2024年北師大版中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-附答案

2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-附答案（北師大版）

（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求.

1.如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小立方塊搭成，此幾何體的俯視圖是（）

2.萬里長城是世界文化遺產(chǎn)之一，其總長大約為21200000m,將21200000用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl0sD.212xl07

3.如圖,AB〃CD,直線I與AB,CD分別交于點(diǎn)E和F,CD上有一點(diǎn)G且GE=GF,Z1=122°,

則N2的度數(shù)為（）

A.54°B.64°C.58°D.68°

4.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va2=-a

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.

6.下列運(yùn)算正確的是（

A.（m-l）2=m2-1B.（2m）口6m□C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7

7.用如圖所示的兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行"配紫色"游戲（紅色和藍(lán)色配成紫色），兩個轉(zhuǎn)盤

分別被分成面積相等的幾個扇形，同時(shí)轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)干刃蔚念伾?/p>

即為轉(zhuǎn)出的顏色（若指針停在分界線上，則重轉(zhuǎn)），則配得紫色的概率為（）

A.1B.lC.1D.1

6432

8.已知點(diǎn)A（Xjyj,B（X2,丫2）在反比例函數(shù)y=4的圖象上，且xjOvx2,則下列結(jié)論一定正確

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的是（）

入％+丫2<。B.y^y^OC.y】-丫2<0D%%>。

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BC,

BD于點(diǎn)E和F,大于工EF為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,過點(diǎn)C作BP的垂線分別交

2

BP,AD于點(diǎn)M和N,則CN的長為（）

A.VinB.VTTC.2gD.4

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)，已知二次

函數(shù)y=ax2+4x+c（aW0）的圖象上有且只有一個完美點(diǎn)（。，3）,且當(dāng)OWxWm時(shí)，函數(shù)

22

y，=ax2+4x+c-3（aW0）的最小值為-3,最大值為1,則m的取值范圍是（）

4

A.-lWmWOB.2WmW4C.2Wm<ZD.2-<mWZ

22

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分..

11.因式分解：xyz-4x=.

12.如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內(nèi)任取一

點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在陰影部分的概率為.

13.若關(guān)于x的一元二次方程X2+2x+h=0無實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.

14.如圖，正方形的邊AB=2,弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面

之差為.

15.為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校要求學(xué)生練習(xí)跑步.開始時(shí)男生跑了50m,女生跑了80m,

然后男生女生都開始勻速跑步.已知男生的跑步速度為4.5m/s,當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)男、女均停止

跑步，男、女生從開始勻速跑步到停止跑步分別用時(shí)100s,120s.已知x軸表示從開始勻速

跑步到停止跑步的時(shí)間，y軸代表跑過的路程，則當(dāng)男、女相遇時(shí)，此時(shí)男、女同學(xué)距離終

點(diǎn)的距離為.

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16.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),E是BM上的一點(diǎn)，連接AE,

作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)B',連接DB'并延長交BC于點(diǎn)F.當(dāng)BF最大時(shí)，點(diǎn)B'到BC的

距離為

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（6分）計(jì)算：卜1|+（-1）2024-sin30°-（V3-V2）o

+1>-3?

18.（6分）解不等式組，_,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

%—1<1+②

I3

19.（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AD、AB、BC、CD±,

且DE=BG,AF=CH.求證：EF=GH.

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20.（8分）植物園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e場所之一，里面的秋千深受孩子們喜愛.如圖所示，

秋千鏈子的長度為3m,當(dāng)擺角NBOC恰為26。時(shí)，座板離地面的高度BM為0.9m,當(dāng)擺動

至最高位置時(shí)，擺角NAOC為50。，求座板距地面的最小和最大高度分別為多少？（結(jié)果精

確至U0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin26°^0.44,cos26°~0.90,tan26°~0.49,sin50°?0.77,cos50°

心0.64,tan50°^1.19）

21.（8分）"小手拉大手，共創(chuàng)文明城某校為了解學(xué)生對所在城市創(chuàng)建全國文明城市相關(guān)知

識的知醫(yī)情況，通過發(fā)放問卷進(jìn)行測評，從中隨機(jī)抽取20份答卷，并統(tǒng)計(jì)成績（成績得分

用x表示.單位：分）:94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,

93,98,94,93,92.整理上面的數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

等級成績/分頻數(shù)

A95W/W100a

B90Wx<958

C85W%<905

D80^x<854

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=,b=.

（2）若成績不低于90分為優(yōu)秀，請估計(jì)該校1600名學(xué)生中,達(dá)到優(yōu)秀等級的人數(shù)；

⑶已知A等級中有2名男生，現(xiàn)從A等級中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，試用列表或畫樹狀圖的方法

求出恰好抽到一男一女的概率.

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22.（8分）如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)E,C在。。上，點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)，AE垂直于過點(diǎn)C

的直線CD,垂足為D,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)F.

⑴求證：CD是。0的切線；

⑵若AE=2,sinZAFD=l

3

①求。0的半徑；

②求線段DE的長.

23.（10分）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗.今年端午節(jié)來臨之際，某商場預(yù)測

A粽子能夠暢銷.根據(jù)預(yù)測，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進(jìn)A

粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進(jìn)的數(shù)量少4千克.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴該商場節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為多少元？

（2）如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過4600元，并按照節(jié)前

每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤最

大？最大利潤為多少？

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24.（10分）當(dāng)k值相同時(shí)，我們把正比例函數(shù)y二x和反比例函數(shù)y衛(wèi)叫做"關(guān)聯(lián)函數(shù)".小亮根

kx

據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，以函數(shù)y=-5（和y=-2為例對"關(guān)聯(lián)函數(shù)"進(jìn)行了探究，下面是小亮的探

2x

究過程，請你將它補(bǔ)充完整

⑴如圖，在同一平面直角坐系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，兩個函數(shù)圖象在第二、四象限分別

交于點(diǎn)A、B,則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A、B

（2）點(diǎn)P是函數(shù)y=-lx在第二象限內(nèi)的圖象上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），作直線PA、PB,

2

分別與x軸交于點(diǎn)C、D.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.小亮通過分析得到：在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,

總有PC=PD.

證明PC=PD的過程如下（不完整）：

易知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t,--）

t

設(shè)直線AP的表達(dá)式為y=ax+b

-2a+b=1

~2a+b—1

將點(diǎn)A、P的坐標(biāo)分別代人，得

ta+b--2

i

解得

—2~t

b=V

...直線AP的表達(dá)式為y=-a—曰

tt

令y=0,得x=t-2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t-2,0）

同理可得直線BP的表達(dá)式為y總x—生

tt

請你補(bǔ)充剩余的證明過程；

⑶當(dāng)4PCD是等邊三角形時(shí)，t=.

⑷隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，4ABP的面積S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)t>-2

時(shí)，請你求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

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25.(12分)如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)Q是x軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線QM，x軸于點(diǎn)N,若QM=BM,且tanNMBN』,

3

請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AE交y軸于點(diǎn)D,AE的延長線交拋物線于點(diǎn)P

點(diǎn)F在線段CD上，且CF=OD,

26.(12分)原題再現(xiàn)：小強(qiáng)特別喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天李老師給他這樣一個幾何問題：4ABC

和4BDE都是等邊三角形，將4BDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖1位置，求證：AE=CD.小強(qiáng)很快就通

過△ABE^CBD,論證了AE=CD.

⑴請你寫出小強(qiáng)的證明過程；

遷移應(yīng)用：小強(qiáng)想，把等邊^(qū)ABC和等邊4BDE都換成等腰直角三角形，將4BDE繞著點(diǎn)B

旋轉(zhuǎn)到圖2位置，其中NACB=NEDB=90°,那么AE和CD有什么數(shù)量關(guān)系呢？

(2)請你幫助小強(qiáng)寫出結(jié)論，并給出證明；

(3)如圖3,如果把等腰直角三角形換成正方形，將正方形AFEG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a°,若AB=

6/2,AG=4,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,G,E三點(diǎn)共線時(shí)，請求出DG的長度.

圖3

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答案

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求.

1.如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小立方塊搭成，此幾何體的俯視圖是（C）

人日

2.萬里長城是世界文化遺產(chǎn)之一，其總長大約為21200000m,將21200000用科學(xué)記數(shù)法

表示為（B）

A.2.12X106B.2.12X107C.0.212xl0sD.212X107

3.如圖，AB〃CD,直線I與AB,CD分別交于點(diǎn)E和F,CD上有一點(diǎn)G且GE=GF,Zl=122°,

則N2的度數(shù)為（B）

4.實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（C）

A.ab<0B.a+b>0C.la-bl=a-bD.Va2=-a

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（D）

6.下列運(yùn)算正確的是（

A.（m-l）2=m2-1C.m7-m3=m4D.m2+m5=m7

7.用如圖所示的兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行"配紫色"游戲（紅色和藍(lán)色配成紫色），兩個轉(zhuǎn)盤

分別被分成面積相等的幾個扇形，同時(shí)轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)干刃蔚念伾?/p>

即為轉(zhuǎn)出的顏色（若指針停在分界線上，則重轉(zhuǎn)），則配得紫色的概率為（B）

A.lB.lC.1D.1

6432

8.已知點(diǎn)A（Xjyj,B（X2,丫2）在反比例函數(shù)y=2的圖象上，且xjOvx2,則下列結(jié)論一定正確

的是（D）

A-y^y^OB.y^y^OC.y1-y2<0D/%>。

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BC,

第8頁共18頁

BD于點(diǎn)E和F,大于工EF為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,過點(diǎn)C作BP的垂線分別交

2

BP,AD于點(diǎn)M和N,則CN的長為(A)

A.V10B.V11C.2/3D.4

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)，已知二次

函數(shù)y=ax2+4x+c(aW。)的圖象上有且只有一個完美點(diǎn)(|,|),且當(dāng)0Wx<m時(shí),函數(shù)

y，=ax2+4x+c-2(aW0)的最小值為-3,最大值為1,則m的取值范圍是(B)

4

A.-lWmWOB.2WmW4C.2<m<ZD.2-<mWZ

22

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分..

11.因式分解：xy2-4x=x(y+2)(y—2).

12.如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內(nèi)任取一

點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在陰影部分的概率為絲.

--------e-et--------

13.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+h=0無實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k>l.

14.如圖，正方形的邊AB=2,弧BD和弧AC都是以2為半徑的圓弧，則圖中空白兩部分的面

之差為2n—4.

15.為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校要求學(xué)生練習(xí)跑步.開始時(shí)男生跑了50m,女生跑了80m,

然后男生女生都開始勻速跑步.已知男生的跑步速度為4.5m/s,當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)男、女均停止

跑步，男、女生從開始勻速跑步到停止跑步分別用時(shí)100s,120s.已知x軸表示從開始勻速

跑步到停止跑步的時(shí)間，y軸代表跑過的路程，則當(dāng)男、女相遇時(shí)，此時(shí)男、女同學(xué)距離終

點(diǎn)的距離為315m.

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16.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),E是BM上的一點(diǎn)，連接AE,

作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)B',連接DB'并延長交BC于點(diǎn)F.當(dāng)BF最大時(shí)，點(diǎn)B'到BC的

距離為竺.

5

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(6分)計(jì)算：卜1|+(-1)2024-sin300-(V5-V2)o

=1+1—1—1

22

2（x—1）+1>-3①

18.（6分）解不等式組<_,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

X—1<"1+W②

3

解不等式①，得X>-1

解不等式②，得xW2

原不等式組的解集為-1<XW2

19.（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AD、AB、BC、CD±,

且DE=BG,AF=CH.求證：EF=GH.

證明：四邊形ABCD是平行四邊形

/.AD=BC,ZA=ZC

第10頁共18頁

又.DE=BG

/.AE=CG

在4EAF和△GCH中，

(AE^CG

NA=ZC

AF=CH

.,.△EAF多△GCH(SAS)

/.EF=GH

20.（8分）植物園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e場所之一，里面的秋千深受孩子們喜愛.如圖所示，

秋千鏈子的長度為3m,當(dāng)擺角NBOC恰為26。時(shí)，座板離地面的高度BM為0.9m,當(dāng)擺動

至最高位置時(shí)，擺角NAOC為50°,求座板距地面的最小和最大高度分別為多少？（結(jié)果精

確至U0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin26°?0.44,cos26°~0.90,tan26°~0.49,sin50°?0.77,cos50°

^0.64,tan50°^1.19）

解：如圖力X

過點(diǎn)B作BTLON于點(diǎn)T,過點(diǎn)A作AKLON于點(diǎn)K

在RtAOBT中，OT=OB?cos26°=3x0.90=2.7(m)

:ZBMN=ZMNT=ZBTN=90°

?.四邊形BMNT是矩形

/.TN=BM=0.9m

/.ON=OT+TN=3.6(m)

/.CN=ON-OC=3.6-3=0.6(m)

在RtAAOK中，OK=OA?cos50°=3x0.64=1.92(m)

/.KN=ON-OK=3.6-1.92=1.7(m)

答：座板距地面的最小高度約為0.6m,最大高度約為1.7m.

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21.(8分)"小手拉大手，共創(chuàng)文明城某校為了解學(xué)生對所在城市創(chuàng)建全國文明城市相關(guān)知

識的知■情況，通過發(fā)放問卷進(jìn)行測評，從中隨機(jī)抽取20份答卷，并統(tǒng)計(jì)成績(成績得分

用x表示.單位：分):94,83,90,86,94,88,96,100,89,82,94,82,84,89,88,

93,98,94,93,92.整理上面的數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

等級成績/分頻數(shù)

A95^x^100a

B90Wx<958

C85W*<905

D80近4<854

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴填空：a=,b=.

(2)若成績不低于90分為優(yōu)秀，請估計(jì)該校1600名學(xué)生中,達(dá)到優(yōu)秀等級的人數(shù)；

⑶已知A等級中有2名男生，現(xiàn)從A等級中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，試用列表或畫樹狀圖的方法

求出恰好抽到一男一女的概率.

解：(l)a=20-8-5-4=3.

b%=8+20xl00%=40%

/.b=40

故答案為3,40

(2)1600X11=880(名)

20

即估計(jì)該校1600名學(xué)生中，達(dá)到優(yōu)秀等級的人數(shù)為880.

(3)A等級中有2名男生，則有1名女生.

畫樹狀圖如下：

開始

男男女

AAA

男女男女男男

共有6種等可能的結(jié)果，恰好抽到一男一女的結(jié)果

??.恰好抽到一男一女的概率為士工

63

22.(8分)如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)E,C在。。上，點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)，AE垂直于過點(diǎn)C

的直線CD,垂足為D,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)F.

⑴求證：CD是。O的切線；

(2)若AE=2,sinZAFD=l

3

第12頁共18頁

①求。0的半徑；

②求線段DE的長.

22.(1)證明：如圖，連接0C

\AD±DF

/.ZD=90°

:點(diǎn)C是弧BE的中點(diǎn)

/.弧CE=MCB

/.ZDAC=ZCAB

VOA=OC

/.ZCAB=ZOCA

/.ZDAC=ZOCA

/.AD/7OC

/.ZOCF=ZD=90°

VOC是。O的半徑

/.DC是。O的切線.

(2)解：①如圖，過點(diǎn)。作OGLAE,垂足為G

AG=EG=1AE=I

2

VOG±AD

/.ZAGO=ZDGO=90°

VZD=ZAGO=90°

/.OG/7DF

/.ZAFD=ZAOG

sinZAFD=l

3

/.sinZAOG=sinZAFD=l

3

第13頁共18頁

在RtAAGO中，AO=l^i=3

3

/.O0的半徑為3

②：ZOCF=90°

/.ZOCD=180°ZOCF=90°

VZOGE=ZD=90°

/.四邊形OGDC是矩形

/.OC=DG=3

\GE=1

/.DE=DG-GE=3-1=2

，線段DE的長為2

23.（10分）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗.今年端午節(jié)來臨之際，某商場預(yù)測

A粽子能夠暢銷.根據(jù)預(yù)測，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進(jìn)A

粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進(jìn)的數(shù)量少4千克.根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴該商場節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為多少元？

⑵如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過4600元，并按照節(jié)前

每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤最

大？最大利潤為多少？

解：（1）設(shè)該商場節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元

240_4240

xx2

解得x=10或x=-12（舍去）

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原分式方程的根，且符合題意.

答：該商場節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為10元.

（2）設(shè)該商場節(jié)前購進(jìn)m千克A粽子，總利潤為w元

未艮據(jù)題意，得（10+2）m+10（40dm）W4600

解得m<300

w=（20-12）m+（16-10）（400-m）=2m+2400.

,/2>0

.*.w隨著m增大而增大

當(dāng)m=300時(shí)，w取得最大值，最大利潤為2x300+2400=3000（元）

答：該商場節(jié)前購進(jìn)300千克A粽子獲得利潤最大

24.（10分）當(dāng)k值相同時(shí)，我們把正比例函數(shù)y=*和反比例函數(shù)y=A叫做,'關(guān)聯(lián)函數(shù)小亮根

kx

據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，以函數(shù)y=-&和y=-2為例對"關(guān)聯(lián)函數(shù)"進(jìn)行了探究，下面是小亮的探

2%

究過程，請你將它補(bǔ)充完整

⑴如圖，在同一平面直角坐系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，兩個函數(shù)圖象在第二、四象限分別

交于點(diǎn)A、B,則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A、B.

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（2）點(diǎn)P是函數(shù)y=-lx在第二象限內(nèi)的圖象上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），作直線PA、PB,

2

分別與x軸交于點(diǎn)C、D.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.小亮通過分析得到：在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,

總有PC=PD.

證明PC=PD的過程如下（不完整）：

易知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t,--）

t

設(shè)直線AP的表達(dá)式為y=ax+b

-2a+b=1

-2a+b1

將點(diǎn)A、P的坐標(biāo)分別代人，得

ta+b—2

解得

直線AP的表達(dá)式為y=-人一二

tt

令y=0,得x=t-2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t-2,0）

同理可得直線BP的表達(dá)式為y二X一生

tt

請你補(bǔ)充剩余的證明過程；

⑶當(dāng)4PCD是等邊三角形時(shí)，t=.

⑷隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，4ABP的面積S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)t>-2

時(shí)，請你求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

解：(1)令-ix=-則X2=4

2x

\=-2，X2=2

分別代入關(guān)系式，得％=1,y2=-l.

/.A(-2,1),B(2,-1)

(2)令人一20,得x=l+2

tt

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t+2,0)

如圖，過點(diǎn)P作PH，x軸于點(diǎn)H,則H(t,0).

又:C(t-2,0),D(t+2,0)

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CH=DH

，PH是線段CD的中垂線

Z.PC=PD

⑶-迎

3

劃5工-士

t

25.(12分)如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)Q是x軸上方拋物線上一點(diǎn)，射線QM，x軸于點(diǎn)N,若QM=BM,且tan/MBN=2,

3

請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AE交y軸于點(diǎn)D,AE的延長線交拋物線于點(diǎn)P

點(diǎn)F在線段CD上，且CF=OD,連接AF,EF,BE,BP,若S4知=$ABE，求^PAB的面積.

△AFEAABE

⑴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+l)(x-3)=

a(x2-2x-3),當(dāng)x=0時(shí)，y=3

-3a=3,解得a=-L