2024-2025學年高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應用 1.1 變化率與導數(shù) 1.1.1 變化率問題 1.1.2 導數(shù)的概念（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.1變化率與導數(shù)1.1.1變化率問題1.1.2導數(shù)的概念（教師用書）教案新人教A版選修2-2學校授課教師課時授課班級授課地點教具教學內(nèi)容分析根據(jù)2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.1變化率與導數(shù)1.1.1變化率問題和1.1.2導數(shù)的概念（教師用書）教案新人教A版選修2-2，本節(jié)課的主要教學內(nèi)容包括：

1.變化率問題：讓學生了解變化率的概念，掌握變化率的計算方法，并能夠運用變化率解決實際問題。

2.導數(shù)的概念：讓學生理解導數(shù)的定義，掌握導數(shù)的計算規(guī)則，并能夠利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題。

教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系：

1.變化率問題：學生需要具備一定的函數(shù)知識，了解函數(shù)的圖像和性質(zhì)，以便能夠理解和運用變化率的概念。

2.導數(shù)的概念：學生需要掌握基本的極限知識，了解函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的極值、單調(diào)性等概念，以便能夠理解和運用導數(shù)的定義和計算規(guī)則。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要包括邏輯推理、數(shù)學建模和直觀想象。

1.邏輯推理：通過學習變化率問題和導數(shù)的概念，學生能夠運用邏輯推理能力理解和掌握導數(shù)的計算規(guī)則，并能夠運用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題。

2.數(shù)學建模：學生能夠運用所學的導數(shù)知識，建立數(shù)學模型解決實際問題，如優(yōu)化問題、物理問題等。

3.直觀想象：學生能夠通過觀察函數(shù)圖像和實際例子，直觀地理解和想象導數(shù)的概念和作用，培養(yǎng)直觀想象能力。重點難點及解決辦法重點：

1.變化率問題的理解和計算。

2.導數(shù)的概念和計算規(guī)則的掌握。

難點：

1.變化率問題的實際應用。

2.導數(shù)的計算規(guī)則的靈活運用。

解決辦法：

1.對于變化率問題的理解和計算，可以通過具體的例子和實際應用來進行講解和練習，讓學生能夠?qū)⒗碚撝R與實際問題相結合。

2.對于導數(shù)的概念和計算規(guī)則的掌握，可以通過講解和練習不同的函數(shù)類型和導數(shù)規(guī)則，讓學生能夠熟練運用導數(shù)解決函數(shù)問題。

突破策略：

1.對于變化率問題的實際應用，可以設計一些實際問題情境，讓學生運用所學的變化率知識進行解決，培養(yǎng)學生的實際問題解決能力。

2.對于導數(shù)的計算規(guī)則的靈活運用，可以設計一些綜合性練習題，讓學生運用不同的導數(shù)規(guī)則和函數(shù)類型進行計算和分析，提高學生的靈活運用能力。教學方法與手段教學方法：

1.講授法：通過教師的講解，系統(tǒng)地介紹變化率問題和導數(shù)的概念，讓學生掌握基本理論知識。

2.討論法：組織學生進行小組討論，分享對變化率問題和導數(shù)的理解和應用，促進學生之間的交流與合作。

3.實踐法：讓學生通過解決實際問題，運用所學的變化率知識和導數(shù)規(guī)則，培養(yǎng)學生的實際問題解決能力。

教學手段：

1.多媒體設備：利用多媒體課件和教學視頻，直觀地展示函數(shù)圖像和實際例子，幫助學生更好地理解和想象導數(shù)的概念和作用。

2.教學軟件：運用教學軟件進行模擬和計算，讓學生親身體驗導數(shù)的計算過程，提高學生的操作能力和理解能力。

3.網(wǎng)絡資源：利用網(wǎng)絡資源提供更多的實際問題和案例，讓學生進行自主學習和探究，豐富教學內(nèi)容和形式，提高學生的學習興趣和主動性。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預習任務：通過在線平臺發(fā)布導數(shù)的概念和變化率問題的預習資料，明確理解導數(shù)的基本概念和變化率的計算方法。

-設計預習問題：提出問題，如“導數(shù)在實際生活中有哪些應用？”、“如何計算一個函數(shù)在某點的導數(shù)？”

-監(jiān)控預習進度：通過在線平臺收集學生的預習筆記和問題，了解學生的預習情況。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：學生閱讀導數(shù)的概念和變化率問題的相關資料，理解導數(shù)的基本概念和變化率的計算方法。

-思考預習問題：學生針對提出的問題進行獨立思考，嘗試解答并在筆記本上記錄疑問。

-提交預習成果：學生將預習筆記和問題提交至在線平臺，與老師和同學分享。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：學生通過自主閱讀和思考，培養(yǎng)自主學習的能力。

-信息技術手段：在線平臺和微信群的使用，促進了資源的共享和預習進度的監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解本節(jié)課的主要內(nèi)容，為課堂學習做好準備。

-培養(yǎng)學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過一個實際問題案例，引出導數(shù)的概念，激發(fā)學生對導數(shù)的興趣。

-講解知識點：詳細講解導數(shù)的基本概念和變化率的計算方法，結合實例幫助學生理解。

-組織課堂活動：設計小組討論，讓學生探討導數(shù)在實際問題中的應用。

-解答疑問：針對學生在學習中產(chǎn)生的疑問，進行及時解答和指導。

學生活動：

-聽講并思考：學生認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學生積極參與小組討論，分享自己的理解和應用。

-提問與討論：學生針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學生理解導數(shù)的基本概念和變化率的計算方法。

-小組討論法：通過小組討論，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

-多媒體資源：利用多媒體展示實際問題案例，幫助學生更好地理解導數(shù)的應用。

作用與目的：

-幫助學生深入理解導數(shù)的基本概念和變化率的計算方法。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學生的動手能力和解決問題的能力。

-通過小組討論，培養(yǎng)學生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置相關的課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-提供拓展資源：提供與導數(shù)相關的拓展資源，供學生進一步學習。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學生反饋和指導。

學生活動：

-完成作業(yè)：學生認真完成課后作業(yè)，鞏固學習效果。

-拓展學習：學生利用提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考。

-反思總結：學生對自己的學習過程和作業(yè)進行反思和總結，提出改進建議。

教學方法/手段/資源：

-自主學習法：學生自主完成作業(yè)和拓展學習。

-反思總結法：學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的導數(shù)知識點和技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結，幫助學生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。知識點梳理本節(jié)課的主要教學內(nèi)容是導數(shù)的概念及其應用，具體包括以下幾個知識點：

1.變化率問題：讓學生了解變化率的概念，掌握變化率的計算方法，并能夠運用變化率解決實際問題。

2.導數(shù)的概念：讓學生理解導數(shù)的定義，掌握導數(shù)的計算規(guī)則，并能夠利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題。

3.導數(shù)的計算規(guī)則：讓學生掌握基本的導數(shù)計算規(guī)則，包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)計算，以及四則運算法則、復合函數(shù)的鏈式法則等。

4.導數(shù)的應用：讓學生學會利用導數(shù)解決實際問題，如優(yōu)化問題、物理問題等，并能夠分析函數(shù)的單調(diào)性和極值問題。

5.導數(shù)的圖像：讓學生了解導數(shù)與函數(shù)圖像的關系，能夠通過導數(shù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題。

6.高階導數(shù)：讓學生掌握高階導數(shù)的概念和計算方法，能夠求解函數(shù)的二階導數(shù)、三階導數(shù)等。

7.導數(shù)與極限的關系：讓學生理解導數(shù)與極限的關系，能夠運用極限的思想理解和計算導數(shù)。

8.導數(shù)在實際應用中的作用：讓學生了解導數(shù)在各個領域的應用，如經(jīng)濟學、生物學、工程學等，培養(yǎng)學生的實際問題解決能力。內(nèi)容邏輯關系本節(jié)課的內(nèi)容邏輯關系主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

①變化率問題與導數(shù)的概念：

-變化率問題：引導學生理解變化率的概念，通過實際例子讓學生感受變化率在解決實際問題中的重要性。

-導數(shù)的概念：引入導數(shù)的定義，讓學生了解導數(shù)是變化率的一種表達方式，從而引出導數(shù)的基本計算規(guī)則。

②導數(shù)的計算規(guī)則與導數(shù)的應用：

-導數(shù)的計算規(guī)則：講解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導數(shù)計算，以及四則運算法則、復合函數(shù)的鏈式法則等基本規(guī)則。

-導數(shù)的應用：通過實際問題，讓學生學會利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題，培養(yǎng)學生的實際問題解決能力。

③導數(shù)的圖像與高階導數(shù)：

-導數(shù)的圖像：引導學生觀察導數(shù)圖像，理解導數(shù)與函數(shù)圖像的關系，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題。

-高階導數(shù)：講解高階導數(shù)的概念和計算方法，求解函數(shù)的二階導數(shù)、三階導數(shù)等，進一步深化學生對導數(shù)概念的理解。

④導數(shù)與極限的關系：

-導數(shù)與極限的關系：讓學生理解導數(shù)與極限的關系，通過極限的思想理解和計算導數(shù)，進一步拓寬學生的思維。

板書設計：

①變化率問題

-變化率的概念

-變化率的計算方法

②導數(shù)的概念

-導數(shù)的定義

-導數(shù)的基本計算規(guī)則

③導數(shù)的應用

-函數(shù)的單調(diào)性

-函數(shù)的極值問題

④導數(shù)的圖像

-導數(shù)圖像與函數(shù)圖像的關系

-判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題

⑤高階導數(shù)

-高階導數(shù)的概念

-高階導數(shù)的計算方法

⑥導數(shù)與極限的關系

-導數(shù)與極限的關系

-利用極限的思想理解和計算導數(shù)課后作業(yè)1.請計算下列函數(shù)的導數(shù)：

a)y=x^2

b)y=2x

c)y=3x^3+4x^2-5x+6

d)y=sin(x)

e)y=cos(x)

2.請利用導數(shù)解決下列實際問題：

a)一個物體從靜止開始沿直線運動，其速度v(t)=t^2-3t+2，求物體在前3秒內(nèi)的位移。

b)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=2x^2+5x+10，求該產(chǎn)品的盈虧平衡點。

c)一個函數(shù)y=f(x)在x=2處取得極小值，求f(x)在x=2處的導數(shù)值。

d)一個函數(shù)y=g(x)在x=3處取得極大值，求g(x)在x=3處的導數(shù)值。

e)一個物體沿拋物線y=-x^2+6x從點A(2,4)下滑，求物體到達最低點的時間。

3.請利用導數(shù)的圖像分析下列函數(shù)的單調(diào)性和極值問題：

a)y=x^2

b)y=x^3-3x

c)y=x^4+2x^3-x^2-4x+3

d)y=sin(x)

e)y=cos(x)

4.請計算下列函數(shù)的二階導數(shù)：

a)y=x^2

b)y=2x

c)y=3x^3+4x^2-5x+6

d)y=sin(x)

e)y=cos(x)

5.請利用導數(shù)與極限的關系，求解下列極限問題：

a)求極限lim(x->0)(1-x/2)^(1/x)

b)求極限lim(x->0)sin(x)/x

c)求極限lim(x->∞)(1+1/x)^x

d)求極限lim(x->∞)(x^2-1)/(x^2+1)

e)求極限lim(x->∞)x^(1/x)

答案：

1.a)y'=2x

b)y'=2

c)y'=9x^2+8x-5

d)y'=cos(x)

e)y'=-sin(x)

2.a)位移=14

b)盈虧平衡點：x=-1.5

c)f'(2)=-12，因為f(2)是極小值點，所以f'(2)<0

d)g'(3)=27，因為g(3)是極大值點，所以g'(3)>0

e)物體到達最低點的時間為t=3

3.a)函數(shù)y=x^2在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，在x=0處取得極小值。

b)函數(shù)y=x^3-3x在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，在x=-1處取得極小值。

c)函數(shù)y=x^4+2x^3-x^2-4x+3在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，在x=-1和x=1處分別取得極小值和極大值。

d)函數(shù)y=sin(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上周期性變化，無單調(diào)性和極值問題。

e)函數(shù)y=cos(x)