初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：瓜豆原理中動點(diǎn)軌跡直線型最值問題

瓜豆原理中動點(diǎn)軌跡直線型最值問題

【專題說明】

動點(diǎn)軌跡問題是中考的重要壓軸點(diǎn).受學(xué)生解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為

學(xué)生在中考中的一個坎,致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的一個黑洞.掌握該壓軸點(diǎn)的基本圖形，構(gòu)建

問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑.本文就動點(diǎn)軌跡問題的基本圖形作一詳述.動點(diǎn)軌

跡基本類型為直線型和圓弧型.

【知識精講】

動點(diǎn)軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。

(1)當(dāng)動點(diǎn)軌跡確定時可直接運(yùn)用垂線段最短求最值

(2)當(dāng)動點(diǎn)軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進(jìn)行確定

①觀察動點(diǎn)運(yùn)動到特殊位置時，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時是否存在動點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不

變，若存在該動點(diǎn)的軌跡為直線。

②當(dāng)某動點(diǎn)到某條直線的距離不變時，該動點(diǎn)的軌跡為直線。

③當(dāng)一個點(diǎn)的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。

如圖，尸是直線上一動點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在2C上運(yùn)動時，。點(diǎn)軌跡是？

【分析】當(dāng)尸點(diǎn)軌跡是直線時，。點(diǎn)軌跡也是一條直線.

可以這樣理解：分別過4。向作垂線，垂足分別為M、N,在運(yùn)動過程中，因為

所以QN始終為AM的一半，即。點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.

【引例】如圖，△"口是等腰直角三角形，乙陰。=90。且AP=AQ,當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC上運(yùn)動時,

求。點(diǎn)軌跡？

【分析】當(dāng)A尸與A。夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.

當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的。點(diǎn)的位置，連線即可，比如。點(diǎn)的起始位置和

終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段.

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（/以。是定值）;

主動點(diǎn)、從動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP4。是定值）.

結(jié)論:

P、。兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于NB4Q（當(dāng)NB4維90。時，/孫。等于MN與8c夾角）

P、。兩點(diǎn)軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABCS/XAMN,可得AP:A0=8C:MN）

【精典例題】

1、如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)、,且8E=1,尸為A8邊上的一個動點(diǎn)，連接ER以

跖為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.

【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點(diǎn)路徑長，本題是求CG最小值，可以將B點(diǎn)看成是由

點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動，由此作出G點(diǎn)軌跡：

考慮到尸點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時刻G點(diǎn)

在&位置，最終G點(diǎn)在與位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點(diǎn)運(yùn)動軌跡.

CG最小值即當(dāng)CGJ.G1G?的時候取到，作CHJ.GJG2于點(diǎn)“，C”即為所求的最小值.

根據(jù)模型可知：G02與夾角為60。，故

13

過點(diǎn)E作所，C8于點(diǎn)R則班'=@后=1,CF=-CE=~,

22

所以CH=3,因此CG的最小值為9.

22

2、如圖，等腰RSABC中，斜邊AB的長為2,O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動點(diǎn)，OQLOP交BC

于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長為（）

A.旦兀B.巫萬C.1D.2

42

【答案】C

【詳解】連接OC,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如圖,

VAACB為到等腰直角三角形，

.?.AC=BC=_AB=J2-ZA=ZB=45°,

2

：O為AB的中點(diǎn)，

AOCXAB,OC平分NACB,OC=OA=OB=1,

.-.ZOCB=45°,

VZPOQ=90o,ZCOA=90°,

.,.ZAOP=ZCOQ,

在RSAOP和4COQ中

NA=ZOCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

；.RtAAOP^ACOQ,

；.AP=CQ,

易得△APE和八BFQ都為等腰直角三角形，

.-.PE=^1AP=—CQ,QF=^BQ,

222

.?.PE+QF=—(CQ+BQ)=_BC=—x-x/2=l-

222

；M點(diǎn)為PQ的中點(diǎn),

/.MH為梯形PEFQ的中位線,

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(PE+QF)=5,

即點(diǎn)M到AB的距離為

2

而CO=1,

；.點(diǎn)M的運(yùn)動路線為△ABC的中位線，

，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長=工AB=1,

2

故選C.

3、如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，且S*.=S^CD，則FC+FZ)

的最小值為.

【答案】25

【詳解】

ABCD為矩形,

AB=DC

乂-sPAB=sPCD

點(diǎn)尸到AB的距離與到CD的距離相等，即點(diǎn)P線段AO垂直平分線MN上，

連接AC,交MN與點(diǎn),P,此時PC+?D的值最小，

且PC+=AC=^AB2+BC2="2+62=屈=2而

故答案為：2而

4、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6,P為線段AB上的動點(diǎn)，三角形紙片COE的邊CD所在的直線與線段A8

垂直相交于點(diǎn)P,且滿足PC=B4.若點(diǎn)尸沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B,則點(diǎn)￡運(yùn)動的路徑長為.

【答案】6五.

【詳解】

解:如圖，由題意可知點(diǎn)C運(yùn)動的路徑為線段AC,點(diǎn)E運(yùn)動的路徑為EE,由平移的性質(zhì)可知AC=EE,

在R3ABC中，易知AB=BC=6,ZABC'=90°,；.EE=AC=正+6?=60，故答案為：6母.

5、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn).將線段CD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線

段DE,連結(jié)BE.

(1)若點(diǎn)D在AB邊上(不與A,B重合)請依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；

(2)連接AE,當(dāng)AE的長最小時，求CD的長.

【答案】(1)見解析；(2)2s

【詳解】

解：(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE,理由如下:

,/AABC是等邊三角形，

；.AB=BC=AC,/A=NB=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,

ZACD=ZBCE,

AACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE.

圖1

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AFLEB交EB延長線于