三角形 全章復(fù)習與測試-新八年級數(shù)學暑假自學提升講義（人教版）解析版

第11章三角形全章復(fù)習與測試

模塊導(dǎo)航素養(yǎng)目標

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.理解并會應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系.能夠運用三角

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進行相關(guān)的計算，

證明問題.

模塊三核心考點舉一反三2.掌握多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，會用多邊形

模塊四小試牛刀過關(guān)測的內(nèi)角和公式與外角和定理進行簡單的計算與說理

模塊一思維導(dǎo)圖串知識-----------------------------

三角形的兩邊之和大于第三邊三條邊三角形內(nèi)

角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180。

與

三個內(nèi)角三

角

形

三個頂點三角形的三角形的外角和等于360。

有

關(guān)

的

直角三角形角外角三角形的外角等于與它

銳角三角形按角相性質(zhì)不相鄰的兩個內(nèi)角的和

關(guān)

鈍角三角形概

分類性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余

念

三邊都不相等的三角形姜復(fù)一有兩個角互余的三角形是直角

二角形判定三角形

底邊和腰不相等的按邊

等腰三角形

等腰三角形”邊形內(nèi)角和（n-2）x180°

等邊三角形多邊形的一

形內(nèi)角和多邊形的外角和多邊形的外

注意：三角形的高

是360°角和是定值，

不一定在三角形內(nèi)，-士

部，其交點也不一款曹暮所亭直不隨邊數(shù)的

定在三角形內(nèi)部線）相交于一點高”邊形的n（n-3）變化而變化

對角線條數(shù)—2—

得互余關(guān)系及90。角

每條邊都相等

有

多

分得的兩個三角形面積相等關(guān)（n-2）xl80°

邊

的正外邊形每個內(nèi)角都相等----?-----

三條中線相交于三角形內(nèi)部一點，該中線形

點為三角形的重，色_____線360°

段每個外角都相等—

三角形內(nèi)角被分成兩個相等的角

三條角平分線相交于三角形內(nèi)部角平分線

不穩(wěn)定性

一點

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理-----------------------------

知識點一、三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)

三角形三邊的關(guān)系：

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊。

解題策略：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形,

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若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.當

已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍.

三角形的分類：

按“角”分類：

直角三角形

三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

按“邊”分類:

「不等邊三角形

三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形＜

等邊三角形

三角形的重要線段：

一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點.

一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點.

三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形

交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.

三角形的內(nèi)角和與外角和：

三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°.

三角形外角性質(zhì)：

(1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角.

三角形的外角和：三角形的外角和等于360。.

知識點二、多邊形及其相關(guān)概念

1.定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.其中，各個角

相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.

2.相關(guān)概念：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

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3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個

多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形.如圖：

解題策略：

(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；

(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為迎二2；

2

(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形.

知識點三、多邊形內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°(n》3).

要點詮釋：

(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形

的每個內(nèi)角都相等，都等于("—2)?180；

n

知識四、多邊形的外角和

多邊形的外角和為360°.

要點詮釋：

⑴在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形的外角和恒等于

360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān)；

(2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于幽；

n

(3)多邊形的外角和為360。的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等

外角的度數(shù).

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6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

一.三角形（共3小題）

1.（2023秋?蜀山區(qū)期末）AABC的三角之比是1:2:3,則A43。是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

【分析】設(shè)N4=x,則N3=2x,ZC=3x,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進而可得出結(jié)論.

【解答】解：在AABC中，若Z4:NB:NC=1:2:3,

.?.設(shè)ZA=x,則ZB=2x,ZC=3x,

%+2x+3x=180°,

解得x=30。，

.?.NC=3X=90°,

此三角形是直角三角形.

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180。是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?臨沐縣期末）如圖，在RtAABC中，ZB=90°,ZCED=ZA,則A8"為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上均有可能

【分析】先求得NA+NC=90。，再由=得到NCED+NC=90。，從而可得NCDE=90。，最后可

得結(jié)論.

【解答】解：在RtAABC中，ZB=90°,

:.ZA+ZC=90°,

ZCED=ZA,

ZCED+ZC=90°,

ZCDE=90°,

即ACDE為直角三角形，

故選：B.

【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的兩個銳角互余.

3.（2023秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在RtAABC中，ZA=90°,ZB=30°.動點P從點C出發(fā)，沿邊CB,BA

向點A運動.在點尸運動過程中，AR4c可能成為的特殊三角形依次是（）

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A

A.直角三角形f等邊三角形一直角三角形f等邊三角形一直角三角形

B.等腰三角形一直角三角形-等邊三角形一直角三角形一等腰直角三角形

C.直角三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰直角三角形-直角三角形

D.等腰直角三角形“等腰三角形一直角三角形一等腰直角三角形f直角三角形

【分析】根據(jù)三角形的特征解答即可.

【解答】解：在點尸運動過程中，AR4c可能成為的特殊三角形依次是直角三角形f等邊三角形一直角三

角形一等腰直角三角形一直角三角形，

故選：C.

【點評】本題考查動點問題，掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵.

二.三角形的角平分線、中線和高（共5小題）

4.（2023秋?江門期末）如圖，四個圖形中，線段班是AABC的高的圖是（）

【分析】根據(jù)高的畫法知，過點3作AC邊上的高，垂足為E,其中線段班是AA5c的高.

【解答】解：由圖可得，線段班是A鉆C的高的圖是。選項.

故選：D.

【點評】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂

足之間的線段.

5.（2023秋?桂平市期末）三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）

A.形狀相同的三角形B.面積相等的三角形

C.直角三角形D.周長相等的三角形

【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分成了等底同

高的兩個三角形，所以它們的面積相等.

【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形.

故選：B.

【點評】考查了三角形的中線的概念.構(gòu)造面積相等的兩個三角形時，注意考慮三角形的中線.

6.（2023秋?海珠區(qū)期末）如圖，CM是AABC的中線，3c=8cm,若的周長比AACM的周長大2皿，

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則AC的長為（）

B.4cmC.5cmD.6cm

【分析】根據(jù)CM是AABC的中線可知=,再由3c=8on,ABCM的周長比AACM的周長大2皿即

可得出結(jié)論.

【解答】解：CM是AABC的中線，BC=8cm,

:.AM=BM,

的周長=BC+BA/+CN,AACM的周長=AC+AM+CM,

NBCM的周長比AACM的周長大2°“,

BC+BM+CM-(AC+AM+CM)=2,即BC-AC=2,

8—AC-2,

解得AC=6(cm).

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形的中線，熟知三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線是

解題的關(guān)鍵.

7.（2024?拱墅區(qū)一模）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線

段AD應(yīng)該是人鉆。的（)

B.中線C.高線D.以上都不是

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答.

【解答】解：由三角形的面積公式可知，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分,

他所作的線段AD應(yīng)該是AABC的中線,

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)

鍵.

8.（2024?沐陽縣校級模擬）己知：如圖所示，在AABC中，點、D,E,尸分別為3C,AD,CE的中點,

且S^c=4。療，則陰影部分的面積為1cm2.

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E

BDC

【分析】易得AABD,AACD為AASC面積的一半，同理可得ABEC的面積等于AABC面積的一半，那么陰

影部分的面積等于NBEC的面積的一半.

【解答】解：。為BC中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，

112

^AABD=^AACD=~^AABC=~2（S）,

同理S.DE=SA3=g5AseE=gx2=l（c/）,

-S岫CE=2（cm）,

P為EC中點，

11,

'4-S^EF=SABCE=萬*2=l（cm"）.

故答案為1.

【點評】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是知道同底等高的三角形面積相等.

三.三角形的穩(wěn)定性（共2小題）

9.（2023秋?青銅峽市期末）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是利用三角形的（

）

A.全等形B.穩(wěn)定性C.靈活性D.對稱性

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答.

【解答】解：生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因為三角形具有穩(wěn)定性.

故選：B.

【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用.三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、

房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得.

10.（2023秋?潮南區(qū)期末）如圖，工人師傅砌門時，常用木條跖固定門框ABCD,使其不變形，這種做

法的根據(jù)是（）

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A.兩點之間線段最短B.矩形的對稱性

C.矩形的四個角都是直角D.三角形的穩(wěn)定性

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行解答即可.

【解答】解:工人蓋房時常用木條跖固定矩形門框ABCD,使其不變形這種做法的根據(jù)是三角形的穩(wěn)定性，

故選：D.

【點評】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確

定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

四.三角形的重心（共2小題）

11.（2023秋?邯鄲期末）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A,B,C,D,E,F,G均

在小正方形的頂點上，則AABC的重心是（）

【分析】取3C的中點N,取AC的中點連接AN,BM,然后根據(jù)圖形可知AN與的交點為。,

即可得到點D為AABC的重心.

【解答】解：取3c的中點N,取AC的中點/，連接4V,BM,如圖所示，

則AN與的交點為D,

故點。是AABC的重心，

【點評】本題考查三角形的重心，解答本題的關(guān)鍵是明確三角形的重心是三角形中線的交點.

12.（2023秋?海淀區(qū)校級期中）如圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形，點A、B、C、D、E、F、

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G在小正方形的格點上，則表示AABC三條中線的交點是點小

【分析】由三角形中線、重心的定義，即可得到答案.

【解答】解：由勾股定理得：BN=CN=^+\2=A/17,

是AABC的中線，

AM=MB,

.?.CM是AABC的中線，

表示AABC三條中線的交點是點D.

【點評】本題考查三角形的重心，三角形的中線，關(guān)鍵是掌握三角形中線，重心的定義.

五.三角形三邊關(guān)系（共4小題）

13.（2024春?鄲城縣期末）現(xiàn)有兩根木條，它們的長分別是40?！ê?0”?,要選擇第三根木條，把它們釘

成一個三角形木架，設(shè)第三根木棒長為xcm,則（）

A.10<x<90B.20<x<100C.40<x<50D.90<x<200

【分析】已知三角形的兩邊長分別為40cm和505/,根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊

之差小于第三邊，即可求第三邊長的范圍.

【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：50—40cx<40+50,BP10<x<90.

故選：A.

【點評】此類求三角形第三邊的范圍的題，實際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等

式即可.

14.（2023秋?雙遼市期末）若一個三角形的三邊長分別為2、6、a,則。的值可以是（）

A.3B.4C.7D.8

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，即可求出。的取值范圍.

【解答】解：:三角形的三邊長分別為2,6,a,

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6-2<。<6+2,即4<a<8,

故選：C.

【點評】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于

第三邊是解題的關(guān)鍵.

15.（2024?鹽都區(qū)三模）下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（）

A.2,5,8B.3,3,6C.3,4,5D.4,5,9

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理逐項判斷即可得.

【解答】解：三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊.

A、2+5=7<8,不能構(gòu)成三角形，此項不符題意；

B、3+3=6,不能構(gòu)成三角形，此項不符題意；

C>4+5>5,能構(gòu)成三角形，此項符合題意；

D、4+5=9,不能構(gòu)成三角形，此項不符題意.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解題關(guān)鍵.

16.（2023秋?公安縣期末）如果三角形的兩條邊長分別為2和7,那么這個三角形的周長可以是（）

A.14B.18C.15D.20

【分析】三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，設(shè)這個三角形

的第三邊長是x,周長是c,得到5Vx<9,因此14<c<18,即可得到答案.

【解答】解：設(shè)這個三角形的第三邊長是x,周長是c,

:.7—2V%v7+2，

/.5<x<9,

.,.5+2+7v%+2+7v9+2+7,

/.14<c<18,

,這個三角形的周長可以是15.

故選：C.

【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理.

六.三角形內(nèi)角和定理（共6小題）

17.（2023秋?林芝市期末）如圖，AABC中，AD為AABC的角平分線，助為AABC的高，ZC=70°,

ZABC=4S°,那么/3是（）

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A.59°B.60°C.56°D.22°

【分析】根據(jù)高線的定義可得NAEC=90。，然后根據(jù)NC=70。，NABC=48。求出NC4B,再根據(jù)角平分

線的定義求出/I,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180。列式計算即可得解.

【解答】解：座為AABC的高，

:.ZAEB=9Q°

NC=70°,ZABC=48°,

:.ZCAB^62°,

AF是角平分線，

.-.Z1=-ZC4B=31°,

2

在AAEF中，Z￡K4=180o-31°-90o=59°.

Z3=ZEFA=59°,

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，高線的定義，熟記概念與定理并準確識圖是

解題的關(guān)鍵.

18.（2023秋?恩平市期末）將兩塊大小相同的含60。角的直角三角板按如圖所示放置，RtADBE的直角邊跳;

恰好平分RtAABC的直角ZABC,則ZAFB的度數(shù)為（）

A.75°B.95°C.105°D.120°

【分析】利用角平分線的定義，可求出ZABF的度數(shù),再在AA防中，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出ZAFB

的度數(shù).

【解答】解：3E平分NABC,

ZABF=-ZABC=1x90°=45°.

22

在AAB尸中，ZA=60°,ZABF=45°,

ZAFB=180°-ZA-ZABF=180°-60°-45°=75°.

故選：A.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記”三角形內(nèi)角和是180?！笔墙忸}的關(guān)鍵.

19.（2023秋?玉林期末）紙片AABC中，ZA=65°,NB=75。，將紙片的一角折疊，使點C落在AABC內(nèi)

（如圖），若4=20。，則N2的度數(shù)為_60。_.

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A

【分析】先根據(jù)NA=65。，ZB=75°,求出/C的度數(shù).再由/1=20?？汕蟪鯪CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角

和定理及平角的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：AABC中，ZA=65°,NB=75。,

ZC=180°-ZA-ZB=180°-65°-75°=40°,

-4=20°,

.??"a=型丁=8。。，

在XCDE中，Z.CDE=180°-Z.C-Z.CED=180°-40°-80°=60°,

.-.Z2=180o-2ZCDE=180°—2x60°=60°,

故答案為60。.

【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是180。.

20.（2023秋?臺州期末）如圖，在AA5c中，Nfl4c=80。，NB=60。，AD是BC邊上的高，NACB的平

分線CF交AD于點E.求NAEC的度數(shù).

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NACB的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義得到NECD的值，然后

利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解題即可.

【解答】解：在AABC中，Nfi4c=80。，NS=60。,

ZACB=180°-ZCAB-ZB=180°-80°-60°=40°,

又CF是NACB的平分線,

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NECD=-ZACD=!x40。=20°，

22

又-是3c邊上的高，

:.ZADC=90°,

ZAEC=90°+ZECD=900+20°=110°.

【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形的外角，關(guān)鍵是三角形內(nèi)角和定理的

應(yīng)用.

21.（2023秋?楚雄州期末）如圖，已知A4BC中，ZB=65°,ZC=45°,AD是3c邊上的高，AE是NBAC

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，可求440=70。，又由AE是/加C的平分線，可求〃4￡=35。，再由

A3是邊上的高，可知403=90。，可求440=25。，所以NZMEnNBAE—NRADulO。.

【解答】解：在AABC中，

NS4c=180?！?NC=70。，

AE是454C的平分線，

:.ZBAE=ZCAE=35°.

又-AO是3c邊上的IWJ,

:.ZADB^90°,

一在AABD中44D=90。一ZB=25°,

ZDAE=ZBAE-ZBAD=10°.

【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，高線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是三角形的內(nèi)角和定

理，一定要熟稔于心.

22.（2023秋?寬甸縣期末）【數(shù)學模型】

“8字型”是初中數(shù)學“圖形與幾何”中的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成.如圖1,

AD,BC交于O點、,根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180。，”不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：①

ZDOC^ZAOB（對頂角相等）；?ZD+ZC=ZA+ZB.

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【提出問題】分別作出和NBCD的平分線，兩條角平分線交于點E,如圖2,ZE與ND,之間

是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？

【解決問題】為了解決上面的問題,我們從特例開始探究.已知44。的平分線與ZBCD的平分線交于點E.

(1)如圖2,ZD=30°,ZB=5Q°,則NE1的度數(shù)是多少呢？

易證/0+4=4+/3,ZB+Z4=ZE+Z2

請你完成后續(xù)的推理過程：

.-.ZL>+Zl+Zfi+Z4=_2ZE+Z3+Z2_

CE,AE分別是々CD,NSM)的平分線

.-.Z1=Z2,Z3=Z4

:.2ZE=

又-ZD=30°,ZB=50°

:.ZE=度?

(2)在總結(jié)前面問題的基礎(chǔ)上，借助圖2,直接寫出“與/D,NB之間的數(shù)量關(guān)系是：—

【類比應(yīng)用】(3)如圖3,ZBAD的平分線"1與NBCD的平分線CE交于點E1.

已知：ZD=a,4B=/3,(a<￡)則NE=.(用0、￡表示)

【分析】【解決問題】

(1)根據(jù)兩個三角形的有一對對頂角相等得：ZD+Z1=ZE+Z3,ZB+Z4=ZE+Z2,兩式相加后，再

根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)可得結(jié)論；

【類比應(yīng)用】

(3)首先延長3C交相)于點由三角形外角的性質(zhì)，可得NBCD=NB+NBAD+ND,又由角平分線的

性質(zhì)，即可求得答案.

【解答】解：【解決問題】

(1)如圖2,ZD+Z1=Z￡+Z3,ZB+Z4=ZE+Z2,

ZD+Z1+ZB+Z4=2ZE+Z3+Z2,

CE、AE分別是ZBCD、NSW的平分線，

.-.Z1=Z2,Z3=Z4.

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.\2ZE=ZD+ZB,

.?.NE=g(ZD+"),

又-ZD=30°,ZB=50°,

:.ZE=40&.

故答案為：2NE+N3+N2,ZD+ZB,40。；

(2)由(1)得：Z￡=1(ZD+ZB),

故答案為：NE=；(ND+NB)；

【類比應(yīng)用】

如圖3,延長交相)于尸，

ZBFD=ZB+ZBAD,

:.ZBCD=ZBFD+ZD=NB+ZBAD+ZD,

CE平分ZBCD,AE平分NfiAD

/ECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-/BAD,

22

ZE+ZECB=ZB+ZEAB,

:.ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+NBAE-g/BCD=NB+ZBAE-1(ZB+ZBAD+ZD)=1(ZB-ZD)-

“=1°、4B=/3。,

即NE=g(￡—c)。.

故答案為：g（尸-。）°.

圖3

【點評】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握角

平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問題的關(guān)鍵.

七.三角形的外角性質(zhì)（共4小題）

23.（2024?湖南模擬）如圖，已知點。是AABC的3c邊延長線上一點，且滿足N4=85。，々=25。，則

NACD的度數(shù)為（）

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A

BCD

A.1000B.110°C.40°D.70°

【分析】由NACO是AA5c的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出ZACD的度數(shù).

【解答】解：Z4co是AABC的外角，

:.ZACD^ZA+ZB=85°+25°=110°.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”是解

題的關(guān)鍵.

24.（2023秋?宣漢縣期末）如圖，3尸是AABC中NABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線，如果

ZABP=2Q°,ZACP=50°,則ZA+ZP=_90°_.

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出Z4的度數(shù)，根

據(jù)補角的定義求出NACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出NP的度數(shù)，即可求出結(jié)果.

【解答】解：3尸是AABC中NABC的平分線，CP是NACB的外角的平分線，

又?ZABP=2Q°,ZACP=5Q°,

ZABC=2ZABP=40°,ZACM=2ZACP=100°,

:.ZA=ZACM-ZABC=60°,

ZACB=1800-ZACM=80°,

ZBCP=ZACB+ZACP=130°,

ZPBC=20°,

ZP=180°-ZPBC-ZBCP=30°,

.-.ZA+ZP=90°,

故答案為：90°.

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是明確：一個三角形的外角等

于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及補角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180。.

25.（2024?城廂區(qū)校級模擬）將一副三角板按圖中方式疊放，則NAOB等于_105。_.

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A

B

【分析】由題意可得NA=60。，ZACD=90°,ZBCD=45°,從而可求得NACO的度數(shù)，再利用三角形的

外角性質(zhì)即可求NAOB的度數(shù).

【解答】解：如圖：

由題意得：NA=60。，ZACD=90°,ZBCD=45。,

ZACO=ZACD-ZBCD=45°,

ZAOB是AAOC的外角，

ZAOB=ZA+ZACO=105°.

故答案為：105。.

【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之

和.

26.（2023秋?貴池區(qū)期末）【探究】如圖①，在AABC中，NABC的平分線與NACB的平分線相交于點P.

（1）若NABC=80。，ZACB=50°.則/4=50度,ZP=度.

（2）與NP的數(shù)量關(guān)系為—，并說明理由.

【應(yīng)用】如圖②，在AABC中，NABC的平分線與NACB的平分線相交于點尸.N45c的外角平分線與NACB

的外角平分線相交于點Q.直接寫出ZA與ZQ的數(shù)量關(guān)系為_

Q

圖①畝②

【分析】【探究】（1）由三角形內(nèi)角和定理進行計算即可；

（2）由角平分線定義得ZPCB=-ZACB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論;

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【應(yīng)用】由角平分線定義可得NCBQ=90O-gNABC,ZBCQ=90°-^ZACB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,

即可得到結(jié)論.

【解答】【探究】

解：(1)ZABC=80°,ZACB=50°,

.-.ZA=1880°-80°-50°=50°,

ZABC的平分線與ZACB的平分線相交于點P,

NCBP=-ZABC,ZBCP=-ZACB,

22

NBCP+NCBP=|(ZABC+ZACB)=1xl30°=65°,

.-.ZZ,=180o-65°=115°,

故答案為：50,115；

(2)ZP--ZA=90°.理由如下：

2

BP、CP分別平分ZABC、ZACB,

NPBC=-ZABC,NPCB=-ZACB,

22

ZA+ZABC+ZACB=180°ZP+ZPBC+ZPCB=180°,

NP+g(ZABC+ZACB)=180°,

ZP+1(180°-ZA)=180°,

:.ZP--ZA=90°；

2

故答案為：ZP--ZA=90°；

2

【應(yīng)用】

解：Z2=90°-1zA.理由如下：

ZABC的外角平分線與ZACB的外角平分線相交于點Q,

ZCBQ=1(180°-ZABQ=90°-1ZABC,

Z.BCQ=g(180°一ZACB)=90°一gZAC3,

NBCQ中，Z2=180°-(ZCB2+NBCQ)=180°-(90°-1zABC+90°-jzACB)=~(ZABC+ZACB),

又?ZABC+ZACB=180°-ZA,

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NQ=g（180。_ZA）=90。_：ZA；

故答案為：Z2=90°-1zA.

圖①

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用等知識，熟練掌握三角形

內(nèi)角和定理和角平分線定義，能正確進行推理計算是解題的關(guān)鍵.

八.直角三角形的性質(zhì)（共3小題）

27.（2023秋?盤山縣期末）如圖，NACB=90。，CD±AB,垂足為點下列結(jié)論錯誤的是（）

B.N1和々都是NA的余角

C.Z1=Z2D.圖中有3個直角三角形

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余和同角的余角相等解答.

【解答】解：，ZACB=90°,CDYAB,

.?.ZA+Z1=Z1+Z2=9O°,

:.ZA=Z2,

Zl+ZA=ZA+ZB=90°,

r.N1和ZB都是ZA的余角,

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直角有NACB、ZADC./BDC共3個，

/I與22只有AABC是等腰直角三角形時相等，

綜上所述，錯誤的結(jié)論是4=/2.

故選：C.

【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余和同角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

28.（2023秋?安州區(qū)期末）若直角三角形的一個銳角為26。，則另一個銳角度數(shù)為_64°_.

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解.

【解答】解：90°-26°=64°.

故答案為：64°.

【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

29.（2023秋?青龍縣期末）如圖，已知AC_L3C于點C,CDJ_AB于點￡>,44=56。，則〃的度數(shù)

【分析】先證明NACB=NBDC=90。，可得/么+"=90。=/5+/0€方，從而可得NDCB=NA=56。.

【解答】解：ACA.BC,CD±AB,

:.ZACB=ZBDC^90°,

ZA+NB=90。=NB+ZDCB,

:.ZA=NDCB,

ZA=56°,

ZDCB^ZA^56°.

故答案為：56°.

【點評】本題考查直角三角形的兩個銳角互余，同角的余角相等，，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的

關(guān)鍵.

九.多邊形（共4小題）

30.（2023秋?南沙區(qū)期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，其他多邊形具有不穩(wěn)定性可得結(jié)論.

【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性；

故選：D.

【點評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，在幾何圖形中只有三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形以及四邊以上

的多邊形都不具有穩(wěn)定性.

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31.（2023秋?青縣校級月考）已知一個多邊形剪去一個角后得到七邊形，則這個多邊形的邊數(shù)不可能是（

）

A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形

【分析】根據(jù)截去一個角后邊數(shù)增加1,不變，減少1,即可確定原多邊形的邊數(shù).

【解答】解：?截去一個角后邊數(shù)可能增加1,不變或減少1,

，原多邊形的邊數(shù)為6或7或8,不可能為九邊形，故。符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查了多邊形的定義，解題時注意：一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1,可能減少

1,或不變.

32.（2023秋?瀏陽市期中）下列多邊形中，對角線是5條的多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D,七邊形

【分析】根據(jù)〃邊形的對角線有此二2條，把5代入即可得到結(jié)論.

2

【解答】解：由題意得，必二2=5,

2

解得：〃=5,（負值舍去），

故選：B.

【點評】本題考查了多邊形，掌握〃邊形的對角線有幽二2條是解題的關(guān)鍵.

2

33.（2023秋?德惠市校級期末）一個凸多邊形的內(nèi)角中，最多有3個銳角.

【分析】根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360。.可知它的外角中，最多有3個鈍角，則內(nèi)角中，最多有3個

銳角.

【解答】解：一個凸多邊形的內(nèi)角中，最多有3個銳角.

【點評】注意每個內(nèi)角與其相鄰的外角是鄰補角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內(nèi)角的情況

可以借助外角來分析.

一十.多邊形內(nèi)角與外角（共5小題）

34.（2022秋?重慶期末）一個多邊形的每個內(nèi)角都等于140。，則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理：180。-（〃-2）進行求解即可.

【解答】解:由題意可得：180°?（n—2）=140°-n,

解得n=9,

故多邊形是九邊形.

故選：C.

【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理.解題時注意：〃邊形的內(nèi)角和為：180。?（"-2）.

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35.（2023秋?賓陽縣期中）如圖，N1是在五邊形ABCDE的一個外角，若4=40。，則NA+NB+NC+N。

的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系，由4=50。，得/4^）=180。-/1=140。.再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，

得ZA+NB+NC+NO=180°x3-ZA￡D=540°-130°=400°.

【解答】解:Zl=40。，

ZAED=180°-Zl=140°.

.-.ZA+ZB+ZC+ZD=180ox3-ZA￡D=540o-140o=400°.

故選：B.

【點評】本題主要考查多邊形的外角與內(nèi)角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和、多邊形外角與內(nèi)角的關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

36.（2023秋?固始縣期末）如圖，將四邊形ABCD去掉一個70。的角得到一個五邊形3CDEF,貝l|Nl+N2=

250°.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N4EF+Z鈕留，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：ZA=70°,

.?.在AAER中，ZAEF+ZAFE=180°-ZA=110°,

Zl+Z2=360°-110°=250°,

故答案為:250.

【點評】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

37.（2024春?道縣校級期中）一個多邊形的內(nèi)角和是720。，這個多邊形的邊數(shù)是

【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理180°.（?-2）即可求得.

【解答】解：.?多邊形的內(nèi)角和公式為（〃-2>180。，

2）x180°=720°,

解得n=6,

,這個多邊形的邊數(shù)是6.

第22頁共38頁

故答案為：6.

【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理即180。<〃-2）,難度適中.

38.（2023秋?克州期末）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180。，求這個多邊形的邊數(shù).

【分析】多邊形的外角和是360度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180。，即可得到多邊形的

內(nèi)角和的度數(shù).根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù).

【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是"，

依題意得（M-2）X180°=3X360°-180°,

（M-2）=6-1,

〃=7.

,這個多邊形的邊數(shù)是7.

【點評】任何多邊形的外角和都是360度，不隨邊數(shù)的變化而變化.

3模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

選擇題（共10小題）

1.（2023秋?濱城區(qū)期中）已知三角形的兩邊長分別為3、7,則第三邊。的取值范圍是（）

A.4<a<10B.4釉10C.a>4D.a<10

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解.

【解答】解：?.?三角形的兩邊長分別為3、7,

二.第三邊。的取值范圍是則4<a<10.

故選：A.

【點評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，記住兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，屬于基礎(chǔ)題，

中考?？碱}型.

2.（2024?東明縣一模）一個多邊形的內(nèi)角和是720。，這個多邊形是（