2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：多面體的外接球和內(nèi)切球（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)多面體的

外接球和內(nèi)切球（解析版）

多面體的外接球和內(nèi)切球

一'結(jié)論1

1、球與多面體的接、切

定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面

體的外接球。

定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切,則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體,這個(gè)球是

多面體的內(nèi)切球。

類(lèi)型一球的內(nèi)切問(wèn)題（等體積法）

例如:在四棱錐P-ABCD中，內(nèi)切球?yàn)榍騉,求球半徑r.

方法如下：

^P-ABCD=%-ABC0+%-PCD+^O-PAB

即：Vp-ABCD—MSABCETr+-SPBC-r+—SPCD'r+JSpmr+-^-sPAB-,，可求出丁.

類(lèi)型二球的外接問(wèn)題

1.公式法

正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2.補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè):三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等,求外接球半徑（AB=

CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟:①定一個(gè)面外接圓圓心:選中一個(gè)面如圖：在三棱錐P-AB。中，選中底面AAB。,確定其外接圓圓

心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心2r='彳）；

②過(guò)外心Q做（找）底面AABC的垂線，如圖中POY±面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段

POi上）POi上；

③計(jì)算求半徑R：在直線PO1上任取一點(diǎn)。如圖：則OP=04=R,利用公式。4=0^+001可計(jì)算出

球半徑R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）/'?.

如圖:在三棱錐P—ABC中：/.

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心Q/_

②選定面^PAB,定^PAB外接圓圓心。2

③分別過(guò)Oi做面ABC的垂線,和Q做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心O

dj,（2023春?湖南湘潭?高二統(tǒng)考期末）棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的表面積為（）

A.孚B.3兀C.12兀D.16兀

4

畫(huà)2（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）在四面體中，PALAB,AC,NBAC=

120°,AB=AC=AP=2,則該四面體的外接球的表面積為（）

A.12兀B.16兀C.18兀D.20n

吼蟲(chóng)（2023秋?湖南婁底?高三校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早

1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖P-ABCD

是陽(yáng)馬，PAL平面ABCD,P4=5,AB=3,BC=4.則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為（）

B

125缶500兀

B.50兀C.1007C

3

血］4（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知菱形4BCD的各邊長(zhǎng)為2,/。=60°.如圖所示，將A4CD沿AC折起,

使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)S的位置，連接SB,得到三棱錐S-48。,此時(shí)S3=3.E是線段S4的中點(diǎn)，點(diǎn)F在三

棱錐S—ABC的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持則點(diǎn)F的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A-B.手兀C.手兀D.當(dāng)工兀

OOOO

題5（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐ABCD中，對(duì)棱AB=CD=2四,AD=BC=瓜AC=BD=

弱,則該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.

吼色（2022春?山西?高二校聯(lián)考期末）如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO的底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓

臺(tái)，上、下底面的面積之比為1：9,截去的圓錐的底面半徑是3,圓錐SO的高為18.則截得圓臺(tái)的體積為

;若圓錐S。中有一內(nèi)切球，則內(nèi)切球的表面積為.

二.針對(duì)訓(xùn)練舉一反三1

一、單

題目工（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）在三棱錐A-BCD,平面ACD±平面BCD,/\ACD是以CD為斜邊的

等腰直角三角形，△BCD為等邊三角形，AC=4,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

題目②（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A—BCD中，AB_L平面BCD,BC_LCD,CD=2AB=2BC=4,

則三棱錐A-BCD的外接球的表面積與三棱錐力-BCD的體積之比為（）

A.羋B.坐C.2兀D.9兀

42

［題目回（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱(chēng)之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體■作

注:“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉腌夾一塹堵,即羨除之形.”羨除即為:三個(gè)面為梯形或平行四

邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形）,其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底

面ABCD為正方形，EF=4,其余棱長(zhǎng)為2,則羨除外接球體積與羨除體積之比為（）

A.2V27tB.4V27tC.岑2兀D.2兀

題目@（2023春?江西?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在長(zhǎng)方體ABCD-中，4B=人力產(chǎn)3,AD=2,點(diǎn)M

為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且G河〃平面ACO〉則當(dāng)取最小值時(shí),三棱錐的外接球的表面

積為（）

A.13兀B.16nC.26nD.32兀

題目回（2023.四川南充.?？寄M預(yù)測(cè)）在平面中，若正△ABC內(nèi)切圓的面積為S，內(nèi)切圓與外接圓之間的

圓環(huán)面積為$2,則等=；.在空間中，若正四面體內(nèi)切球的體積為x，內(nèi)切球之外與外接球之內(nèi)的

幾何體的體積為弘，則與=（）

>2

XC-^―

A，B-26D

A63154

If回（2023秋?浙江湖州?高三安吉縣高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的多面體由正四棱錐P-ABCD和三

棱錐Q-P4B組成，其中AB=2.若該多面體有外接球且外接球的體積是安兀，則該多面體體積的最大

O

值是（）

c3+n

2—3

題目1（2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模）已知四面體4BCD外接球的球心。與正三角形ABC外接圓的圓心重

合,若該四面體體積的最大值為2四,則該四面體外接球的體積為（）

題目回（2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知體積為3的正三棱錐P-ABC,底面邊長(zhǎng)為2遍，其

內(nèi)切球?yàn)榍騉,若在此三棱錐中再放入球。，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球。均相切，則球。的半徑為

（）

A.-C.挈D.卓

OyOeZ

題目包（2022春?河南信陽(yáng)?高一信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）正棱錐有以下四個(gè)命題：①所有棱長(zhǎng)都相等的三棱

錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球（六條棱均與球相切）體積比是3份:乎:2；②側(cè)面是全等的等腰三角形頂點(diǎn)

在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐;③經(jīng)過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積的平面必經(jīng)過(guò)其內(nèi)切

球球心;④正六棱錐的側(cè)面不可能是正三角形,其中真命題是（）

A.①④B.③④C.①③④D.②③④

題目叵〕（2021秋?遼寧?高二沈陽(yáng)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱柱ABC-4B'。'中，。是側(cè)棱上一

點(diǎn)，E是側(cè)棱CC上一點(diǎn)，若線段AD+OE+E4的最小值是,且其內(nèi)部存在一個(gè)內(nèi)切球（與該棱柱

的所有面均相切）,則該棱柱的外接球表面積為（）

A.47rB.5兀C.6兀D.8兀

〔題目〔11］（2022秋.黑龍江哈爾濱.高二?？计谥校┕畔ＥD阿基米德被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一

個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球，這個(gè)球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為

（）

D

A-iB-tc-t4

二、填空題

題目電（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐P-ABC中，AAB。是面積為V3的正三角形,平面PBC±

平面ABC,若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為等，則三棱錐P-ABC體積的最大值為.

［題目叵（2023?全國(guó)?唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知N為正方體ABCD-的內(nèi)切球球面上

的動(dòng)點(diǎn)，河為BiG的中點(diǎn)MB,若動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為則正方體的體積是

三、雙空題

［題目亙（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的六面體由兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體M-AB。，Q-ABC組合而

成，記正四面體加一ABC的內(nèi)切球?yàn)榍騋,正四面體Q—ABC的內(nèi)切球?yàn)榍颉?，則。1。2=:若在

該六面體內(nèi)放置一個(gè)球。，則球。的體積的最大值是.

題目口引（2022.陜西西安.校考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直

于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長(zhǎng)為4,則該

“陽(yáng)馬”的內(nèi)切球表面積為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為

多面體的外接球和內(nèi)切球

一'結(jié)論1

1、球與多面體的接、切

定義1;若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面

體的外接球。

定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切,則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體,這個(gè)球是

多面體的內(nèi)切球。

類(lèi)型一球的內(nèi)切問(wèn)題（等體積法）

例如:在四棱錐P-ABCD中，內(nèi)切球?yàn)榍騉,求球半徑r.

方法如下：

^P-ABCD=%-ABC0+%-PCD+^O-PAB

即：Vp-ABCD—MSABCETr+-SPBC-r+—SPCD'r+JSpmr+-^-sPAB-,，可求出丁.

類(lèi)型二球的外接問(wèn)題

1.公式法

正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)

2.補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）

題設(shè):三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）

②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等,求外接球半徑（AB=

CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟:①定一個(gè)面外接圓圓心:選中一個(gè)面如圖:在三棱錐P-ABC中，選中底面A4BC,確定其外接圓圓

心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心2r='彳）；

②過(guò)外心Q做（找）底面AABC的垂線，如圖中FOiX面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段

PO1上）PO1上；

③計(jì)算求半徑R：在直線PO1上任取一點(diǎn)。如圖：則0P=04=R,利用公式。4=0^+001可計(jì)算出

球半徑R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖:在三棱錐P—43。中：

①選定底面XABC,定AABC外接圓圓心Q

②選定面^PAB,定^PAB外接圓圓心。2

③分別過(guò)Oi做面ABC的垂線,和Q做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心O

dj,（2023春?湖南湘潭?高二統(tǒng)考期末）棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球的表面積為（）

A.孚B.3兀C.12兀D.16兀

4

【答案】8

【詳解】解：易知，正方體的體對(duì)角線是其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為五，

則2R=Vl2+12+12=故&=空.

所以S=4IZR2=4兀x=37t.

故選：B.

【反思】本例屬于正方體外接球問(wèn)題，其外接球半徑公式可直接記憶.

吼2（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）在四面體中，PALAC,NBAC=

120°,AB=AC=AP=2,則該四面體的外接球的表面積為（）

A.12兀B.16兀C.18兀D.20兀

【答案】。

【詳解】因?yàn)镻A_LAB,PA_LAC,ABAAC^A,AB,ACa平面ABC,

所以P4_L平面ABC

設(shè)底面△ABC的外心為G,外接球的球心為則03，平面48。,所以~4〃。??M

設(shè)。為PA的中點(diǎn),

因?yàn)镻4_L平面ABC,AGu平面ABC,

所以PA_LAG,所以。D〃AG.

因此四邊形ODAG為平行四邊形，所以O(shè)G=AO=yPA=1.

因?yàn)?BAC=120°,AB=AC=2,

所以BC=VAB'2+AC2-2AB-ACcosABAC=，4+4—2x2x2x(—/)=2V3,

由正弦定理，得2AG=^^=4nAG=2.

F

所以該外接球的半徑R滿足我=(OG)2+(AG)2=5,

故該外接球的表面積為S=4兀/?2=20兀.

故選:D

【反思】本例屬于單面定球心問(wèn)題①用正弦定理求出^ABC外心G;②過(guò)G做平面ABC的垂線，則外接球

球心O在此垂線上;③通過(guò)計(jì)算算出半徑.

回3(2023秋?湖南婁底?高三校聯(lián)考期末)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早

1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖P-ABCD

是陽(yáng)馬，PAL平面ABCD,PA=5,AB=3,BO=4.則該陽(yáng)馬的外接球的表面積為()

【答案】8

【詳解】因P4±平面ABCD,4BU平面ABCD,4DU平面ABCD,

則_LAB,PA_LA。，又因四邊形ABCD為矩形，則AB±AD.

則陽(yáng)馬的外接球與以P4,AB,4D為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同.

又P4=5,4B=3,AD=BC=^.則外接球的直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線，故外接球半徑為：五=

8

=J32+42+52=52

2―2—2，

則外接球的表面積為：S=4兀&=4兀?等~=50兀.

4

故選：石

【反思】本例屬于墻角型模型，通過(guò)補(bǔ)形，將原圖形補(bǔ)成長(zhǎng)方體模型，借助長(zhǎng)方體模型求外接球半徑.

血］4（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）己知菱形4BCD的各邊長(zhǎng)為2,20=60°.如圖所示，將A4co沿力。折起,

使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)S的位置，連接SB,得到三棱錐S-ABC,此時(shí)SB=3.E是線段SA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在三

棱錐S—ABC的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持力。，則點(diǎn)F的軌跡的周長(zhǎng)為（）

A.卒兀B.手兀C.早兀D.岑工兀

OOOO

【答案】。

【詳解】取AC中點(diǎn),則AC_LBM,AC±SM,BMCSM=M,

：.AC平面SMB,SM=MB=^，叉SB=3,：./S?W==30°,作EH_LAC于H,設(shè)點(diǎn)F軌

跡所在平面為a,則平面上經(jīng)過(guò)點(diǎn)H且A。_L%設(shè)三棱錐S—ABC外接球的球心為?！鱏AC,ABAC的

中心分別為易知。?！蛊矫鍿AC,OO2±平面A4C,且初四點(diǎn)共面，由題可得/OMQ

=60°,。四=±SM=冬,解Rt^OOxM,得OO產(chǎn)血。四=1,又C\S=^SM=,則

/OOOO

故平面a截外接球所得截面圓的半徑為ri=Vr2—d2=-----于=5f,

/.截面圓的周長(zhǎng)為I=2兀丁產(chǎn)5哈兀,即點(diǎn)F軌跡的周長(zhǎng)為5哈兀

OO

故選：C

【反思】此題典型的雙面定球心。①定^ABC外心。2；②定'ASC外心O1,③再分別過(guò)O1,。2做平面

ASC和ABC的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)，記為外接球球心.

?M

的5（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐ABCD中，對(duì)棱AB=CD=2。AD=BC=?AC=BD=

則該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.

【答案】今兀日兀#喏

【詳解】因?yàn)槿忮FA—BCD每組對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長(zhǎng)方體中，

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為力、y、z,如下圖所示：

則J人+方—2^2,Vx2+z^—V5,J婿+22=V5,解得x—y—2,z—1,

外接球直徑2R=了汁+才+名=3,其半徑為R=告，

三棱錐A—BCD的體積V—xyz——^xyzx4=-^-xyz=士,

633

在△ABC中，AC=BC=濾，AB=2方,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,如下圖所示:

則CE_LAB,且CE=/。。2-4后2=血，所以，$.=-CE=限

因?yàn)槿忮FA-BCD的每個(gè)面的三邊分別為娓、店、2V2,

所以，三棱錐A-BCD的表面積為S=4SA4BO=4V6,

設(shè)三棱錐A—BCD的內(nèi)切球半徑為r,則V=：Sr,可得r=3V_4_V6

OS—476—6

所以該三棱錐的外接球體積為3兀&=_1_兀，內(nèi)切球表面積為4兀?-2=_|■兀.

J/O

故答案為：得兀；弓兀.

/O

【反思】本例屬于對(duì)棱相等模型，可補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,再借助長(zhǎng)方體模型，求外接球半徑.

吼色（2022春?山西?高二校聯(lián)考期末）如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐S。的底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓

臺(tái)，上、下底面的面積之比為1：9,截去的圓錐的底面半徑是3,圓錐S。的高為18.則截得圓臺(tái)的體積為

;若圓錐S。中有一內(nèi)切球，則內(nèi)切球的表面積為.

?M

【答案】468兀（486—162瓶）兀##486?！?620兀

【詳解】由題意得：截得的圓臺(tái)，上、下底面半徑之比為1:3,截去的圓錐的底面半徑是3,故下底面半徑為9,

則圓錐SO的體積為V=：x9?兀x18=486兀，由相似知識(shí)得：=：,故SO'=6,故截去的圓錐體積

為Vy=；x327Ux6=18兀，故截得圓臺(tái)的體積為486兀—18兀=468兀，

o

畫(huà)出內(nèi)切球的截面圖，如下：

則有Rt^SCD?放/由入。,設(shè)內(nèi)切球半徑為凡則CD=CO=凡SC=18一凡由勾股定理得：AS=

花湎=9五由怒=柴得：夸=口,解得：加叟代，

故內(nèi)切球的表面積為4元&=4兀（Q西2——j=（486—162V5）7T.

故答案為:468兀，（486-162函）兀

【反思】本例內(nèi)切球問(wèn)題，主要采用獨(dú)立截面法，獨(dú)立出大圓的截面，然后利用相似求解內(nèi)切球半徑。

二.針對(duì)訓(xùn)練舉一反三1

一、單選題

題目[T]（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）在三棱錐A-BCD,平面ACD±平面BCD,/\ACD是以CD為斜邊的

等腰直角三角形，ABCD為等邊三角形，47=4,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

【答案】。

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)6作CD的垂線,垂足為E,因?yàn)椤鰽CD是以CD為斜邊的等腰直角三角形,?M

所以△ACD的外接圓的圓心為E,設(shè)的外接圓圓心為O,其半徑為R,

則。在BE上，所以05=0。，由面面垂直的性質(zhì)可知，BE_L平面ACE）,

所以O(shè)C=O。=OA,即。為該三棱錐的外接球的球心，CD=4V2

由正弦定理可知，力|^=2R,R=孽，

smoO0

故該三■棱錐的外接球的表面積為S=4兀7?2=4兀x16?2—1?兀.

故選：C

題目句（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A—BCD中，AB_L平面BCD,BC-LCD,CD=2AB=2BC=4,

則三棱錐A-BCD的外接球的表面積與三棱錐A-BCD的體積之比為)

A.牛B.孚C.2兀D.9兀

42

【答案】。

【詳解】

取AD的中點(diǎn)O,連接OB,。。，

因?yàn)锳B_L面BCD,BDU面BCD,CDU面BCD,

所以AB_LBD,AB_LCD,

所以O(shè)B=OA=O。，

所以BD=VBC2+CD2=V20,AD=^AB2+BD2=V4+20=2瓜

因?yàn)镃D_LBC,ABABC=B,ABu面ABC,BCu面ABC,

所以CD_L面ABC,

又因?yàn)锳Cu面ABC,

所以CD_LC4,

所以O(shè)C=OA=OD,所以O(shè)A=OB=OC=OD=^4O=?,

所以。為三棱錐A—BCD的外接球的圓心，半徑R=逐，

所以球的表面積為S=4兀&=24兀,

三棱錐A-BCD的體積為V=^-SABCD-AB=^-X^X2X4X2=4,

OJ/o

曲S24兀Q

故歹=工=9兀,

3

故選：。

【題目⑥（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱(chēng)之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作

注:“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉麝夾一塹堵,即羨除之形.”羨除即為:三個(gè)面為梯形或平行四

邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形）,其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底

面ABCD為正方形，EF=4,其余棱長(zhǎng)為2,則羨除外接球體積與羨除體積之比為（）

A.2V27TB.4V27tC.當(dāng)2兀D.2兀

【答案】A

【詳解】連接A。、BD交于點(diǎn)M,取EF的中點(diǎn)O,連接。”,則。河_L平面ABCD.取反7的中點(diǎn)G,連接

FG,作GH_LEF,垂定為H,如圖所示，

由題意得，OA^OB^OC^OD,OE=OF=2,HF=^EF=\，F(xiàn)G=^BC=6

：.HG=^FG2-HF2=V2,

：.OM=HG=6,

丸?:AM=*AB=0

：.OA=-^OM'2+AM'2=2,

：.OA=08=OC=OD=OE=OF=2,即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O,半徑為2,

這個(gè)羨除的外接球體積為弘=今兀/=弓兀x23=當(dāng)馬.

OOO

???ABHEF,ABQ面CDEF,EFu面CDEF,

：.AB〃面CDEF,即:點(diǎn)A到面CDEF的距離等于點(diǎn)B到面CDEF的距離,

又???△OE。空△OCD,

^A-OED~^B-OCD~^O-BCD，

?e?這個(gè)羨除的體積為％=%-OEZ）+^BCF-ADO~^^O-BCD~^^O-BCD~4xJxJx2X2XV2—

8V2

3'

327r

羨除的外接球體積與羨除體積之比為聶=一、=22兀.

V2

3

故選：4

題目回（2023春?江西?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在長(zhǎng)方體ABCD-45G。中，AB=44產(chǎn)3,AD=2,點(diǎn)M

為平面ABB/i內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且6河〃平面ACDi，則當(dāng)GM取最小值時(shí),三棱錐M-ABO的外接球的表面

積為（）

A.13兀B.16兀C.26兀D.32兀

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意易知，4G〃AC,且ACu平面AC。，4G?平面AC。，所以4G〃平面ACD1,同理

可得BG〃平面ACA；

又AGnBC1=G,4G,BGu平面4BG，所以平面A^BCJ/平面ACD1；

又因?yàn)辄c(diǎn)M■在平面ABBXAX內(nèi)且CXM//平面ACD1，所以點(diǎn)”在平面ABBXAX與平面ACDX的交線A^B

上，

易知4G=BCi=JU,所以當(dāng)GM取最小值時(shí)，M為線段ArB的中點(diǎn)，如下圖所示：

取AB的中點(diǎn)為N,AC,BD交于點(diǎn)、O,連接MN,NO;

則皿N=等,NO=1,所以MO=乂畀,而AO=BO=DO=8科，

所以。即為三棱錐M-ABD的外接球球心，半徑R=AO=上。=?異,

則表面積S=4兀&=13兀.

故選：A

題目回（2023?四川南充??？寄M預(yù)測(cè)）在平面中，若正△ABC內(nèi)切圓的面積為S，內(nèi)切圓與外接圓之間的

圓環(huán)面積為$2，則獸=[.在空間中，若正四面體PABC內(nèi)切球的體積為弘，內(nèi)切球之外與外接球之內(nèi)的

幾何體的體積為％，則與=（）

V2

A?看B-1c4D-l

【答案】B

【詳解】設(shè)正四面體PABC的內(nèi)切球與外接球的半徑分別為扁，抽，點(diǎn)P到底面ABC的距離為H,底面

4BC的面積為S,

3x±SH1

由等體積法得Ri=-=--H,

4s4

設(shè)4B=Q,正△ABC的中心為O,

則CM.=x。=~^~a，H=Va2—OA2=~^-a,

由（H—凡）2+。4=屋，得&2=^a=1~H=3Ri,

故上=?訊=j_

%專(zhuān)兀?-瑤）26.

故選：B.

題目回（2023秋?浙江湖州?高三安吉縣高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的多面體由正四棱錐P-ABCD和三

棱錐Q-P4B組成，其中4B=2.若該多面體有外接球且外接球的體積是平兀，則該多面體體積的最大

值是（）

p

Q

A.3V3B.2V3+1C.設(shè)通D.娓屋鼻.

【答案】。

【詳解】設(shè)正四棱錐P—ABCD的外接球的半徑為R,則告兀&=當(dāng)2兀，解得R=僅

OO

連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接PO,

?.?正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,則OA=OB=OC=OD=?=R,

O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，

則PO=V2,PA=VPO2+OA2=2,故△PAB的是以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

過(guò)O作平面PAB的垂線OE,垂足為E,連接QE,OQ,

由三棱錐O-PAB的體積可得：!xOEx）x2x2x苧=t-xv^x]x2x解得OE=乎,

由題意可知：點(diǎn)Q在四棱錐P—ABCD的外接球的球面上，則OQ=2，

?：EQ+OE<OQ,^EQ<OQ-OE^V2-^,

o

當(dāng)且僅當(dāng)O,E,Q三點(diǎn)共線，則QEL面PAB時(shí)等號(hào)成立，

可得三棱錐Q-PAB的高的最大值為〃一平，

三棱錐Q—PAB的體積VQ-PAB^3義（^A/2—xx2x2x=乂乙廣^,

故該多面體體積V=V_-^V_<娓^^+-1-xV2X2X2=4咚

QPABPABCDOOO

故選：D.

題目叵（2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模）已知四面體4BCD外接球的球心。與正三角形ABC外接圓的圓心重

合,若該四面體體積的最大值為2遍,則該四面體外接球的體積為（）

A.8nB.等C.16兀D.券

【答案】B

[詳解】設(shè)球。的半徑為R,可得=8。=AC=V3R.

當(dāng)。O_L平面ABC時(shí)，四面體ABCD的體積最大，

此時(shí)VD_ABC=R=4&,即4&=273,得3=&,

則該四面體外接球的體積V=弓兀五三專(zhuān)L.

OO

故選：B

題目回（2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知體積為3的正三棱錐P-ABC,底面邊長(zhǎng)為2代，其

內(nèi)切球?yàn)榍颉?若在此三棱錐中再放入球O',使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切,則球O'的半徑為

【答案】。

【詳解】設(shè)內(nèi)切球。的半徑為r,球O'的半徑為R.設(shè)此棱錐的高為兒底面△4BC的中心為

因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2遍,底面△48。的高AN=2通x乎=3,所以；x2/x3=373,

所以三棱錐的體積VP-ABC—2x%xS^^ABC—X無(wú)x3V3=3,求得h=V3,

oo

在底面AABC中4M=得AN=2,

o

則側(cè)棱長(zhǎng)為PA=y/h^+AM2=V(V3)2+22=V7,

每個(gè)側(cè)面的三邊長(zhǎng)為BC=2V3,PB=PC=V7,則側(cè)面的高PN=y/PB2-BN2=V7^3=2,

所以S"BC=y-BC-PN=^-x2V3x2=273，所以三棱錐P—ABC的表面積為3x273+373=9V3.

由等積法知V=；x9A/3Xr=3,得r=

oo

用一平行于底面ABC且與球。上部相切的平面4笈。'截此三棱錐，下部得到一個(gè)高為2g的棱臺(tái)，

那么截得的小棱錐P-48'。'的高為八一27=卓，即為P—ABC高的!，則此小棱錐的內(nèi)切球半徑即為

OO

球。'的半徑，???

根據(jù)相似關(guān)系，截得的棱錐的體積為3x（]丫=表面積為9V3x（4-）2=V3,

根據(jù)等體積法，力X，^xR=!，解得R=噂.

oyy

故選:D

〔顧目可（2022春?河南信陽(yáng)?高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）正棱錐有以下四個(gè)命題：①所有棱長(zhǎng)都相等的三棱

錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球（六條棱均與球相切）體積比是30:坐:2；②側(cè)面是全等的等腰三角形頂點(diǎn)

在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐;③經(jīng)過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積的平面必經(jīng)過(guò)其內(nèi)切

球球心;④正六棱錐的側(cè)面不可能是正三角形,其中真命題是（）

A.①④B.③④C.①③④D.②③④

【答案】。

【詳解】對(duì)①:如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體ABCD-45GD1，設(shè)正方體的的邊長(zhǎng)為a,則三棱錐的邊長(zhǎng)為

V2a,

三棱錐的外接球即為正方體的外接球,故半徑R=,

三棱錐的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故半徑/=^-a,

33

三棱錐的體積V-a-4x《x[xaxaxa=春山設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為7,則有-La=4x；x/

J/Joo

x《xV2Gx■y/^Zax，解得r=-^-a,

220

故三棱錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積比是虎：茜聞=27:1:33,①為假命題；

對(duì)②:側(cè)面是全等的等腰三角形頂點(diǎn)在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐,②為真命題；

對(duì)③:正五棱錐的內(nèi)切球的球心在頂點(diǎn)與底面中心的連線上，由對(duì)稱(chēng)可得，若平面經(jīng)過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱

且平分其正五棱錐的表面積，則該平面必過(guò)頂點(diǎn)與底面中心的連線，即過(guò)正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積

的平面必經(jīng)過(guò)其內(nèi)切球球心，③為真命題；

對(duì)④:如圖所示：O為正六棱錐P-ABCDEF的中心，連接PO,AD，則PO_L平面ABCDEF，且A。U平

面ABCDEF，故PO_L皿

若正六棱錐的側(cè)面是正三角形，則AO^PA,故PO=y/P^-AO1=0,此時(shí)不能構(gòu)成錐體，④為真命題.

12

:題目叵〕（2021秋?遼寧?高二沈陽(yáng)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在正三棱柱ABC-AB'。中，D是側(cè)棱BE上一

點(diǎn)，E是側(cè)棱CC上一點(diǎn)，若線段AD+DE+EA'的最小值是2/,且其內(nèi)部存在一個(gè)內(nèi)切球（與該棱柱

的所有面均相切）,則該棱柱的外接球表面積為（）

A.4兀B.5兀C.6兀D.8兀

【答案】B

【詳解】設(shè)正三棱柱ABC-ABC的底面邊長(zhǎng)為a,高為機(jī)

對(duì)三個(gè)側(cè)面進(jìn)行展開(kāi)如圖，

要使線段AD+DE+EA'的最小值是2/7,則連接44'（左下角右上角A）,

此時(shí)E在連接線上，故V（3a）2+/i2=2/①，

因?yàn)檎庵鵄BC-ASC內(nèi)部存在一個(gè)半徑為r的內(nèi)切球，

[h=2r八

所以底v1整理得無(wú)=￥。，

\j2ax3二/3

將=代入①可得。=通，無(wú)=1,

所以正三棱柱ABC-ABC的底面外接圓半徑為呼x通義得=1,

所以正三棱柱ABC-ASC的外接球半徑為J1+十=手，

所以該棱柱的外接球表面積為4兀?（）=5兀

故選：石

[題目叵）（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二?？计谥校┕畔ＥD阿基米德被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一

個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球，這個(gè)球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為

（）

【答案】B

【詳解】設(shè)球半徑為R,貝［圓柱底面半徑為R,圓柱的高為2R,

貝US產(chǎn)4兀1?2,

S圓柱=S側(cè)+25底=2兀R?27?+2X兀&=6兀中

白/】、/S球2

所以W—二可，

Q圓柱。

故選：

二、填空題

題目至］（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知在三棱錐P—4BC中，A4BC是面積為，^的正三角形，平面PBCL

平面ABC,若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為弩，則三棱錐P-ABC體積的最大值為.

【答案】1

【詳解】第一步：找到三棱錐P—ABC的體積最大時(shí)點(diǎn)P的位置

過(guò)點(diǎn)P作PE_LBC于點(diǎn)E.

因?yàn)槠矫鍼BC_L平面ABC,平面PBCCI平面4BC=BC,PEu面PBC,

所以PE_L平面ABC,

所以VP-ABC=9SfPE=號(hào)PE,

oo

所以要使三棱錐P一ABC的體積最大，則需PE的值最大.

易知點(diǎn)P,BC在同一個(gè)圓上，則當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，PE的值最大，此時(shí)△PBC為等腰三甬