高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊專題3.4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)【九大題型】(原卷版+解析)

專題3.4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1曲線方程與雙曲線】 1【題型2利用雙曲線的定義解題】 2【題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】 3【題型4求雙曲線的軌跡方程】 3【題型5利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】 5【題型6雙曲線的漸近線方程】 6【題型7求雙曲線的離心率的值或取值范圍】 6【題型8雙曲線中的最值問題】 7【題型9雙曲線的實際應(yīng)用問題】 7【知識點1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系【題型1曲線方程與雙曲線】【例1】（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)ab<0時，方程ax2?ay2=b所表示的曲線是（

）A．焦點在x軸的橢圓 B．焦點在x軸的雙曲線C．焦點在y軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線C的方程為x2m+A．曲線C可以表示圓B．曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C．曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D．曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【變式1-3】（2022·高二課時練習(xí)）已知x21?k?(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點在x軸上的雙曲線；(3)表示焦點在y軸上的雙曲線．【題型2利用雙曲線的定義解題】【例2】（2023秋·江蘇常州·高二?？计谀╇p曲線C:x225?y239=1上的點A．22 B．2 C．2或22 D．24【變式2-1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線C：x2a2?y212=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為3x+y=0A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【變式2-2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2?y2m2=1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過F2且與CA．6 B．8 C．10 D．12【變式2-3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24?y212=1的兩個焦點，PA．24 B．152 C．125 D．30【題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例3】（2023秋·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（

）A．x29?C．x2100?【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）與橢圓C:y216+xA．x2?yC．y22?【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,5，F(xiàn)20,?5，P是雙曲線上一點且滿足A．x216?y29=1 B．【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F1,F2是雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點，點P在A．x212?C．x23?【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知y軸上兩點F10,?5，F(xiàn)2A．x29?C．x29+【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點F1?3,0，F(xiàn)23,0，下列條件中滿足動點A．PF1?C．PF1?【變式4-2】（2022·高二課時練習(xí)）動圓M與圓C1：x+52+y2=25和圓C2A．x24?C．x29?【變式4-3】（2023秋·安徽安慶·高二?？计谀┮阎cF1(?2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為A．x2+y23=1 B．x【知識點2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)】1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型5利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【例5】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．x22?y28=1 B．【變式5-1】（2023·四川成都·三模）已知雙曲線C經(jīng)過點4,2，且與雙曲線x22?y2A．x28?y24=1 B．【變式5-2】（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓y24+A．3x216C．3y24【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，以坐標(biāo)原點為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，A．x29?C．x227?【題型6雙曲線的漸近線方程】【例6】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線x2a2?yA．y=±3x C．y=±23x【變式6-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知雙曲線x2?my2=1m>0的左、右焦點分別為A．y=±22x B．y=±33x【變式6-2】（2023春·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）已知點P為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為AA．?3 B．?22 C．?5 【變式6-3】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C?:?x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為FA．y=±2x B．y=±C．y=±2x 【題型7求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【例7】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┮阎p曲線C:3mx2?my2=3的一個焦點坐標(biāo)為A．32 B．233 【變式7-1】（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2A．2 B．2 C．3 D．5【變式7-2】（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線C的右支交于AA．1,3 B．3,+∞ C．1,2 D．【變式7-3】（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）雙曲線x2a2?y2b2=1（a>2，b>0）的焦距為2cc>0，已知點Aa,0，B0,b，點2,0到直線AB的距離為A．22,2 B．52,5【題型8雙曲線中的最值問題】【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x24?y24=1的左焦點為F，點P是雙曲線C右支上的一點，點A．5 B．5+22 C．7 【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點P在曲線C1:x216?y29=1上，點Q在曲線A．9 B．10 C．11 D．12【變式8-2】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:y24?x22=1的焦點分別是F1A．PF1?PFC．PF1?PF2的最小值為【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F1,F2分別為雙曲線x29?y2A．19 B．23 C．25 D．85【題型9雙曲線的實際應(yīng)用問題】【例9】（2023春·河南商丘·高二開學(xué)考試）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線y216?x2m=1的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為4米時，水面寬AB為4A．4米 B．82?4米 C．26?4米【變式9-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處(假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離3403m B．東偏南45°方向，距離3403mC．西偏北45°方向，距離1703m D．東偏南45°方向，距離1703m【變式9-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1．我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為x2a2?y2b2=1，F(xiàn)1,F2分別為其左、右焦點，若從右焦點FA．2+1 B．2+3 C．5+22【變式9-3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為10的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為4cm，下底直徑為6cm，高為9cmA．423cm B．924cm

專題3.4雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1曲線方程與雙曲線】 1【題型2利用雙曲線的定義解題】 3【題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】 5【題型4求雙曲線的軌跡方程】 7【題型5利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】 10【題型6雙曲線的漸近線方程】 12【題型7求雙曲線的離心率的值或取值范圍】 14【題型8雙曲線中的最值問題】 16【題型9雙曲線的實際應(yīng)用問題】 18【知識點1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系【題型1曲線方程與雙曲線】【例1】（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)ab<0時，方程ax2?aA．焦點在x軸的橢圓 B．焦點在x軸的雙曲線C．焦點在y軸的橢圓 D．焦點在y軸的雙曲線【解題思路】化簡方程，然后判斷表示的曲線即可．【解答過程】當(dāng)ab＜0時，方程ax2?a∴方程表示雙曲線．焦點坐標(biāo)在y軸上；故選：D．【變式1-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）“mn<0”是“mx2+nA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先求方程mx【解答過程】因為方程mx2+n又當(dāng)mn<0時，方程mx因此“mn<0”是“方程mx故選：C.【變式1-2】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線C的方程為x2m+A．曲線C可以表示圓B．曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C．曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓D．曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線【解題思路】由橢圓、雙曲線、圓的方程定義列式求解判斷.【解答過程】對A，若曲線表示圓，則有m=2m+5>0，無解，A錯；對BC，若曲線表示橢圓，則有m>02m+5>0m≠2m+5?m>0，此時2m+5>m，則曲線C對D，若曲線表示雙曲線，則有m2m+5<0??52<m<0，此時m<0<2m+5故選：CD.【變式1-3】（2022·高二課時練習(xí)）已知x21?k?(1)方程表示雙曲線；(2)表示焦點在x軸上的雙曲線；(3)表示焦點在y軸上的雙曲線．【解題思路】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母的正負(fù)解決即可．【解答過程】（1）因為x21?k?所以(k?1)(|k|?3)<0，解得k<?3或1<k<3；所以k<?3或1<k<3；（2）因為x21?k?y2則k?1＞03?所以1<k<3；（3）因為x21?k?y2則k?3＞0所以k<?3.【題型2利用雙曲線的定義解題】【例2】（2023秋·江蘇常州·高二?？计谀╇p曲線C:x225?y239=1上的點A．22 B．2 C．2或22 D．24【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【解答過程】由雙曲線方程可得：a=5，c=25+39=8，設(shè)雙曲線的左右焦點分別為F1若點P在雙曲線的左支上，則由雙曲線的定義可知：PF所以PF若點P在雙曲線的右支上，則由雙曲線的定義可知：PF所以PF2=12?10=2綜上：P到右焦點的距離為PF故選：A.【變式2-1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線C：x2a2?y212=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線方程為3x+y=0A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【解題思路】由漸近線方程可得a=2，則c=4，后由雙曲線定義可得答案.【解答過程】由3x+y=0，可得23a又因M在雙曲線C，則由雙曲線定義，有MF2?故選：B.【變式2-2】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2?y2m2=1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過F2且與CA．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】結(jié)合雙曲線的定義來解決即可.【解答過程】雙曲線x2?y由雙曲線的定義，可得A所以AF則三角形ABF1的周長為故選：B.【變式2-3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24?y212=1的兩個焦點，PA．24 B．152 C．125 D．30【解題思路】利用雙曲線定義求出△PF【解答過程】3PF153PF2?根據(jù)余弦定理：cos∠則sin∠F1故選：A.【題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】【例3】（2023秋·天津河西·高二統(tǒng)考期末）設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（

）A．x29?C．x2100?【解題思路】根據(jù)題意列式求解a,b,c，即可得結(jié)果.【解答過程】∵雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為x2a2由題意可得c2=a∴雙曲線的方程為x2故選：A.【變式3-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）與橢圓C:y216+xA．x2?yC．y22?【解題思路】求出橢圓的焦點坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得a的值，再由b=c2?【解答過程】橢圓C的焦點坐標(biāo)為0,±2，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由雙曲線的定義可得2a=1∴a=2，∵c=2，∴b=因此，雙曲線的方程為y2故選：C.【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點分別為F10,5，F(xiàn)20,?5，P是雙曲線上一點且滿足A．x216?y29=1 B．【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求得正確答案.【解答過程】依題意c=5，PF所以b=c由于雙曲線的焦點在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2故選：D.【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F1,F2是雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點，點P在A．x212?C．x23?【解題思路】在△PF1D和△PF2D分別利用余弦定理得2n2+【解答過程】如圖所示設(shè)PF1=n，PF2=m，∠PDF在△PF1D在△PF2D2×①+②在△PF1F③④聯(lián)立消去x得2n因為S△PF1F2由均值不等式可得72=2n當(dāng)且僅當(dāng)2n2=12此時由④9x2=n2所以PF22=PF所以在△PF1D中n由雙曲線的性質(zhì)可得PF2?P所以雙曲線E的方程為x2故選：C.【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知y軸上兩點F10,?5，F(xiàn)2A．x29?C．x29+【解題思路】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.【解答過程】點F10,?5，F(xiàn)20,5，令因此動點P的軌跡是以F10,?5，即雙曲線的實半軸長a=4，而半焦距c=5，則虛半軸長b=c所以所求軌跡方程為y2故選：B.【變式4-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點F1?3,0，F(xiàn)23,0，下列條件中滿足動點A．PF1?C．PF1?【解題思路】由雙曲線的定義即可求解.【解答過程】解：由題意，因為F1所以由雙曲線的定義知，當(dāng)0<PF1故選：C.【變式4-2】（2022·高二課時練習(xí)）動圓M與圓C1：x+52+y2=25和圓C2A．x24?C．x29?【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義即可求得答案.【解答過程】設(shè)動圓M的半徑為r，圓C1的圓心為C1?5,0，半徑r1=5，圓C2的圓心為C25,0，半徑r2=1，因為動圓M與圓C1和圓C2均外切，所以MC1=r+5，MC2=r+1，所以MC故選：A．【變式4-3】（2023秋·安徽安慶·高二?？计谀┮阎cF1(?2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為A．x2+y23=1 B．x【解題思路】由N是圓O:x2+y2=1上任意一點,可得|ON|=?1，N為MF【解答過程】如圖，當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，連接ON，PF1，則|ON|=1結(jié)合PN為線段MF1的垂直平分線，可得所以PF同理，當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，PF故點P的軌跡是雙曲線，其方程為x2故選：B.【知識點2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)】1．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程2．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.3．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型5利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【例5】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．x22?y28=1 B．【解題思路】根據(jù)雙曲線一條漸近線的斜率可得b=2a，將點3,2的坐標(biāo)代入方程x【解答過程】由題意可得ba=2，所以把點3,2的坐標(biāo)代入方程x2a所以b2則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：A.【變式5-1】（2023·四川成都·三模）已知雙曲線C經(jīng)過點4,2，且與雙曲線x22?y2A．x28?y24=1 B．【解題思路】首先利用共漸近線方程的設(shè)法設(shè)出雙曲線C的方程，再代入點，即可求解.【解答過程】由題意設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22?得162?4=λ，得所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：A.【變式5-2】（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）一雙曲線的虛軸長為4，離心率與橢圓y24+A．3x216C．3y24【解題思路】由橢圓方程可確定焦點在y軸上且離心率e=12，從而得雙曲線的焦點也在y軸上，離心率e=2，再結(jié)合離心率公式及所求雙曲線的虛軸長為【解答過程】解：因為橢圓y24+x2所以所求雙曲線的焦點也在y軸上，離心率e=2，即ca=2，所以又因為雙曲線的虛軸長為4，即2b=4，所以b=2，即c2所以a2所以所求雙曲線的方程為：3y故選：C.【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，以坐標(biāo)原點為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，A．x29?C．x227?【解題思路】根據(jù)離心率求出ba=22，得漸近線方程為y=±22x，設(shè)直線y=22【解答過程】因為雙曲線Γ:x2a2?y所以雙曲線Γ的漸近線方程為y=±2設(shè)直線y=22x的傾斜角為θ由對稱性不妨令點A，B分別在第一、四象限，坐標(biāo)原點為O，則∠AOB=2θ，于是得sin∠AOB=而雙曲線的虛半軸長為b，即OA=顯然四邊形ABCD為矩形，其面積S=4S△AOB=4×12所以雙曲線的方程為x2故選：B．【題型6雙曲線的漸近線方程】【例6】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線x2a2?yA．y=±3x C．y=±23x【解題思路】先應(yīng)用雙曲線x2a2?y【解答過程】由題知雙曲線x2a2?y23所以a=1,b=3，雙曲線焦點在x所以雙曲線的漸近線方程為y=±b故選：A.【變式6-1】（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知雙曲線x2?my2=1m>0的左、右焦點分別為A．y=±22x B．y=±33x【解題思路】由雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【解答過程】由題意可得x2?my漸近線方程為y=±1故選：D.【變式6-2】（2023春·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）已知點P為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為AA．?3 B．?22 C．?5 【解題思路】設(shè)漸近線l的方程，由兩直線垂直的條件可得直線PF1的方程，聯(lián)立兩直線方程求得A的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可得【解答過程】解：設(shè)Pm,n，漸近線l的方程為y=?直線PF1的方程為聯(lián)立①②可得x=?a2c即有A?由PA=2AF1，可得解得m=2c?3a2c，由P在雙曲線上，可得2c?3化為4c2=13可得2b=3a，所以直線l的斜率為?3故選：D．【變式6-3】（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C?:?x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為FA．y=±2x B．y=±C．y=±2x 【解題思路】求得雙曲線的漸近線方程，求得點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離d1,d2，根據(jù)題意化簡得到c2【解答過程】設(shè)P(x0,y0漸近線方程為y=±bax則點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離分別為：d1因為F1F2可得c4=4a又由c2=a2+所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x，故選：D．【題型7求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【例7】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）已知雙曲線C:3mx2?my2=3的一個焦點坐標(biāo)為A．32 B．233 【解題思路】把雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出m即可求出離心率作答.【解答過程】雙曲線C:3mx2?my2=3化為：因此雙曲線C的實半軸長為1，所以雙曲線C的離心率為2.故選：C.【變式7-1】（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2A．2 B．2 C．3 D．5【解題思路】根據(jù)漸近線方程可得ba=1，再由【解答過程】因為雙曲線C:x2a所以ba所以雙曲線的離心率為e=c故選：B.【變式7-2】（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）已知F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線C的右支交于AA．1,3 B．3,+∞ C．1,2 D．【解題思路】求出點A、B的坐標(biāo)，設(shè)點Px,y，其中x≤?a，可得出y2=b2x2a2?b【解答過程】將x=c代入雙曲線C的方程可得c2a2不妨取點Ac,b2a、Bc,?b2AP=x?c,y?b因為PA⊥PB，所以AP=c因為x≤?a，則cax?a<0，所以，可得x=a2?整理可得e2?e?2≥0，因為e>1，解得故選：D.【變式7-3】（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測）雙曲線x2a2?y2b2=1（a>2，b>0）的焦距為2cc>0，已知點Aa,0，B0,b，點2,0到直線AB的距離為A．22,2 B．52,5【解題思路】首先表示出直線AB的方程，利用距離公式表示出d1，d2，依題意可得2abc≥45c，再根據(jù)a【解答過程】依題意直線AB：xa+yb=1所以d1=2b?ab所以d1+d即25c2?a2又e>1，所以e∈5故選：B.【題型8雙曲線中的最值問題】【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x24?y24=1的左焦點為F，點P是雙曲線C右支上的一點，點A．5 B．5+22 C．7 【解題思路】由雙曲線定義PF等于P到右焦點F1的距離PF1+4，而PF1【解答過程】記雙曲線C的右焦點為F122,0，所以當(dāng)且僅當(dāng)點P為線段EF1與雙曲線故選：C．【變式8-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點P在曲線C1:x216?y29=1上，點Q在曲線A．9 B．10 C．11 D．12【解題思路】分析可知兩圓圓心為雙曲線C1的兩個焦點，利用圓的幾何性質(zhì)以及雙曲線的定義可求得PQ【解答過程】在雙曲線C1中，a=4，b=3，c=5，易知兩圓圓心分別為雙曲線C記點F1?5,0、F25,0，當(dāng)PQ?所以，PQ?故選：B.【變式8-2】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:y24?x22=1的焦點分別是F1A．PF1?PFC．PF1?PF2的最小值為【解題思路】設(shè)出點P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的范圍，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.【解答過程】根據(jù)題意，F(xiàn)1,F2的坐標(biāo)為0,6,0,?故PF又y2=41+x2又x∈R，故當(dāng)x=0時，取得最小值?2故PF1?故選：D.【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F1,F2分別為雙曲線x29?y2A．19 B．23 C．25 D．85【解題思路】設(shè)P(x,y)且x≥3，應(yīng)用兩點距離公式及P在雙曲線上，結(jié)合基本不等式求|PF【解答過程】令P(x,y)且x≥3，則|PF1|所以|PF1|則|PF1|2|P所以|PF故選：B.【題型9雙曲線的實際應(yīng)用問題】【例9】（2023春·河南商丘·高二開學(xué)考試）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線y216?x2m=1的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為4米時，水面寬AB為4A．4米 B．82?4米 C．26?4米【解題思路】將A?23,?8代入雙曲線得到m=4，當(dāng)x=?2【解答過程】根據(jù)題意：M0,?4，A?23,?8，故6416當(dāng)水面寬度為46米時，即x=?2