2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：多面體的外接球和內(nèi)切球（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)多面體的

外接球和內(nèi)切球（解析版）

多面體的外接球和內(nèi)切球

一'結(jié)論1

1、球與多面體的接、切

定義1；若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面

體的外接球。

定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切,則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是

多面體的內(nèi)切球。

類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如:在四棱錐P-ABCD中，內(nèi)切球為球O,求球半徑r.

方法如下：

^P-ABCD=%-ABC0+%-PCD+^O-PAB

即：Vp-ABCD—MSABCETr+-SPBC-r+—SPCD'r+JSpmr+-^-sPAB-,，可求出丁.

類型二球的外接問題

1.公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點

2.補形法（補長方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個垂直）

題設(shè):三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）

②對棱相等模型（補形為長方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等,求外接球半徑（AB=

CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟:①定一個面外接圓圓心:選中一個面如圖：在三棱錐P-AB。中，選中底面AAB。,確定其外接圓圓

心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心2r='彳）；

②過外心Q做（找）底面AABC的垂線，如圖中POY±面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段

POi上）POi上；

③計算求半徑R：在直線PO1上任取一點。如圖：則OP=04=R,利用公式。4=0^+001可計算出

球半徑R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）/'?.

如圖:在三棱錐P—ABC中：/.

①選定底面AABC,定AABC外接圓圓心Q/_

②選定面^PAB,定^PAB外接圓圓心。2

③分別過Oi做面ABC的垂線,和Q做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心O

dj,（2023春?湖南湘潭?高二統(tǒng)考期末）棱長為1的正方體的外接球的表面積為（）

A.孚B.3兀C.12兀D.16兀

4

畫2（2023春?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）在四面體中，PALAB,AC,NBAC=

120°,AB=AC=AP=2,則該四面體的外接球的表面積為（）

A.12兀B.16兀C.18兀D.20n

吼蟲（2023秋?湖南婁底?高三校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早

1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖P-ABCD

是陽馬，PAL平面ABCD,P4=5,AB=3,BC=4.則該陽馬的外接球的表面積為（）

B

125缶500兀

B.50兀C.1007C

3

血］4（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知菱形4BCD的各邊長為2,/。=60°.如圖所示，將A4CD沿AC折起,

使得點。到達點S的位置，連接SB,得到三棱錐S-48。,此時S3=3.E是線段S4的中點，點F在三

棱錐S—ABC的外接球上運動，且始終保持則點F的軌跡的周長為（）

A-B.手兀C.手兀D.當工兀

OOOO

題5（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐ABCD中，對棱AB=CD=2四,AD=BC=瓜AC=BD=

弱,則該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.

吼色（2022春?山西?高二校聯(lián)考期末）如圖所示，用一個平行于圓錐SO的底面的平面截這個圓錐，截得的圓

臺，上、下底面的面積之比為1：9,截去的圓錐的底面半徑是3,圓錐SO的高為18.則截得圓臺的體積為

;若圓錐S。中有一內(nèi)切球，則內(nèi)切球的表面積為.

二.針對訓(xùn)練舉一反三1

一、單

題目工（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）在三棱錐A-BCD,平面ACD±平面BCD,/\ACD是以CD為斜邊的

等腰直角三角形，△BCD為等邊三角形，AC=4,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

題目②（2023?湖南?模擬預(yù)測）在三棱錐A—BCD中，AB_L平面BCD,BC_LCD,CD=2AB=2BC=4,

則三棱錐A-BCD的外接球的表面積與三棱錐力-BCD的體積之比為（）

A.羋B.坐C.2兀D.9兀

42

［題目回（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體■作

注:“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉腌夾一塹堵,即羨除之形.”羨除即為:三個面為梯形或平行四

邊形（至多一個側(cè)面是平行四邊形）,其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底

面ABCD為正方形，EF=4,其余棱長為2,則羨除外接球體積與羨除體積之比為（）

A.2V27tB.4V27tC.岑2兀D.2兀

題目@（2023春?江西?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在長方體ABCD-中，4B=人力產(chǎn)3,AD=2,點M

為平面內(nèi)一動點，且G河〃平面ACO〉則當取最小值時,三棱錐的外接球的表面

積為（）

A.13兀B.16nC.26nD.32兀

題目回（2023.四川南充.校考模擬預(yù)測）在平面中，若正△ABC內(nèi)切圓的面積為S，內(nèi)切圓與外接圓之間的

圓環(huán)面積為$2,則等=；.在空間中，若正四面體內(nèi)切球的體積為x，內(nèi)切球之外與外接球之內(nèi)的

幾何體的體積為弘，則與=（）

>2

XC-^―

A，B-26D

A63154

If回（2023秋?浙江湖州?高三安吉縣高級中學(xué)校考期末）如圖所示的多面體由正四棱錐P-ABCD和三

棱錐Q-P4B組成，其中AB=2.若該多面體有外接球且外接球的體積是安兀，則該多面體體積的最大

O

值是（）

c3+n

2—3

題目1（2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模）已知四面體4BCD外接球的球心。與正三角形ABC外接圓的圓心重

合,若該四面體體積的最大值為2四,則該四面體外接球的體積為（）

題目回（2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知體積為3的正三棱錐P-ABC,底面邊長為2遍，其

內(nèi)切球為球O,若在此三棱錐中再放入球。，使其與三個側(cè)面及內(nèi)切球。均相切，則球。的半徑為

（）

A.-C.挈D.卓

OyOeZ

題目包（2022春?河南信陽?高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）正棱錐有以下四個命題：①所有棱長都相等的三棱

錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球（六條棱均與球相切）體積比是3份:乎:2；②側(cè)面是全等的等腰三角形頂點

在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐;③經(jīng)過正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積的平面必經(jīng)過其內(nèi)切

球球心;④正六棱錐的側(cè)面不可能是正三角形,其中真命題是（）

A.①④B.③④C.①③④D.②③④

題目叵〕（2021秋?遼寧?高二沈陽二中校聯(lián)考開學(xué)考試）在正三棱柱ABC-4B'。'中，。是側(cè)棱上一

點，E是側(cè)棱CC上一點，若線段AD+OE+E4的最小值是,且其內(nèi)部存在一個內(nèi)切球（與該棱柱

的所有面均相切）,則該棱柱的外接球表面積為（）

A.47rB.5兀C.6兀D.8兀

〔題目〔11］（2022秋.黑龍江哈爾濱.高二?？计谥校┕畔ＥD阿基米德被稱為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一

個圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個球，這個球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為

（）

D

A-iB-tc-t4

二、填空題

題目電（2023?全國?模擬預(yù)測）已知在三棱錐P-ABC中，AAB。是面積為V3的正三角形,平面PBC±

平面ABC,若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為等，則三棱錐P-ABC體積的最大值為.

［題目叵（2023?全國?唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知N為正方體ABCD-的內(nèi)切球球面上

的動點，河為BiG的中點MB,若動點N的軌跡長度為則正方體的體積是

三、雙空題

［題目亙（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖所示的六面體由兩個棱長為a的正四面體M-AB。，Q-ABC組合而

成，記正四面體加一ABC的內(nèi)切球為球Q,正四面體Q—ABC的內(nèi)切球為球。2，則。1。2=:若在

該六面體內(nèi)放置一個球。，則球。的體積的最大值是.

題目口引（2022.陜西西安.?？寄M預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直

于底面的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬”的底面是邊長為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為4,則該

“陽馬”的內(nèi)切球表面積為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為

多面體的外接球和內(nèi)切球

一'結(jié)論1

1、球與多面體的接、切

定義1;若一個多面體的各頂點都在一個球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是多面

體的外接球。

定義2；若一個多面體的各面都與一個球的球面相切,則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是

多面體的內(nèi)切球。

類型一球的內(nèi)切問題（等體積法）

例如:在四棱錐P-ABCD中，內(nèi)切球為球O,求球半徑r.

方法如下：

^P-ABCD=%-ABC0+%-PCD+^O-PAB

即：Vp-ABCD—MSABCETr+-SPBC-r+—SPCD'r+JSpmr+-^-sPAB-,，可求出丁.

類型二球的外接問題

1.公式法

正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點

2.補形法（補長方體或正方體）

①墻角模型（三條線兩個垂直）

題設(shè):三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）

②對棱相等模型（補形為長方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等,求外接球半徑（AB=

CD,AD=BC,AC=BD）

3.單面定球心法（定+算）

步驟:①定一個面外接圓圓心:選中一個面如圖:在三棱錐P-ABC中，選中底面A4BC,確定其外接圓圓

心Q（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心2r='彳）；

②過外心Q做（找）底面AABC的垂線，如圖中FOiX面ABC,則球心一定在直線（注意不一定在線段

PO1上）PO1上；

③計算求半徑R：在直線PO1上任取一點。如圖：則0P=04=R,利用公式。4=0^+001可計算出

球半徑R.

4.雙面定球心法（兩次單面定球心）

如圖:在三棱錐P—43。中：

①選定底面XABC,定AABC外接圓圓心Q

②選定面^PAB,定^PAB外接圓圓心。2

③分別過Oi做面ABC的垂線,和Q做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心O

dj,（2023春?湖南湘潭?高二統(tǒng)考期末）棱長為1的正方體的外接球的表面積為（）

A.孚B.3兀C.12兀D.16兀

4

【答案】8

【詳解】解：易知，正方體的體對角線是其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為五，

則2R=Vl2+12+12=故&=空.

所以S=4IZR2=4兀x=37t.

故選：B.

【反思】本例屬于正方體外接球問題，其外接球半徑公式可直接記憶.

吼2（2023春?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）在四面體中，PALAC,NBAC=

120°,AB=AC=AP=2,則該四面體的外接球的表面積為（）

A.12兀B.16兀C.18兀D.20兀

【答案】。

【詳解】因為PA_LAB,PA_LAC,ABAAC^A,AB,ACa平面ABC,

所以P4_L平面ABC

設(shè)底面△ABC的外心為G,外接球的球心為則03，平面48。,所以~4〃。??M

設(shè)。為PA的中點,

因為P4_L平面ABC,AGu平面ABC,

所以PA_LAG,所以。D〃AG.

因此四邊形ODAG為平行四邊形，所以O(shè)G=AO=yPA=1.

因為/BAC=120°,AB=AC=2,

所以BC=VAB'2+AC2-2AB-ACcosABAC=，4+4—2x2x2x(—/)=2V3,

由正弦定理，得2AG=^^=4nAG=2.

F

所以該外接球的半徑R滿足我=(OG)2+(AG)2=5,

故該外接球的表面積為S=4兀/?2=20兀.

故選:D

【反思】本例屬于單面定球心問題①用正弦定理求出^ABC外心G;②過G做平面ABC的垂線，則外接球

球心O在此垂線上;③通過計算算出半徑.

回3(2023秋?湖南婁底?高三校聯(lián)考期末)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早

1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖P-ABCD

是陽馬，PAL平面ABCD,PA=5,AB=3,BO=4.則該陽馬的外接球的表面積為()

【答案】8

【詳解】因P4±平面ABCD,4BU平面ABCD,4DU平面ABCD,

則_LAB,PA_LA。，又因四邊形ABCD為矩形，則AB±AD.

則陽馬的外接球與以P4,AB,4D為長寬高的長方體的外接球相同.

又P4=5,4B=3,AD=BC=^.則外接球的直徑為長方體體對角線，故外接球半徑為：五=

8

=J32+42+52=52

2―2—2，

則外接球的表面積為：S=4兀&=4兀?等~=50兀.

4

故選：石

【反思】本例屬于墻角型模型，通過補形，將原圖形補成長方體模型，借助長方體模型求外接球半徑.

血］4（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知菱形4BCD的各邊長為2,20=60°.如圖所示，將A4co沿力。折起,

使得點。到達點S的位置，連接SB,得到三棱錐S-ABC,此時SB=3.E是線段SA的中點，點F在三

棱錐S—ABC的外接球上運動，且始終保持力。，則點F的軌跡的周長為（）

A.卒兀B.手兀C.早兀D.岑工兀

OOOO

【答案】。

【詳解】取AC中點,則AC_LBM,AC±SM,BMCSM=M,

：.AC平面SMB,SM=MB=^，叉SB=3,：./S?W==30°,作EH_LAC于H,設(shè)點F軌

跡所在平面為a,則平面上經(jīng)過點H且A。_L%設(shè)三棱錐S—ABC外接球的球心為?！鱏AC,ABAC的

中心分別為易知。?！蛊矫鍿AC,OO2±平面A4C,且初四點共面，由題可得/OMQ

=60°,。四=±SM=冬,解Rt^OOxM,得OO產(chǎn)血。四=1,又C\S=^SM=,則

/OOOO

故平面a截外接球所得截面圓的半徑為ri=Vr2—d2=-----于=5f,

/.截面圓的周長為I=2兀丁產(chǎn)5哈兀,即點F軌跡的周長為5哈兀

OO

故選：C

【反思】此題典型的雙面定球心。①定^ABC外心。2；②定'ASC外心O1,③再分別過O1,。2做平面

ASC和ABC的垂線，兩條垂線的交點，記為外接球球心.

?M

的5（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐ABCD中，對棱AB=CD=2。AD=BC=?AC=BD=

則該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為.

【答案】今兀日兀#喏

【詳解】因為三棱錐A—BCD每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，

設(shè)長方體的長、寬、高分別為力、y、z,如下圖所示：

則J人+方—2^2,Vx2+z^—V5,J婿+22=V5,解得x—y—2,z—1,

外接球直徑2R=了汁+才+名=3,其半徑為R=告，

三棱錐A—BCD的體積V—xyz——^xyzx4=-^-xyz=士,

633

在△ABC中，AC=BC=濾，AB=2方,取AB的中點E,連接CE,如下圖所示:

則CE_LAB,且CE=/。。2-4后2=血，所以，$.=-CE=限

因為三棱錐A-BCD的每個面的三邊分別為娓、店、2V2,

所以，三棱錐A-BCD的表面積為S=4SA4BO=4V6,

設(shè)三棱錐A—BCD的內(nèi)切球半徑為r,則V=：Sr,可得r=3V_4_V6

OS—476—6

所以該三棱錐的外接球體積為3兀&=_1_兀，內(nèi)切球表面積為4兀?-2=_|■兀.

J/O

故答案為：得兀；弓兀.

/O

【反思】本例屬于對棱相等模型，可補形為長方體,再借助長方體模型，求外接球半徑.

吼色（2022春?山西?高二校聯(lián)考期末）如圖所示，用一個平行于圓錐S。的底面的平面截這個圓錐，截得的圓

臺，上、下底面的面積之比為1：9,截去的圓錐的底面半徑是3,圓錐S。的高為18.則截得圓臺的體積為

;若圓錐S。中有一內(nèi)切球，則內(nèi)切球的表面積為.

?M

【答案】468兀（486—162瓶）兀##486?！?620兀

【詳解】由題意得：截得的圓臺，上、下底面半徑之比為1:3,截去的圓錐的底面半徑是3,故下底面半徑為9,

則圓錐SO的體積為V=：x9?兀x18=486兀，由相似知識得：=：,故SO'=6,故截去的圓錐體積

為Vy=；x327Ux6=18兀，故截得圓臺的體積為486兀—18兀=468兀，

o

畫出內(nèi)切球的截面圖，如下：

則有Rt^SCD?放/由入。,設(shè)內(nèi)切球半徑為凡則CD=CO=凡SC=18一凡由勾股定理得：AS=

花湎=9五由怒=柴得：夸=口,解得：加叟代，

故內(nèi)切球的表面積為4元&=4兀（Q西2——j=（486—162V5）7T.

故答案為:468兀，（486-162函）兀

【反思】本例內(nèi)切球問題，主要采用獨立截面法，獨立出大圓的截面，然后利用相似求解內(nèi)切球半徑。

二.針對訓(xùn)練舉一反三1

一、單選題

題目[T]（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）在三棱錐A-BCD,平面ACD±平面BCD,/\ACD是以CD為斜邊的

等腰直角三角形，ABCD為等邊三角形，47=4,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

【答案】。

【詳解】解：過點6作CD的垂線,垂足為E,因為△ACD是以CD為斜邊的等腰直角三角形,?M

所以△ACD的外接圓的圓心為E,設(shè)的外接圓圓心為O,其半徑為R,

則。在BE上，所以05=0。，由面面垂直的性質(zhì)可知，BE_L平面ACE）,

所以O(shè)C=O。=OA,即。為該三棱錐的外接球的球心，CD=4V2

由正弦定理可知，力|^=2R,R=孽，

smoO0

故該三■棱錐的外接球的表面積為S=4兀7?2=4兀x16?2—1?兀.

故選：C

題目句（2023?湖南?模擬預(yù)測）在三棱錐A—BCD中，AB_L平面BCD,BC-LCD,CD=2AB=2BC=4,

則三棱錐A-BCD的外接球的表面積與三棱錐A-BCD的體積之比為)

A.牛B.孚C.2兀D.9兀

42

【答案】。

【詳解】

取AD的中點O,連接OB,。。，

因為AB_L面BCD,BDU面BCD,CDU面BCD,

所以AB_LBD,AB_LCD,

所以O(shè)B=OA=O。，

所以BD=VBC2+CD2=V20,AD=^AB2+BD2=V4+20=2瓜

因為CD_LBC,ABABC=B,ABu面ABC,BCu面ABC,

所以CD_L面ABC,

又因為ACu面ABC,

所以CD_LC4,

所以O(shè)C=OA=OD,所以O(shè)A=OB=OC=OD=^4O=?,

所以。為三棱錐A—BCD的外接球的圓心，半徑R=逐，

所以球的表面積為S=4兀&=24兀,

三棱錐A-BCD的體積為V=^-SABCD-AB=^-X^X2X4X2=4,

OJ/o

曲S24兀Q

故歹=工=9兀,

3

故選：。

【題目⑥（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體作

注:“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉麝夾一塹堵,即羨除之形.”羨除即為:三個面為梯形或平行四

邊形（至多一個側(cè)面是平行四邊形）,其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示，底

面ABCD為正方形，EF=4,其余棱長為2,則羨除外接球體積與羨除體積之比為（）

A.2V27TB.4V27tC.當2兀D.2兀

【答案】A

【詳解】連接A。、BD交于點M,取EF的中點O,連接?！?則。河_L平面ABCD.取反7的中點G,連接

FG,作GH_LEF,垂定為H,如圖所示，

由題意得，OA^OB^OC^OD,OE=OF=2,HF=^EF=\，F(xiàn)G=^BC=6

：.HG=^FG2-HF2=V2,

：.OM=HG=6,

丸?:AM=*AB=0

：.OA=-^OM'2+AM'2=2,

：.OA=08=OC=OD=OE=OF=2,即：這個羨除的外接球的球心為O,半徑為2,

這個羨除的外接球體積為弘=今兀/=弓兀x23=當馬.

OOO

???ABHEF,ABQ面CDEF,EFu面CDEF,

：.AB〃面CDEF,即:點A到面CDEF的距離等于點B到面CDEF的距離,

又???△OE?？铡鱋CD,

^A-OED~^B-OCD~^O-BCD，

?e?這個羨除的體積為％=%-OEZ）+^BCF-ADO~^^O-BCD~^^O-BCD~4xJxJx2X2XV2—

8V2

3'

327r

羨除的外接球體積與羨除體積之比為聶=一、=22兀.

V2

3

故選：4

題目回（2023春?江西?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在長方體ABCD-45G。中，AB=44產(chǎn)3,AD=2,點M

為平面ABB/i內(nèi)一動點，且6河〃平面ACDi，則當GM取最小值時,三棱錐M-ABO的外接球的表面

積為（）

A.13兀B.16兀C.26兀D.32兀

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意易知，4G〃AC,且ACu平面AC。，4G?平面AC。，所以4G〃平面ACD1,同理

可得BG〃平面ACA；

又AGnBC1=G,4G,BGu平面4BG，所以平面A^BCJ/平面ACD1；

又因為點M■在平面ABBXAX內(nèi)且CXM//平面ACD1，所以點”在平面ABBXAX與平面ACDX的交線A^B

上，

易知4G=BCi=JU,所以當GM取最小值時，M為線段ArB的中點，如下圖所示：

取AB的中點為N,AC,BD交于點、O,連接MN,NO;

則皿N=等,NO=1,所以MO=乂畀,而AO=BO=DO=8科，

所以。即為三棱錐M-ABD的外接球球心，半徑R=AO=上。=?異,

則表面積S=4兀&=13兀.

故選：A

題目回（2023?四川南充??？寄M預(yù)測）在平面中，若正△ABC內(nèi)切圓的面積為S，內(nèi)切圓與外接圓之間的

圓環(huán)面積為$2，則獸=[.在空間中，若正四面體PABC內(nèi)切球的體積為弘，內(nèi)切球之外與外接球之內(nèi)的

幾何體的體積為％，則與=（）

V2

A?看B-1c4D-l

【答案】B

【詳解】設(shè)正四面體PABC的內(nèi)切球與外接球的半徑分別為扁，抽，點P到底面ABC的距離為H,底面

4BC的面積為S,

3x±SH1

由等體積法得Ri=-=--H,

4s4

設(shè)4B=Q,正△ABC的中心為O,

則CM.=x。=~^~a，H=Va2—OA2=~^-a,

由（H—凡）2+。4=屋，得&2=^a=1~H=3Ri,

故上=?訊=j_

%專兀?-瑤）26.

故選：B.

題目回（2023秋?浙江湖州?高三安吉縣高級中學(xué)?？计谀┤鐖D所示的多面體由正四棱錐P-ABCD和三

棱錐Q-P4B組成，其中4B=2.若該多面體有外接球且外接球的體積是平兀，則該多面體體積的最大

值是（）

p

Q

A.3V3B.2V3+1C.設(shè)通D.娓屋鼻.

【答案】。

【詳解】設(shè)正四棱錐P—ABCD的外接球的半徑為R,則告兀&=當2兀，解得R=僅

OO

連接AC,BD交于點O,連接PO,

?.?正方形4BCD的邊長為2,則OA=OB=OC=OD=?=R,

O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，

則PO=V2,PA=VPO2+OA2=2,故△PAB的是以邊長為2的等邊三角形，

過O作平面PAB的垂線OE,垂足為E,連接QE,OQ,

由三棱錐O-PAB的體積可得：!xOEx）x2x2x苧=t-xv^x]x2x解得OE=乎,

由題意可知：點Q在四棱錐P—ABCD的外接球的球面上，則OQ=2，

?：EQ+OE<OQ,^EQ<OQ-OE^V2-^,

o

當且僅當O,E,Q三點共線，則QEL面PAB時等號成立，

可得三棱錐Q-PAB的高的最大值為〃一平，

三棱錐Q—PAB的體積VQ-PAB^3義（^A/2—xx2x2x=乂乙廣^,

故該多面體體積V=V_-^V_<娓^^+-1-xV2X2X2=4咚

QPABPABCDOOO

故選：D.

題目叵（2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模）已知四面體4BCD外接球的球心。與正三角形ABC外接圓的圓心重

合,若該四面體體積的最大值為2遍,則該四面體外接球的體積為（）

A.8nB.等C.16兀D.券

【答案】B

[詳解】設(shè)球。的半徑為R,可得=8。=AC=V3R.

當。O_L平面ABC時，四面體ABCD的體積最大，

此時VD_ABC=R=4&,即4&=273,得3=&,

則該四面體外接球的體積V=弓兀五三專L.

OO

故選：B

題目回（2023春?河南新鄉(xiāng)?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知體積為3的正三棱錐P-ABC,底面邊長為2代，其

內(nèi)切球為球。,若在此三棱錐中再放入球O',使其與三個側(cè)面及內(nèi)切球O均相切,則球O'的半徑為

【答案】。

【詳解】設(shè)內(nèi)切球。的半徑為r,球O'的半徑為R.設(shè)此棱錐的高為兒底面△4BC的中心為

因為底面邊長為2遍,底面△48。的高AN=2通x乎=3,所以；x2/x3=373,

所以三棱錐的體積VP-ABC—2x%xS^^ABC—X無x3V3=3,求得h=V3,

oo

在底面AABC中4M=得AN=2,

o

則側(cè)棱長為PA=y/h^+AM2=V(V3)2+22=V7,

每個側(cè)面的三邊長為BC=2V3,PB=PC=V7,則側(cè)面的高PN=y/PB2-BN2=V7^3=2,

所以S"BC=y-BC-PN=^-x2V3x2=273，所以三棱錐P—ABC的表面積為3x273+373=9V3.

由等積法知V=；x9A/3Xr=3,得r=

oo

用一平行于底面ABC且與球。上部相切的平面4笈。'截此三棱錐，下部得到一個高為2g的棱臺，

那么截得的小棱錐P-48'。'的高為八一27=卓，即為P—ABC高的!，則此小棱錐的內(nèi)切球半徑即為

OO

球。'的半徑，???

根據(jù)相似關(guān)系，截得的棱錐的體積為3x（]丫=表面積為9V3x（4-）2=V3,

根據(jù)等體積法，力X，^xR=!，解得R=噂.

oyy

故選:D

〔顧目可（2022春?河南信陽?高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）正棱錐有以下四個命題：①所有棱長都相等的三棱

錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球（六條棱均與球相切）體積比是30:坐:2；②側(cè)面是全等的等腰三角形頂點

在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐;③經(jīng)過正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積的平面必經(jīng)過其內(nèi)切

球球心;④正六棱錐的側(cè)面不可能是正三角形,其中真命題是（）

A.①④B.③④C.①③④D.②③④

【答案】。

【詳解】對①:如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體ABCD-45GD1，設(shè)正方體的的邊長為a,則三棱錐的邊長為

V2a,

三棱錐的外接球即為正方體的外接球,故半徑R=,

三棱錐的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故半徑/=^-a,

33

三棱錐的體積V-a-4x《x[xaxaxa=春山設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為7,則有-La=4x；x/

J/Joo

x《xV2Gx■y/^Zax，解得r=-^-a,

220

故三棱錐的外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積比是虎：茜聞=27:1:33,①為假命題；

對②:側(cè)面是全等的等腰三角形頂點在底面射影為底面中心的四棱錐是正四棱錐,②為真命題；

對③:正五棱錐的內(nèi)切球的球心在頂點與底面中心的連線上，由對稱可得，若平面經(jīng)過正五棱錐一條側(cè)棱

且平分其正五棱錐的表面積，則該平面必過頂點與底面中心的連線，即過正五棱錐一條側(cè)棱平分其表面積

的平面必經(jīng)過其內(nèi)切球球心，③為真命題；

對④:如圖所示：O為正六棱錐P-ABCDEF的中心，連接PO,AD，則PO_L平面ABCDEF，且A。U平

面ABCDEF，故PO_L皿

若正六棱錐的側(cè)面是正三角形，則AO^PA,故PO=y/P^-AO1=0,此時不能構(gòu)成錐體，④為真命題.

12

:題目叵〕（2021秋?遼寧?高二沈陽二中校聯(lián)考開學(xué)考試）在正三棱柱ABC-AB'。中，D是側(cè)棱BE上一

點，E是側(cè)棱CC上一點，若線段AD+DE+EA'的最小值是2/,且其內(nèi)部存在一個內(nèi)切球（與該棱柱

的所有面均相切）,則該棱柱的外接球表面積為（）

A.4兀B.5兀C.6兀D.8兀

【答案】B

【詳解】設(shè)正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為a,高為機

對三個側(cè)面進行展開如圖，

要使線段AD+DE+EA'的最小值是2/7,則連接44'（左下角右上角A）,

此時E在連接線上，故V（3a）2+/i2=2/①，

因為正三棱柱ABC-ASC內(nèi)部存在一個半徑為r的內(nèi)切球，

[h=2r八

所以底v1整理得無=￥。，

\j2ax3二/3

將=代入①可得。=通，無=1,

所以正三棱柱ABC-ABC的底面外接圓半徑為呼x通義得=1,

所以正三棱柱ABC-ASC的外接球半徑為J1+十=手，

所以該棱柱的外接球表面積為4兀?（）=5兀

故選：石

[題目叵）（2022秋?黑龍江哈爾濱?高二?？计谥校┕畔ＥD阿基米德被稱為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一

個圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個球，這個球的直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為

（）

【答案】B

【詳解】設(shè)球半徑為R,貝［圓柱底面半徑為R,圓柱的高為2R,

貝US產(chǎn)4兀1?2,

S圓柱=S側(cè)+25底=2兀R?27?+2X兀&=6兀中

白/】、/S球2

所以W—二可，

Q圓柱。

故選：

二、填空題

題目至］（2023?全國?模擬預(yù)測）己知在三棱錐P—4BC中，A4BC是面積為，^的正三角形，平面PBCL

平面ABC,若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為弩，則三棱錐P-ABC體積的最大值為.

【答案】1

【詳解】第一步：找到三棱錐P—ABC的體積最大時點P的位置

過點P作PE_LBC于點E.

因為平面PBC_L平面ABC,平面PBCCI平面4BC=BC,PEu面PBC,

所以PE_L平面ABC,

所以VP-ABC=9SfPE=號PE,

oo

所以要使三棱錐P一ABC的體積最大，則需PE的值最大.

易知點P,BC在同一個圓上，則當E為BC的中點時，PE的值最大，此時△PBC為等腰三甬