湖南省郴州市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

郴州市2023年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分試題卷和答題卡.試題卷共6頁(yè)，有四道大題，共22道小題，滿分150分.考

試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡和該試題卷的指定位置上，并認(rèn)真

核對(duì)答題卡上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和科目.

3.考生作答時(shí)，選擇題和非選擇題均須作答在答題卡上，在本試題卷上答題無(wú)效考生在答題

卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題.

4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.)

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l—1)=3+1(其中i為虛數(shù)單位)，貝|]Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z,求得z對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，得出答案.

3+i(3+i)(l+i)2+4i,、

【詳解】由條件得z=「=>.;=—^=1+21,

1-1(l-i)(l+i)2

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,2),在第一象限.

故選：A.

2.某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一780人、高二600人、高三“人中，抽取35人

進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，已知高一被抽取的人數(shù)為13人，則九等于()

A660B.720C.780D.800

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣各層抽樣比相等，列出等量關(guān)系，求解即可.

1335

【詳解】根據(jù)題意可得:解得n=720,

780780+600+〃

故選：B.

3.若一個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)底邊長(zhǎng)是2,腰長(zhǎng)為兀的等腰三角形，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）

c兀

A.271B.—C.2D.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)與側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)相等列式求解.

【詳解】由題意，圓錐的底面半徑為/'=：!,母線長(zhǎng)為/=兀，

設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為a,則a/=2a,可得a=2.

故選：C.

4.已知a、，是兩個(gè)不同的平面，加、“是兩條不同的直線，則下列四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）

A.若加〃a,則aB.若m〃n,mua,nu0,則

C.若m_L，，則|，D.若“,則a〃1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，若加〃七”〃￡，有可能mua,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，若“1〃n,mua,nu0,有可能a,尸相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，若m_La,a_L，，有可能mu/7,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，D選項(xiàng)正確.

故選：D

5.“網(wǎng)紅”打卡地高椅嶺，位于郴州蘇仙區(qū)飛天山高椅嶺村，丹霞奇景集聚凸顯，被稱之為“被上帝遺忘的地

方”.如圖1是高椅嶺最高峰美麗坦，下面是登云天梯.現(xiàn)測(cè)量美麗坦的高度時(shí)，選取了與美麗坦底部B在

同一平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與。，測(cè)得N3CD=60°,NCD5=80°,CD=45m,在C點(diǎn)測(cè)得該美麗坦

頂端的A仰角為45。，則美麗坦的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：取sin40=0.6）

\8V,""""0^.z°/

D

A.72mB.75mC.90mD.120m

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理求出BC,再利用直角三角形求解作答.

【詳解】在BCD中,依題意，ZCBD=40，由sin40=0.6，得cos40=Jl—sir?/=0.8,

BCCD45sin80

由正弦定理得即BC=二90cos40二72,

sinZBDCsinZCBDsin40

在RtZkABC中，ZABC=9Q,ZACB=45,因此AB=5C=72,

所以美麗坦的高度約為72m.

故選：A

6.已知W=3力=。,1),且。涉的夾角是：，則人在a方向上的投影向量為()

31,13,

A.—aB.—bC.—ciD.—b

2332

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合題意直接求解

【詳解】因?yàn)榭?3/=(1,1),且a3的夾角是:，

所以b在a方向上的投影向量為

a-baa；=也法￡=也*0歿=i

—a’

\a\aH』211|a|233

故選：c

7.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，約3000年以前，我國(guó)人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計(jì)數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法就

是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1?9的

一種方法.例如：3可表示為“三”，26可表示為“=，”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，

則用1?9這9個(gè)數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）

一二三三|，，工

123456789

1517

A.-B.—C.-D.—

312212

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來(lái)后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個(gè)數(shù)作答.

【詳解】1根算籌只能表示1,2根算籌可表示2和6,3根算籌可表示3和7,4根算籌可表示4和8,5

根算籌可表示5和9,

因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12個(gè)，

其中個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14,41,23,32,共4個(gè)，

41

所以所求概率為尸=不=-.

123

故選：A

8.如圖，在一ABC中，CM=2MB，過(guò)點(diǎn)M的直線交射線AB于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q,若

AP=mAB,AQ=nAC,則+的最小值為（）

A.3B.-D.6

3

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合尸，M,。三點(diǎn)共線，求出m,〃的關(guān)系，再利用基本不等式求最

小值作答.

21

【詳解】由CM=2MB，得AM-AC=2(43—A"),即有AM=§+§AC,

由A尸=氏AQ=〃AC,且機(jī)＞0,〃＞。，得AB=，AP,AC=LA。，

mn

21.21

因此AM二——AP+—AQ,而點(diǎn)P,M,。共線，則——十——=1,

3m3n3m3n

八/八一21、44〃加4cl~4n—~m8

所以機(jī)+2〃=（機(jī)+2n）（-------1）=--\-------------1--------＞—+2J----------=—,

3m3n33m3n3\3m3n3

4〃TH4

當(dāng)且僅當(dāng)一二一，即加=2〃=—時(shí)取等號(hào)，

3m3n3

Q

所以加+2〃的最小值為一.

3

故選：B

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得。分.）

9.已知復(fù)數(shù)z滿足iz+2+3i=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部是2iB.z2=5-12i

C.z的共輾復(fù)數(shù)是3—2iD.|Z|=713

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得復(fù)數(shù)z=—3+2i,結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由復(fù)數(shù)z滿足iz+2+3i=O,可得（iz+2+3i＞（—i）=0,所以z=—3+2i,

對(duì)于A中，復(fù)數(shù)z=—3+2i的虛部為2,所以A不正確；

對(duì)于B中，由Z?=（-3+2i）2=5-12i,所以B正確；

對(duì)于C中，由復(fù)數(shù)z=—3+2i的共朝復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)z=—3—2i,所以C不正確；

對(duì)于D中，由忖=卜3+2胃=所以D正確.

故選：BD.

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.從容量為N的總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三

種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為Pi，P2,PT,＞則B=。2=。3

B.若P（AB）=[,P⑸=|,P㈤=|,則事件A與事件3相互獨(dú)立

C.一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件

D.設(shè)A,3是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）>0,P（5）>0,則P（AB）=P（A）+P（B）

【答案】AB

【解析】

【分析】利用三種抽樣方法的定義判斷A；利用相互獨(dú)立事件地定義判斷B；利用對(duì)立事件的意義判斷C；

利用概率加法公式成立的條件判斷D作答.

VI

【詳解】對(duì)于A,三種抽樣方法，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為一，A正確；

N

-2111

對(duì)于B,由尸（A）=§,得P（A）=§,因此P（A3）=m><§=P（A）P（3）,事件A與事件B相互獨(dú)立，B

正確；

對(duì)于C,“至多一次擊中”的事件與“兩次均未擊中”的事件可以同時(shí)發(fā)生，它們不互斥，不是對(duì)立事件，C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D,A3是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）>0,P（5）>0,當(dāng)A,3互斥時(shí)，P（A_B）=P（A）+P（B）,

D錯(cuò)誤.

故選：AB

11.在一A6C中，角的對(duì)邊分別為”,仇c,則（）

A.若k8+AC|=|A3—?jiǎng)t為直角三角形

JT

B.若a=4,3=:符合條件的一ABC有一個(gè)，則2</?<4

6

C.若sinA>sinB,貝！]。>萬(wàn)

D.若sin2A=sin2B，則為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)以及數(shù)量積的運(yùn)算律分析運(yùn)算；對(duì)于B：利用正弦定理分析運(yùn)算;

對(duì)于C：利用正弦定理可判斷；對(duì)于D：利用兩角和差的正弦公式求解.

?,,?uunuuu2umUUD2

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?=—AC],即AB+AC=AB-AC，

uunuunuunuun?um?uunuuinuun.一

則AB2+2ABAC+2AC=AB-2ABAC+2AC2，整理侍AB-AC=O，

所以即為直角三角形，故A正確；

兀兀

對(duì)于B：若a=4,5=一，貝!Jasin3=4xsin—=2,

66

若符合條件的.ABC有一個(gè)，則Z?=2或b>4,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：若sinA>sinB,則由正弦定理可得〃>>，故C正確；

對(duì)于D：若sin2A=sin2B,即sin［（A+3）+（A—3）］=sin［（A+3）—（A—3）］,

展開(kāi)整理得85（74+5）5垣（人一5）=0,

jr

?：Q<A+B<n,-Tt<A-B<7i,A+3=—或A—5=0,

2

.ABC為直角三角形或等腰三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.如圖，在正方體ABC?！狝4G2中，點(diǎn)M,N分別是3月,G2的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.在平面AA45內(nèi)存在直線與平面平行

B.在BG上存在點(diǎn)。，使得4。與平面3月CC所成的角為60。

C.若點(diǎn)E是。2的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段GE上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐A-EVW的體積是定值

D.過(guò)點(diǎn)AM,N的截面與正方體的面的交線組成的圖形是五邊形

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于A,取44］的點(diǎn)F,得AFBXM為平行四邊形，從而B(niǎo),F//AM,即可判斷；對(duì)于B,設(shè)

正方體MGR的棱長(zhǎng)為1，則等叫Q"由的，平面地“知〃儂為AQ與平

面34￡C所成的角，求解可判斷；對(duì)于C,連接所，則ET4G為平行四邊形，得GE〃⑷0，從而

GE，"平面AMN,則點(diǎn)P到平面的距離與點(diǎn)E到平面AAW的距離相等且為定值，結(jié)合體積轉(zhuǎn)

化即可判斷；對(duì)于D,取AE的中點(diǎn)G,在用G上取點(diǎn)且=可證得過(guò)點(diǎn)AM,N的

截面與正方體的面的交線組成的圖形是五邊形AMHNG.

【詳解】對(duì)于A,取A4的點(diǎn)尸，連接與尸，

,/AF//BtM,AF=B[M,：.AFB^M為平行四邊形，

,/BtF//AM,耳廠a平面AAW,平面AMN,男/"平面AAW,故A正確;

對(duì)于B,設(shè)正方體ABC?！猘與GR的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)。在BQ上，^-<BXQ<\,

\BX±平面BB”,NAQA為4。與平面BBgC所成的角,

MJ_

tanZAiQBl==1Wtan幺。4W及<G

BQBXQ

.?.45°<NAQ4<60。，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,連接EF，

則EF//AD//51G,EF=AD=BXCX,

則ERB。]為平行四邊形，C[E〃B[F,又

則GE〃AW,GE<Z平面AAGV,Wu平面AACV,GEV平面川0V，

點(diǎn)尸是線段GE上，則點(diǎn)P到平面AMN的距離與點(diǎn)E到平面AMN的距離相等且為定值,

則三棱錐A-PMN的體積VA_PMN=Vp-AMN=VE_AMN，為定值，故C正確；

對(duì)于D,取的中點(diǎn)G,連接AG,GN,

則GN〃￡E〃AM,則G在平面4WN上，

取BM的中點(diǎn)s,在CG，與G上分別取點(diǎn)/〃，且GT=；CG，G"=；B]G，

連接BT,S3，MH,NH,則37〃5￡〃血,

又BT〃AG,則AG〃又“，則M在平面上，

所以，過(guò)點(diǎn)AM,N的截面與正方體的面的交線組成的圖形是五邊形AMHNG,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，第16題第一問(wèn)2分第2問(wèn)3分，共20分.)

13.數(shù)據(jù)24,11,12,13,15,14,17,18,20,10的第60百分位數(shù)是.

【答案】16

【解析】

【分析】先對(duì)這10個(gè)數(shù)據(jù)排列，然后根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可

【詳解】這10個(gè)數(shù)從小到大排列為10,11,12,13,14,15,17,18,20,24,

因?yàn)?0x60%=6,

所以第60百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即"三"=16,

故答案為：16

14.在平行四邊形ABCD中，E為的靠近3的三等分點(diǎn)，若A3=2,AT>=6,且440=120°,則

ACDE=.

【答案】-22

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】以8為原點(diǎn)，以BC所在直線為無(wú)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

匕i

A____________D

BECx

則B(0,0),C(6,0),E(2,0),A(l,我,。(7,?

AC=(5,-A/3),DE=(-5,-73),

ACDE=5x(-5)+(-73)x(-G)=-22.

故答案為：—22.

15.某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了獲取學(xué)生身高信息，采用男、女按比例

分配分層抽樣的方法抽取樣本50人，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值(單位：cm),計(jì)算得男生樣本的均值為170,

方差為20,女生樣本的均值為160,方差為30,據(jù)此估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生身高的總體方差為.

【答案】48

【解析】

【分析】根據(jù)分層抽樣均值和方差的計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意，某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，

可得總體的均值為]=@^xl70+當(dāng)■xl60=166,

10001000

總體的方差為一=^^{600X[20+(170-166)2]+400X[30+(160-166)2]}=48.

故答案為：48.

16.已知四棱錐P-ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，上4,平面ABCZ),底面ABCD是等腰梯形，

AD//BC,AB=AD=CD=4,ZABC=-,PA=272,

3

(1)四棱錐F-ABCD的外接球的表面積為；

(2)若M是線段A3上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)/作球。的截面，所得截面圓面積的最小值為

【答案】①.7271②.37r

【解析】

【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心。的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)及余弦定理求解作

答.

【詳解】(1)在等腰梯形ABCD中，連接AC,如圖，

則NR4D=NADC=」，ZCAD=-,于是/R4C=巴，

362

取中點(diǎn)。一連接日人@。，則aA=a3=oc，得.均為正三角形,

即有aA=O[B=O.C=O[D,即01是梯形ABCD外接圓圓心,

而。為四棱錐P—ABCD外接球球心，因此平面A5CD,又用，平面ABCD,

則而Q4為球。的弦，則過(guò)點(diǎn)。垂直于Q4的平面必過(guò)外的中點(diǎn)E,連接。工。4,

于是OELB4,而OiALPA,即有qA〃OE,四邊形QAEO為矩形，O}O=AE=^PA=42,

因此球。的半徑R=OA=86+002=30,

所以，四棱錐P—ABCD的外接球的表面積為S=4兀尺2=7271；

7T

(2)在中，ZABO,=-,BM=3,0,5=4,

2

O^-=BM+0^--2BMOtBcosZABO1=13,

22

連接OXM,在RtAOjOAf中，OM=O}M+Ofir=15,

過(guò)點(diǎn)M的球0的最小截面圓所在平面必垂直于OM,

而此截面圓半徑為r=A/T?2-OM2=73，

所得截面圓面積的最小值為岳=兀產(chǎn)=3兀.

故答案為：72兀，3兀.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17已知向量a=(1,0)力,且|a-2Z?|=2.

(1)求加及。與6的夾角的余弦值；

(2)若。+加與方垂直，求實(shí)數(shù)f的值.

【答案】(1)7"=g，cos(^a,b^~~~

2

(2)t=---

5

【解析】

【分析】(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及夾角公式求解；

(2)利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)橄蛄縜=(1,0),。=(m,V),\d-2b|=2，

所以〃為=加,5|=1,|〃|=y/m2+1，

\d—2b|2=d2—4a-Z?+4Z?2=4?即4根？—4m+1=0，解得根=5,

g、i/7\a，b君

''\d\\b\5

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知加=g,故〃=(l,0),b=,

故a+仍=(1,0)+Z,1J=11+耳/,

因?yàn)椤?仍與Z?垂直,所以(。+也>"=][1+5%]+%=°,解得[=—1.

18.如圖，在四棱錐尸-A5CD中，平面？A3,底面A5C。，底面ABCD為正方形，E為PB的中點(diǎn),

方為尸。的中點(diǎn).

P

;

BL-------------%

(1)證明：EF//底面ABCD；

(2)已知八4=/>5=2,二面角P—BC—A的平面角為60。，求四棱錐P—A6CD的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵逑

3

【解析】

【分析】(1)連接8。，可得EF//BD,利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)取4B的中點(diǎn)M,由面面垂直的性質(zhì)可得底面ABC。，進(jìn)而得8cl平面B4B,NPBA是二

面角尸-BC-A的平面角，可求得PM,利用棱錐的體積公式求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

連接8。，在△P8D中,E為尸8的中點(diǎn)，尸為尸。的中點(diǎn)，所以EF//BD,

又BDu底面ABCD,EF<Z底面ABCD,所以EE//底面ABCD,

【小問(wèn)2詳解】

取A8的中點(diǎn)連接PM,

因?yàn)锽4=PB=2,所以。

又平面PAB，底面ABCD,平面Q4BC底面ABCD=AB,PMu平面PAB,

所以底面A3CD所以

因?yàn)榈酌?8CD為正方形，所以3C_LAB,

又ABPM=M,鉆,「河匚平面出3,所以平面B48,

。6匚平面研8，，5。_1。5,

.?.NP6A是二面角P—5C—A的平面角，.,.N/?B4=60°,

又PA=PB=2,，P8A為正三角形，.〔PMuG，

所以匕ABCD==x2x2義班,

r-ADCLZ3"3

即四棱錐P-ABCD的體積為述.

3

2a—

19.在銳角中，內(nèi)角所A3,C對(duì)的邊分別為"c,若滿足cosC=——

2b

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若/?=1,求a+c的取值范圍.

TT

【答案】(1)-

3

⑵(73,2]

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理邊角互化來(lái)處理；

(2)利用正弦定理，將a+c用角來(lái)表示，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性處理.

【小問(wèn)1詳解】

u■，人在-2a—C―。2

由余弦定理，cosC=-------=--------------,

2b2ab

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從［60,70),［90,100］兩個(gè)區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再?gòu)倪@4名學(xué)生中隨機(jī)

抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間［60,70］的概率；

(3)學(xué)校決定從知識(shí)能力測(cè)評(píng)中抽出成績(jī)最好的兩個(gè)同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)知識(shí)搶答賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)

目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍.已

12

知甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為3,《,P，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是

47

—,甲乙兩人誰(shuí)獲得最終勝利的可能性大？并說(shuō)明理由.

50

【答案】(1)84.5分

⑵-

4

(3)甲最終獲勝的可能性大；理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的分法，得到從［60,70)抽取1人，即為。，從［90,100］中抽取3人，即為123,利用

列舉法求得基本事件的總數(shù)和所有事件中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求

解；

4

(3)根據(jù)題意求得p=分別求得甲乙得到2分和3分概率，即可得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，估計(jì)這次知識(shí)能力測(cè)評(píng)的平均數(shù)：

x=(65x0.01+75x0.015+85x0.045+95x0.03)xl0=84.5分.

【小問(wèn)2詳解】

解：由頻率分布直方圖，可得［60,70)的頻率為0.1,［90,100］的頻率為0.3,

所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從［60,70),［90,100］兩個(gè)區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，

可得從［60,70)抽取1人，即為。，從［90,100］中抽取3人，即為123,

從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有(a,1),(a,2),(a,3),(1,2),(1,3),

(2,3),(1,a),(2,a),(3,a),(2,1),(3,1),(3,2),共有12個(gè)基本事件;

其中第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間［60,70］的有：(1,a),(2,a),(3,a),共有3個(gè)，

31

所以概率為P=—=—.

124

【小問(wèn)3詳解】

解：甲最終獲勝的可能性大.

47

理由如下：由題意，甲至少得1分的概率是一，

50

12474

可得i—(i—5)(i—1)(1—P)=五，其中。<°<1,解得p=§,

1241241241243

則甲的2分或3分的概率為：P=—x—x(1)H—x(1---)x—I-(1----)x—x—I—x—x—=—,

2552552552555

所以乙得分為2