2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間向量及空間位置關(guān)系

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.5-空間向量及空間位置關(guān)系

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.空間直角坐標(biāo)系

(1)在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)

系的必要性，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置.

(2)借助特殊長方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點的坐標(biāo),探索并得出空間兩點

間的距離公式.

2.空間向量及其運算

(1)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.

(2)經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.

3.向量基本定理及坐標(biāo)表示

(1)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.

(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.

(4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.

知識梳理?思維激活

【必備知識】精歸納

1.空間向量有關(guān)概念

⑴單位向量：模為L的向量.

(2)共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線旦相乎行或重合,

那么這些向量叫做共線向量或平行向量.

(3)共面向量：平行于同一個平面的向量.

團(tuán)點睛(1)0與任意向量平行.

(2)空間中任意兩個向量是共面向量，任意三個向量不一定是共面向量.

2.空間向量有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對空間中任意兩個向量?,以厚0),a//b的充要條件是存在實

數(shù)2，使"二>.

(2)共面向量定理：如果兩個向量?,b不共線，那么向量夕與向量a,b共面的

充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對任意一個空間向

量夕，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(1,y,z),使"=X”+助+zc.，4叫做空間

的一個基底.

3.空間向量有關(guān)運算

設(shè)a=,42,的］,/>=(Z)i,bi,bi),

⑴坐標(biāo)運算：貝Ua+b=3+A,>+陵，ab+b)；

a-b=(ai-bi,血-歷，硝-M；

(2)數(shù)量積運算：ab-a\b\+a2b2+a3b3-1all句cos(a,b).

團(tuán)點睛向量”在向量〃上的投影向量設(shè)為向量c,向量c與向量萬共線￡=㈤cos

儲K.

4.空間向量有關(guān)公式

⑴空間兩點間距離公式

已知P1Q1，6,Zl]fp2(x2,”「2]，則

-\/晨一―+伍-口+卜-zl.

IP1P2I

⑵空間兩點的中點公式

X1+X2

x=

2

_yi+y2

y__F

設(shè)點P(x,y,z)為P1(X1,yi,Zi),P2(x2,/,Z2)的中點，則

zi+Z2

z=-

12

(3)空間向量共線與垂直公式

a=(xi,yi,zi),b=(x2,yi,zi),其中b豐0,

貝Ua_Lb=irb=OQXIM+y\y2+Z1Z2=0.

a//b=a=7A=xi=2x2,y\-如2,zi=上2(丸@R).

(4)空間向量模與夾角公式

若a=Qi,yi,zi),=(X2,y2,zi),

貝30=苗?+yl+4；

aljX1X2+yiy2+z\Z2

常用結(jié)論

1.對空間任意一點0,若三點P,A,B滿足期;人理oOP=xOk+y?（x

+y=1）=P,力，5三點共線.

2.證明空間四點共面的方法

對空間任意一點。，若四點。，M,4,5滿足=mMk+a稔=辦-xOM

+yOk+z?(x+y+z=1)<^>P,M,A,B四點共面.

基礎(chǔ)小題固根基

教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯易混

1,24,53,6

1.（教材變式）如圖所示，在平行六面體43czM出。Qi中，M為小G與BQi的

交點?若加=a,At）=b.AA^c,則下列向量中與5次相等的向量是（）

a+-b+cB-2a+-b+c

422

C--a--b+cD-2a--b+c

222

【解析】選A.Mf=B2+AAI+A\M

-a+c+；(AiBi+A1D1)

-a+c+-(“+〃)=--a+-b+c.

2'722

2.（教材提升）如圖所示，已知空間四邊形43CQ的每條邊和對角線長都為a,

點E/,G分別是45.ADQC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于〃的是（）

A.2B1?就B.2AbBt)

C.2F&-ClD.2砂建

【解析】選B.2曲

二2閡||Zt|cos120°=-a2,

2Zt)Bt)=2|J2)\\Bt)|cos60°=a2,

2F&-Cl=2lF&l-\C1\COS180°

=2x|Xqx[1]=-a2,

2EP=Bt)=axaxcos120°=--.

2

3.(向量運算錯誤)對于任意空間向量a,b,c,下列說法正確的是()

A.若allb旦bHci貝|a〃c

B.[=ab+ac

C.若ab=ac,且a豐0,則〃=c

D.(ab)c=a(bc)

【解析】選B.若b=0,則由a//b且8〃c,不能得出“〃c,A錯；

由數(shù)量積對向量加法的分配律知B正確；

若ab-ac,則a(b-c)=0,當(dāng)c)時就成立，不一定有6=c,C錯；

9⑹c是與c平行的向量，a(be)是與°平行的向量，它們不一定相等，D錯.

4.(結(jié)論1)已知空間三點4(-1,1,2),3(0,3,5),。(1,5,4-用在一條直

線上，則實數(shù)上的值是()

A.4B.2C.-2D.-4

【解析】選D.因為空間三點4(-1,1,2),5(0,3,5),。(1,5,4-用在一條

直線上，所以油=口，2,3〕，次=(2,4,2-0,

故就？=2處.所以k=-4.

5.(結(jié)論2)在下列條件中，一定能使空間中的四點M,A,B,C共面的是()

A.-29-防-OtJ

B.gJg+J仍+-Ot

532

C.就++Mt=0

D.OM+通+仍=0

【解析】選C.根據(jù)向量共面定理，

-xDk+yO^+zOt^，若4,B,C不共線，

且4,5,C,M共面，則其充要條件是x+_y+z=l,

由此可得A,B,D不正確；

選項c：m二-訊-就,所以M,A,B,C四點共面.

6.(漏掉同向共線)已知向量a=(-2,1,4),Z>=(-4,2,。的夾角為銳角,則

實數(shù)/的取值范圍為（）

A.（8,+oo）B.I2J

f5］f5J

C.I2jD.I2JU（8,+oo）

【解析】選D.夾角為銳角，則“力=8+2+4/>0，得A-；，

-214

當(dāng)“〃、時，---=-=，彳導(dǎo)，=8,

_42t

所以t的取值范圍為［-1qU（8,+8）.

核心題型?分類突破

【題型一】空間向量的線性運算

［典例1K1X多選題）（2022?保定模擬）如圖所示，M是四面體。43。的棱的中

點，點N在線段0M上，點夕在線段4N上，且4P=3ZW,訊=1Ok，設(shè)色

=a,◎=b,Ot=c,則下列等式成立的是（）

A.6M--b--c

22

B.HV=1b+-c-a

33

C.XP=-b-^c-^a

444

=-a+

【解析】選BD.根據(jù)向量的加減法及數(shù)乘運算法則：

皿二;［循+㈤=1〃+;c,故A選項錯誤；

??111

秋=At)+=At)+—OM-At)+—x—(循+OtJ)=b+c-a,

33233

故B選項正確；

JP-3=3(1b+-c-a)=-3a+-b+-c,故C選項錯誤；

7

4433444「人用k,

OP=Ok+JP="+(-3a)+c=lab+-c,故D選項正確.

4744444

(2)(2023?昆明模擬)已知空間向量a=(1,2,3),6=(3,-1,2),c=(-1,0,

1)，貝Ua-〃+2c=.

【解析】因為?=(1,2,3),Z>=(3,-1,2),c=(-1,0,1),所以a-b+2c

=(1,2,3)-(3,-1,2)+2(-1,0,1)=(-4,3,3).

答案：(-4,3,3)

方法提煉

空間向量線性運算的解題策略

1.用已知向量來表示未知向量，結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

2.將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.利用三角形法則、平

行四邊形法則、多邊形法則把所求向量用已知向量表示出來.

3.空間向量的坐標(biāo)運算類似平面向量的坐標(biāo)運算.

對點訓(xùn)練

1.（2023?日照模擬）如圖，在平行六面體中，石為41G的中點，

）,則（）

若璇-xAAx+y"+zAi

?11

AA.X=1.y=，Z=

22

11

B.A:=1,y=-/z二一

22

C.x=1,y=l,z=1

2

n1i1

D.x=--,y=l,z=-

【解析】選B.由題意得,BE=BB,+B7A|+A'E=AAi-AB-b|(A^J+ATB)

所以

=AAj-AB+-乙AB+-乙AD=AA,--乙AB+-乙AD,乙乙

2.(2022?保定模擬)如圖，在四面體OABC中，m=a,=b,Ot=c,且

H二;弦，波二;反？,則砂=（）

3B

A5+1c-1+-

-3444

13

C.IQ*D.--a+~b+-

344344

【解析】選D.連接。/，因為呼=1比，

4

所以B=仍+BP=◎+1fft=3+1(Ot-)=-b+-c,

4444

又班=；El=1a,所以砂=OP-=_；a+：'+；c

【加練備選】

(2022?寧波模擬)在平行六面體/BCZMiBiGA中刀為的中點,F為BBi

的中點，助=a,IP=b,lb=c,則說=()

,43,4入4

A.~a--b-cB.-a-b--c

3233

「42,4「34

C.a-b-cD.a-bt-c

33323

【解析】選C.設(shè)刊二nt,越=n,

D\Ec,

/^D^F7C

貝U曲=a=m+^n+c,XP=b=n+m

2

所以n=b-2a=m+

2

所以wi二;a

【題型二】共線、共面向量定理及應(yīng)用

[典例2]⑴金榜原創(chuàng)易錯對對碰

①對于空間中的四點4,B,C,P,若力+：衣，則乙5,C三點

OO

()

A.不共面B.共面

C.共線D.不共線

②對于空間中的四點4,B,C,P,若辦=:衣+：充，則乙4,5，。四

OO

點()

A.不共面B.共面

C.共線D.不共線

【解析】①選C.因為向量起點相同，系數(shù)和為1,所以。，5,C三點共線.

②選B.由共面向量定理可得.

(2)與向量〃=(1,-1,2)反向的單位向量的坐標(biāo)為()

A.-？］，-，B.(個，一個個)

663663

ri_iI

C.(-1,1,-2)D.12727J

【解析】選A.因為㈤=；1+1+4=\/6,

［XX22

所以與向量〃反向的單位向量為-二二「石‘忑’一而

一題多變

［變式1］本例⑵中“反向”改為“同向”.

【解析】選B.與向量〃同向的單位向量為

A_/XJ_2一盜盜盜、

㈤一(比，-?,m)一憶—不，§),

[變式2](多選題)本例⑵中“反向”改為洪線”.

【解析】選AB.與向量〃共線的單位向量為

n_./XX2、_(巾^^6^6\)6\16

士㈤一±(&，一&，加)一(4，一不公威(-不T'一了).

(3)已知向量“=G,-1,2]〃=3,-2)°=[6,2,力，若a,b,

三向量共面，則實婁姒=()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【解析】選B.因為a,b,c三向量共面,

所以存在實數(shù)加，“，使得c=ma+nb,

即[6,2,力=(3m,-m-2“]

5

r,m=~

3m-n=62

所以3“-加=2，解得”=|,

2m-2n=1丸一2

方法提煉

1.共線、共面向量定理的應(yīng)用

(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線；

(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行，四點共面；

(3)根據(jù)向量共線和向量共面求參數(shù)取值；

(4)與a同向的單位向量為:，反向的單位向量為共線的單位向量為

|a|\a\\a\

2.證明四點P,M,Z,3共面的方法

(1)MP=xMk+yM^；

⑵對空間任意一點。，辦二皿+xMk+yM^；

(3)對空間任意一點。，

OP=xOM+yOk+z?(x+y+z=1)；

(4戶身〃處或陶//M^或聞〃春f.

對點訓(xùn)練

1.(2023杭州模擬)已知向量a=1-1,1,,-=U,。,2〕，且左a+方與°

-2〃互相平行，則左二()

A.B.-C.-D.

4552

【解析】選Dka+b=(-k+l,k,T),

?-26=(-3,1,-4),

-k+1k2..i

則-----=~=——,解得k=--.

-31-42

2.(2022?保定模擬)若｛a,b,c｝構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是()

A.a-b,2,a-c,b-c

B.b+2c,a-b,a-2,b-2c

C.a+2b,2a-c,2b+c

D.a+2b+3c,a+b,a+c

【解析】選B.對于A,設(shè)火九使得

a-b--4+4"-力，則

a-b=2xa+yb-1+X)c,

2,x=1

即V=T,該方程組無解，故A錯誤；

一卜+同=0

對于B,設(shè)x,y,使得

b+2,c=+)("-2b-2a,

貝U5+2C=Q+@“-Q+2ab-2yc,

x+y=O

x=1

即「,解得

Q+2JO=1,故B正確；

b=-1

-2y=2

對于c,設(shè)x,y,使得

a+2b=J?"-c]+y(2Z>+力,

lx-1

貝Ua+2〃=2xa+2yb+1-Wc,艮/2y=2

y-x=0

該方程組無解，故C錯誤;

對于D,設(shè)x,y,使得

a+2b+3c=+，〕+yC0+1,

x+y=l

貝Ua+26+3c=Q+@a+x5+yc,即，x=2,

y=3

該方程組無解，故D錯誤.

3.如圖，已知四棱柱43ax4BC1Q1的底面ZiHiGQi為平行四邊形，E為棱

45的中點，油=1期，酢=2G4,4?與平面EFG交于點則%=

5ACi

【解析】由題可設(shè)團(tuán)^=AAC.(O<A<1),

因為4G=+At)+AAX

a

=2Z&+3亦+2就,

2

a

所=2AZ&+3UP+1市,

因為G四點共面，

所以22+3%+|7=1,解得.

生率,—

,13

【題型三】空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用

角度1求空間向量數(shù)量積

［典例3］（1）（2022?濰坊模擬）已知i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，“=i+4+3A,則“在

i上的投影向量為（）

A.iB.-iC.V14/D.-/14i

【解析】選A.因為a=i+2j+3k,i,j,k為標(biāo)準(zhǔn)正交基底，所以a在i上的投

影向量為同COSa,i7；=i.

\i\

（2）已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點E,F分別是BC,

AD的中點，則助-JP的值為（）

A.1B.-C.-D.必

244

【解析】選C.此空間四邊形及其對角線構(gòu)成的幾何體為正四面體，棱長為1,

因為點E,少分別是3。,AD的中點，

所以助加+；衣，

所以衣.赤二［益+2可.辦

=1Ap+1

22

JLl§l?mdcos60。+1出?I,團(tuán)cos60°

22

」X1X1+1X1X1」

2222224'

D

F.

B

方法提煉

求空間向量的數(shù)量積的方法

(1)若給出的條件不適合建系要用基底進(jìn)行運算；

(2)若給定條件下適合建立空間直角坐標(biāo)系，則用坐標(biāo)進(jìn)行運算.

團(tuán)提醒運用定義求數(shù)量積時一定要根據(jù)正確方向判定夾角的大小.

角度2求長度

［典例4］(1)(2023?鄭州模擬)如圖，在一個60。的二面角的棱上有兩點4,5,線段

AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若4B二也,

AC=1,BD=2,貝UCD=.

【解析】由已知可得6=C1+Bt),

所以El=值+荔+曲

-+

因為線段AC,5Q均與棱43垂直，所以6,屈±Bt),

因為二面角的大小為60°,所以〈就成)〉=60°,

所以EI，卜+翦+協(xié)［2=yJc22+^2+Bt)2+2C2Bt),

[12+（也）2+22+2*1義2義

因為Z8=A/2,4C=1,5Q=2,所以|CZ）I=

(2)如圖，平行六面體45CD43GQ1的底面45。。是邊長為1的正方形，且/

AxAD=ZAiAB=60°,AAI=2,則線段AQ的長為.

【解析】因為“—AB+lit'+CCr=AB+AD+AA,

所以n?'=$啟加二八1；+AD*+AA+2AB,4?\D+2AB,AA+2AD，AA：

?5J

=IABl+lM)l+IAA(+2I疝1-IAhlCOS900+2IABl-IAArIcos

60。+21ADI"\\匕0560。=1+1+4+2乂k2、1+2、卜2*910,所以4。1=71^

答案:VTG

方法提煉

利用數(shù)量積求兩點間的距離的解題策略

利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，基本思路

是：

(1)先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式;

(2)求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模；

(3)利用公式|“|=yj(ra求解即可.

角度3夾角問題

[典例5KD(2022?煙臺模擬)已知,3,1]，公〔-2,乙力，若“與〃

的夾角為銳角，則實數(shù)t的取值范圍為.

【解析】由題意得ab>0且a,不共線，

[[-21

-2x5+3/+15>1>0

所以，2,，解得比且及

故實數(shù)，的取值范圍為〔15，3

[522]

答案：115J

一題多變

[變式]將本例(1)中％與b的夾角為銳角”改為“與b的夾角為鈍角1則實數(shù)t

的取值范圍是.

【解析】由題意得ab<Q且“，萬不共線，

(2

-2x5+3，+(-1)xl<0

所以，2/，解得虐j且及

-1JJ

53

故實數(shù)’的取值范圍為(-8,)U(-|,).

答案：(-8,)U(-|,||)

⑵如圖所示在棱長為2的正方體4BCQ//CQ中上是棱CG的中點法

=1?力，若異面直線AE和4肉所成角的余弦值為，貝以的值為

【解析】以D為原點SXDA.DC,DD1所在直線分別為％,九z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系.

正方體的棱長為2廁小(2,0,2)Qi(0,0,2),夙0,2,1)M(2,0,0).所以<一=(0,2,-1),

AF=A計=A'\+AAD=(0,0,-2)+A(-2,0,0H-2A,0,-2),

,畸Fl森

所以加墟和點禽I=|飛由i/做I尸義所以^

2VA2+1-V52V5VA2+110

解得力=1或4-1(舍去).

生室工

口木，3

方法提煉

利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法

J網(wǎng)也應(yīng)&茅不禮而畫訐訕無可函所

1向崎

十特化一卡加汽城所嗨珀的X題轉(zhuǎn)化為臺收支的問:<

111d](二~~1

皤T/刖敖/機(jī)術(shù)與貶值或>>的大小]

I、*而&<助收的加為W觥或八角，也川向

定站米一￥的夾角求生弦偵W將余拄偵加1丸可做.

■——>灌而求《|的大小

角度4解決垂直問題

[典例6K多選題X2023?孝感模擬)如圖，在長方體45cLM出?！爸?，點E/

分別在棱on,班1上，且EFL4E若48=2,AD=1,441=3,貝口囪方的值可

能為（）

C___B

i'ZfI

J?L^H—|尸

XT力ii

Di4

A.^3B,2C.A/5D.?

【解析】選BCD.以點Ci為坐標(biāo)原點，CiDi,CiBi,CC所在直線分別為,

z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cixyz.

產(chǎn)

r'fjlI

<L-Xi，）

1^1I,I

I\Ty

丁li

所以,1,0〕.設(shè)/2,0,m]，從0,1,“J,

0<m<3,0<n<3,貝U4E=（P，-1,mj,

EP=[-2,1,n-m]

因為反_L4近,所以4￡-EP=0,

即-1+mG7-加〕=0,化簡得mn=1+m2.

當(dāng)加二。時，顯然不符合題意.

故〃二[+論2,當(dāng)且僅當(dāng)冽=1時，等號成立.

m

故囪方的最小值為2.

所以2<5iF<3,對照四個選項，可選BCD.

方法提嫉

利用數(shù)量積解決垂直問題的解題策略

證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量

表示為幾個已知向量a,b,c的線性形式，然后利用數(shù)量積為0說明兩直線的

方向向量垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線垂直.

資對點訓(xùn)第

1.已知向量”