蘇科版2024年九年級數(shù)學下冊期中測試卷+答案二

期中測試卷（2）

一.選擇題

1.下列關系式中y是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=￥B.y=Jx2_]C.y=4?D.y=ax2

2.已知拋物線和直線I在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸

為直線x=-1,Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）是拋物線上的點，P3（X3,y3）是直線

I上的點，且X3<-1<X1<X2，則yi，丫2，丫3的大小關系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

3.若y-4與x2成正比例，當x=2時，y=6,則y與x的函數(shù)關系式是（）

A.y=x2+4B.y=-x2+4C.y=--1-x2+4D.y=-^-x2+4

4.已知二次函數(shù)y=（k-2）x2+2x+l的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）

A.kN3B.k<3C.kW3且kW2D.k<2

5.某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子0A,。恰

為水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相

同的拋物線路徑落下.在過0A的任一平面上，建立平面直角坐標系（如圖），水

流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系式是y=-x2+2x+”,則下列

4

結(jié)論:

⑴柱子0A的高度為"m；

4

⑵噴出的水流距柱子1m處達到最大高度；

⑶噴出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

⑷水池的半徑至少要2.5m才能使噴出的水流不至于落在池外.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.已知x：y=5：2,則下列各式中不正確的是（）

A.曲=工B."=旦C.上工D.上=3

y2y2x+y7y-x3

7.如圖是著名畫家達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》.畫中的臉部被包在矩形ABCD內(nèi),

點E是AB的黃金分割點，BE>AE,若AB=2a,則BE長為（）

A.（V5+1）aB.（V5-1）aC.（3-近）aD.（近-2）a

8.如圖，在aABC中，D為AB上的一點，過點D作DE〃BC交AC于點E,過點

D作DF〃AC交BC于點F,則下列結(jié)論錯誤的是（）

AAD_DERDE_AErAE.BFnCE_BF

DBBFBCACCECFACBC

9.對一個圖形進行放縮時，下列說法中正確的是（）

A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變B.圖形中線段的長度與角的大小

都會改變C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變D.圖形中線段的

長度可以改變、角的大小保持不變

A.2對B.3對C.4對D.5對

11.如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,對角線AC與BD相交于點0,如果SMCD：

SAABC=1：2,那么SAAOD：SABOC是()

D.1：6

12.如圖，已知小魚與大魚是位似圖形，則小魚的點（a,b）對應大魚的點（）

A.(-a,-2b)B.(-2a,-b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-2b)

二.填空題

13.如圖，在同一時刻，測得小麗和旗桿的影長分別為1m和6m,小華的身高

約為1.8m,則旗桿的高約為m.

14.人體下半身與身高的比例越接近0.618,越給人美感.遺憾的是，即使芭蕾舞

演員也達不到如此的完美.某女士身高1.68m,下半身1.02m,她應該選擇穿

（精確到0.1cm）的高跟鞋看起來更美.

16.如圖，4ABC內(nèi)接于。O,D是第上一點，E是BC的延長線上一點，AE交

?0于點F,若要使△ADBs^ACE,還需添加一個條件，這個條件可以

是.

17.二次函數(shù)y=-x2+2x-3,用配方法化為y=a（x-h）2+k的形式為.

18.某種商品的進價為40元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100

-X)件，當*=時才能使利潤最大.

三.解答題

19.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4

過點B,C兩點，且與x軸的一個交點為D(-2,0),點P是線段CB上的動點，

設CP=t(0<t<10).

⑴請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式；

⑵過點P作PELBC,交拋物線于點E,連接BE,當t為何值時，ZPBE=ZOCD?

⑶點Q是x軸上的動點，過點P作PM〃BQ,交CQ于點M,作PN〃CQ,交BQ

于點N,當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值.

20.如圖，直線y=-與*+?分另ij與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，

ZACB=90°,拋物線y=ax2+bx+?經(jīng)過A,B兩點.

⑴求A、B兩點的坐標；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MHLBC于點H,作MD〃y

軸交BC于點D,求△DMH周長的最大值.

21.如圖，已知點O(0,0),A(-5,0),B(2,1),拋物線I：y=-(x

-h）2+l（h為常數(shù)）與y軸的交點為C.

⑴拋物線I經(jīng)過點B,求它的解析式，并寫出此時拋物線I的對稱軸及頂點坐標;

⑵設點C的縱坐標為yc,求yc的最大值，此時拋物線I上有兩點（xi,yi）,（x2,

丫2），其中X1>X2》O,比較yi與丫2的大?。?/p>

⑶當線段0A被I只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值.

22.如圖1所示，點C將線段AB分成兩部分，如果想■上，那么點C為線段

ABAC

AB的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到"黃金分割

線"，類似地給出"黃金分割線”的定義:直線I將一個面積為S的圖形分成兩部分，

這兩部分的面積分別為S1、S2,如果'=這，那么稱直線I為該圖形的黃金分割

SS]

線.

⑴研究小組猜想：在4ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點，如圖2所示,

則直線CD是AABC的黃金分割線，你認為對嗎？說說你的理由；

⑵請你說明：三角形的中線是否是該三角形的黃金分割線.

23.如圖，在直角梯形OABC中，OA〃BC,A、B兩點的坐標分別為A（13,0）,

B（11,12）.動點P、Q分別從0、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿

x軸向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC方向運動；當點P停止運

動時，點Q也同時停止運動.線段PQ和0B相交于點D,過點D作DE〃x軸，

交AB于點E,射線QE交x軸于點F.設動點P、Q運動時間為t（單位：秒）.

⑴當t為何值時，四邊形PABQ是平行四邊形.

⑵△PQF的面積是否發(fā)生變化？若變化，請求出△PQF的面積s關于時間t的函

數(shù)關系式；若不變，請求出APCIF的面積.

⑶隨著P、Q兩點的運動，△PQF的形狀也隨之發(fā)生了變化，試問何時會出現(xiàn)等

腰△PQF?

24.在等邊^(qū)ABC中，點D為AC上一點，連接BD,直線I與AB,BD,BC分別

相交于點E,P,F,且NBPF=60°.

⑴如圖⑴，寫出圖中所有與ABPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；

⑵若直線I向右平移到圖（2）,圖⑶的位置時（其它條件不變），（1）中的結(jié)論是否

仍然成立？若成立，請寫出來（不需證明），若不成立，請說明理由；

（3）探究：如圖（1）,當BD滿足什么條件時（其它條件不變），EF=V3BF?請寫出探

究結(jié)果，并說明理由.

(1)（2）（3）

答案

一.選擇題

L下列關系式中y是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=^-x2B.X2Tc-y=±D-y=ax2

【考點】Hl：二次函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可.

【解答】解：A、y=lx2,是二次函數(shù)，正確；

3

B、Y小可,被開方數(shù)含自變量，不是二次函數(shù)，錯誤；

C、丫=4，分母中含自變量，不是二次函數(shù)，錯誤；

X

D、a=0時，不是二次函數(shù)，錯誤.

故選A.

【點評】此題主要考查了二次根式的定義，正確把握二次根式的定義是解題關鍵.

2.已知拋物線和直線I在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸

為直線x=-1,Pi（xi，yi）,P2（X2，y2）是拋物線上的點，P3（X3,y3）是直線

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；H2：二次函數(shù)的圖象.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】設點Po（-1,yo）為拋物線的頂點，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合拋物

線開口向下即可得出y3>y0,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)圖象即可得出

yo>yi>y2;進而即可得出y2<yi<y3>此題得解.

【解答】解：設點P。（-1,yo）為拋物線的頂點，

???拋物線的開口向下，

點Po（-1,yo）為拋物線的最高點.

???直線I上y值隨x值的增大而減小，且X3<-1,直線I在拋物線上方，

?*-y3>yo-

?.?在x>-1上時，拋物線y值隨x值的增大而減小，-l<xi<x2,

yo>yi>y2,

y2<yi<y3.

故選D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象，設

點Po（-1,yo）為拋物線的頂點，根據(jù)一次（二次）函數(shù)的性質(zhì)找出y2<yi<

yo<y3是解題的關鍵.

3.若y-4與x2成正比例，當x=2時，y=6,則y與x的函數(shù)關系式是（）

A.y=x2+4B.y=-x2+4C.y=--1-x2+4D.y=-i-x2+4

【考點】H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義可設y-4=kx2,然后把x=2,y=6代入可計算出k

的值，則可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式.

【解答】解：根據(jù)題意得y-4=kx2,

當x=2,y=6,則4k=6-4,解得k=-1-,

所以y-4=^-x2,

即y與x的函數(shù)關系式為y=lx2+4.

故選D.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次

函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入

數(shù)值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三

元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式

來求解；當已知拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求

解.也考查了正比例函數(shù)的定義.

4.已知二次函數(shù)y=(k-2)x2+2x+l的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是()

A.kN3B.k<3C.kW3且kW2D.k<2

【考點】HA：拋物線與x軸的交點.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸有交點可得出關于x的一元二次方程有解，根

據(jù)根的判別式結(jié)合二次項系數(shù)非零即可得出關于k的一元一次不等式組，解不等

式組即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=(k-2)x2+2x+l的圖象與x軸有交點，

??.一元二次方程(k-2)x2+2x+l=0有解，

.%-2卉0

,A=22-4(k-2)=12-4k>0'

解得：kW3且kW2.

故選：C.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點、根的判別式以及解一元一次不等式組,

根據(jù)根的判別式結(jié)合二次項系數(shù)非零找出關于k的一元一次不等式組是解

題的關鍵.

5.某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個柱子0A,。恰

為水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相

同的拋物線路徑落下.在過0A的任一平面上，建立平面直角坐標系(如圖)，水

流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系式是y=-x2+2x+3,則下列

結(jié)論:

⑴柱子0A的高度為"m；

4

⑵噴出的水流距柱子1m處達到最大高度；

⑶噴出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

⑷水池的半徑至少要2.5m才能使噴出的水流不至于落在池外.

其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】HE：二次函數(shù)的應用.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】在已知拋物線解析式的情況下，利用其性質(zhì)，求頂點(最大高度)，與

x軸，y軸的交點，解答題目的問題.

【解答】解：當x=0時，y=3,故柱子OA的高度為Hm；(1)正確；

44

*.'y=-x2+2x+—=-(x-1)2+2.25,

4

???頂點是(1,2.25),

故噴出的水流距柱子1m處達到最大高度，噴出的水流距水平面的最大高度是

2.25米；故⑵正確，⑶錯誤；

解方程-x2+2x+g=0,

4

MXl=--,X=—)

222

故水池的半徑至少要2.5米，才能使噴出的水流不至于落在水池外，(4)正確.

故選：C.

【點評】本題考查了拋物線解析式的實際應用，掌握拋物線頂點坐標，與x軸交

點，y軸交點的實際意義是解決問題的關鍵.

6.已知x：y=5：2,則下列各式中不正確的是（）

A.曲=工B.三型C.上工D.上工

y2y2x+y7y-x3

【考點】S1：比例的性質(zhì).

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】根據(jù)合比性質(zhì)，可判斷A,根據(jù)分比性質(zhì)，可判斷B,根據(jù)合比性質(zhì)、

反比性質(zhì)，可判斷C,根據(jù)分比性質(zhì)、反比性質(zhì)，可判斷D.

【解答】解：A、由合比性質(zhì)，得曲=工，故A正確；

y2

B、由分比性質(zhì)，得包=芭，故B正確；

y2

C、由反比性質(zhì)，得y：x=2：5.由合比性質(zhì)，得也=工,再由反比性質(zhì)，得上

x5y+x

=$,故c正確；

7

D、由反比性質(zhì)，得y：x=2：5.由分比性質(zhì)，得空再由反比性質(zhì)，得上

x5y-x

=_L,故D錯誤；

-3

故選；D.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了反比性質(zhì)，合比性質(zhì)、分比性質(zhì)，記住

性質(zhì)是解題關鍵.

7.如圖是著名畫家達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》.畫中的臉部被包在矩形ABCD內(nèi),

點E是AB的黃金分割點，BE>AE,若AB=2a,則BE長為（）

A.（V5+1）aB.（V5-1）aC.（3-近）aD.（近-2）a

【考點】S3：黃金分割.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】直接根據(jù)黃金分割的定義求解.

【解答】解：：點E是AB的黃金分割點，BE>AE,

.?.BE=35T.AB=V^V?2a=（粕-1）a.

22

故選B.

【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC）,

且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，

點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC=Y^1AB=0.618AB,并且線段AB的

2

黃金分割點有兩個.

8.如圖，在aABC中，D為AB上的一點，過點D作DE〃BC交AC于點E,過點

D作DF〃AC交BC于點F,則下列結(jié)論錯誤的是（）

AAD_DERDE_AE「AE_BFnCE_BF

DBBFBCACCECFACBC

【考點】S4：平行線分線段成比例.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，再把它們等量代換，即可得

出答案.

【解答】解：：DF〃AC,

???-A-D-.--C-F,

BDBF

：DE〃BC,

四邊形DECF為平行四邊形，

，DE=CF,

AD=DE,故A正確；

BDBF

?.,DE〃BC,

.\DE=AE,故B正確；

BCAC

DE〃BC,DF〃AC,

?AE=ADADCF故錯誤;

，，CE-BD，BD-=BFC

：DE〃BC,DF/7AC,

BD

C-E---BD_BF

B，------，

ACAB1ABBC

C-E-F

-B-

ACC,故D正確;

故選C.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，此題比較簡單，注意掌握比例線

段的對應關系是解此題的關鍵.

9.對一個圖形進行放縮時，下列說法中正確的是（）

A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變B.圖形中線段的長度與角的大小

都會改變C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變D.圖形中線段的

長度可以改變、角的大小保持不變

【考點】S5：相似圖形.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)得出相似圖形的對應邊成比例，對應角相等，即可

得出答案.

【解答】解：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等，

???對一個圖形進行收縮時，圖形中線段的長度改變，角的大小不變，

故選D.

【點評】本題主要考查對相似圖形的性質(zhì)的理解和掌握，能熟練地根據(jù)相似圖形

的性質(zhì)進行說理是解此題的關鍵.

10.如圖所示，圖中共有相似三角形（)

A.2對B.3對C.4對D.5對

【考點】S8：相似三角形的判定；M5：圓周角定理.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】可以運用相似三角形的判定方法進行驗證.

【解答】解：共四對，分別是△PACS^PBD、△AOCs^DOB、

△AOB^ACOD>APAD^APCB.

故選c.

【點評】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情況.

11.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,對角線AC與BD相交于點O,如果SMCD：

SAABC=1：2,那么SAAOD：SABOC是（）

【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；LH：梯形.

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】首先根據(jù)：：可得然后根據(jù)相似三角形

SMCDSAABC=12,AD：BC=1：2；

的面積的比的等于它們的相似比的平方，求出SAAOD：S^BOC是多少即可.

【解答】解：?在梯形中，而且：：

ABCDAD〃BC,SMCDSAABC=12,

AAD：BC=1：2；

?.,AD〃BC,

.?.△AOD?△BOC,

VAD：BC=1：2,

SAAOD：SABOC=1：4.

故選：B.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應用，以及梯形的特征和應

用，要熟練掌握.

12.如圖，已知小魚與大魚是位似圖形，則小魚的點（a,b）對應大魚的點（）

【考點】SC：位似變換；D5：坐標與圖形性質(zhì).

【專題】選擇題

【難度】易

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進而得出答案.

【解答】解：由圖形可得，小魚與大魚的位似比為：1：2,

則小魚的點（a,b）對應大魚的點為：（-2a,-2b）.

故選：D.

【點評】此題主要考查了位似變換以及坐標與圖形的性質(zhì)，正確得出位似比是解

題關鍵.

二.填空題

13.如圖，在同一時刻，測得小麗和旗桿的影長分別為1m和6m,小華的身高

【考點】SA：相似三角形的應用.

【專題】填空題

【難度】中

【分析】由小麗與旗桿的長度之比等于影子之比求出所求即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：上電=三，

解得：x=10.4,

則旗桿的高約為10.4m,

故答案為：10.4

【點評】此題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的

關鍵.

14.人體下半身與身高的比例越接近0.618,越給人美感.遺憾的是，即使芭蕾舞

演員也達不到如此的完美.某女士身高1.68m,下半身1.02m,她應該選擇穿

（精確到0.1cm）的高跟鞋看起來更美.

【考點】S3：黃金分割；1H：近似數(shù)和有效數(shù)字.

【專題】填空題

【難度】中

【分析】設她應選擇高跟鞋的高度是xcm,根據(jù)黃金分割的定義，列出方程直接

求解即可.

【解答】解：設她應選擇高跟鞋的高度是xcm,則

102+x=o618,

168+x

解得：x^4.8cm.

經(jīng)檢驗知x^4.8是原方程的解,

答：她應該選擇穿4.8cm的高跟鞋看起來更美.

故本題答案為：4.8.

【點評】此題主要考查了黃金分割，據(jù)題黃金分割的定義列出方程是本題的關

鍵.注意身高不要忘記加上高跟鞋的高度.

【考點】S4：平行線分線段成比例.

【專題】填空題

【難度】中

【分析】如圖，首先證明△ADEs^ABC,列出比例式即可解決問題.

【解答】解：如圖，：DE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

???-E--A----D-E----4-,

AC-BC-5

故答案為4：5.

【點評】該題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應用問題；牢固掌握平行

線分線段成比例定理、準確找出圖形中的對應線段是解題的關鍵.

16.如圖，AABC內(nèi)接于。O,D是第上一點，E是BC的延長線上一點，AE交

?0于點F,若要使△ADBs/XACE,還需添加一個條件，這個條件可以

【考點】S8：相似三角形的判定；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】填空題

【難度】中

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NADB=NACE,然后可以根據(jù)有兩組角對

應相等的兩個三角形相似添加條件.

【解答】解：???四邊形ADBC為。。的內(nèi)接四邊形，

AZADB=ZACE,

當NDAB=NCAE時，AADB^AACE.

故答案為NDAB=NCAE.

【點評】本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊

相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;三組對應邊的比相等的兩個三角形相似;

兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩

個三角形相似.也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

17.二次函數(shù)y=-x2+2x-3,用配方法化為y=a(x-h)2+k的形式為.

【考點】H9：二次函數(shù)的三種形式.

【專題】填空題

【難度】中

【分析】直接利用配方法表示出頂點式即可.

【解答】解：：y=-x2+2x-3

=-(x2-2x)-3

=-(x-1)2-2.

故答案為：y=~(x-1)2-2.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確配方法是解題關鍵.

18.某種商品的進價為40元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(100

-x)件，當x=時才能使利潤最大.

【考點】HE：二次函數(shù)的應用.

【專題】填空題

【難度】中

【分析】根據(jù)題意可以得到利潤與售價之間的函數(shù)關系式，然后化為頂點式即可

解答本題.

【解答】解：設獲得的利潤為w元，由題意可得，

w=(x-40)(100-x)=-(x-70)2+900,

.,.當x=70時，w取得最大值，

故答案為：70.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件.

三.解答題

19.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4

過點B,C兩點，且與x軸的一個交點為D(-2,0),點P是線段CB上的動點,

設CP=t(0<t<10).

⑴請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式；

⑵過點P作PELBC,交拋物線于點E,連接BE,當t為何值時，ZPBE=ZOCD?

⑶點Q是x軸上的動點，過點P作PM〃BQ,交CQ于點M,作PN〃CQ,交BQ

于點N,當四邊形PMQN為正方形時，請求出t的值.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】解答題

【難度】難

【分析】(1)由拋物線的解析式可求得C點坐標，由矩形的性質(zhì)可求得B點坐標,

由B、D的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

⑵可設P(t,4),則可表示出E點坐標，從而可表示出PB、PE的長，由條件可

證得△PBEs^ocD,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關于t的方程，可求得t的值；

⑶當四邊形PMQN為正方形時，則可證得△COQs^QAB,利用相似三角形的性

質(zhì)可求得CQ的長，在RtABCQ中可求得BQ、CQ,則可用t分別表示出PM和

PN,可得到關于t的方程，可求得t的值.

【解答】解：

⑴在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4,

AC(0,4),

:四邊形OABC為矩形，且A(10,0),

AB(10,4),

1

100a+10b+4=4a一3

把B、D坐標代入拋物線解析式可得(解得,

4a-2b+4-0

拋物線解析式為y=-lx2+-^x+4；

63

(2)由題意可設P(t,4),則E(t,-lt2+^-t+4),

63

PB=10-t,PE=-lt2+-^-t+4-4=-lt2+At,

6363

VZBPE=ZCOD=90°,ZPBE=ZOCD,

.,.△PBES/XOCD,

/.BP=P1,即BP?OD=CO?PE,

COOD

：.2(10-t)=4(-lt2+-^-t),解得t=3或t=10(不合題意，舍去),

63

.?.當t=3時，ZPBE=ZOCD；

⑶當四邊形PMQN為正方形時，貝l]NPMC=NPNB=NCQB=90。，PM=PN,

AZCQO+ZAQB=90°,

VZCQO+ZOCQ=90",

NOCQ=NAQB,

RtACOQ^RtAQAB,

ACO=OQ(gpOQ?AQ=CO?AB,

AQAB

設0Q=m,貝UAQ=10-m,

m(10-m)=4X4,解得m=2或m=8,

①當m=2時，CQ=,0C2+OQ2=2&,BQ=,AQ2+AB2=4泥,

.，.sinNBCQ?=^Xsin/CBQ=%^,

BC5CB5

.,.PM=PC?sinZPCQ=±^-t,PN=PB?sinZCBQ=^(10-t),

55

...氏巳=匹(io-1),解得t=世，

553

②當m=8時，同理可求得t=型，

3

??.當四邊形PMQN為正方形時，t的值為此或空.

33

【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角

形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知識.在⑴中注意利

用矩形的性質(zhì)求得B點坐標是解題的關鍵，在⑵中證得△PBEs/iOCD是解題的

關鍵，在⑶中利用RgCOQsRQQAB求得CQ的長是解題的關鍵.本題考查知

識點較多，綜合性較強，難度較大.

20.如圖，直線y=-與x+y分另U與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，

ZACB=90°,拋物線y=ax2+bx+遂經(jīng)過A,B兩點.

⑴求A、B兩點的坐標；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MHLBC于點H,作MD〃y

軸交BC于點D,求△DMH周長的最大值.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】解答題

【難度】難

【分析】(1)由直線解析式可求得B、C坐標，在RtABOC中由三角函數(shù)定義可求

得ZOCB=60°，則在Rt△AOC中可得NACO=30°，利用三角函數(shù)的定義可求得0A,

則可求得A點坐標；

⑵由A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

⑶由平行線的性質(zhì)可知NMDH=NBCO=60。，在RtaDIVIH中利用三角函數(shù)的定義

可得到DH、MH與DM的關系，可設出M點的坐標，則可表示出DM的長，從

而可表示出△DMH的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

【解答】解：

(I)：?直線y=-返x+遂分另U與x軸、y軸交于B、C兩點，

3

AB(3,0),C(0,5)，

.*.0B=3,OC=A/3>

AZBCO=60°,

VZACB=90",

ZACO=30°,

.,.^O.=tan30°=^l,即塌=也，解得AO=1,

CO3V33

AA(-1,0)；

⑵：拋物線y=ax2+bx+?經(jīng)過A,B兩點，

f=V3

...[a-b+F]，解得J

19a+3b+V3=0,2V3

伊丁

?，?拋物線解析式為y=-1x2+2國x+近；

33

(3)：MD〃y軸，MH±BC,

AZMDH=ZBCO=60",貝ljNDMH=30°,

.?.DH」DM,MH=^DM,

22

.?.△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+LDM+返DM=^i^DM,

222

當DM有最大值時，其周長有最大值，

點M是直線BC上方拋物線上的一點，

，可設M（t,-乎12+當“遮），則D（t,-率+遮），

.,.DM=-返t2+^Zlt+?）,則D（t,-返t+遂），

333

DM=-*t2+當lt+5-（-*t+5）=-^-t2+V3t=-乎（t-慨）2+^^.,

.?.當t=2時，DM有最大值，最大值為曳1,

24

此時3+遙DM=3+FX3愿=%'3+’,

2248

即aDIVIH周長的最大值為士叵電.

8

【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、二次

函數(shù)的性質(zhì)、方程思想等知識.在⑴中注意函數(shù)圖象與坐標的交點的求法，在⑵

中注意待定系數(shù)法的應用，在⑶中找到DH、MH與DM的關系是解題的關鍵.本

題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中.

21.如圖，已知點O(0,0),A(-5,0),B(2,1),拋物線I：y=-(x

-h）2+l（h為常數(shù)）與y軸的交點為C.

⑴拋物線I經(jīng)過點B,求它的解析式，并寫出此時拋物線I的對稱軸及頂點坐標;

⑵設點C的縱坐標為yc,求yc的最大值，此時拋物線I上有兩點（xi,yi）,（x2,

丫2），其中X1>X2》O,比較yi與丫2的大小；

⑶當線段0A被I只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值.

【考點】H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；H7：二次函數(shù)的最值.

【專題】解答題

【難度】難

【分析】⑴把x=2,y=l代入二次函數(shù)的解析式計算，得到解析式，根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)得到拋物線I的對稱軸及頂點坐標；

⑵根據(jù)坐標的特征求出加，根據(jù)平方的非負性求出火的最大值，根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)比較yi與丫2的大?。?/p>

⑶根據(jù)把線段0A分1：4兩部分的點是（-1,0）或（-4,0）,代入計算即可.

【解答】解：⑴把x=2,y=l代入y=-（x-h）2+1,得：h=2,

解析式為：y=-（x-2）2+1,

對稱軸為：x=2,頂點坐標為：（2,1）；

2

（2）點C的橫坐標為0,則yc=-h+l,

??.當h=0時，yc有最大值為1,

此時，拋物線為：y=-x2+l,對稱軸為y軸，

當x>0時，y隨著x的增大而減小，

.'.xi>X2》0時，yi<yz；

⑶把線段OA分1：4兩部分的點是（-1,0）或（-4,0）,

把x=-1,y=0代入y=-（x-h）2+1,得：h=0或h=-2.

但h=-2時，線段OA被分為三部分，不合題意，舍去，

同樣，把x=-4,y=0代入y=-（x-h）2+l,

得：h=-5或h=-3（舍去），

Ah的值為0或-5.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的最值的確定、待定系數(shù)法的應用，靈活運用待

定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式、熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

22.如圖1所示，點C將線段AB分成兩部分，如果空■更，那么點C為線段

ABAC

AB的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到"黃金分割

線"，類似地給出"黃金分割線”的定義:直線I將一個面積為S的圖形分成兩部分，

這兩部分的面積分別為Si、S2,如果&=此，那么稱直線I為該圖形的黃金分割

SS]

線.

⑴研究小組猜想：在4ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點，如圖2所示,

則直線CD是AABC的黃金分割線，你認為對嗎？說說你的理由；

⑵請你說明：三角形的中線是否是該三角形的黃金分割線.

【考點】S3：黃金分割；K3：三角形的面積.

【專題】解答題

【難度】難

【分析】⑴結(jié)合線段的黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析計算；

⑵根據(jù)三角形的中線的概念可知分成的兩個三角形的面積相等，顯然不符合黃

金分割線的概念.

【解答】解：VSaacdA型,

^AABC皿2AACD皿

又是AB的黃金分割點，

?ADBD

,*AB^AD，

SAABCSAACD

/.CD是4ABC的黃金分割線；

⑵不是.

VCD>AABC的中線,

，AD=DB,

?SAACD_1

^AABC2

而SABCD=L

SAACD

?SAACDfSABCD

??-/------------------，

SAABCSAACD

...中線不是黃金分割線.

【點評】主要考查的是線段的黃金分割點的概念和三角形的面積公式.

23.如圖，在直角梯形OABC中，OA〃BC,A、B兩點的坐標分別為A(13,0),

B(11,12).動點P、Q分別從0、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿

x軸向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC方向運動；當點P停止運

動時，點Q也同時停止運動.線段PQ和OB相交于點D,過點D作DE〃x軸，

交AB于點E,射線QE交x軸