒鐘后，請說明△APD以△C0P；

（2）若點尸以3厘米/秒的速度從點8向點C運動，同時點。以5厘米/秒的速度從點。向點N運動,

它們都依次沿△N8C三邊運動，則經過多長時間，點。第一次在△N3C的哪條邊上追上點尸？

【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到N8=NC,再加上AP=CQ=3,PC=BD=5,則可判斷△APD

與ACQP全等;

（2）設經過x秒后，點0第一次追上點尸，由題意得5x-3x=2X10,解方程得到點P運動的路程為3

X10=30,得到此時點P在2C邊上，于是得到結果.

【解答】解：（1）尸=3X1=3,00=3X1=3,

：.BP=CQ,

:D為AB的中點，

：.BD=AD=5,

,:CP=BC-BP=5,

：.BD=CP,

在/\BPD與△CQP中，

'BD=CP

"ZB=ZC，

,BP=CQ

:.XBPD經XCQP（S/S）；

（2）設經過x秒后，點。第一次追上點尸，由題意得5x-3x=2X10,

解得：x=10,

點尸運動的路程為3X10=30,

:30=28+2,

，此時點尸在邊上，

經過10秒，點0第一次在8C邊上追上點尸.

18.（2022秋?葫蘆島期末）在等腰△/BC中，AB=AC,。為N8上一點，E為CD的中點.

(1)如圖1,連接作E7f_L4C,若AD=2BD,S&BDC=6,EH=2,求A8的長.

(2)如圖2,尸為ZC上一點，連接8尸，BE.若NBAC=NABE=/CBF,求證：BD+CF=AB.

A

【分析】(1)利用三角形面積之間的關系進行轉化，可得：S△,c=6,再利用三角形面積公式可求得力5

=6；

(2)通過倍延中線構造全等三角形的方法，延長8E至G,使EG=BE,連接CG,則

(SAS)f再證明：AABF經AGBC(AAS)即可.

【解答】(1)解：,.ZQ=25。，SgDC=6,

:?S叢ACD=2S叢BCD=2X6=12,

???￡為CD中點，

S”CE=—S^ACD=^>,

2

?：EH2AC,

:.LC，EH=6,

2

'：EH=2

：.AC=6

"：AB=AC

：.AB=6

(2)證明：如圖2,延長BE至G,4吏EG=BE,連接CG,

圖2

在△AEZ?和△GEC中,

'BE=EG

<ZBED=ZGEC-

DE=CE

:.ABED%AGEC(SAS),

:?BD=CG,NABE=NG,

9：AB=AC,

：./ABC=N4CB,

即：NABF+NCBF=/ACB,

?.*/BAC=/CBF,

：./ABF+/BAC=/ACB,

?.?ZBFC=NABF+NBAC,

：./BFC=/ACB,

：.BF=BC,

ZBAC=NABE=/CBF,

:?/BAC=/G,/ABF+/EBF=/CBG+/EBF,

：.NABF=NGBC,

在/和△G5C中，

<ZBAC=ZG

<NABF=NGBC，

BF=BC

:?△ABF^AGBC(AAS)f

：.AF=CG,

又,：BD=CG,

：.AF=BD,

U：AF+CF=AC,AB=AC,

：.BD+CF=AB.

19,(2022秋?萊州市期末)在△ZBC中，AB=AC,。是邊5C上一點，點￡在4。的右側，線段

且NZ)4E*=ZBAC=a.

(1)如圖1,若a=60°,連接CE,DE.則NZOE的度數(shù)為；與CE的數(shù)量關系是.

(2)如圖2,若a=90°,連接￡C、BE.試判斷△BCE的形狀，并說明理由.

圖1圖2

【分析】(1)根據已知條件證明△4/用是等邊三角形，然后證明△45。也△4CE("S),即可解決問題;

(2)根據已知條件證明△NBC,△/￡>￡是等腰直角三角形，然后證明咨△NCE(MS),可得

=NACE=45°,進而可以解決問題.

【解答】解：(1)當NZX4E=/A4C=a=60°時，

;AE=AD,ZDAE=60°,

.?.△/DE是等邊三角形，

；./4DE=60°,

'：AB=AC,ZBAC=60°,

：.^ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,

ZDAE-ZDAC=ZBAC-ADAC,即NG4E=/BAD,

在△N8D和△4CE中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:ABD咨LACE(SAS),

：.BD=CE,

故答案為：60°,BD=CE；

(2)△BCE是直角三角形，理由如下：

當ND4E=/BAC=a=90°時，

:.△ABC,△*￡>￡是等腰直角三角形，

ZDAE-ZCAD=ZBAC-ACAD,即/BAD=ZCAE,

在△48。和△/(?￡■中，

，AB=AC

'ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:.AABD/AACE(SAS),

：.ZABD^ZACE=45°,

：.NBCE=ZACB+ZACE=90°,

...△BCE是直角三角形.

20.(2023春?本溪期末)在△NBC中，/3=/C,點。在射線24上，點￡在/C的延長線上，且8O=CE.連

接?！?與3C邊所在的直線交于點尸.

(1)當點。在線段3/上時，如圖所示，求證：DF=EF.

(2)過點。作交直線3C于點若BC=4,CF=1,求瓦7的長是多少？

AA

D

B--------------Bz-----------------------------------------"

備用圖

【分析】（1）過點。作0G〃/C,交BC于點G,利用平行線的性質和等邊對等角證明NQG8=NS得

到5Q=G。，進而推出GO=CE,再證明△DG尸絲△ECF,即可證明。尸=所；

（2）分當點。在線段45上時，過點E作EOLSC,交5。延長線于。，當點。在A4的延長線上時，

過點E作EO_L5C交5C的延長線于點O,先證明△。/ffigZXEOC,得到5H=C。，進而求出80=4,

再證明/二△EOR得到〃/=。9=2,再根據線段之間的關系求出瓦7的長即可.

【解答】（1）證明：過點。作。G〃4C,交BC于點G.

,ZDGB=ZACB,

U：AB=AC,

：.ZB=AACB,

：.ZDGB=ZB,

:?BD=GD,

,:BD=CE,

：.GD=CE,

'JDG//AC,

:?/GDF=/CEF,ZDGF=ZECF,

在尸和/中

<ZGDF=ZCEF

,GDnCE，

tZDGF=ZECF

ADGF^AECF(ASA),

:,DF=EF；

(2)解：如圖所示，當點。在線段45上時，過點E作EO_L8C,交3C延長線于。,

U：AB=AC,

：./B=/ACB=/OCE,

又?：NDHB=/EOC=90°,BD=CE,

：./\DHB^/\EOC(AAS),

：.BH=CO,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4f

VZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,。尸=斯(由第一小問已經證明),

:?△DHF/AEOF(AAS)f

?'-HF=0F=yH0=2-

?.*CF=1,

/.BH=CO=OF-CF=2-1=1；

當點D在的延長線上時，過點E作EOLBC交BC的延長線于點O,

同理可證ADHF出AEOF,

:.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4,

?'-HF=0F=-|-H0=2'

'：CF=1,

：.BH=CO=OF+CF=2+1=3；

綜上所述，3”的長為1或3.

21.(2023春?東源縣期末)如圖，NE與AD相交于點C,AC=EC,BC=DC,4B=8cm,點、P從點、出發(fā),

沿方向以2cm/s的速度運動，點0從點。出發(fā)，沿。方向以/cm/s的速度運動，尸、。兩點

同時出發(fā)，當點尸到達點/時，P、0兩點同時停止運動，設點P的運動時間為f(s).

(1)求證：AB//DE.

(2)寫出線段/尸的長(用含/的式子表示).

(3)連接尸。，當線段經過點。時，求1的值.

【分析】(1)證明△N3C之△EDC(SAS),可得N/=/E,然后根據內錯角相等兩直線平行即可得出結

論；

(2)分兩種情況討論：當0W/W4時，AP=2tcm,當4V/W8時，BP=(2-8)cm,可得4P=8-(2Z

-8)=(16-2/)cm,進而可以解決問題；

(3)先證尸也△EC0CASA),得”=EQ,再分兩種情況列方程求解即可.

【解答】(1)證明：在△45C和△EDC中，

'AC=EC

<ZACB=ZECD?

LBC=DC

:AABC沿AEDC(SAS),

NA=NE,

(2)解：當0W/W4時，AP=2tcm,

當4</W8時，BP=(2Z-8)cm,

：.AP=8-(2z-8)=(16-2?)cm,

，線段NP的長為或(16-2，)cm；

(3)解:根據題意得。。=%加，

貝I]EQ=(8-/)cm,

由(1)得：NA=NE,ED=AB=8cm,

在△/CP和△EC。中，

2A=NE

，AC=EC，

,ZACP=ZECQ

A/\ACP^/\ECQ(ASA),

：.AP=EQ,

當0WfW4時,2t=K-t,

解得：片包；

3

當4</W8時，16-2/=8-t,

解得：f=8；

綜上所述，當線段P0經過點C時，f的值為旦或8.

3

22.(2023春?梅江區(qū)期末)如圖，在△NBC中，AB=AC=8,3C=12,點。從8出發(fā)以每秒2個單位的

速度在線段3c上從點3向點C運動，點￡同時從C出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段C4上向點/運

動，連接40、DE,設D、E兩點運動時間為/秒(0</<4)

(1)運動秒時，4￡=工。(7；

3

(2)運動多少秒時，△/四名△￡>(?￡能成立，并說明理由；

(3)若△/3D學△OCE,ZBAC=a,則//￡>￡=(用含a的式子表示).

【分析】(1)依據8D=CE=2f,可得CD=U-It,AE=8-2t,再根據當4￡=工￡)。時，8-2尸工(12

33

-It),可得f的值；

(2)當△Z8D四△DCE1成立時，AB=CD=8,根據12-2f=8,可得f的值；

(3)依據NCDE=NA4。，ZADE=ISO°-ZCDE-ZADB,ZS=Z180°-ZBAD-ZADB,即可

得到//￡>￡■=NB,再根據N8/C=a,AB=AC,即可得出//DE.

【解答】解：(1)由題可得，BD=CE=2t,

；.CZ>=12-23NE=8-It,

當/￡=工。。，時，8-2?=A(12-2t),

33

解得t=3,

故答案為：3；

(2)當△48。絲△￡)(?￡■成立時，AB=CD=8,

：.12-2f=8,

解得t=2,

，運動2秒時，AABD咨ADCE能成立；

(3)當AABD2ADCE時,ZCDE=ZBAD,

又；//?！?180°-ZCDE-ZADB,ZJB=Z1800-ZBAD-ZADB,

：.ZADE=ZB,

又,：匕BAC=a,4B=AC,

：.ZADE^ZB=—(180°-a)=90°-—a.

22

故答案為：90°--la.

2

23.（2022秋?通川區(qū)期末）已知：△NBC是等腰三角形，CA=CB,0°<N/CBW90°.點M在邊NC上,

點N在邊上（點M、點N不與所在線段端點重合），BN=AM,連接NN,BM,射線/G〃2C,延長

交射線NG于點。，點￡在直線NN上，且AE=DE.

（1）如圖，當//CB=90°時；

①求證：4BCM出AACN；

②求NBDE的度數(shù)；

（2）當//